人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上等腰等邊三角形及其性質(zhì)

第1講等腰三角形（一）一、全等中的幾何畫(huà)圖（一）動(dòng)態(tài)畫(huà)圖，周密思考4.如圖，AC丄BC,AC=BC,過(guò)G點(diǎn)任畫(huà)直線(xiàn)l，過(guò)A點(diǎn)、B點(diǎn)分別作l的垂線(xiàn)AE、BF,5?如圖，〈//-ZUdZ3*4,過(guò)C點(diǎn)任畫(huà)直線(xiàn)交I于E、F，試探究AE、BF、AB三線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系，并證明6.在ABC中，AD,CE為高，兩條高所在的直線(xiàn)相交于H點(diǎn)，若CH=AB,求ZACB的大小.(二)動(dòng)態(tài)畫(huà)圖，由此及彼7.如圖ZB=2ZC,AD為ZA的平分線(xiàn)交BC于D點(diǎn)(1)求證：AB+BD=AC(2)如圖，若AD為ZA的外角平分線(xiàn)，問(wèn)上結(jié)論是否成立，畫(huà)圖證明8.如圖AC=BC,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，AC丄BC，ZMON=450.(1)求證CN+MN=AM(2)若點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，上結(jié)論是否成立，畫(huà)圖證明⑵BE⑵BE轉(zhuǎn)到△ABC夕卜，平分ZABC的一個(gè)外角，請(qǐng)畫(huà)出圖形，上述結(jié)果是否還成立，若成立請(qǐng)說(shuō)明理由.9.已知Rt^ABC,ZA=900,AB=AC,過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)BF交直線(xiàn)AC于D,CE丄BE于E(1)當(dāng)BE平分ZABC,求證：AB+AD=BC;BDBC2BDBC2AC3，求說(shuō)的值.（一）直角三角形全等問(wèn)題10.如圖，等腰△ABC,ZACB=9Oo，D為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),

(二)延長(zhǎng)、截取法運(yùn)用11.已知：CA=CB,AD平分ZCAB，且AB=AC+CD，求證：AC丄BC12?如圖在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4),B(4,0),E點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，B點(diǎn)與F點(diǎn)13.如圖1,點(diǎn)A、B分別為x軸、y軸正半軸上一點(diǎn)，P為第二象限一點(diǎn),PA丄PB,PA交y軸于點(diǎn)C,且C為PA的中點(diǎn).求證：ZPBO=ZP4O;已知A(a,0)、C(0,b)，若(a-3》+|b-2|2=0，求p點(diǎn)的坐標(biāo)；第2講等腰三角形(二)1．等腰三角形的性質(zhì)：(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”；(2)等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線(xiàn)合一”)．2．等腰三角形的判定：(1)等腰三角形定義；(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”)基礎(chǔ)回顧例1如圖，△ABC中，AB>AC,AD平分ZBAC,EF丄AD交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于胚1求證:ZBME=2(ZACB—ZB)；若EM平分AD,求證:/CAM=/B.分析:由AD平分ZBAC,設(shè)Z1=Z2=Q，根據(jù)內(nèi)角和定理及外角與內(nèi)角關(guān)系定理，建立ZBME、/B、ZACB與Q之間的關(guān)系式，消去參數(shù)Q“即得；由EM垂直平分AD，得MA=MD，ZMAD=ZMDA，于是Z2+ZCAM=Z1+ZB，得點(diǎn)評(píng):(1)問(wèn)是“設(shè)參法”，先建立含有“參數(shù)”和相關(guān)量的關(guān)系式，再消去參數(shù)，便得所求證的關(guān)系式(2)問(wèn)則是運(yùn)用“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)證明角相等，這種方法是證明角相等的又一方法，例2等腰△ABC中，過(guò)其中一個(gè)頂點(diǎn)的直線(xiàn)把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形，求三內(nèi)角的度數(shù).分析:按直角、銳角、鈍角三角形來(lái)分類(lèi)討論.解:點(diǎn)評(píng)：(1)當(dāng)面對(duì)的問(wèn)題情形較多時(shí)，應(yīng)注意分類(lèi)討論；(2)當(dāng)難以直接計(jì)算求角時(shí)，可考慮通過(guò)建立方程求解.1．若等腰三角形一腰上的高，等于腰長(zhǎng)的一半，求這個(gè)等腰三角形的頂角.2.如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A,作直線(xiàn)AE與ZB的內(nèi)角平分線(xiàn)BE垂直相交于E點(diǎn)，且與ZC的內(nèi)角平分線(xiàn)交于P點(diǎn).直接回答：當(dāng)ZB與ZC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，在AABC夕卜，在△ABC的邊上？若P在AABC內(nèi)，過(guò)P作PQHBC交AB、AC于Q、R求證：QR=AQ+CR例3如圖，AABC中，AB=7,AC=11，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，AD平分ZBAC，MF^AD交AC于F.求FC的長(zhǎng).分析：“角平分線(xiàn)＋平行線(xiàn)”易構(gòu)造等腰三角形，對(duì)于中點(diǎn)的條件，類(lèi)比“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”的方法，移動(dòng)CF,構(gòu)造等腰三角形，尋找CF、AB、AC之間的關(guān)系。解:

點(diǎn)評(píng)：“構(gòu)造等腰三角形”和“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”都是幾何中的常用方法，關(guān)鍵在于如何結(jié)合條件做到有效地聯(lián)結(jié)起條件與所求．例4如圖，在凸五邊形ABCDE中,ZB=ZE,ZC=ZD,BC=DE,M為CD中點(diǎn)，求證：AM丄CD.分析：M為中點(diǎn)，將AM置入一個(gè)三角形中，連AC、AD,要證AM丄CD,轉(zhuǎn)化為證等腰AACDCAC=AD),應(yīng)證△ABC^^AED.已有ZB=ZE,BC=ED，應(yīng)證AB=AE，轉(zhuǎn)化為證Z1=Z2,Z3=Z4.注意到條件ZC=ZD，于是延長(zhǎng)BC、ED交于F,得等腰AFCD點(diǎn)評(píng)：(1)多邊形中兩個(gè)相鄰的內(nèi)角相等,則延長(zhǎng)兩邊就有可能形成等腰三角形;證兩線(xiàn)垂直的問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為證等腰三角形的問(wèn)題,再運(yùn)用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì),得到垂直關(guān)系．還可延長(zhǎng)AB、AE交直線(xiàn)CD于G、H,證AAGH為等腰三角形較簡(jiǎn)單.3.如圖，ZB=ZC,ZADB=900—-ZBDC,求證：△ABC是等腰三角形.A4.如圖，直角梯形ABCD,CD〃AB,AB=AC,AE丄AC,且AE=AD,連BE交AC于F求證：BF=EF.

例5已知如圖：B(—1,0),D(0,2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3,0)的直線(xiàn)EC交直線(xiàn)BD于A,交y軸圖①圖②于E,使AD=AE.圖①圖②(1)求證：AB=AC；⑵AABC沿x軸方向平行移動(dòng)時(shí)，AB交y軸于D,直線(xiàn)DF交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于F,交x軸于G且BD=CF,求證：OG長(zhǎng)度不變.證：點(diǎn)評(píng)：(1)常規(guī)方法運(yùn)用.(2)基本題型的變式.例6如圖，BD平分ZABC,AD=DE,EF//BC,求證：AB=EF證明：點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用倍長(zhǎng)法將角等轉(zhuǎn)化為邊等.5.在△ABC中，AB=AC,ZA=100。,BD為ZB的平分線(xiàn).求證：BC=BD+AD6.如圖，直角坐標(biāo)系中，A(0,4),B(4,0),點(diǎn)M、N分別在y軸和x軸上，N點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，且AM=BN.(1)求S；AOB(2)如圖①，若點(diǎn)M在AO上，求證：CM=CN;⑶如圖②，若點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸上，(2)中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.y□B圖y□B圖②7.已知，如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，4)，B(4，0).(1)BD平分ZABO的外角，ZADO=450，求ZBAD的大小:⑵在①中，求的值；OBAP⑶如圖②，點(diǎn)P在OB上,APIPF，ZOBF=1350，問(wèn)是否變化?PF|?11|?118.在△ABC中，AD為中線(xiàn)，BE為角平分線(xiàn)，BF=AC.求證：AE=EF;若EF=EG,點(diǎn)G在BC上.求證：ZABG+ZAEG=在(2)的條件下，若ZFEG=，求ZFAG的大小.9.△ABC為等腰直角三角形，AC=BC，ZACB=90o，M，N為直線(xiàn)BC上兩點(diǎn)，BN=CM，連接AM，過(guò)點(diǎn)G作CD丄AM交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D,連DN如圖1,當(dāng)M，N兩點(diǎn)重合時(shí)，求證：ZAMC=ZDNB；如圖2，(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)完成圖2并證明；⑶如圖3，當(dāng)M，N在直線(xiàn)BC上,直接寫(xiě)出ZAMC,ZDNB的關(guān)系,不必證明C岸B8C岸B8第3講等邊三角形（三）本講知識(shí)歸納等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.等邊三角形的判定：（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.在直角三角形中，300所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.基礎(chǔ)回顧?例1如圖，D是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，DB=DA,BP=AB,ZP=3Oo.求證：bd平分ZPBC.分析：由BD二DA和等邊△ABC，連DC,得^ADC竺△BDC,Z1二-ZACB二3002二ZP.要證BD平分ZPBC，轉(zhuǎn)化為證△PBD竺△CBD.已有:BP=BA=BC,BD二BD,Z1二ZP，屬”SSA”，不能作為全等的依據(jù)?注意到BP二BC,連點(diǎn)評(píng):（1）逐步樹(shù)立”全等意識(shí)”——運(yùn)用全等解決問(wèn)題；（2）“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”的邊角轉(zhuǎn)變意識(shí).?例2如圖，已知六邊形ABCDEF中,ZA=ZB=ZC=ZD=ZE=ZF=120°.求證：AB＋BC=EF＋ED分析：六邊形的六個(gè)角都是120°，則其鄰補(bǔ)角為60°，延長(zhǎng)不相鄰的兩邊相交，可得等邊三角形，利用等邊三角形的邊角關(guān)系可去證.證明：

點(diǎn)評(píng)：（1）當(dāng)題中涉及到30°、45°、60°、120°、135°等特殊角時(shí)，常想到去構(gòu)造特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形等.（2）本例方法仍屬“補(bǔ)形法”，前面也以介紹過(guò)。I練習(xí)I1、如圖，D、E分別是等邊△ABC的邊BC、CA上的點(diǎn)，且AE=CD,AD與BE相交于F,CF1BE,求AF:BF的值.2、已知：六邊形ABCDEF的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且AB=1,BC=CD=DE=9，求：這個(gè)六邊形的周長(zhǎng).方法運(yùn)用?例3如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知ZAOB=115°，ZBOC=125°，求以O(shè)A、OB、OC為邊所構(gòu)成三角形各內(nèi)角的度數(shù).分析：要求以O(shè)A、OB、OC為邊所構(gòu)成三角形各內(nèi)角，先應(yīng)把這三條線(xiàn)段移到一塊構(gòu)成三角形。注意到AABC是等邊三角形，可考慮將其中一個(gè)三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°.解：休、點(diǎn)評(píng)：在等邊三角形(等腰三角形)、正方形等一些特殊的多邊形中，為了將分散的條件相對(duì)集中起來(lái)，常運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)法”I練習(xí)］如圖，A(0,4),B(-2,0),C(2,0),CM丄AB,ONLAC,垂足分別是M、N.求證：CM+CN=AB過(guò)O點(diǎn)做直線(xiàn)EF交AC于E,BF與AC相交于P點(diǎn)，若AE+BF=AB，問(wèn)：PE與PF存在怎樣的關(guān)系，并證明.創(chuàng)①創(chuàng)①問(wèn)題探究例4如圖，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是正五邊形ABCDE邊上的點(diǎn)，BM與CD交于點(diǎn)O,且ZBON=108°當(dāng)點(diǎn)M、N在CD、DE上時(shí)(如圖①)求證：BM=CN當(dāng)點(diǎn)M、N分別分別在DE、EA上時(shí)(如圖②)試問(wèn)BM=CN是否成立？說(shuō)明理由。分析：(1)證厶BCM^HCDN；(2)總結(jié)(1),(1)中的這兩個(gè)三角形不一定全等，注意到ZBON=108°=AMEN,Z1=Z2,于是連BD、0￡,證厶BDM^HCEN證明：

點(diǎn)評(píng)：(1)注意運(yùn)用正多邊形的定義，得邊與角的關(guān)系(大小)；(2)“拉對(duì)角線(xiàn)”可把正多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題。?例5如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC上任一點(diǎn)，ZADE=600，邊DE與ZACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)E.(1)求證：AD=DE(2)若點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，(1)的結(jié)論是否仍然成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：(1)進(jìn)行嘗試和權(quán)衡，應(yīng)構(gòu)造全等，結(jié)合AABC為等邊三角形的條件，在AB上截取AF=DC,證明△CDE^^FAD.(2)先畫(huà)圖，類(lèi)比｛1｝的做法，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取BF=BD，證△ADF^^DEC.點(diǎn)評(píng)：在截取線(xiàn)段相等，構(gòu)造三角形全等的同時(shí)，也得到了等邊三角形、兩線(xiàn)的平行等所以本例輔助線(xiàn)的交代方式有多種，如作平行線(xiàn)，作等邊三角形等，但本質(zhì)是一樣的。4、(1)如圖，在等邊△ABC中，在BC邊上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)Q求證：AP=BQ.(2)在上面的條件下，點(diǎn)P在BC邊上任意運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)AP交BQ于D,請(qǐng)畫(huà)出圖形，問(wèn)AD與BD+CD之間是否存在確定關(guān)系？若存在，請(qǐng)指明這個(gè)關(guān)系，并證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5、如圖，AAOB和△ACD是等邊三角形，其中AB丄x軸于E點(diǎn)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)C（5，0）⑴如圖①，求BD的長(zhǎng)；（2）如圖②，設(shè)BD交x軸于F點(diǎn)，求證:ZOFA=ZDFA（3）如圖③，若點(diǎn)P為OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與O、B重合），PM丄OA于M，PN丄AB于N，當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列兩個(gè)結(jié)論：①PM+PN的值不變；②PM—PN的值不變，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)找出這個(gè)結(jié)論，并求出其值.第4講等腰三角形小結(jié)一、構(gòu)造等腰三角形?例1如圖，在等腰Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD=AE,AB=AC,AF丄BE交BC于F,FG丄CD交AC于H,交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G.（1）求證：GE=GH；⑵問(wèn)BG、AF、FG有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論.分析：（1）證二Z2.由FG丄CD得Z2二Z4二Z5，應(yīng)證Z5=Z3.由題可證厶aBE^^ACD，得證.⑵猜想BG=AF+FG.由（1）已證等腰AGEH,于是構(gòu)造以BG為腰等腰三角形，過(guò)B作BN//AC交GF的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,得等腰△GBN,BG=NG,BE=NH=NF+FH，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證AF=FN,應(yīng)證△ABF^^NBF.證明:點(diǎn)評(píng)（1）構(gòu)造等腰三角形的一般方式有：①截取線(xiàn)段;②作角相等;③作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn);④作平行線(xiàn);⑤圖形變換（如對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)等）等，本例是運(yùn)用作平行線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形；（2）本例中還有其他的證法，如經(jīng)典方法——過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線(xiàn)與AF延長(zhǎng)線(xiàn)相交等.|練習(xí)（2）等邊△ABC中，點(diǎn)O為AC.BC兩邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)P為AB上的一動(dòng)點(diǎn)，PE//AC交BC于E,點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，且CF=PE，連OF、EF,求乙OFE的度數(shù).

二、運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)?例2已知Rt^ABC中，AC=BC,ZC=90°,D為AB中點(diǎn)，ZEDF=90°,/EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于E、F；圖①圖②圖③（3）當(dāng)ZEDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE丄AC于E（如圖①）時(shí)，顯然S+S=1S當(dāng)ZEDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE與AC不垂直時(shí)（如DEFCEF2ABC，△.△△圖②）ADEF、SaCEF、SAABC三者之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)ZEDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，請(qǐng)直接寫(xiě)出2DEFSACEF、SABC三者之間的數(shù)量關(guān)系是（不必證明）點(diǎn)評(píng)：遇有等腰三角形時(shí)，可以作成底邊上的高線(xiàn)，運(yùn)用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)解題.I練習(xí)I2、如圖，△ABC中，ZA=90°，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，AE丄BD于E，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F.求證：ZADB=ZCDF.3、AABC中，過(guò)BC邊的中點(diǎn)D作直線(xiàn)交AB于E,交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,使AE=AF,求證：BE=CF.三、角平分線(xiàn)與等腰三角形?例3如圖，AB//CD,BE、CE分別平分ZABC、ZDCB.求證：AB+CD=BC.分析：由條件易知ZBEC=90°,由此翻折ACEB,得ACEF,問(wèn)題轉(zhuǎn)