北京市東城區(qū)匯文中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：2B案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若復(fù)數(shù)z滿足iz2i，則z（ ）235A． B． C．2 D．235下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減的是（ ）2yx12

y2x C．ylog x121

D．y1x”.設(shè)A、Bp:ABq:ABp是q的（）C．充要條件

必要不充分條件Df(x)exMNyxg(x)ax2的圖象上，則a的取值范圍是（ ）A．,e

B．(,e) C．0,e

D．(0,e)22 22 設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)g(x)(x2x1，則f(1)g(1)（ ）A．1 B．0 C．1 D．3在中，OAOBOC0，AE2EB，ABAC，若ABAC9AOEC，則實(shí)數(shù)( )33A． B．333 2

C． D．663 2667．定義在R上的偶函數(shù)（）滿足（+）＝（，當(dāng)∈﹣，﹣2時(shí)，（）＝﹣﹣，則（ ）A．f

＞f6

cos6

B．f（sin3）＜f（cos3） C．f

4＜f3

3

D．f（2020）＞f（2019）8．某高中高三入班即靜”，“天道酬勤”，“細(xì)節(jié)決定成敗”，為了弄清天道酬勤這一作品是誰(shuí)寫的，班主任對(duì)三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：小王說：“入班即靜”是我寫的；小董說：“天道酬勤”不是小王寫的，就是我寫的；小李說：“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的，入班即”的書寫者是（ ）A．小王或小李 B．小王 C．小董 D．小李9．函數(shù)fxx1sinx(x且x0)的圖象是（ ）x x A． B．C． D．若函數(shù)fxx22xmcosx1m27有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）A．3 372

B．3 372

C．D．2已知定義在Rf(xf(xx0xf(xf(x0．則不等式3x3f(x)(12x)3f(12x)0的解集為（ ．A．{x|3x1}C．{x|x3x

B．{x|1x1}3D．{x|x1x1}3若復(fù)數(shù)z(2i)(i)（i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。x2y1設(shè)x，y滿足條件2xy1，則z2x3y的最大值為 .xy02 1 110

，乙跑出優(yōu)秀的概率為，丙跑出優(yōu)秀的概率為，則甲、乙、丙三3 2 4人同時(shí)參加10公里長(zhǎng)跑，剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率15．對(duì)定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的x[0,1]總有f(x) 0；（2）x1

0，x2

0，xx1 2

1fx1

xfx2

fx2

成立.則稱函數(shù)f(x)稱為G函數(shù)若h(x)a2x1是定義在[0,1]上G函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .16．如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABCD

AD

AB 3ABBC,C

的中點(diǎn),點(diǎn)P在1 1 1 1 1 1 1平面ABCD內(nèi)，若直線DP//平面EFG，則線段DP長(zhǎng)度的最小值是 .1 1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知拋物線C:x

4y與直線lx2y20.Cl距離的最小值；Pxy0 0

是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，Q(1,1)是定點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，求證A，Q，B共線；并在AQ3QB時(shí)求點(diǎn)P坐標(biāo).18（12分）如圖，直三棱柱ABCAB

DEAB

ACCB

2AB 2.1 1 1

1 1 2BC1

平面ACD；1DACE的余弦值.119（12分）已知數(shù)列an

}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列(nN*)a1

2，且2a1

，3

成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；n（Ⅱ）設(shè)bn

log2

a，Sn

為數(shù)列{bn

}的前n項(xiàng)和，記

11S S1

1S3

1，證明：1 TSnSn

2．n20（12分）如圖，在三棱錐PABC中，PAPBAB2，BC3，ABC90，平面PAB平面ABC，nD、EABAC中點(diǎn)．ABPE；APBE的大?。?1（12分）設(shè)數(shù)列

的前列項(xiàng)和為Snnn

a1

1, an

a n1 (n2).2an1（1）求數(shù)列a

的通項(xiàng)公式；n3 1 11（2）求證： S .2 2n n 622（10分）如圖，空間幾何體ABCDE中，ACD 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，EBECACDABCEBCABCHAB中點(diǎn).DH//BCE；EABC平面角的余弦值.參考答案

6，BC2 3，125601、D【解析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】解：由題意知，iz2i，2i ii 12iz

12i，i i2 1∴z12i 22

5，故選：D.【點(diǎn)睛】2、C【解析】由每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】xyx1y2xy1在(0,ylog1x在(0,遞減.x22故選：C【點(diǎn)睛】3、A【解析】由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若A、BA、B在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，A、B在等高處的A、BA是一個(gè)正放的正四面體，Bp是q的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.4、D【解析】由題可知，可轉(zhuǎn)化為曲線g(x)ax2與ylnx有兩個(gè)公共點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程ax2lnx有兩解，構(gòu)造函數(shù)2lnxh(x)x【詳解】

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分析即得解f(x)exMNyxylnx上，g(x)ax2ylnx有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程ax2lnx有兩解，2lnx即a

有兩解，x2lnx令h(x) ，x則hx

1lnx，x2則當(dāng)0x1時(shí)，h(x)0；當(dāng)x1時(shí)，h(x)0，e ex

1h(x)取得極大值h1e，也即為最大值，e e x0h(x)xh(x)0，所以0ae滿足條件．故選：D【點(diǎn)睛】5、C【解析】f(x)g(xx1，即可求出。【詳解】f(x)g(x分別是定義在Rf(xg(x)(x2x1，用xx，得f(x)g(x)(x1)22x1 ，f(xg(x)(x1)22x1f(xg(x)2x1(x1)2x1f(1)g(1)2001?！军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。6、D【解析】AOECABACABAC9AOEC中計(jì)算即可.【詳解】AE2EB，由OAOBOC0，知OAE2EB，AO所以

21(ABAC)3 23EC3 23ECACAEAC2AB，9AOEC3(ABAC)(AC2AB)

(ABAC)，又ABAC2AB2

3AC2

ABAC，所以2AB2

3AC2， .3|AB3|AB| 3|AC| 26故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算，是一道中檔題.7、B【解析】根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函數(shù)f（x）在定義域上的圖象，由此結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.【詳解】由（+）＝（，得（）是周期函數(shù)且周期為，f（x）x∈[﹣3，﹣2]2f（x）f（x）R上的圖象如下，A0sin6

1 3cos1，2 2 6

sin

66

cos

，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；66B，所以＜2＜，4 2所以（si）＜（﹣co，即（si）＜（co，選項(xiàng)B正確；3 1 Csin

,cos ,1sin cos 0，3 2 3 2 3 3

4所以fsin3fcos

3

fsin3fcos

3， 選項(xiàng)C錯(cuò)誤；Df(2020)f(0)f(1)f(2019)D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】8、D【解析】根據(jù)題意，分別假設(shè)一個(gè)正確，推理出與假設(shè)不矛盾，即可得出結(jié)論.【詳解】解：由題意知，若只有小王的說法正確，則小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”，而否定小董說法后得出：小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，則矛盾；天道酬勤”，細(xì)節(jié)決定成敗所以剩下小王對(duì)應(yīng)入班即靜”細(xì)節(jié)決定成敗不是小李的，則否定小董的說法得出：小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是：小李.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.9、B【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況，即可得解.【詳解】fx,00,，fxx1sinxx1sinxfx， xx xxfxy軸對(duì)稱，排除C，D.又f

6sin

2360

f

sin

2

0，6

6

6

2

2

2 2 fx在A.B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.10、D【解析】yfxxf10，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)m的值，并對(duì)m的值進(jìn).【詳解】fxx2mcosxm2m8，則f1x1x2mcos1xm2m8x2mcosxm2m8，f1x1x2mcos1xm2m8x2mcosxm2m8，f1xf1xyfxx對(duì)稱.yfxx.f10，即m22m80m4或2.①當(dāng)m4fxx24cosx404cosx4x2y4cosx與函數(shù)y4x2的圖象如下圖所示：此時(shí)，函數(shù)y4cosx與函數(shù)y4x2的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)m2時(shí)，cosx1，fxx22cosx20，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立，則函數(shù)yfx有且只有一個(gè)零點(diǎn).m2故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，考查函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出f10.11、D【解析】 先通過 f(x) f(x) 0得到原函數(shù)g x 為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即.3 3【詳解】構(gòu)造函數(shù)gxx3fx，3g'x

x2

x

x3f'x3

x x2 f'

fxx由題可知3

f(xf(x)0gx

x3fx在x0時(shí)為增函數(shù)；3x3由為奇函數(shù)，fxgxx3fx為偶函數(shù)；x33x3f(x)(12x)3f(12x)0x3f(x)(12x)3f(12x)即gxg12x又gx為開口向上的偶函數(shù)所以|x2x|x1x13故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題目.12、A【解析】將z 整理成abi的形式，得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn)，從而可選出所在象.【詳解】z(2i)(1i)2i21z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)是誤把i2當(dāng)成1進(jìn)行計(jì)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。113、3【解析】z2x3yy

22zxz，平移直線y x ，數(shù)形結(jié)合可求z的最大值.22z【詳解】作出可行域如圖所示

3 3 3 3z2x3yy2xz，則zy軸上的截距.3 3 3y2xzMzz最大.3 3 3x12xy1

3 M1,1 解方程組 ，得 x y 0

1， 3 3. y 3z 21311.33 3max 33 31故答案為：.3【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.14、38【解析】分跑出優(yōu)秀的人為：甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【詳解】221111；其二是只有甲、丙 43 2 4423 211123

1 1211

1,三種情 4 12；其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率

2 4 24313

11

.23.4 12 24 8 8故答案為：38【點(diǎn)睛】15、【解析】由不等式恒成立問題采用分離變量最值法：a

1對(duì)任意的x[0,1]a1a12

2x

1在x0,x1

0，xx1

2xa11恒成立，即a10，所以a1，從而可得a .a1

a 1 2【詳解】h(x)a2x1是定義在[0,1]G函數(shù)，x[0,1]h(x)0，a1x[0,1]恒成立，2x10，x20，xx1 210，x20，xx1 21時(shí)，又因?yàn)閤hx1

xhx2

hx2

成立，即hxxhxh

a2xxa2xa2x121 2 1 22

1 2 1 11a21

2x

11a0恒成立，即a12

2x

1恒成立，a1又此時(shí)21

122x2

21的最小值為0，即a10恒成立，a又因?yàn)閍1a1.故答案為：【點(diǎn)睛】本題是一道函數(shù)新定義題目，考查了不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查了學(xué)生分析理解能力，屬于中檔題.716、2【解析】

ACDC

//平面EFG.因?yàn)橹本€DP//平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)1 1 1 1DPAC時(shí).線段DP的長(zhǎng)度最小，再求此時(shí)的DP得解.1 1 1【詳解】如圖，連接D1

AC,DC，1E，F(xiàn)，GAB，BCC

的中點(diǎn)，1 1AC//EFEFACD，1EF//ACD1

.因?yàn)镋G//AD，1EG//ACD1

EF

EGE.所以平面ACD1

//平面EFG.DP//EFGPAC上.122 22

22 7在△ACD中，AD 2,AC2,CD

2,S

2 22 ，1 1

2 777故當(dāng)DPAC時(shí)線段DP的長(zhǎng)度最小，最小值為2 .71 1 12 227故答案為：72【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3 5三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。3 517（1）10

）證明見解析，P(0,1)或P(2,0)【解析】（）根據(jù)點(diǎn)到直線的公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出（）)設(shè)(x1

，y)，B(x1

y，表示出直線PAPB的2【詳解】

xx0 1

，即可求定點(diǎn)P的坐標(biāo)．設(shè)拋物線

t2上點(diǎn)的坐標(biāo)為(t, )，4d

|tt2525

2

5 (t24)5

35，t1時(shí)取等號(hào)，10 103 5則拋物線C上的點(diǎn)到直線l距離的最小值 ；3 510A(x1

，y)，B(x1

，y)，2y14

x2，y1x，2PAPByy

x1(xxx

)，yy

x2(xx)，1 2 1

2 2 2Px

x22x

x4y

0xx

2x

，xx

4y，1 2yy

0 0xx

1 2 0 12 0直線AB的方程為yy 2

1(xx

)，yy 1

2(xx)，1 xx 12 1

1 4 1xx xx xx x1y 1 2(1x)1 1 2 121 0

0，1 4 1

4 4 2 0AQB共線．x13(1x)，1 2x43x，1 2x3x21 0x2x ，2 0xx2x412 0解x 0，x 2，0 0P(x0

y是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，0x0y0

1，x0

2y0

0，P(0,1)，或P(2,0)．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力．318、(1)(2)33【解析】

ACF

//DF

//平面ACD．1 1 1 1 1以CCAxCByCC1

的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz．分別求出平面ACD的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角DACE的余1 1 1弦值．【詳解】證明：證明：連接AC1

ACF，1FACDAB的中點(diǎn)，1DFBC1

//DF．DFACDBC

平面ACD，BC212

1 1 1//平面ACD．1（2）AA1

ACCB

AB222

AB2AC2BC2AB2所以ACBCABCAB

直棱柱，所以以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA、CB、CC

xy軸、z軸，建立空間直1 1 1 1C、A

2,0, 2、D 2

2 2角坐標(biāo)系，則1

2 2

,0、E0, 2,

2 ， 2 2 2CA1

2,0, 2 ,CD , ,0,CE0, 2, 2 2 2 2 ACD的法向量為nx,yz，則nCD0nCA0yxzx1ACD的1 1 1一個(gè)法向量為n1,1,1，同理可得平面ACE的一個(gè)法向量為m2,1,2，1則cosn,m 33所以二面角DACE的余弦值為3.1 3【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．19（Ⅰ）an

2n，nN*（Ⅱ）見解析【解析】（Ⅰ）由a1

22aa1 3

,3a2

成等差數(shù)列，可求得q，從而可得本題答案；（Ⅱ）化簡(jiǎn)求得bn【詳解】

1，然后求得S ，再用裂項(xiàng)相消法求n

，即可得到本題答案.（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列N

2qq0，n 12aa1

,3a2

成等差數(shù)列，2a3

2a13a2

，即22q2432q，1q

2或q （舍去，則a2

aqn11

2n，nN*；（Ⅱ）bn

loga2

log2n2

n，S 1n(n1)，1

2 21 1 ，n 2 Sn

n(n1) n n1 則T11

12(11111 1 )2(1 1 )，n S S S1 2 3

S 2 2 3 n n1 n1n因?yàn)? 1 1，所以121

1 2n1 2

n1即1Tn

2.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及用裂項(xiàng)相消法求和并證明不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理證明能力.20、(1)證明見解析；(2)60°.【解析】PDPDABEDAB,ABPDEABPE；法一：結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角，計(jì)算可得其正切值為3APBE大小為60； 法二：以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面PBE的法向量n1

3,2, 3PAB的法向量為n0,1,0APBE大小為60.2試題解析：PD，

PD AB． DE//BC，BC AB，DE AB．又∴AB

PDDED，AB PDE，PEPE．PAB

PAB

平面平面ABC．DE

PD,ED

AB，PD

平面AB=D，DE 平面PAB,過D做DF垂直PB與F，連接EF，則EF 為所求二面角的平面角，3則，DF=2

3，則tanDFE2

3APBE大小為60法二：平面PAB 平面平面PAB 平面平面如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，3B(1，0，0)，P(0，0， )，E(0，23

，0)，PB=(，， 3，PE=(，2， 3．設(shè)平面PBE的法向量n．1．

x,y,z，x 3z0,32y 3z

令z 3，得

31DEPAB的法向量為n12

0,1,0．

nn 1設(shè)二面角的APBE大小為，由圖知，cosn,n

1 2 ，所以60APBE大小為60.

1 2 nn 21 221（1）a

1（2）證明見解析n【解析】

2n11an

2an1

1，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式；1 3

2 1 11 當(dāng)n2時(shí)，由a

，可求

，n3時(shí)，由a

，可證S nN*

，驗(yàn)證n1,2n 2n

2

n n

2n1 n 6時(shí)，不等式也成立，即可得證.【詳解】a 1 2n由a n

n12an1

(n2)可得，an

an1

1，即112 1 1，(