正余弦定理應(yīng)用小結(jié)

正余弦理用小結(jié)一三形的角求長(zhǎng)題例1、△ABC中，已：AB=2，CA=

，別邊AB、、CA取DE、F，△DEF是等三形如?！螰EC=，α為值，DEF的長(zhǎng)短并出短的。圖分析：要求最短邊的長(zhǎng)，需建立邊長(zhǎng)關(guān)于α的目標(biāo)函數(shù)。解設(shè)△的邊長(zhǎng)顯∠°∠B=60°故EC=xα因?yàn)椤螪EC=∠DEF+∠EDB+∠B,所以EDB=.在△中由正弦定理得

所以，為BE+EC=BC，所以所以

，當(dāng)，注：在三角形中，已知兩角一邊求其它邊，自然應(yīng)聯(lián)想到正弦定.二判三形形：給三形的角系判此角的狀例2：在ABC中，知sinAcossin，么ABC一定（）A直角三角形

B等腰三角形．等腰直角三角形

D．三形解法：由

sinAcossinC

＝sin(A＋B)＝A＋cosAsinB，/

22即AcosB－AB＝，得sin(－)＝，得A．選(B)．解法：由題意，得cos＝

CcA2

222，再由余弦定理，得cosB＝．22∴＝，＝b，ab故選B)2a評(píng)：斷角形，常兩典方：統(tǒng)化角再判(如法1)，⑵統(tǒng)化邊再斷(如法2)．二正弦理三形實(shí)應(yīng)利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：（.測(cè)問(wèn)例3如所示，為了測(cè)河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)∠∠CD的寬度。分析：求河的寬度，就是求ABC在邊

C上的高，而在河的一邊，已測(cè)出AB長(zhǎng)∠、∠CBA，個(gè)三角形可確定。

A

圖

D

B解析：由正余弦定理得ACABsinACB

，∴AC=AB=120m又∵

S

ABC

11AB22

，解得CD=60m點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡(jiǎn)單，但是意義重大，屬“過(guò)河求河寬問(wèn)”。（）險(xiǎn)題例某艇測(cè)得燈塔在它的東15°的方向，此艦艇以海/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，分鐘后又測(cè)得燈塔在它的東30°北。若此燈塔周圍10海內(nèi)有暗礁，問(wèn)此艇繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？解析：如圖艦艇在A點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔在東15°的方向上艦艇航行半小時(shí)后到達(dá)B點(diǎn)測(cè)得S在東30°的方向上。在△ABC中，知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠，由正弦定理得

北西15°°東ABBS=AB=15點(diǎn)作SC⊥直線AB足

南

圖為，則。這表明航線離燈塔的距離為海里，而燈塔周圍10海內(nèi)有暗礁，故繼續(xù)航行有觸礁的危險(xiǎn)。點(diǎn)評(píng)：有關(guān)斜三角形的實(shí)際問(wèn)題，其解題的一般步驟是確理解題意，分清已知與所求其理解應(yīng)用題中的有關(guān)詞和術(shù)語(yǔ)示圖將知條件在圖形中標(biāo)出；/

12221222（3分析與所研究問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理求解。（）擊題例5如圖3甲船在A處乙船在A處南偏東45°方向，距A有9n并以20nmile/h的度沿南偏西15°方向航行，若甲船28nmile/h的度航行，應(yīng)沿什么方向，用多少h能快追上乙船？解析：設(shè)用t，甲船能追上乙船，在處相遇。

A

北

°在△中AC=28t，，

B設(shè)∠ABC=，∠?！唳?180°－－。據(jù)余弦定理

°

2

AB

2

2

ABcos

，

C)2

，

圖128tt

－3），解得t=

39，（）4∴

34

3=21mile。4根據(jù)正弦定理，得

3532114

，又∵，∴為銳角，β=arcsin

555，又＜＜，∴＜，141414∴甲船沿南偏東

4

－

514

3的方向用以追上乙船。4點(diǎn)：海題涉到三形知，題的∠ABC、邊已，兩未，但們是行距，于船航速已，以這邊均時(shí)關(guān)這根余定，列關(guān)的一二方，出的值三正弦理律法結(jié)1、要正確區(qū)分兩個(gè)定理的不同用，圍繞三角形面積公式及三角形外接圓直徑展開三角形問(wèn)題的求解。2、兩個(gè)定理可以實(shí)現(xiàn)將“邊、混合”的等式轉(zhuǎn)化成“邊或角的單一”等式。3、記住一些結(jié)論：

A,,均為正角；