名校新學(xué)案高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課后作業(yè)14生活中的優(yōu)化問題舉例(備選)(含答案詳析)

選修2-2第一章1.41．用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為，該長(zhǎng)方體的最大體積是________．[答案]3m3929[剖析]設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x，則長(zhǎng)為2x，高為2－3x(0<x<2)，故體積為V＝2x2－3x＝－6x3＋9x2，V′＝－2或1，18x＋18x，令V′＝0得，x＝0∵0<x<2，∴x＝1.∴該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為2m、1m、1.5m時(shí)，體積最大，最大體積3Vmax＝3m.2．設(shè)有一個(gè)容積V必然的有鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，已知單位面積鋁合金的價(jià)格是鐵的3倍，問如何設(shè)計(jì)使總造價(jià)最小？[剖析]設(shè)圓柱體的高為h，底面半徑為r，又設(shè)單位面積鐵的造價(jià)為m，桶的總造價(jià)為y，則y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．2V22mV由于V＝πrh，得h＝πr2，因此y＝4mπr＋r(r>0)．2mV因此y′＝8mπr－r2，V1VV1令y′＝0，得r＝，此時(shí)，h＝2＝44π3.4π3πrV1V1V1當(dāng)r∈0，4π3時(shí)，y′<0，當(dāng)r∈4π3，＋∞時(shí)，y′>0，因此r＝4π3是函數(shù)y2mV4mπr＋r(r>0)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．V1故當(dāng)r＝4π3時(shí)，y有最小值，即hr＝時(shí)，總造價(jià)最?。穑寒?dāng)此鐵桶的高與底面半徑之比等于時(shí)，總造價(jià)最?。?23．已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c＝25000＋200x＋40x(元)．(1)要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？[剖析](1)設(shè)平均成本為y元，則1225000＋200x＋40x25000＋200xy＝x＝x＋40(x>0)，25000＋200＋x′＝－250001y′＝x40x2＋40.令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)．當(dāng)在x＝1000周邊左側(cè)時(shí)，y′<0；在x＝1000周邊右側(cè)時(shí)，y′>0；故當(dāng)x＝1000時(shí)，y獲取極小值．由于函數(shù)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，那么函數(shù)在該點(diǎn)獲取最小值，因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品．x2(2)利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)＝500x－(25000＋200x＋40)x2300x－25000－40.x∴L′＝300－20.令L′＝0，得x＝6000，當(dāng)x在6000周邊左側(cè)時(shí)，L′>0；當(dāng)x在6000周邊右側(cè)時(shí)，L′<0，故當(dāng)x＝6000時(shí)，L獲取極大值．由于函數(shù)只有一個(gè)使L′＝0的點(diǎn)，且函數(shù)在該點(diǎn)有極大值，那么函數(shù)在該點(diǎn)獲取最大值．因此，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品．4．甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠．由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以填充其經(jīng)濟(jì)損失并獲取必然的凈收入．在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤(rùn)x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系式x＝2000t.若乙方每生產(chǎn)1噸產(chǎn)品必定賠付甲方s元(以下稱

s為賠付價(jià)格

)．(1)將乙方的年利潤(rùn)w(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出使乙方獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量；(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y＝0.002t2(元)，在乙方依照獲取最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲取最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少？[剖析](1)由于賠付價(jià)格為s元/噸，因此乙方的實(shí)質(zhì)年利潤(rùn)為w＝2000t－st.w′＝1000－s＝1000－st.tt令w′＝0，得t＝t0＝10002s.當(dāng)t<t0時(shí)，w′>0；當(dāng)t>t0時(shí)，w′<0，因此t＝t0時(shí)，w獲取最大值．因此乙方獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量是10002噸．s(2)設(shè)甲方凈收入為v元，則v＝st－0.002t2.100021062將t＝s代入上式，獲取甲方凈收入v與賠付價(jià)格s之間的函數(shù)關(guān)系式v＝s－s4×109.106×8000－s3又v′＝5，令v′＝0，得s＝20.s當(dāng)s<20時(shí)，v′>0；當(dāng)s>20時(shí)，v′<0，因此s＝20時(shí)，v獲取最大值．因此當(dāng)甲方向乙方要求的賠付價(jià)格s＝20(元/噸)時(shí)，獲最大凈收入．5．某廠生產(chǎn)某種電子元件，若是生產(chǎn)出一件正品，可盈利200元，若是生產(chǎn)出一件次品，則損失100元．已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p3x4x＋32(x∈N＋)．(1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關(guān)系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？[剖析](1)由意可知次品率p＝日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1－p)．由于次品率p＝3xx件時(shí)，，當(dāng)每天生產(chǎn)4x＋32有x·3x件次品，有x3x1－件正品．4x＋324x＋323x－100x·3x因此T＝200x1－4x＋324x＋3264x－x2＝25·(x∈N＋)．x＋8x＋32·x－16，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．當(dāng)0<x≤16時(shí)，(2)T′＝－25·2x＋8T′≥0；當(dāng)x≥16時(shí)，T′≤0；因此當(dāng)x＝16時(shí)，T最大．即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲取最大日盈利．6.如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r.計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底積為S.

AB

是半橢圓的短軸，上底

CD

的端點(diǎn)在橢圓上．記

CD＝2x，梯形面(1)求面積(2)求面積[剖析]

S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；S的最大值．(1)依題意，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系

(如圖)，設(shè)點(diǎn)

C的橫坐標(biāo)為x.x2y2點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程r2＋4r2＝1(y≥0)，解得y＝2r2－x2(0<x<r)．12222S＝2(2x＋2r)·2r－x＝2(x＋r)·r－x，其定義域?yàn)閧x|0<x<r}．(2)記f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0<x<r，則f′(x)＝8(x＋r)2(r－