高一數(shù)學(xué)：第3單元 函數(shù)概念與性質(zhì)（強(qiáng)化篇）（原卷版）

第3單元函數(shù)概念與性質(zhì)（基礎(chǔ)篇）基礎(chǔ)知識(shí)講解1．分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法【基礎(chǔ)知識(shí)】分段函數(shù)是定義在不同區(qū)間上解析式也不相同的函數(shù)．若函數(shù)在定義域的不同子集上的對(duì)應(yīng)法則不同，可用幾個(gè)式子來(lái)表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)．已知一個(gè)分段函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求此函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，這是分段函數(shù)中最常見(jiàn)的問(wèn)題．【技巧方法】求解函數(shù)解析式的幾種常用方法1、待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，用待定系數(shù)法；2、換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的表達(dá)式可用換元法，當(dāng)表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)也可用配湊法；3、消參法，若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則用解方程組消參的方法求解f（x）；另外，在解題過(guò)程中經(jīng)常用到分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．解決分段函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵抓住在不同的段內(nèi)研究問(wèn)題．2．函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷【基礎(chǔ)知識(shí)】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【技巧方法】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對(duì)數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論3．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【基礎(chǔ)知識(shí)】復(fù)合函數(shù)就是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本函數(shù)構(gòu)成，這種函數(shù)先要考慮基本函數(shù)的單調(diào)性，然后再考慮整體的單調(diào)性．平常常見(jiàn)的一般以兩個(gè)函數(shù)的為主．【技巧方法】求復(fù)合函數(shù)y＝f（g（x））的單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)基本初等函數(shù)；（3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．4．奇函數(shù)、偶函數(shù)【奇函數(shù)】如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．【技巧方法】①如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③已知奇函數(shù)大于0的部分的函數(shù)表達(dá)式，求它的小于0的函數(shù)表達(dá)式，如奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2+x那么當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）?﹣f（x）＝x2﹣x?f（x）＝﹣x2+x【偶函數(shù)】如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【技巧方法】①運(yùn)用f（x）＝f（﹣x）求相關(guān)參數(shù)，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②結(jié)合函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或者是某個(gè)特定的值，如偶函數(shù)f（﹣2）＝0，周期為2，那么在區(qū)間（﹣2，8）函數(shù)與x軸至少有幾個(gè)交點(diǎn)．5．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【基礎(chǔ)知識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【技巧方法】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．6.函數(shù)解析式的求解及常用方法【基礎(chǔ)知識(shí)】通過(guò)求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的過(guò)程就是函數(shù)的解析式的求解．【技巧方法】求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等．7.冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】1.冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y＝xa（a∈R）叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．（1）指數(shù)是常數(shù)；（2）底數(shù)是自變量；（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常數(shù)．8.冪函數(shù)的性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)】所有的冪函數(shù)在（0，+∞）上都有各自的定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）．（1）當(dāng)a＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過(guò)點(diǎn)（1，1）（0，0）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；c、在第一象限內(nèi)，a＞1時(shí)，圖象開(kāi)口向上；0＜a＜1時(shí)，圖象開(kāi)口向右；d、函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過(guò)點(diǎn)（1，1）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開(kāi)口向上；c、在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右趨于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸上方趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限逼近y軸，當(dāng)x趨于+∞時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸．（3）當(dāng)a＝0時(shí)，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、y＝x0是直線y＝1去掉一點(diǎn)（0，1），它的圖象不是直線．9.五個(gè)常用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x﹣1定義域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，+∞）時(shí)，增x∈（﹣∞，0]時(shí)，減增增x∈（0，+∞）時(shí)，減x∈（﹣∞，0）時(shí)，減公共點(diǎn)（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.冪函數(shù)的奇偶性（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過(guò)點(diǎn)（1，1）．（2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上為增函數(shù)．（3）如果a＜0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，1），并在（0，+∞）上為減函數(shù)．（4）當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．11．函數(shù)最值的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】函數(shù)的最值顧名思義就是指函數(shù)在某段區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值．在日常生活中我們常常會(huì)遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的問(wèn)題，這里面就可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．另外，最值可分為最大值和最小值．【技巧方法】這種題的關(guān)鍵是把現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的問(wèn)題，具體的說(shuō)是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，這里面需要同學(xué)們要具有轉(zhuǎn)化思維，具有一定的建模能力，在很多高考題中也常常以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．這里我們以具體的例題來(lái)講解．12．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類型【基礎(chǔ)知識(shí)】1．實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫(huà)．用函數(shù)的觀點(diǎn)看實(shí)際問(wèn)題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．【技巧方法】常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過(guò)圖象可以直觀地認(rèn)識(shí)它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對(duì)數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來(lái)越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見(jiàn)的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖象的直觀運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，如取整等．習(xí)題演練選擇題（共12小題）1．若函數(shù)，則（）A．-1 B．0 C．1 D．22．設(shè)函數(shù)為一次函數(shù)，且，則（）A．3或1 B．1 C．1或 D．或13．若函數(shù)|在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的的取值范圍是（）.A． B．C． D．6．若函數(shù)的最小值3，則實(shí)數(shù)的值為（）A．5或8 B．或5 C．或 D．或7．已知定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．6 B．3 C．0 D．8．滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）.A． B．C． D．9．已知函數(shù)是冪函數(shù)且是上的增函數(shù)，則的值為()A．2 B．－1 C．－1或2 D．010．已知，若為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．填空題（共6小題）13．函數(shù)，則______．14．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)于任意都有，且，則不等式的解集為_(kāi)_______.15．已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的最小值是_______.16．已知奇函數(shù)在定義域上遞減，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.17．已知函數(shù)，則不等式的解集是______.18．已知函數(shù)滿足，函數(shù)，若函數(shù)與的圖象共有12個(gè)交點(diǎn)，記作，則的值為_(kāi)_____.三．解析題（共6小題）19．已知定義在上的函數(shù).（1）若，求的值；（2）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2