2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如皋市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如皋市高二上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的斜率k及在y軸上的截距b分別是（

）A．， B．， C．， D．，A【分析】直接由直線斜截式方程的幾何性質(zhì)求出與即可．【詳解】由直線得所以直線的斜率為，在y軸上的截距故選：A．2．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，則F到原點(diǎn)的距離為（

）A．1 B． C． D．A【分析】拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求得焦參數(shù)后可得．【詳解】由已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，∴，焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為．故選：A．3．已知圓，直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．D【分析】利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，帶值計(jì)算即可.【詳解】對(duì)圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑；點(diǎn)到直線的距離，故.故選.4．若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（

）．A． B．C． D．A【分析】由漸近線方程可設(shè)雙曲線為且，再由點(diǎn)在雙曲線上，將點(diǎn)代入求參數(shù)m，即可得雙曲線方程.【詳解】由題設(shè)，可設(shè)雙曲線為且，又在雙曲線上，所以，則雙曲線的方程是.故選：A5．已知圓，圓，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切C【分析】求出兩圓圓心距，與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值比較大小，可得出結(jié)論.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)?，則，故這兩個(gè)圓相交.故選：C.6．2022年6月5日，我國(guó)三名航天員乘坐神舟十四號(hào)載入飛船成功升空．預(yù)計(jì)三名航天員在太空工作6個(gè)月，在軌期間將進(jìn)行多個(gè)科學(xué)實(shí)驗(yàn)，任務(wù)完成后，乘返回艙返回地面．某自然科學(xué)博物館為了青少年參觀學(xué)習(xí)的需要，仿制了一個(gè)返回艙，如圖所示，若仿制的返回艙的內(nèi)腔軸截面曲線C近似由半橢圓：和?。航M成，曲線C內(nèi)接一各邊與坐標(biāo)軸分別平行的矩形，滿足水平方向矩形的邊長(zhǎng)為6，若由這個(gè)矩形繞y軸旋轉(zhuǎn)，形成圓柱作為返回時(shí)載物及航天員座椅的空間，則這個(gè)空間的體積為（

）A． B． C． D．B【分析】由題意說(shuō)明矩形在第一象限的頂點(diǎn)和在第四象限的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，分別代入橢圓和圓方程求得它們的縱坐標(biāo)后可得矩形的另一邊長(zhǎng)即圓柱的高，從而由圓柱體積公式計(jì)算體積．【詳解】由題意矩形在第一象限頂點(diǎn)為，則，代入橢圓方程得，（負(fù)值舍去），代入圓方程得，（正值舍去），所以矩形平行軸的邊長(zhǎng)為，所以圓柱的底面半徑為3，高為，體積為．故選：B．7．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，圓與雙曲線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則為（

）A． B． C． D．B【分析】由題知，進(jìn)而結(jié)合題意設(shè)，再結(jié)合，計(jì)算即可得答案.【詳解】解：由題知，因?yàn)閳A與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)，所以，，所以，因?yàn)?，即，所以故選：B8．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作傾斜角為的直線交橢圓于點(diǎn)（在軸的上方），連接，再作的角平分線，點(diǎn)在上的投影為點(diǎn)，則（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的長(zhǎng)度為（

）A． B．1 C． D．D【分析】設(shè)，進(jìn)而結(jié)合橢圓定義和余弦定理得，即，，再延長(zhǎng)交于，再結(jié)合題意可知是的中點(diǎn)，，最后根據(jù)中位線定理即可得答案.【詳解】解：由題知，因?yàn)樵跈E圓上，所以，設(shè)，在中，由余弦定理得，解得，所以，，，延長(zhǎng)交于，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，點(diǎn)在上的投影為點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.故選：D二、多選題9．已知雙曲線，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為C．雙曲線的兩條準(zhǔn)線之間的距離為D．雙曲線左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為ABC【分析】求出、、的值，利用離心率公式可判斷A選項(xiàng)；求出雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離，可判斷B選項(xiàng)；求出雙曲線的兩條準(zhǔn)線之間的距離，可判斷C選項(xiàng)；利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】在雙曲線中，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，雙曲線的離心率為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，雙曲線的兩條準(zhǔn)線之間的距離為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)雙曲線上左支上一點(diǎn)為，則，且，雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，D錯(cuò).故選：ABC.10．已知曲線，則（

）A．若，曲線C為圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓B．若，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C．若C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若C表示兩條直線，則BD【分析】分類討論確定方程表示的曲線后判斷各選項(xiàng)?！驹斀狻繒r(shí)，，方程為，由已知當(dāng)時(shí)，，，表示焦點(diǎn)在軸的橢圓；時(shí)，方程為，表示圓，半徑為；時(shí)，，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；時(shí)，方程化為，表示兩條直線；時(shí)，，，表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線．綜上AC錯(cuò)，BD正確．故選：BD．11．如圖所示的“花生殼”形曲線是由兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的半圓和一個(gè)雙曲線的一部分組成的圖形，其中上半個(gè)圓所在圓方程是，雙曲線左、右頂點(diǎn)為A，B，，記雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．雙曲線部分的方程為.B．焦點(diǎn)到曲線上任一點(diǎn)的距離最大值為.C．曲線圍成的圖形面積不超過(guò)40.D．曲線上存在4個(gè)P點(diǎn)使得為直角.AD【分析】A選項(xiàng)，求出雙曲線的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)出雙曲線部分的方程，代入點(diǎn)，求出雙曲線部分的方程；B選項(xiàng)，連接并延長(zhǎng)，交上半圓于點(diǎn)P，由幾何性質(zhì)得到焦點(diǎn)到曲線上任一點(diǎn)的距離最大值為的長(zhǎng)，求出的長(zhǎng)即可；C選項(xiàng)，作出輔助線，求出兩個(gè)半圓的面積，四個(gè)三角形的面積，得到曲線圍成的圖形面積；D選項(xiàng)，設(shè)出，求出點(diǎn)的軌跡方程為，聯(lián)立雙曲線部分的方程，求出四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合與上下半圓均無(wú)交點(diǎn)，從而得到答案.【詳解】上半個(gè)圓所在圓方程是，圓心為，半徑為，由對(duì)稱性可知：下半個(gè)圓所在圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以雙曲線的左、右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線部分的方程為，其中，設(shè)上半圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為C，則，將其代入中，，解得：，故雙曲線部分的方程為，A正確；因?yàn)?，故雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)，交上半圓于點(diǎn)P，則焦點(diǎn)到曲線上任一點(diǎn)的距離最大值為的長(zhǎng)，其中，故焦點(diǎn)到曲線上任一點(diǎn)的距離最大值為，B錯(cuò)誤；連接CE，DF，過(guò)點(diǎn)A作軸的垂線，交DF于S，交EC于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)B作GH⊥x軸，交EC于點(diǎn)G，交DF于點(diǎn)H，因?yàn)椋灾本€EC方程為，將代入，則，則，，又兩半圓的面積之和為，設(shè)曲線圍成的圖形面積為，則，C錯(cuò)誤；則設(shè)，因?yàn)椋羰侵苯?，則有，聯(lián)立與，解得：，所以，故有四個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，由于，所以與上下半圓均無(wú)交點(diǎn)，故曲線上存在4個(gè)P點(diǎn)使得為直角，D正確；故選：AD12．設(shè)A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線AB過(guò)定點(diǎn)B．O到直線AB的距離不大于C．D．連接AF，BF并延長(zhǎng)分別交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，則ACD【分析】A選項(xiàng)，考慮直線斜率不存在與斜率存在兩種情況，利用求出所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)；B選項(xiàng)，舉出反例即可；C選項(xiàng)，分直線斜率不存在與斜率存在兩種情況，求出，從而得到；D選項(xiàng)，設(shè)出直線，與拋物線方程聯(lián)立求出兩根之和，兩根之積，再設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線方程，求出，同理求出，從而求出，結(jié)合，得到結(jié)論.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，此時(shí)由得：，解得：或0（舍去），所以此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，與聯(lián)立得：，設(shè)，，則，因?yàn)椋?，即，所以，解得：，?dāng)時(shí)，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不合要求，舍去，當(dāng)時(shí)，所以，故直線方程為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，綜上：直線AB過(guò)定點(diǎn)，A正確；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程：，此時(shí)O到直線AB的距離為4，大于，B錯(cuò)誤；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則，此時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離為，故綜上：，因?yàn)?，所以，即，C正確；設(shè)直線，，聯(lián)立拋物線方程得：，所以，由題意得：，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程得：，設(shè)，則，則，同理可得：，所以，因?yàn)?，則，D正確.故選：ACD拋物線與直線結(jié)合，通常要設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再結(jié)合題干條件列出方程，或不等式，設(shè)直線方程時(shí)，要考慮直線斜率不存在和存在時(shí)兩種情況，當(dāng)然設(shè)直線方程時(shí)也有技巧，消去還是消去，要結(jié)合題目條件.三、填空題13．已知直線，直線是繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，則的方程是______．．【分析】由兩角和的正切公式求得直線斜率后可得直線方程．【詳解】記直線的傾斜角為，則，由題意直線的傾斜角為，，所以直線方程為．故．14．已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值集合為______．【分析】將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，可得出關(guān)于的二次方程，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】聯(lián)立可得，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為.15．橢圓的左、有焦點(diǎn)分別為，，E上在第二象限的點(diǎn)P，使為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為______．．【分析】設(shè)，，，，由或，及在橢圓上列方程組求解．【詳解】由已知，，即，，因?yàn)樵诘诙笙?，所以，設(shè)，，，若，則，解得(的正值舍去)，即，若，由，消去得，或，均不合題意．綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為．故．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線，垂足為A，x軸上一點(diǎn)，滿足，則的面積為______．【分析】由得，由拋物線定義得，結(jié)合幾何性質(zhì)可得，即可求得，則的面積為【詳解】由題意得，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由得，由拋物線定義得，故，代入拋物線方程得，故的面積為.故四、解答題17．已知點(diǎn)，兩條直線，，(1)設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，求；(2)過(guò)點(diǎn)作直線分別交于，使為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；（2）根據(jù)題意，直線的斜率存在，設(shè)方程為，再分別聯(lián)立方程求得，，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式解方程即可.【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)，兩條直線，所以，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離分別為，所以（2）解：當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)與的交點(diǎn)分別為，顯然不滿足為線段的中點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)方程為因?yàn)辄c(diǎn)作直線分別交于，所以，且，所以，聯(lián)立方程得，即，聯(lián)立方程得，即，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，，解得，所以，所求直線方程為，即.18．已知圓與直線有公共點(diǎn)．(1)求圓C的最小半徑，并寫出此時(shí)圓C的方程；(2)若直線l與（1）中的圓C相切，求m的值．(1)的最小值為5，圓方程為；(2)10【分析】（1）首先求得直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，在圓上或圓內(nèi)時(shí)，直線與圓總有公共點(diǎn)，由此可得半徑的最小值，從而得圓方程；（2）直線與圓相切，則為切點(diǎn)，由有，從而可得參數(shù)值．【詳解】（1）直線方程整理為，由得，即直線過(guò)定點(diǎn)，圓與直線恒有公共點(diǎn)，由在圓上或圓內(nèi)，，所以，即的最小值為5，此時(shí)圓方程為；（2）直線與圓相切，則為切點(diǎn)，所以，，所以，解得，19．如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行公路，其截面由一個(gè)長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，長(zhǎng)方形高度.為了行車安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)其為平頂）與隧道頂部在豎直方向的高度差至少有．已知行車總寬度（圖中數(shù)據(jù)的單位：m），(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的方程；(2)求車輛通過(guò)隧道時(shí)的限高（精確到）．(1)坐標(biāo)系見(jiàn)解析，方程為(2)【分析】（1）根據(jù)題意以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)頂點(diǎn)的水平向所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，再待定系數(shù)求解即可；（2）先求得時(shí)，，再結(jié)合題意求解限高即可.【詳解】（1）解：如圖，以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)頂點(diǎn)的水平向所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由題知拋物線過(guò)點(diǎn)，代入上述方程得，解得，所以，所求拋物線的方程為.（2）解：因?yàn)樾熊嚳倢挾?，所以，結(jié)合（1），當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樾旭傑囕v頂部（設(shè)其為平頂）與隧道頂部在豎直方向的高度差至少有．所以，所求的限高為，因?yàn)樾枰_到，所以限高為.所以，車輛通過(guò)隧道時(shí)的限高為20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且，(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓左、右頂點(diǎn)，的坐標(biāo)為，連接交橢圓于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，證明：．(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題知，再待定系數(shù)法求解即可；（2）由題知直線的方程為：，進(jìn)而與橢圓聯(lián)立解得，再根據(jù)向量夾角公式求解即可證明.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得所以，橢圓的方程為.（2）解：由（1）知，所以，直線的方程為：，所以，聯(lián)立方程得，解得，所以因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以，所以，，所以，，因?yàn)樗?1．已知橢圓的焦距為，且一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．(1)求橢圓E的方程；(2)直線交橢圓E于A，B，點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)，連OP交橢圓于M，N，過(guò)P作MN的垂線交x軸于Q，求面積的最小值．(1)；(2)．【分析】（1）由焦距得，然后由正三角形求得，得橢圓方程；（2）求出坐標(biāo)，設(shè)，直線斜率為，得出，設(shè)，，由直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，由化為的函數(shù)，利用換元法、二次函數(shù)性質(zhì)得最小值．【詳解】（1）由題意，，設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為，是左焦點(diǎn)，則，由得，所以，橢圓方程為；（2）代入橢圓方程得，，設(shè)，，設(shè)，，且，則斜率為，顯然，設(shè)，，直線方程為，由得，，不妨設(shè)，，直線方程為，令得，，令，，則，所以，即時(shí)，取得最小值．方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓中的三角形面積問(wèn)題，解題方法是設(shè)直線斜率為，由直線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由得出的函數(shù)，再利用