雪山視頻-講義第3章

第三章隨機過程3.1隨機過程的基本概3.2平穩(wěn)隨機過 過3.4平穩(wěn)隨機過程通過線性系3.5窄帶隨機過3.6正弦波加窄 噪 白噪聲和帶限白噪3.1隨機過程的隨機過程的一般描 分布函數與概率密度數字特征:均值、方差、相關函自然界中事物的變化過程可以大致分成為兩類確定性過程。其變用數學語言來說，其變化過程可以用一個或幾個時間t數來描述。個確定的變化規(guī)律。用數學語言來說，這類事物變化的過程不可能用一個或幾個時隨機

無窮多個樣本函數的集合稱為隨機過程，記為.它有兩個基本屬性：ξ(t)是一個時間函數在某一觀察時刻t1上，全體樣本在t1的取值t)是一個不含t變化的隨 量。12n 隨機過程的分布函數與概率密設ξ表示一個隨機過程，在任意給定的時刻1∈T，其取值ξ1是一個一維隨 量。我們把隨 量ξ小于或等于某一數值1的概率t簡記為F1(x1,t1)，t1(1,1) 叫做隨機過程ξ(t)的一維分布函數如果存

F(x,t)

f(x,t 11

則稱之

的一維概率密度函數隨機過程(t)的二維F2(x1,x2;t1,t2,)

P(t1)

x1,(t2)

x2隨機過程(t)的二維概2F(x,x;t,tf2(x1,x2;t1,t2)

若上式中的偏導存隨機過程(t)的nFn(x1,x2,,xn;t1,t2,tnP(t1)x1,(t2)x2,,(tn)

xn隨機過程(t)的n維概率密度函數nF(x，x；t，t 2均值（數學期望在任意給定時刻t1的取值(t1)是一個 量，其均

)

f1

,

f(x1t1(t1)的概率密度函由于t1是任取的，所以可以把t1直接寫為t，x1改為x，這上式就變

E(t)

(x,t)dx(t)的均值是時間的確定函數，常記作at，它表示(t)機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心2

a(tn 方

E[(t)a(t)]2因DξtDξt

2

2EξttξtatE[ξ2(t)]2atEξta2(tEξttξtatE[ξ2(t)]a2

x均值均值平

f1(x,

[a(t)]2方差常記為2t)隨機過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。相關函

用來衡量任意兩個時刻上獲得的 量的統計相特性

(t

(t)12= 12=

f2(1

,t2

dx2表示一個隨機過程在不同時刻t1、t2取不同的兩個函數之間的相象程度。稱為自相關函數,可表示為:R(t1,t1)

E[(t1)(t1

f2(x1,x2,t1,

3.2.1若一個隨機過程t)的任意有限維分布函數與時間起點無關，也就是說，對于任意的正整數n和所有實數， fn(x1,x2,,xn；t1,t2,,tnfn(x1,x2,,

,t2

則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱嚴平穩(wěn)隨機過程。性質：平穩(wěn)隨機過程的統計特性不隨時間的推移而改變，即它的一維分布函數與時間t無關，即當取樣點在時間軸上作任意平移時，隨機過程的所有有限維分布函數不變。且有：一維分布t無關：f1(x1,t1)＝f1二維分布函數只與時間間隔t2t1有關f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;）f1(x1,t1)

f1(x1

f2(x1,x2;t1,t2)

f2(x1,x2;)E數E

f1(x1aRf1(x1a

E[(t1)

f2(x1,x2;

R(可見，（1）其均值與t無關，為常數（2）自相關函數只與時間間隔有關廣義平穩(wěn)：滿足以上兩條的隨機過程式稱為廣義平穩(wěn)過程廣義平穩(wěn)的相關函數可寫為R()

3.2.2各態(tài)歷經性（遍歷性含義：隨機過程中的任意實現（樣本函數）都經歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。TalimTa

x(t)dt x(t)dtaT TlimT

x(t)x(t)dtT 注意：具有各態(tài)歷經性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經的。[例3-1](t)

其中，A和c均為常數；是在(0,2π)內均勻分布的 【分析】(1)先求(t)的是否平穩(wěn)即求數學期自相關函再求(t)Tax(t)Tax(t)dt

lim

TT x(tT

T 比較,相等時具有各態(tài)歷經性,3.2.3平穩(wěn)過程的相關函

R()

性質

—(t)的平均功

R()R(

的偶函

R()的上

(t

)2

2R(0)

2E[(t)(t2R(0)

2R()

R()

E2[

直流功

R(0)

交流功3.2.4平穩(wěn)過程的功率譜密功率譜密度:單位時間內每個頻率成分貢獻的功率.表示為

P(f平衡隨機過

的自相關函數與其功率譜密度之間互變換關系

(f)

結論:1.功率譜密度Pf)P(f)

2.R(0)P(f3.功率譜密度分為單邊譜和雙邊譜之分,為二倍關平均功率

隨機過 過程，也稱正態(tài)隨機過程，是通信領域中最重要的一種過程。1.定義若隨機過程

的任意n維（n=1,2,…)分布都服從正態(tài)則稱它 過程性質 過程是廣義平穩(wěn)的，則也是狹義平穩(wěn)的若干 過程的代數和的過程仍 型 3.一維概

f(x)f(x)

exp

(xa)2

式a2－方 性f(x)xa表示分布中心，稱為標準偏差，表示集中程度，圖形將隨著的減小而變高和變窄。當a=0和=1f(x)

exp

x22 4.分布函 F(x)x exp[(

a)2

erf(x)

xez2 erf(x

1

erf

(x)

ez2dzx線性系統響應 (t)，沖激響應v0(t)vi(t)*h(t)vi()h(tv0

f)

H(

)vi(f 當輸入是隨機過程(t時，輸出為( 0

i假定輸(t)是平穩(wěn)隨機過程i

(t的統計特00

0(t)均E[0(t)]

E[h()ih()E[i

)d

h(t)dt00

(t)]

(t)]

HiH(0)是線性系統中0頻時的響應,即直流增益,與時間無關i所以輸出過程0(t)的均值與時間無關20

的自相關函

E[(t)(t0 0

)dh()i(t1

)d

h()h(

i(t1

令

, E[

(t1

)

(t1

E[i(t)i(t

)]

Ri

0R0

,t1

h()h()Ri

輸出過程是廣義平穩(wěn)的30(t的功率譜

P000

R

)ej 0 0

d

[h()h()Ri

)e

令 P()0

h()ejd

h()ejd

R()ejdiH*()H()Pii

H()2i

4、輸出過0(t)的概率分

(t)

改寫為和式

0(t)

i

k)h(k)可知

(t)i0i0

k0k 過程經線性變換后的過程仍 的。輸出 過程的數字特征改變了窄帶：信號頻譜被限制在“載波”或某中心頻率附近一個窄的頻帶上，中心頻率遠離零頻窄帶波 帶寬增 載波頻率增窄帶隨機過程

(t可表示為c(t)c

a(t)cos[

(t)]

a(t)c(t)c

(t)cos

(t)sincc其中cc

(t)

a(t)

(t)

同向分s統計特性

(t)

a(t)sin

(t)

正交分可由窄帶過程(t)的統計特性來確

a(t)csc(t)以及csc

s

的統計特性窄帶隨機過程(t)可表示為(t)

a(t)cos[

(t)]

a(t)c將上式展開，c

(t)cosct

(t)

at)ctsin

c c

(t)(t)

a(t)a(t)sin

(t)(t)

同向分正交分則

(t)cos

(t)sin 設

為均值為0，方差為

的平穩(wěn)窄 過求c()和s()的統計特由E[(t

E[c

E[s(t)]sin若使上式為0（已知條件），只E[c(t)]

s

(t)]其自相關函數R(t,t)

E[(t)(tE[c(t)coscts(t)sinct][c(t)cosc(t)s(t)sinc(tE{[c(t)c(t)cosctcosc(t)c(t)s(t)cosctsinc(ts(t)c(t)sinctcosc(t)s(t)s(t)sinctsinc(tE[c(t)c(t)]cosctcosc(t)E[c(t)s(t)]cosctsinc(tE[s(t)c(t)]sinctcosc(t)E[s(t)s(t)]sinctsinc(tRc(t,t)cosctcosc(t)Rcs(t,t)cosctsinc(tRsc(t,t)sinctcosc(t)Rs(t,t)sinctsinc(ttc得c

(t與

(t)

的自相關函數，可先將t=0

[Rc

t0

[Rcs

t0]sin

再取

代入，可得

Rsc(另外，可證得

Rsc(

說明Rsc(

是過原點的奇函數，則R(0)

Rc(0)

Rs結論1：均值為0,方差為2s穩(wěn)隨機過程，且均值為零，方s及c同一時刻得及c計獨立即有下式成

不相關，或E[(t)]E[c(t)]

E[s(t)] c s結論2:均值為0,方差為2的窄帶平 過程其包a(t的一維分布是瑞利分布,其相

(t)的一維分布是均勻的;且二者為統計獨立的即f(a

f()

0 正弦波加窄 噪正弦波加窄 噪聲的表示

tn

2于是有

S()sin式

czc nc(c)zs(t)