高中總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)配人教A版-課后習(xí)題Word-單元質(zhì)檢卷單元質(zhì)檢8　立體幾何(A)

單元質(zhì)檢八立體幾何(A)(時間:45分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共6小題,每小題7分,共42分)1.一塊石材幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:由三視圖可得原石材為如圖所示的直三棱柱A1B1C1-ABC,且AB=8,BC=6,BB1=12.若要得到半徑最大的球,則此球與平面A1B1BA,BCC1B1,ACC1A1都相切,故此時球的半徑與△ABC內(nèi)切圓半徑相等,故半徑r=6+8-102=2.2.下列說法錯誤的是()A.三角形的兩條邊平行于一個平面,則第三邊也平行于這個平面B.平面α∥平面β,a?α,過β內(nèi)的一點(diǎn)B有唯一的一條直線b,使b∥aC.α∥β,γ∥δ,α,β,γ,δ所成的交線為a,b,c,d,則a∥b∥c∥dD.一條直線與兩個平面所成的角相等,則這兩個平面平行答案:D解析:A正確,三角形可以確定一個平面,若三角形兩邊平行于一個平面,則它所在的平面與這個平面平行,故第三邊平行于這個平面;B正確,平面α與平面β平行,則平面α中的直線a必平行于平面β,平面β內(nèi)的一點(diǎn)與這條線可以確定一個平面,這個平面與平面β交于一條直線,過該點(diǎn)在平面β內(nèi)只有這條直線與a平行;C正確,利用同一平面內(nèi)不相交的兩條直線一定平行判斷即可確定C是正確的;D錯誤,一條直線與兩個平面所成的角相等,這兩個平面可能是相交平面,故選D.3.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為()A.3172 B.2C.132 D.3答案:C解析:由計算可得O為B1C與BC1的交點(diǎn).設(shè)BC的中點(diǎn)為M,連接OM,AM,則可知OM⊥平面ABC,連接AO,則AO的長為球半徑,可知OM=6,AM=52,在Rt△AOM中,由勾股定理得半徑OA=134.(2021全國Ⅰ,理5)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn),則直線PB與AD1所成的角為()A.π2 B.πC.π4 D.答案:D解析:如圖,連接BC1,PC1.由正方體的性質(zhì)可得AD1∥BC1,故∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設(shè)正方體的棱長為1,則BC1=2,C1P=12A1C1=2而BP=BB可得C1P2+BP2=BC12,故C1P⊥則在Rt△BPC1中,有sin∠PBC1=C1PBC1=12,于是∠PBC1=π65.如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線答案:B解析:如圖,連接BD,BE.在△BDE中,N為BD的中點(diǎn),M為DE的中點(diǎn),∴BM,EN是相交直線,排除選項C、D.作EO⊥CD于點(diǎn)O,連接ON.作MF⊥OD于點(diǎn)F,連接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB與△EON均為直角三角形.設(shè)正方形ABCD的邊長為2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=2則EN=3+1=2,BM=34∴BM≠EN.故選B.6.某幾何體的三視圖如圖所示,則在該幾何體中,面積最大的側(cè)面的面積為()A.22 B.52 C.62 答案:B解析:由三視圖可知,幾何體的直觀圖如圖所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱錐A-BCDE的高為1,四邊形BCDE是邊長為1的正方形,則S△AED=12×1×1=12,S△ABC=S△ABE=12×1×2=22,S△ACD=12×二、填空題(本大題共2小題,每小題7分,共14分)7.已知矩形ABCD的邊AB=a,BC=3,PA⊥平面ABCD,若邊BC上有且只有一點(diǎn)M,使PM⊥DM,則a的值為.

答案:1.5解析:如圖,連接AM.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DM.若邊BC上有且只有一點(diǎn)M,使PM⊥MD,則DM⊥平面PAM,即DM⊥AM,故以AD為直徑的圓和BC相切即可.因為AD=BC=3,所以圓的半徑為1.5,要使線段BC和半徑為1.5的圓相切,則AB=1.5,即a=1.5.8.已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.答案:2解析:圓錐內(nèi)半徑最大的球為該圓錐的內(nèi)切球,如圖,該圓錐的母線長BS=3,底面半徑BC=1,高SC=BS2-BC2=22,設(shè)該內(nèi)切球與母線BS切于點(diǎn)D,則OD=OC=r,BC=BD=1,在Rt△SOD中,SO2-OD2=SD2,即(22-r)2-r2=4,解得r=22,故所求球的體積V=43πr3三、解答題(本大題共3小題,共44分)9.(14分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.答案:(1)證明因為AP=CP=AC=4,O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)P⊥AC,且OP=23.如圖,連接OB,因為AB=BC=22AC所以△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知,PO⊥平面ABC.(2)解如圖,作CH⊥OM,垂足為H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離.由題設(shè)可知OC=12AC=2,CM=23BC=423所以O(shè)M=25CH=OC·所以點(diǎn)C到平面POM的距離為4510.(15分)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形,∠BAD=120°,AB=2,E,F分別為CD,AA1的中點(diǎn).(1)求證:DF∥平面B1AE;(2)若AA1⊥底面ABCD,且直線AD1與平面B1AE所成角的正弦值為34,求線段AA1的長答案:(1)證明如圖,設(shè)G為AB1的中點(diǎn),連接EG,GF,因為FG12A1B1,又DE12A1B1,所以FGDE,所以四邊形DEGF是平行四邊形,所以DF∥EG.又DF?平面B1AE,EG?平面B1AE,所以DF∥平面B1AE.(2)解因為四邊形ABCD是菱形,且∠ABD=60°,所以△ABC是等邊三角形.取BC的中點(diǎn)G,則AG⊥AD.因為AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AG,AA1⊥AD,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,令A(yù)A1=t(t>0),則點(diǎn)A(0,0,0),E32,32,0,B1(3,-1,tAE=32,32,0,AB1=(設(shè)平面B1AE的一個法向量為n=(x,y,z),則n·AE=32(x+3y)=0,且n·取n=(-3t,t,4).設(shè)直線AD1與平面B1AE所成的角為θ,則sinθ=|n解得t=2,故線段AA1的長為2.11.(15分)如圖,三角形PDC所在的平面與矩形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)證明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值.答案:解法一(1)證明:∵PD=PC,且點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),∴PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,PE?平面PDC,∴PE⊥平面ABCD.∵FG?平面ABCD,∴PE⊥FG.(2)解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,AD?平面ABCD,∴AD⊥平面PDC.∵PD?平面PDC,∴AD⊥PD.∴∠PDC即為二面角P-AD-C的平面角.在Rt△PDE中,PD=4,DE=12AB=3,PE=P∴tan∠PDC=PEDE即二面角P-AD-C的正切值為73(3)解:如圖所示,連接AC,∵AF=2FB,CG=2GB,即AFFB=∴AC∥FG,∴∠PAC即為直線PA與直線FG所成的角或其補(bǔ)角.在△PAC中,PA=PD2AC=AD2+C由余弦定理可得cos∠PAC=PA∴直線PA與直線FG所成角的余弦值為95解法二(1)見解法一.(2)解:取AB的中點(diǎn)M,連接EM,可知EM,EC,EP兩兩垂直,故以E為原點(diǎn),EM,EC,EP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.可得點(diǎn)A(3,-3,0),D(0,-3,0),P(0,0,7),C(0,3,0),即AD=(-3,0,0),PD=(0,-3,-7),設(shè)平面PAD的法向量為n=(x,y,z),則AD可得-令y=7,