高二數(shù)學(xué)：8-3-1 分類變量與列聯(lián)表

8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗8．3.1分類變量與列聯(lián)表課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.理解判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的常用方法.通過學(xué)習(xí)2×2列聯(lián)表，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究飲用水的質(zhì)量是人類普遍關(guān)心的問題，根據(jù)統(tǒng)計，飲用優(yōu)質(zhì)水的518人中，身體狀況優(yōu)秀的有466人，飲用一般水的312人中，身體狀況優(yōu)秀的有218人．問題人的身體健康狀況與飲用水的質(zhì)量之間有關(guān)系嗎？提示我們可以根據(jù)2×2列聯(lián)表找到人的身體健康與飲用水之間的關(guān)系，也就是本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.1．分類變量這里所說的變量和值不一定是具體的數(shù)值，例如：性別變量，其取值為男和女兩種我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量，分類變量的取值可以用實數(shù)表示．2．2×2列聯(lián)表在實踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計，并做成表格加以保存，我們將這類數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表，2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d3.等高堆積條形圖等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷結(jié)果．拓展深化[微判斷]1．分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念．(×)提示分類變量中的變量是指一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)，與函數(shù)中的變量不是同一概念．2．列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù)．(√)3．列聯(lián)表、頻率分析法、等高條形圖都可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系．(√)[微訓(xùn)練]1．下列不是分類變量的是()A．近視 B．成績C．血壓 D．飲酒解析近視變量有近視與不近視兩種類別，血壓變量有異常、正常兩種類別，飲酒變量有飲酒與不飲酒兩種類別．故選B.答案B2．某校為了檢驗高中數(shù)學(xué)新課程改革的成果，在兩個班進(jìn)行教學(xué)方式的對比試驗，兩個月后進(jìn)行了一次檢測，試驗班與對照班成績統(tǒng)計如2×2列聯(lián)表所示(單位：人)，則其中m＝________，n＝________．80分及80分以上80分以下合計試驗班321850對照班24m50合計5644n解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(24＋m＝50，,56＋44＝n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝26，,n＝100.))答案26100[微思考]1．是否吸煙、是否患肺癌是什么變量？提示分類變量．2．吸煙與患肺癌之間的關(guān)系還是前面我們研究的線性相關(guān)關(guān)系嗎？提示不是.題型一用2×2列聯(lián)表分析兩分類變量間的關(guān)系【例1】在對人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)判斷二者是否有關(guān)系．解2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下合計飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360合計7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(a,a＋b)＝eq\f(43,64)＝0.671875.eq\f(c,c＋d)＝eq\f(27,60)＝0.45.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系．規(guī)律方法(1)作2×2列聯(lián)表時，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別．計算時要準(zhǔn)確無誤．(2)利用2×2列聯(lián)表分析兩個分類變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表，然后根據(jù)頻率特征，即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a＋b)與\f(d,c＋d)))的值相比，直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，但方法較粗劣．【訓(xùn)練1】假設(shè)有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當(dāng)m取下面何值時，X與Y的關(guān)系最弱()A．8 B．9C．14 D．19解析由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m＝14時，X與Y的關(guān)系最弱．答案C題型二用等高堆積條形圖分析兩分類變量間的關(guān)系【例2】某學(xué)校對高三學(xué)生作了一項調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系．解作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向合計考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計4265941020相應(yīng)的等高堆積條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認(rèn)為考前心情緊張與性格類型有關(guān)．規(guī)律方法利用等高堆積條形圖判斷兩個分類變量是否相關(guān)的步驟：【訓(xùn)練2】在調(diào)查的480名男人中有38人患色盲，520名女人中有6名患色盲，試?yán)脠D形來判斷色盲與性別是否有關(guān)？解根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：色盲不色盲合計男38442480女6514520合計449561000根據(jù)列聯(lián)表作出相應(yīng)的等高堆積條形圖：從等高堆積條形圖來看，在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例大得多，因此，我們認(rèn)為患色盲與性別是有關(guān)系的.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．列聯(lián)表與等高堆積條形圖列聯(lián)表由兩個分類變量之間頻率大小的差異說明這兩個變量之間是否有相關(guān)關(guān)系，而利用等高堆積條形圖能形象直觀地反映它們之間的差異，進(jìn)而推斷它們之間是否具有相關(guān)關(guān)系．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．與表格相比，能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)總體狀況的是()A．列聯(lián)表 B．散點圖C．殘差圖 D．等高堆積條形圖答案D2．在一項有關(guān)醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，則性別與喜歡吃甜食的2×2列聯(lián)表為________．答案喜歡吃甜食不喜歡吃甜食合計男117413530女492178670合計60959112003.根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖可知吸煙與患肺病________關(guān)系(填“有”或“沒有”)．解析從等高條形圖上可以明顯地看出吸煙患肺病的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不吸煙患肺病的頻率．答案有4．(多空題)下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2合計x1a2173x222527合計b46100則表中a＝________，b＝__________．解析由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋21＝73，,a＋2＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝52，,b＝54.))答案52545．為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果進(jìn)行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：患病未患病合計服用藥104555未服用藥203050合計3075105試用等高條形圖分析服用藥和患病之間是否有關(guān)系．解根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)可得出服用藥患病的頻率為eq\f(10,55)≈0.18，未服用藥患病的頻率為eq\f(20,50)＝0.4，兩者的差距是|0.18－0.4|＝0.22，兩者相差很大，作出等高條形圖如圖所示，因此服用藥與患病有關(guān)系．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1．觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是()解析觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)eq\f(x1,x1＋y1)和eq\f(x2,x2＋y2)相差越大，就判斷兩個分類變量之間關(guān)系越強(qiáng)．答案D2．可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的是()A．散點圖 B．等高堆積條形圖C．殘差圖 D．以上都不對解析用等高堆積條形圖可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，但是無法給出結(jié)論的可信程度，故選B.答案B3．(多選題)分類變量X和Y的列聯(lián)表如下：y1y2合計x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d則下列說法不正確的是()A．a(chǎn)d－bc越小，說明X與Y關(guān)系越弱B．a(chǎn)d－bc越大，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)C．(ad－bc)2越大，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)D．(ad－bc)2越接近于0，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)解析|ad－bc|越小，說明X與Y關(guān)系越弱，|ad－bc|越大，說明X與Y關(guān)系越強(qiáng)．答案ABD4．已知兩分類變量的列聯(lián)表如下：Aeq\o(A,\s\up6(－))合計B2008001000eq\o(B,\s\up6(－))180a180＋a合計380800＋a1180＋a最后發(fā)現(xiàn)，這兩個分類變量沒有任何關(guān)系，則a的值可能是()A．200 B．720C．100 D．180解析由于A和B沒有任何關(guān)系，根據(jù)列聯(lián)表可知eq\f(200,1000)和eq\f(180,180＋a)基本相等，檢驗可知，B滿足條件，故選B.答案B5．(多選題)如圖是調(diào)查某地區(qū)男、女中學(xué)生喜歡理科的等高條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，從圖可以看出()A．性別與喜歡理科無關(guān)B．女生中喜歡理科的百分比為80%C．男生比女生喜歡理科的可能性大些D．男生不喜歡理科的百分比為40%解析由題圖知女生中喜歡理科的百分比為20%，男生不喜歡理科的百分比為40%，男生比女生喜歡理科的可能性大些，故A，B不正確，C，D正確．答案CD二、填空題6．某大學(xué)在研究性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系，你認(rèn)為應(yīng)該收集的數(shù)據(jù)是__________________________________________________________．答案男正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)；女正教授人數(shù)，女副教授人數(shù)7．2013年6月11日，中國的“神舟十號”發(fā)射成功，由此許多人認(rèn)為中國進(jìn)入了航天強(qiáng)國之列，也有許多人持反對意見，為此進(jìn)行了調(diào)查．在參加調(diào)查的3648名男性公民與3432名女性公民中，持反對意見的男性有1843人、女性有1672人，在運(yùn)用這些數(shù)據(jù)說明中國“神十”發(fā)射成功是否與中國進(jìn)入航天強(qiáng)國有關(guān)系時，用下列給出的________最具說服力(填序號)．①回歸直線方程；②平均數(shù)與方差；③等高堆積條形圖．解析由于參加調(diào)查的公民按性別被分成兩組，而且每一組又被分成兩種情況：認(rèn)為有關(guān)與無關(guān)，故該資料取自完全隨機(jī)統(tǒng)計，符合2×2列聯(lián)表的要求，應(yīng)用等高堆積條形圖最具說服力．答案③8．某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了100名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目合計20至40歲401858大于40歲152742合計5545100由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)：__________(填“是”或“否”)．解析因為在20至40歲的58名觀眾中有18名觀眾收看新聞節(jié)目，而大于40歲的42名觀眾中有27名觀眾收看新聞節(jié)目，即eq\f(b,a＋b)＝eq\f(18,58)，eq\f(d,c＋d)＝eq\f(27,42)，兩者相差較大，所以經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關(guān)的．答案是三、解答題9．為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系，分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下：組別陽性數(shù)陰性數(shù)合計鉛中毒病人29736對照組92837合計383573試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系？解等高條形圖如圖所示：其中兩個淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比，尿棕色素為陽性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽性有關(guān)系．10．當(dāng)某礦石粉廠生產(chǎn)一種礦石粉時，在數(shù)天內(nèi)就有部分工人患職業(yè)性皮膚炎．在生產(chǎn)季節(jié)期間，隨機(jī)抽取車間工人抽血化驗，75名穿新防護(hù)服的車間工人中5例陽性，70例陰性，28名穿舊防護(hù)服的車間工人中10例陽性，18例陰性，請用圖形判定這種新防護(hù)服對預(yù)防工人職業(yè)性皮膚炎是否有效．(注：顯陰性即未患皮膚炎)解由題目所給的數(shù)據(jù)得2×2列聯(lián)表：陽性例數(shù)陰性例數(shù)合計穿新防護(hù)服57075穿舊防護(hù)服101828合計1588103相應(yīng)的等高條形圖如圖所示．圖中兩個深色條的高分別表示穿新、舊防護(hù)服樣本中呈陽性的頻率，從圖中可以看出，穿舊防護(hù)服呈陽性的頻率高于穿新防護(hù)服呈陽性的頻率．因此，可以認(rèn)為新防護(hù)服比舊防護(hù)服對預(yù)防這種皮膚炎有效．能力提升11．在2×2列聯(lián)表中，兩個比值相差越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大，那么這兩個比值為()A.eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d) B.eq\f(a,c＋d)與eq\f(c,a＋b)C.eq\f(a,a＋d)與eq\f(c,b＋c) D.eq\f(a,b＋d)與eq\f(c,a＋c)解析由題意，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ac＋ad－ac－bc,（a＋b）（c＋d）)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(ad－bc,（a＋b）（c＋d）)))，因為|ad－bc|的值越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大，故選A.答案A12．為了研究子女吸煙與父母吸煙的關(guān)系，調(diào)查了一千多名青少年及其家長，數(shù)據(jù)如下：子女吸煙子女不吸煙合計父母吸煙237678915父母不吸煙83522605合計32012001520利用等高條形圖判斷父母吸煙對子女吸煙是否有影響？解等高條形圖