人教版八年級數學上期中重難點綜合復習

第1講期中專題(一)一、作線段相等構造全等三角形?例1已知，在△ABC中，AD為高，且AB+CD=AC+BD?求證：AB=AC.分析：由AB+CD=AC+BD，把和相等的兩條線段移到一起，構造全等三角形。證明：點評：作線段相等構造三角形全等，是構造全等三角形的常用方法，應結合具體的條件、結論和圖形來實施。本例是緊扣兩組線段的和相等構造全等三角形.?例2如圖A(a,0)、B(0,b)，且Pa-b+|b+4|=0.(1)求A、B點的坐標；若P為x軸的正半軸上一動點，C為B點關于x軸的對稱點，PD丄PC交直線AB于點D,求證：PD=PC；若點Q為B點下方的一動點，M為AB的延長線上一點，且AQ=MQ,過M點作MN丄y軸于N,問：當Q點運動時，QN的長度是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由。分析：(1)由非負數性質得a二b=-4,⑵B、C關于x軸對稱，所以x軸垂直平分BC,連AC、PB,證PD=PC,轉化為證PD=PB,證ZPDB=ZPBD.(3)可證△MNQ^^QOA，所以QN=OA=4.點評：(1)算術平方根是一個非負數，由非負數的性質求出參數的值；

2)注意分析數據，結合觀察，捕捉圖形的特殊性3)全等意識，動中取靜.1、求證：有兩個角及周長對應相等的兩個三角形是全等三角形.(2)如圖②，在五邊形ABCDE中，AB=BC,N為BC延長線上一點，過N作ZANM=ZABC=ZBCD，交ZBCD的外角平分線于M,試問AN=NM成立嗎？證明你的結論.AAB二．抓相等的兩直角邊構造全等三角形?例3如圖，等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,?例3如圖，等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,點A、B分別在坐標軸上.HEBPAGC■1圖①尹2-V.r如圖①，若C點橫坐標為5,求B點坐標;(2)如圖②，將△ABC擺放至x軸恰好平分ABAC,BC交x軸于點M,過C點作CD丄x軸于D點,CDAMCDAM的值;(3)如圖③，若點A坐標為(一4,0),分別以OB、AB為直角邊在第一、第二象限作等腰Rt^OBF與等腰Rt^ABE,連接EF交y軸于點P,當B點在y軸正半軸上移動時，下列兩個結論：①PB的長不變；②EF—EB的值不變，其中只有一個是正確的，請選擇，并求其值.分析：(1)C點的橫坐標為5,所以過C點作CGIy軸于G,得△BCG^^ABO,BO=CG=5由條件AD平分ABAC,分別延長AB、CD交于H,得△ABM^^CBH,AM=CH=2CD由條件容易想到由等腰RtMBE構造全等，即過E作EQ丄y軸于Q,得ABEQ11^△ABO,EQ//BF,EQ=BF，于是△PEQ^^PFB,PB=PQ=-BQ=-AO=2點評：本例中的(1)、(2)、(3)問題都是抓住等腰直角三角形的兩條直角邊

依托直角坐標系中的直角，構造全等三角形，為解決問題奠定了基礎。

3?如圖，RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC，直線MN過點C,AD丄MN于點D,BE丄MN于點E.(1)如圖①所示時，請直接寫出DE與AD、BE的數量關系；(2)當MN繞點C旋轉，使MN與AB交于P，其他條件不變，在圖②中完成圖形，請問DE與AD、BE之間有何數量關系？證明你的結論。4?如圖，等腰△ABC中，ZACB=90°，D為AC上一點，E為BC外一點，DE=BE，且DE丄BE，連CE，求證：CE//AB.

三、倍長中線構造全等三角形?例4如圖①，已知等腰Rt^ABC和等腰Rt^CDE,ZACB=ZDCE=90°CNIBE交AD于M,垂足為N.求證：AM=DM將ACDE繞C點旋轉至圖②，問(1)中的結論是否仍成立？證明你的結論分析：(1)轉化為證Z1=Z2,而Z2=Z3，應證Z1=Z3,由CN為Rt^BCE斜邊上的高得證(2)猜想結論成立，類比中線的處理方式一一“倍長中線”，為證全等方便，變通為做AF^CD交CM的延長線于F，證△ACF^MBE.證明：點評：(1)遇有三角形中線的條件時，常用的處理方式是延長中線一倍(簡稱為“倍長中線)構造全等三角形；(2)遇有相關證線段中點(證中線)問題時，往往類比“倍長中線“的方法構造全等，由于是要證中點，所以形式上變通為作平行線。本例便是如此。5.以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰Rt^ABD和等腰Rt^ACE,M是BC的中點，連結AM和DE.如圖①，△ABC中，當AB=AC時，直接寫出AM與ED的關系；如圖②，△ABC中，當ZBAC=90。時，直接寫出AM與ED的關系；如圖③‘AABC為一般三角形時，猜想AM與ED的關系，并證明你的猜想；如圖④，若以△ABC的邊AB.AC為直角邊，向內作等腰RtAABE和AACD,其他條件不變，試探究AM與DE之間的關系？并證明你的結論.DDEECADBB8fiEC耳②1半軸上，0C平分ZACB.DDEECADBB8fiEC耳②1(1)求A點坐標;(2)如圖①，AQ在ZCAB內部，P是AQ上一點，滿足ZACB=ZAQB,AP=BQ.試判斷ACPQ的形狀，并予以證明；⑶如圖②，BD丄BC交y軸負半軸于D，ZBDO=60°，F為線段AC上一動點，E在CB延長線上，滿足ZCFD+ZE=180°當F在AC上移動時，結論：①CE+CF值不變；②CE—CF值不變.其中只有一個結論正確，請選擇出正確結論并求其值.分析：(1)由厶AOC^ABOC得AO=BO=2,A(—2，0)⑵由△ACP今ABCQ得CP=CQ(3)由BD丄BC，ZBDO=60°，可證得等邊△ABC.由角平分線和DB丄BC的條件，運用對稱性知DA丄AC，國②連結DA，加上條件ZCFD+ZE=180°，可證得△ADF9ABDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.

國②點評：(1)當遇有角平分線條件時，可考慮如下兩種幾何變換：一種對稱變換(向角的兩邊作垂線或是截取線段等于邊長)；二是旋轉變換，即將一個三角形繞角平分線上一點旋轉一個角度，構造出一個等腰三角形。(2)本例中運用“旋轉法”的思路是：延長CE至G,使EG=CF,，連結DG.可證△DEG竺4DFC，得等腰ACDG及其底邊上的高BD,于是CE+CF=2CB=2AB=8.7?如圖，在平面直角坐標系中，B(0,1),C(0,—1),D為x軸正半軸上一點，A為第一象限內一動點，且ZBAC=2ZBDO,DM丄AC于M.求證：ZABD=ZACD;若點E在BA延長線上，求證：AD平分ZCAE;ACAB當A點運動時，的值是否發(fā)生變化？AM若不變，求其值；若變化，請說明理由。以AP為腰在△以AP為腰在△ABC外C第2講期中專題（二）一、樹立全等的意識育觀念?例1已知A(x,0),B(0,y)，且已知Jx+y-8+Jx-y=0，點C為AB的中點,點F在OA上，點E在y軸的負半軸上，OE+AF=EF，求ZECF的大小.解：點評：（1）此題是一個常規(guī)題的變式題。（2）將線段的和差問題轉換為線斷相等問題。?例2如圖，等腰RtAABC中，ZB=90。，點P在直線BC上,側作等腰Rt^APQ（ZP4Q=90°），連PQ交AB于N,連CQ交AB于M.（1）如圖①，當P點在邊BC上，且CP=2BP時，求BCM的值;BM（2）若P點在CB的延長線上，且CP=nBP,M、N分別在AB邊和AB邊的延長線上，AM在圖②中畫出圖形，并求的值.BM分析：（1）由條件和圖形特征構造全等，過Q做QD丄AB于D,可證△ADQ^^PBA,△DQM^ABCM,CP可求出的值；BM（2）類比（1）作QE丄AB交BA的延長線于E,AM可證△AEQ^APBA,△QEM^^CBM，設參變換后，可求出-BM的值.解：點評：（1）要樹立通過證明三角形全等去解決幾何問題的意識與觀念，一是要從圖形和條件中去找三角形全等；二是注意由條件去構造全等三角形。）本例是抓等腰直角三角形的直角邊相等去構造全等三角形。練習1.如圖，AAOB等腰直角三角形，OA=AB,C為OB上一動點，以AC為直角邊作等腰RtAACD,ZACD=90°,連接OD,求ZAOD的度數.二、逐步提高探究問題的能力?例3如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC=0,D為△ABC外角平分線上一點.（1）當ZADE=0=60。時（如圖①），請直接寫出ZAED的度數；（2）當0=100°，ZADE=40。時，（如圖②），求ZAED的度數；（3）當ZADE=900—20時，直接寫出ZAED的度數.分析：（1）0=60。時，等腰AABC為等邊三角形，可以猜想/AED二60°?？珊唵嗡伎既缦拢河蒁C平分/ACE的條件，過D作DM丄CE于M,DN丄AC于N,得DM二DN.由題可得四邊形ACED的對角互補，于是得到ADEM◎△DAN,因而△ADE是等邊三角形，猜想成立。⑵與（1）的條件比較，6和/ADE的度數變化了，本質一一四邊形ACED的對角互補的條件未變，仿（1）證等腰△ADE,得/AED二70°解AEB'圖①圏②(3)當ZADE(2解AEB'圖①圏②(3)當ZADE(2)得“145o+04二9O0—0時，zACE2ZAED=二9Oo+10，所以2ADE+ZACE二180°，仿練習練習練習練習點評：（1）由特殊到一般，是探究性問題的特征，有時需要借助猜想與合情推理；（2）學會從變化的條件中，把握住條件的本質（如本例中，總有四邊形ACED的對角互補），這樣才不會被變化的條件所誘惑，而迷失方向；（3）本例還可以運用“翻折法”和“旋轉法”證DA二DE.練習3、AABC中，ZBAC=練習3、AABC中，ZBAC=60°，以BC為邊在△ABC的同側作等邊ADBC,BD、AC相交于E,連接AD.AC（1）如圖①，若訂AB=2,求證：△ABC^^ADC;AC⑵如圖②’若喬=3,AB求ID的值.4、如圖，等腰Rt^ABC和等腰Rt^DCEBE(1)如圖①，當D點在AB上時，直接寫出的值和ZCBE的度數；AD當把ADEC繞C點旋轉到如圖②所示的位置(D點在BC上),連AD并延長BE交于BEF,連接FC,直接寫出的值和ZCFE的度數；AD把ADEC繞C點旋轉到如圖③所示位置時，請求出ZCFE的度數.EF￡DAF.圖①圉②圖⑧EF￡DAF.圖①圉②圖⑧三、綜合性問題的解答?例4如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(0,a),b(b,0),且a,b滿足(a+6)2+x；a-b=04)求A、B兩點的坐標；(5)如圖①，ZGBM=90°,ZMBO=30°,BM、BG分別交y軸的正負半軸于M、1G兩點，作NA〃x軸交BG于N點，求證：OA—NA=-BN;(6)如圖②，若點C是線段OB上一動點(不與0、B重合)，連接AC,作CD丄AC于C,且CD=AC.直線BD和CD分別交y軸于P、Q,當C點運動時，試問ZDQA—ZPDQ的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，說明理由。分析：(1)由非負數的性質得a=-6,b=-6；11⑵先構造-BN,過N做NT丄OB于T,則BT=-BN,NT=OA=OB,可證△NBT合4MBO,得BT=OM,另一方面，在AO上截取AH二AN，可證△ABN^^ABH,得BN=BH,進而可證厶BOH^^BOM，得證；3)由AC=CD和CD丄AC構造全等，過D作DEIx軸于E,可證△CDE^^ACO,進行線段代換后得等腰Rt"DE,等腰Rt"BO,于是，/DQA—/PDA=/BPO=45°點評：(1)注意識別非負數并運用非負數性質解題；(2)樹立全等意識和構造全等是解決相關問題的關鍵所在；(3)在直角坐標系中，抓住互相垂直且相等