高二下學期期末考試數學試卷與答案解析(共四套)

高二下學期期末考試數學試卷（一）注意事項：1．本試卷共22題。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。2．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知各項為正數的等比數列{an}中，a2＝1，a4a6＝64，則公比q＝（）A．4 B．3 C．2 D．2.從4種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，不同的送法共有（）A．4種 B．12種 C．24種 D．64種3.直線與曲線相切，則b的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．14.若函數f（x）＝alnx﹣x2+5x在（1，3）內無極值點，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣，3） B．（﹣∞，﹣）C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）5.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3，4，5}，從集合A中任取3個不同的元素，其中最小的元素用a表示，從集合B中任取3個不同的元素，其中最大的元素用b表示，記X＝b﹣a，則隨機變量X的期望為（）A． B． C．3 D．46.在二項式（x﹣2y）6的展開式中，設二項式系數和為A，各項系數和為B，x的奇次冪項的系數和為C，則＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．7.已知x與y之間的幾組數據如表：x1234y1mn4如表數據中y的平均值為2.5，若某同學對m賦了三個值分別為1.5，2，2.5，得到三條線性回歸直線方程分別為y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，對應的相關系數分別為r1，r2，r3，下列結論中錯誤的是（）參考公式：線性回歸方程y＝中，其中，．相關系數r＝．A．三條回歸直線有共同交點B．相關系數中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a28.已知數列{an}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一項是，接下來的22﹣1項是，，再接下來的23﹣1項是，，，，，，，依此類推．）的前n項和為Sn，下列判斷：①是{an}的第2036項；②存在常數M，使得Sn＜M恒成立；③S2036＝1018；④滿足不等式Sn＞1019的正整數n的最小值是2100．其中正確的序號是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對得分，錯選或漏選不得分。9.已知數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，滿足a1+3a2＝S6，則下列四個選項中正確的有（）A．a7＝0 B．S13＝0 C．S7最小 D．S5＝S8．10.現有3個男生4個女生，若從中選取3個學生，則（）A．選取的3個學生都是女生的不同選法共有4種B．選取的3個學生恰有1個女生的不同選法共有24種C．選取的3個學生至少有1個女生的不同選法共有34種D．選取的3個學生至多有1個男生的不同選法共有18種11.如圖所示，5個（x，y）數據，去掉D（3，10）后，下列說法正確的是（）A．相關系數r變大B．殘差平方和變大C．相關指數R2變小D．解釋變量x與預報變量y的相關性變強12.已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），導函數為f′（x），xf′（x）﹣f（x）＝xlnx，且，則（）A．f′（）＝0B．f（x）在處取得極大值C．0＜f（1）＜1D．f（x）在（0，+∞）單調遞增三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.函數f（x）＝（2x﹣x2）ex取得極小值時的x值為．14.已知（x﹣）（1﹣x）4的展開式中x2的系數為4，則a＝，（x﹣）（1﹣x）4的展開式中的常數項為．15.用數學歸納法證明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n?1?3?5…（2n﹣1）（n∈N*）時，從n＝k到n＝k+1時左邊需增乘的代數式是．16.已知一袋中有標有號碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當四種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取6次卡片時停止的概率為．四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。考生根據要求作答。17.已知F（x）＝t（t﹣4）dt，x∈（﹣1，+∞）．（1）求F（x）的單調區(qū)間；（2）求函數F（x）在[1，5]上的最值．18.某校寒假行政值班安排，要求每天安排一名行政人員值日，現從包含甲、乙兩人的七名行政人員中選四人負責四天的輪班值日，在下列條件下，各有多少種不同的安排方法？（1）甲、乙兩人都被選中，且安排在前兩天值日；（2）甲、乙兩人只有一人被選中，且不能安排在后兩天值日．19.已知的展開式中第2項與第3項的二項式系數之比是1：3．（1）求n的值；（2）求二項展開式中各項二項式系數和以及各項系數和；（3）求展開式中系數的絕對值最大的項．20.近年來，隨著全球石油資源緊張、大氣污染日益嚴重和電池技術的提高，電動汽車已被世界公認為21世紀汽車工業(yè)改造和發(fā)展的主要方向．為了降低對大氣的污染和能源的消耗，某品牌汽車制造商研發(fā)了兩款電動汽車車型A和車型B，并在黃金周期間同時投放市場．為了了解這兩款車型在黃金周的銷售情況，制造商隨機調查了5家汽車4S店的銷量（單位：臺），得到如表：4S店甲乙丙丁戊車型A661381l車型B1291364（Ⅰ）若從甲、乙兩家4S店銷售出的電動汽車中分別各自隨機抽取1臺電動汽車作滿意度調查，求抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型A的概率；（Ⅱ）現從這5家汽車4S店中任選3家舉行促銷活動，用X表示其中車型A銷量超過車型B銷量的4S店的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望．21.國家實施二孩放開政策后，為了了解人們對此政策持支持態(tài)度是否與年齡有關，計生部門將已婚且育有一孩的居民分成中老年組（45歲以上，含45歲）和中青年組（45歲以下，不含45歲）兩個組別，每組各隨機調查了100人，對各組中持支持態(tài)度和不支持態(tài)度的人所占的頻率繪制成等高條形圖，如圖所示：（Ⅰ）根據已知條件，完成2×2列聯表支持不支持合計中老年組100中青年組100合計200（Ⅱ）是否有99.9%的把握認為人們對此政策持支持態(tài)度與年齡有關？P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828附：K2＝22.已知數列{an}滿足a1+a3＝12，a2＝6，為與的等差中項．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}滿足b2n﹣1＝2Sn﹣an﹣1，b2n+b2n﹣1＝an（an+2），求證：+…+（n≥2）．答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知各項為正數的等比數列{an}中，a2＝1，a4a6＝64，則公比q＝（）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】利用等比數列的通項公式列方程組，能求出公比．【解答】解：∵各項為正數的等比數列{an}中，a2＝1，a4a6＝64，∴，且q＞0，解得＝，q＝2，∴公比q＝2．故選：C．【知識點】等比數列的性質2.從4種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，不同的送法共有（）A．4種 B．12種 C．24種 D．64種【答案】C【分析】分析易得，這是一個排列問題，由排列公式計算可得答案；【解答】解：根據題意，這是一個排列問題，故從4種不同的書中買3本送給3名同學，每人各1本，不同的送法共有A43＝4×3×2＝24種．故選：C．【知識點】計數原理的應用3.直線與曲線相切，則b的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C． D．1【答案】B【分析】先設出切點坐標，根據導數的幾何意義求出在切點處的導數，從而求出切點橫坐標，再根據切點既在直線的圖象上又在曲線上，即可求出b的值．【解答】解：設切點坐標為（m，n）y′|x＝m＝﹣＝解得m＝1∵切點（1，n）在曲線的圖象上，∴n＝﹣，∵切點（1，﹣）又在直線上，∴b＝﹣1．故選：B．【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程4.若函數f（x）＝alnx﹣x2+5x在（1，3）內無極值點，則實數a的取值范圍是（）A．（﹣，3） B．（﹣∞，﹣）C．[3，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）【答案】D【分析】求出函數的導數，題目轉化為導函數在（1，3）內無零點，構造函數，利用二次函數的性質求解函數的值域，借助函數的圖象，推出結果．【解答】解：函數f（x）＝alnx﹣x2+5x，f′（x）＝＝0，即a＝2x2﹣5x，在（1，3）內無解，設h（x）＝2x2﹣5x＝2（x﹣）2﹣，x∈（1，3），則h（x）min＝﹣，h（1）＝﹣3，h（3）＝3，由函數h（x）的圖象可知，實數a的取值范圍：（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）．故選：D．【知識點】利用導數研究函數的極值5.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3，4，5}，從集合A中任取3個不同的元素，其中最小的元素用a表示，從集合B中任取3個不同的元素，其中最大的元素用b表示，記X＝b﹣a，則隨機變量X的期望為（）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】根據題意，確定集合A和集合B的可能集合，以及a和b的取值，確定X＝b﹣a的取值為1，2，3，4，分別求出X取不同值時的概率，列出隨機變量X的分布列，根據期望的運算公式代入數值求解即可．【解答】解：根據題意，從集合A中任取3個不同的元素，則集合A有4種可能，分別為：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，其中最小的元素a取值分別為：1，2．從集合B中任取3個不同的元素，則集合B有10種可能，分別為：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，其中最大的元素b取值分別為：3，4，5．∵X＝b﹣a，則X的取值為：1，2，3，4．P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝＝；P（X＝3）＝＝＝；P（X＝4）＝＝＝．隨機變量X的分布列如下：X1234PE（X）＝1×+2×+3×+4×＝．故選：A．【知識點】離散型隨機變量的期望與方差6.在二項式（x﹣2y）6的展開式中，設二項式系數和為A，各項系數和為B，x的奇次冪項的系數和為C，則＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．【答案】A【分析】根據二項式展開式中二項式系數和為2n可求得A，令x＝1，y＝1可得各項系數和B，令f（x）＝（x﹣2）6，x的奇次冪項的系數和為可求得C，計算可得的值．【解答】解：在二項式（x﹣2y）6的展開式中，二項式系數和A＝26＝64，令x＝y(tǒng)＝1，得各項系數和B＝（﹣1）6＝1，令f（x）＝（x﹣2）6，得x的奇次冪項的系數和C＝＝＝﹣364，所以＝﹣＝﹣．故選：A．【知識點】二項式定理7.已知x與y之間的幾組數據如表：x1234y1mn4如表數據中y的平均值為2.5，若某同學對m賦了三個值分別為1.5，2，2.5，得到三條線性回歸直線方程分別為y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，對應的相關系數分別為r1，r2，r3，下列結論中錯誤的是（）參考公式：線性回歸方程y＝中，其中，．相關系數r＝．A．三條回歸直線有共同交點B．相關系數中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a2【答案】D【分析】由題意可得m+n＝5，分別取m與n的值，得到b1，a1，b2，a2，r1，r2，r3的值，逐一分析四個選項得答案．【解答】解：由題意，1+m+n+4＝10，即m+n＝5．若m＝1.5，則n＝3.5，此時，．＝（1﹣2.5）（1﹣2.5）+（2﹣2.5）（1.5﹣2.5）+（3﹣2.5）（3.5﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝5.5，＝（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52＝5，＝（﹣1.5）2+（﹣1）2+12+1.52＝6.5．則，a1＝2.5﹣1.1×2.5＝﹣0.25，；若m＝2，則n＝3，此時，．＝（1﹣2.5）（1﹣2.5）+（2﹣2.5）（2﹣2.5）+（3﹣2.5）（3﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝5，＝5，＝（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52＝5．，a2＝2.5﹣1×2.5＝0，；若m＝2.5，則n＝2.5，此時，．＝（1﹣2.5）（1﹣2.5）+（2﹣2.5）（2.5﹣2.5）+（3﹣2.5）（2.5﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝4.5，＝5，＝（﹣1.5）2+1.52＝4.5，．由樣本點的中心相同，故A正確；由以上計算可得，相關系數中，r2最大，b1＞b2，a1＜a2，故B，C正確，D錯誤．故選：D．【知識點】線性回歸方程8.已知數列{an}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一項是，接下來的22﹣1項是，，再接下來的23﹣1項是，，，，，，，依此類推．）的前n項和為Sn，下列判斷：①是{an}的第2036項；②存在常數M，使得Sn＜M恒成立；③S2036＝1018；④滿足不等式Sn＞1019的正整數n的最小值是2100．其中正確的序號是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①是{an}的第k項，則k＝21﹣1+22﹣1+……+210﹣1，利用等比數列的求和公式求出即可判斷出結論．②由題意可得：分母為2k時，＝＝（k∈N*），可得：Sn單調遞增，且n→+∞時，Sn→+∞，即可判斷出結論．③由②可得：S2036＝++……+，利用等差數列的求和公式求出即可判斷出結論．④S2036＝1018，設S2036+＝1018+＞1019，解得k即可判斷出結論．【解答】解：①是{an}的第k項，則k＝21﹣1+22﹣1+……+210﹣1＝﹣10＝2036；②由題意可得：分母為2k時，＝＝（k∈N*），可得：Sn單調遞增，且n→+∞時，Sn→+∞，因此不存在常數M，使得Sn＜M恒成立，因此不正確；③由②可得：S2036＝++……+＝++……+＝＝1018，因此正確．④S2036＝1018，設S2036+＝1018+＞1019，則k（k+1）＞212，解得k＞64．∴滿足不等式Sn＞1019的正整數n的最小值＝2036+64＝2100，因此正確．其中正確的序號是①③④．故選：C．【知識點】數列的函數特性二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對得分，錯選或漏選不得分。9.已知數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，滿足a1+3a2＝S6，則下列四個選項中正確的有（）A．a7＝0 B．S13＝0 C．S7最小 D．S5＝S8．【答案】ABD【分析】根據題意，設等差數列{an}的公差為d，據此由等差數列的前n項和公式依次分析選項，綜合即可得答案．【解答】解：根據題意，設等差數列{an}的公差為d，對于A，若a1+3a2＝S6，即4a1+3d＝6a1+d，變形可得：a1+6d＝0，即a7＝0，故A正確；對于B，S13＝＝13a7＝0，B正確；對于C，S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，因此C不正確；對于D，S5﹣S8＝（5a1+d）﹣（8a1+d）＝﹣3a1﹣18d＝﹣3a7＝0，D正確．故選：ABD．【知識點】等差數列的前n項和10.現有3個男生4個女生，若從中選取3個學生，則（）A．選取的3個學生都是女生的不同選法共有4種B．選取的3個學生恰有1個女生的不同選法共有24種C．選取的3個學生至少有1個女生的不同選法共有34種D．選取的3個學生至多有1個男生的不同選法共有18種【答案】AC【分析】根據組合的定義和分步計數原理即可求出．【解答】解：選取的3個學生都是女生的不同的選法共有C43＝4，故A正確；恰有1個女生的不同選法共有C32C41＝12種，故B錯誤；至少有1個女生的不同選法共有C73﹣C33＝34種，故C正確；選取的3個學生至多有1個男生的不同選法共C31C42+C43＝22種，故D錯誤．故選：AC．【知識點】排列、組合及簡單計數問題11.如圖所示，5個（x，y）數據，去掉D（3，10）后，下列說法正確的是（）A．相關系數r變大B．殘差平方和變大C．相關指數R2變小D．解釋變量x與預報變量y的相關性變強【答案】AD【分析】由散點圖知，去掉離群點D后，x與y的相關性變強，且為正相關，由此判斷即可．【解答】解：由散點圖知，去掉離群點D后，x與y的相關性變強，且為正相關，所以相關系數r的值變大，相關指數R2的值變大，殘差平方和變小．故選：AD．【知識點】變量間的相關關系、相關系數12.已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），導函數為f′（x），xf′（x）﹣f（x）＝xlnx，且，則（）A．f′（）＝0B．f（x）在處取得極大值C．0＜f（1）＜1D．f（x）在（0，+∞）單調遞增【答案】ACD【分析】令g（x）＝，則g′（x）＝＝，設g（x）＝，得f（x）＝，結合f（）＝求得c，可得f（x）的解析式，求導后逐一核對四個選項得答案．【解答】解：令g（x）＝，則g′（x）＝＝，∴g（x）＝，即，則f（x）＝．又f（）＝，∴c＝．則f（x）＝．f′（x）＝＝≥0，則f′（）＝0，故A正確；f（x）在（0，+∞）單調遞增，故B錯誤，D正確；f（1）＝∈（0，1），故C正確．故選：ACD．【知識點】利用導數研究函數的單調性三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.函數f（x）＝（2x﹣x2）ex取得極小值時的x值為．【分析】求出函數的導數，令導數大于0，得增區(qū)間，令導數小于0，得減區(qū)間，再由極值的定義，即可得到所求．【解答】解：∵函數f（x）＝（2x﹣x2）ex，∴f′（x）＝（2﹣x2）ex＝ex（x）（），由f′（x）＜0，解得x＞或x＜；由f′（x）＞0，解得＜x＜．即有f（x）的單調減區(qū)間為（﹣∞，），（，+∞），單調遞增區(qū)間為（，），則有x＝處f（x）取得極大值，在x＝處f（x）取得極小值．故答案為：．【知識點】利用導數研究函數的極值14.已知（x﹣）（1﹣x）4的展開式中x2的系數為4，則a＝，（x﹣）（1﹣x）4的展開式中的常數項為．【答案】【第1空】2【第2空】8【分析】把（1﹣x）4按照二項式定理展開，可得（x﹣）（1﹣x）4的展開式中x2的系數和常數項．【解答】解：∵（x﹣）（1﹣x）4＝（x﹣）（﹣?x+?x2﹣?x3+?x4），故展開式中x2的系數為﹣4+a×＝4，則a＝2．常數項為﹣a×（﹣）＝4a＝8，故答案為：2；8．【知識點】二項式定理15.用數學歸納法證明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n?1?3?5…（2n﹣1）（n∈N*）時，從n＝k到n＝k+1時左邊需增乘的代數式是．【答案】4k+2【分析】從n＝k到n＝k+1時左邊需增乘的代數式是，化簡即可得出．【解答】解：用數學歸納法證明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n?1?3?5…（2n﹣1）（n∈N*）時，從n＝k到n＝k+1時左邊需增乘的代數式是＝2（2k+1）．故答案為：4k+2．【知識點】數學歸納法16.已知一袋中有標有號碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當四種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取6次卡片時停止的概率為．【分析】恰好取6次卡片時停止，說明前5次出現了3種號碼且前6次出現第四種號碼．分兩類，三種號碼出現的次數分別為3，1，1或者2，2，1．每類中可以分步完成，先確定三種號碼卡片出現順序為種，再分別確定這三種號碼卡片出現的位置（注意平均分組問題），最后讓第四種號碼卡片出現有一種方法，相乘可得，最后根據古典概型求概率即可．【解答】解：由分步計數原理知，每次從中取出一張，記下號碼后放回，進行6次一共有45種不同的取法．恰好取6次卡片時停止，說明前5次出現了3種號碼且第6次出現第4種號碼，三種號碼出現的次數分別為3，1，1或者2，2，1．三種號碼分別出現3，1，1且6次時停止的取法由，三種號碼分別出現2，2，1且6次時停止的取法由，由分步加法計數原理知恰好取6次卡片時停止，共有240+360＝600種取法，所以恰好取6次卡片時停止的概率為P＝，故答案為．【知識點】n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟?？忌鶕笞鞔稹?7.已知F（x）＝t（t﹣4）dt，x∈（﹣1，+∞）．（1）求F（x）的單調區(qū)間；（2）求函數F（x）在[1，5]上的最值．【分析】先由定積分的運算求得F（x）的解析式，（1）求導，令F′（x）＞0，可求得增區(qū)間，令F′（x）＜0，可求得減區(qū)間；（2）由（1）可得函數F（x）在[1，5]上的單調性，再比較在x＝1，x＝4及x＝5處的函數值大小，進而得到最值．【解答】解：＝．（1）F′（x）＝x2﹣4x＝x（x﹣4），由F′（x）＞0，得﹣1＜x＜0或x＞4；由F′（x）＜0，得0＜x＜4，所以F（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣1，0）和（4，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，4）．（2）由（1）知F（x）在[1，4]上遞減，在[4，5]上遞增，因為F（1）＝，F（4）＝﹣，F（5）＝﹣6，所以F（x）在[1，5]上的最大值為，最小值為﹣．【知識點】利用導數研究函數的單調性18.某校寒假行政值班安排，要求每天安排一名行政人員值日，現從包含甲、乙兩人的七名行政人員中選四人負責四天的輪班值日，在下列條件下，各有多少種不同的安排方法？（1）甲、乙兩人都被選中，且安排在前兩天值日；（2）甲、乙兩人只有一人被選中，且不能安排在后兩天值日．【分析】（1）根據題意，分2步進行分析：①甲、乙兩人安排在前兩天值日，②從剩下的五人中選兩人安排在后兩天排列值日，由分步計數原理計算可得答案；（2）根據題意，分2步進行分析：①從甲、乙兩人中選一人安排在前兩天中的一天值日，②從剩下的五人中選三人安排在剩余的三天值日，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：（1）根據題意，分2步進行分析：①甲、乙兩人安排在前兩天值日，有種排法，②從剩下的五人中選兩人安排在后兩天排列值日，有種排法．則排法種數為．（2）根據題意，分2步進行分析：①從甲、乙兩人中選一人安排在前兩天中的一天值日，有種排法．②從剩下的五人中選三人安排在剩余的三天值日，有種排法．則滿足條件的排法種數為．【知識點】排列、組合及簡單計數問題19.已知的展開式中第2項與第3項的二項式系數之比是1：3．（1）求n的值；（2）求二項展開式中各項二項式系數和以及各項系數和；（3）求展開式中系數的絕對值最大的項．【分析】（1）由：＝1：3，可解得n；（2）二項式系數和2n，令x＝1可得各項系數和；（3）通過列不等式組即可求展開式中系數的絕對值最大的項．【解答】解：（1）由題意得：＝1：3，即＝，解得n＝7；（2）二項展開式中各項二項式系數和為27＝128，令x＝1可得各項系數和為（3﹣2）7＝1；（3）展開式的通項公式為Tr+1＝，設展開式中系數的絕對值最大的項為Tr+1，則，解得≤r≤，∴r＝3，∴展開式中系數的絕對值最大的項為T4＝﹣22680．【知識點】二項式定理20.近年來，隨著全球石油資源緊張、大氣污染日益嚴重和電池技術的提高，電動汽車已被世界公認為21世紀汽車工業(yè)改造和發(fā)展的主要方向．為了降低對大氣的污染和能源的消耗，某品牌汽車制造商研發(fā)了兩款電動汽車車型A和車型B，并在黃金周期間同時投放市場．為了了解這兩款車型在黃金周的銷售情況，制造商隨機調查了5家汽車4S店的銷量（單位：臺），得到如表：4S店甲乙丙丁戊車型A661381l車型B1291364（Ⅰ）若從甲、乙兩家4S店銷售出的電動汽車中分別各自隨機抽取1臺電動汽車作滿意度調查，求抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型A的概率；（Ⅱ）現從這5家汽車4S店中任選3家舉行促銷活動，用X表示其中車型A銷量超過車型B銷量的4S店的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望．【分析】（Ⅰ）先根據古典概型依次求出從甲、乙4S店分別隨機抽取的1臺電動汽車是車型B的概率，然后依據獨立事件的概率和從對立事件的角度出發(fā)求解問題即可；（Ⅱ）由表可知，車型A銷量超過車型B銷量的4S店有2家，故X的可能取值為0，1，2，然后根據超幾何分布求概率的方法逐一求出每個X的取值所對應的概率即可得分布列，進而求得數學期望．【解答】解：（Ⅰ）設“從甲4S店隨機抽取的1臺電動汽車是車型B”為事件M1，“從乙4S店隨機抽取的1臺電動汽車是車型B”為事件M2，則，，且事件M1、M2相互獨立，設“抽取的2臺電動汽車中至少有1臺是車型A”為事件M，則．（Ⅱ）由表可知，車型A銷量超過車型B銷量的4S店有2家，故X的可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝．∴隨機變量X的分布列為X012P數學期望E（X）＝．【知識點】離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的期望與方差21.國家實施二孩放開政策后，為了了解人們對此政策持支持態(tài)度是否與年齡有關，計生部門將已婚且育有一孩的居民分成中老年組（45歲以上，含45歲）和中青年組（45歲以下，不含45歲）兩個組別，每組各隨機調查了100人，對各組中持支持態(tài)度和不支持態(tài)度的人所占的頻率繪制成等高條形圖，如圖所示：（Ⅰ）根據已知條件，完成2×2列聯表支持不支持合計中老年組100中青年組100合計200（Ⅱ）是否有99.9%的把握認為人們對此政策持支持態(tài)度與年齡有關？P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828附：K2＝【答案】【第1空】20【第2空】80【第3空】50【第4空】50【第5空】70【第6空】130【分析】（Ⅰ）利用已知條件直接完成2×2列聯表．（Ⅱ）求出K2的觀測值，則結論可求．【解答】解：（Ⅰ）由等高條形圖可知：中老年組中，持支持態(tài)度的有20人，持不支持態(tài)度的有80人；中青年組中，持支持態(tài)度的有50人，持不支持態(tài)度的有50人．故2×2列聯表為：支持不支持合計中老年組2080100中青年組5050100合計70130200（Ⅱ），所以，有99.9%的把握認為人們對此政策持支持態(tài)度支持與年齡有關．【知識點】獨立性檢驗22.已知數列{an}滿足a1+a3＝12，a2＝6，為與的等差中項．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}滿足b2n﹣1＝2Sn﹣an﹣1，b2n+b2n﹣1＝an（an+2），求證：+…+（n≥2）．【分析】（1）根據等差中項的概念得到數列{an}的奇數項和偶數項分別成公差為8的等差數列，再分奇偶分別求出數列{an}的通項公式，即可得到結果；（2）先根據等差數列的求和公式求出Sn，并根據題意求出數列{bn}的通項公式，再利用數學歸納法證明不等式即可．【解答】（1）解：∵為與的等差中項，∴＝+，整理得：an+2﹣an＝8，∴a3﹣a1＝8，又a1+a3＝12，可解得：a1＝2，∴數列{an}中所有的奇數項是以a1＝2為首項，公差為8的等差數列，∴a2n﹣1＝2+8（n﹣1）＝8n﹣6＝4（2n﹣1）﹣2，又∵a2＝6，∴數列{an}中所有的偶數項是以a2＝6為首項，公差為8的等差數列，∴a2n＝6+8（n﹣1）＝8n﹣2＝4×2n﹣2，綜上，an＝4n﹣2；（2）證明：由（1）可得：Sn＝＝2n2，∴b2n﹣1＝2Sn﹣an﹣1＝4n2﹣4n+1＝（2n﹣1）2，∴當n為奇數時，bn＝n2，又∵b2n+b2n﹣1＝an（an+2），∴b2n＝4n（2n﹣1）﹣b2n﹣1＝4n（2n﹣1）﹣（2n﹣1）2＝（2n）2﹣1，∴當n為偶數時，bn＝n2﹣1，∴bn＝，①當n＝2時，左邊＝1+＝，右邊＝，不等式成立；②假設當n＝k（k≥2）時，不等式成立，即++…+≥﹣，∵≥，∴當n＝k+1時，++…++≥﹣+，要證當n＝k+1時不等式成立，只需證﹣≥﹣即可，只需證≥﹣，只需證≥，只需證k+1≤k+2，這顯然成立，故當n＝k+1時不等式也成立，綜上，+…+（n≥2）．【知識點】等差數列的性質、數列遞推式高二下學期期末考試數學試卷（二）注意事項：1．本試卷共22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。2．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.等差數列{an}前n項和為Sn，a3+a4＝5，則S6＝（）A．15 B．20 C．25 D．302.（2x﹣）5的展開式中x3項的系數為（）A．80 B．﹣80 C．﹣40 D．483.設f（x）存在導函數且滿足＝﹣1，則曲線y＝f（x）上的點（1，f（1））處的切線的斜率為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24.《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢5.設x＝﹣是函數f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的極小值點，則f（x）的極大值為（）A．2 B．1 C． D．6.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動，現有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院A，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院A或醫(yī)院B，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有（）A．18種 B．20種 C．22種 D．24種7.2019年10月1日在慶祝中華人民共和國成立70周年大閱兵的徒步方隊中，被譽為“最強大腦”的院?？蒲蟹疥犼爢T分別由軍事科學院、國防大學、國防科技大學三所院校聯合抽組，已知軍事科學學院的甲、乙、丙三名同學被選上的概率分別為，，，這三名同學中至少有一名同學被選上的概率為（）A． B． C． D．8.某種商品的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應數據，根據表中提供的數據，得出y與x的線性回歸方程為，則表中的m的值為（）x24568y3040m5070A．45 B．50 C．55 D．60二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對得分，錯選或漏選不得分。9.對于二項式，以下判斷正確的有（）A．存在n∈N*，展開式中有常數項B．對任意n∈N*，展開式中沒有常數項C．對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項D．存在n∈N*，展開式中有x的一次項10.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（）A．B．C．事件B與事件A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件11.設等比數列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1＞1，且a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，下列結論正確的是（）A．S2020＜S2021B．a2020a2022﹣1＜0C．數列{Tn}無最大值D．T2020是數列{Tn}中的最大值12.如果函數y＝f（x）的導函數y＝f'（x）的圖象如圖所示，則以下關于函數y＝f（x）的判斷正確的是（）A．在區(qū)間（2，4）內單調遞減B．在區(qū)間（2，3）內單調遞增C．x＝﹣3是極小值點D．x＝4是極大值點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.某幼兒園的2名老師帶著5名學生排隊過馬路，要求前后必須各有一名老師監(jiān)護，則不同的排法共種．14.2019年10月22日，聯合國教科文組織公布2019年度聯合國教科文組織﹣赤道幾內亞國際生命科學研究獎獲獎名單，共3人獲獎，其中包括來自中國的屠呦呦．中國中醫(yī)科學院教授、2015年諾貝爾生理學或醫(yī)學獎獲得者屠呦呦發(fā)現的全新抗瘧疾藥物青蒿素在20世紀80年代治愈了許多中國病人．某科研機構為了了解某種在研制的藥品的指標數據y與百分比濃度p之間的關系，隨機統(tǒng)計了某5次實驗的相關數據，并制作了對照表如表：百分比濃度p610141822指標數據y62m442814由表中數據求得回歸直線方程為＝﹣3p+82.2，則m＝．15.對一個物理量做n次測量，并以測量結果的平均值作為該物理量的最后結果．已知最后結果的誤差εn～N（0，），為使誤差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，至少要測量次．（若X～N（μ，σ2），則P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545）．16.定義max{a，b}＝且f（x）＝﹣2e，g（x）＝，令h（x）＝max{f（x），g（x）}，則h（x）的極大值為，單調遞增區(qū)間為．四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟?？忌鶕笞鞔?。17.Sn為等比數列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0．（1）求an及Sn；（2）是否存在常數λ，使得數列{Sn+λ}是等比數列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．18.已知數列{an}的前n項和為，數列{bn}滿足bn＝log2an．（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；（2）求Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2．19.為了貫徹落實黨中央對新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，堅決防范疫情向校園蔓延，切實保障廣大師生身體健康和生命的安全，教育主管部門決定通過電視頻道、網絡平臺等多種方式實施線上教育教學工作．某教育機構為了了解人們對其數學網課授課方式的滿意度，從經濟不發(fā)達的A城市和經濟發(fā)達的B城市分別隨機調查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：若評分不低于80分，則認為該用戶對此教育機構授課方式“認可”，否則認為該用戶對此教育機構授課方式“不認可”．（Ⅰ）請根據此樣本完成下列2×2列聯表，并據此列聯表分析，能否有95%的把握認為城市經濟狀況與該市的用戶認可該教育機構授課方式有關？認可不認可合計A城市B城市合計（Ⅱ）以該樣本中A，B城市的用戶對此教育機構授課方式“認可”的頻率分別作為A，B城市用戶對此教育機構授課方式“認可”的概率．現從A城市和B城市的所有用戶中分別隨機抽取2個用戶，用X表示這4個用戶中對此教育機構授課方式“認可”的用戶個數，求x的分布列．參考公式：，其中n＝a+b+c+d．參考數據：P（K2≥K）0.100.050.025k2.7063.8415.02420.某中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校300名高三學生平均每天體育鍛煉的時間（單位：分鐘）進行調查，得到頻率分布直方圖如圖．將日均體育鍛煉時間在[40，60）的學生評價為“鍛煉達標”．（1）根據頻率分布直方圖，完成下面的2×2列聯表；鍛煉達標鍛煉不達標合計身體素質合格身體素質不合格50120合計300（2）根據列聯表判斷，是否有99.9%的把握認為學生“身體素質”與“鍛煉時間”有關？參考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．臨界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82821.在集合A＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）元素構成集合Am．若Am的所有元素之和為偶數，則稱Am為A的偶子集，其個數記為f（m）；若Am的所有元素之和為奇數，則稱Am為A的奇子集，其個數記為g（m）．令F（m）＝f（m）﹣g（m）．（1）當n＝2時，求F（1），F（2）的值；（2）求F（m）．22.已知函數f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）當a＝﹣1時，判斷函數的單調性；（2）討論f（x）零點的個數．答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.等差數列{an}前n項和為Sn，a3+a4＝5，則S6＝（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】A【分析】由等差數列的性質易得a3+a4＝a1+a6＝5，而S6＝3（a1+a6），代入可得答案．【解答】解：由題意可得a3+a4＝a1+a6＝5，故S6＝3（a1+a6）＝15故選：A．【知識點】等差數列的性質2.（2x﹣）5的展開式中x3項的系數為（）A．80 B．﹣80 C．﹣40 D．48【答案】B【分析】利用通項公式即可得出．【解答】解：通項公式Tr+1＝＝（﹣1）r?25﹣rx5﹣2r，令5﹣2r＝3，解得r＝1．∴展開式中x3項的系數＝＝﹣80．故選：B．【知識點】二項式定理3.設f（x）存在導函數且滿足＝﹣1，則曲線y＝f（x）上的點（1，f（1））處的切線的斜率為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【答案】A【分析】根據極限的運算法則的應用，曲線在某處切線斜率的意義即可求出．【解答】解：y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）＝＝﹣1，故選：A．【知識點】變化的快慢與變化率、導數及其幾何意義4.《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢【答案】B【分析】依題意設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由題意求得a＝﹣6d，結合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5求得a＝1，則答案可求．【解答】解：依題意設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，則由題意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，則a﹣2d＝a﹣2×＝．故選：B．【知識點】等差數列的通項公式5.設x＝﹣是函數f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的極小值點，則f（x）的極大值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】求函數的導函數，利用極小值點求出a的值，再確定出函數的解析式，從而確定函數的極大值．【解答】解：函數f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x，定義域是：{x|x＞﹣2}f′（x）＝﹣2ax﹣3a2因為x＝﹣是函數f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的極小值點，則：f′（﹣）＝0，解得：9a2﹣3a﹣2＝0，即：a＝﹣，或a＝，討論a；①當a＝﹣時，函數f′（x）＝+x﹣＝，在（﹣2，﹣1），f′（x）＞0在（﹣1，﹣）f′（x）＜0在（﹣，+∞）f′（x）＞0∴函數f（x）在x＝﹣取得極小值點，在x＝﹣1取得極大值點，∵函數定義域是：{x|x＞﹣2}∴f（x）的極大值為f（﹣1）＝②當a＝時，函數f′（x）＝﹣x﹣＝﹣，在（﹣2，﹣），f′（x）＞0在（﹣，+∞），f′（x）＜0∴x＝﹣不是函數f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的極小值點，與題設矛盾，a＝舍去．綜合可得：x＝﹣是函數f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的極小值點時，f（x）的極大值為：．故選：D．【知識點】利用導數研究函數的極值6.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫(yī)院開展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動，現有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中，醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院A，醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院A或醫(yī)院B，醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院，其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以，若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生，則不同的分配方案共有（）A．18種 B．20種 C．22種 D．24種【答案】B【分析】根據題意，分4種情況討論：①甲乙都分到A醫(yī)院，②甲分配到醫(yī)院A，乙分配到醫(yī)院B，③甲和一名醫(yī)生一起分到A醫(yī)院，乙在B醫(yī)院，④甲單獨分到A醫(yī)院，乙和一名醫(yī)生一起分到B醫(yī)院，由加法原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分4種情況討論：①甲乙都分到A醫(yī)院，剩下3人全排列，分配到其三個醫(yī)院，有A33＝6種分派方案；②甲分配到醫(yī)院A，乙分配到醫(yī)院B，剩下3人分成2組，安排到C、D醫(yī)院，有C32A22＝6種分派方案；③甲和一名醫(yī)生一起分到A醫(yī)院，乙在B醫(yī)院，剩下2人全排列，安排到C、D醫(yī)院，有C21A22＝4種分派方案；④甲單獨分到A醫(yī)院，乙和一名醫(yī)生一起分到B醫(yī)院，剩下2人全排列，安排到C、D醫(yī)院，有C21A22＝4種分派方案；則一共有6+6+4+4＝20種分配方案；故選：B．【知識點】排列、組合及簡單計數問題7.2019年10月1日在慶祝中華人民共和國成立70周年大閱兵的徒步方隊中，被譽為“最強大腦”的院?？蒲蟹疥犼爢T分別由軍事科學院、國防大學、國防科技大學三所院校聯合抽組，已知軍事科學學院的甲、乙、丙三名同學被選上的概率分別為，，，這三名同學中至少有一名同學被選上的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對立事件概率計算公式直接求解．【解答】解：軍事科學學院的甲、乙、丙三名同學被選上的概率分別為，，，∴這三名同學中至少有一名同學被選上的概率為：P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．故選：C．【知識點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式8.某種商品的廣告費支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有如下對應數據，根據表中提供的數據，得出y與x的線性回歸方程為，則表中的m的值為（）x24568y3040m5070A．45 B．50 C．55 D．60【答案】D【分析】計算樣本中心點，根據線性回歸方程恒過樣本中心點，即可得到結論．【解答】解：由題意，＝＝5，＝＝38+，∵y關于x的線性回歸方程為，∴38+＝6.5×5+17.5∴38+＝50∴＝12，∴m＝60故選：D．【知識點】線性回歸方程二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對得分，錯選或漏選不得分。9.對于二項式，以下判斷正確的有（）A．存在n∈N*，展開式中有常數項B．對任意n∈N*，展開式中沒有常數項C．對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項D．存在n∈N*，展開式中有x的一次項【答案】AD【分析】本題考查二項式定理，只要能寫出二項展開式的通項，就可選出答案，屬于簡單題．【解答】解：該二項展開式的通項為，∴當n＝4k時，展開式中存在常數項，A選項正確，B選項錯誤；當n＝4k﹣1時，展開式中存在x的一次項，D選項正確，C選項錯誤．故選：AD．【知識點】二項式定理10.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（）A．B．C．事件B與事件A1相互獨立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件【答案】BD【分析】本題是概率的綜合問題，掌握條件概率的基本運算是解決問題的關鍵．本題在A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，把事件B的概率進行轉化P（B）＝P（B|?A1）+P（B?A2）+P（B?A3），可知事件B的概率是確定的．【解答】解：易見A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，．故選：BD．【知識點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式11.設等比數列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1＞1，且a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，下列結論正確的是（）A．S2020＜S2021B．a2020a2022﹣1＜0C．數列{Tn}無最大值D．T2020是數列{Tn}中的最大值【答案】ABD【分析】根據題意，分析可得a2020＞1，a2021＜1，從而有a1＞1，0＜q＜1，則等比數列{an}為正項的遞減數列．再結合等比數列的性質逐一核對四個命題得答案即可得到正確選項．【解答】解：根據題意，根據題意，等比數列{an}的公比為q，若a2020a2021＞1，則（a1q2019）（a1q2020）＝（a1）2（q4039）＞1，又由a1＞1，必有q＞0，則數列{an}各項均為正值，若（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，必有a2020＞1，0＜a2021＜1，則必有0＜q＜1，依次分析選項：對于A，數列{an}各項均為正值，則S2021﹣S2020＝a2021＞0，必有S2020＜S2021，A正確；對于B，若0＜a2021＜1，則a2020a2022﹣1＝（a2021）2﹣1＜0，B正確，對于C，根據a1＞a2＞…＞a2020＞1＞a2021＞…＞0，可知T2020是數列{Tn}中的最大項，C錯誤；對于D，易得D正確，故選：ABD．【知識點】等比數列的前n項和12.如果函數y＝f（x）的導函數y＝f'（x）的圖象如圖所示，則以下關于函數y＝f（x）的判斷正確的是（）A．在區(qū)間（2，4）內單調遞減B．在區(qū)間（2，3）內單調遞增C．x＝﹣3是極小值點D．x＝4是極大值點【答案】BD【分析】利用導函數的圖象，判斷導函數的符號，判斷函數的單調區(qū)間以及函數的極值即可．【解答】解：A．函數y＝f（x）在區(qū)間（2，4）內f′（x）＞0，則函數單調遞增；故A不正確，B．函數y＝xf′（x）在區(qū)間（2，3）的導數為f′（x）＞0，∴y＝f（x）在區(qū)間（2，3）上單調遞增，∴B正確；C．由圖象知當x＝﹣3時，函數f′（x）取得極小值，但是函數y＝f（x）沒有取得極小值，故C錯誤，D．x＝4時，f'（x）＝0，當2＜x＜4時，f′（x）＞0，f′（x）為增函數，4＜x，此時f′（x）＜0此時函數y＝f（x）為減函數，則函數y＝f（x）內有極大值，x＝4是極大值點；故D正確，故選：BD．【知識點】利用導數研究函數的極值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.某幼兒園的2名老師帶著5名學生排隊過馬路，要求前后必須各有一名老師監(jiān)護，則不同的排法共種．【答案】240【分析】根據題意，分2步進行分析：①將2名老師安排在兩端，②將5名學生全排列，安排在2名老師中間，由分步計數原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①要求前后必須各有一名老師監(jiān)護，需要將2名老師安排在兩端，則2名老師的排法有2種，②將5名學生全排列，安排在2名老師中間，有A55＝120種排法，則有2×120＝240種排法，故答案為：240．【知識點】排列、組合及簡單計數問題14.2019年10月22日，聯合國教科文組織公布2019年度聯合國教科文組織﹣赤道幾內亞國際生命科學研究獎獲獎名單，共3人獲獎，其中包括來自中國的屠呦呦．中國中醫(yī)科學院教授、2015年諾貝爾生理學或醫(yī)學獎獲得者屠呦呦發(fā)現的全新抗瘧疾藥物青蒿素在20世紀80年代治愈了許多中國病人．某科研機構為了了解某種在研制的藥品的指標數據y與百分比濃度p之間的關系，隨機統(tǒng)計了某5次實驗的相關數據，并制作了對照表如表：百分比濃度p610141822指標數據y62m442814由表中數據求得回歸直線方程為＝﹣3p+82.2，則m＝．【答案】53【分析】求出樣本中心坐標，代入回歸直線方程，求解即可．【解答】解：由題意＝＝14，＝＝，所以樣本中心為（14，），因為回歸直線經過樣本中心，所以＝﹣3×14+82.2，解得m＝53．故答案為：53．【知識點】線性回歸方程15.對一個物理量做n次測量，并以測量結果的平均值作為該物理量的最后結果．已知最后結果的誤差εn～N（0，），為使誤差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，至少要測量次．（若X～N（μ，σ2），則P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545）．【答案】32【分析】根據正態(tài)曲線的對稱性知，要使得誤差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，問題轉化為（μ﹣2σ，μ+2σ）?（﹣0.5，0.5）且μ＝σ，σ＝，可求．【解答】解：根據正態(tài)曲線的對稱性知，要使得誤差εn在（﹣0.5，0.5）的概率不小于0.9545，則（μ﹣2σ，μ+2σ）?（﹣0.5，0.5）且μ＝σ，σ＝，所以0.5，解得，n≥32，即n的最小值32．故答案為：32．【知識點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義16.定義max{a，b}＝且f（x）＝﹣2e，g（x）＝，令h（x）＝max{f（x），g（x）}，則h（x）的極大值為，單調遞增區(qū)間為．【分析】對g（x）求導，分析g′（x）的正負，g（x）的單調性，作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致圖象如下：h（x）的單調遞增區(qū)間為[，e]．【解答】解：因為g（x）＝（x＞0），所以g′（x）＝，令g′（x）＝0，則x＝e，當0＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，當x＞e時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，所以g（x）極大值＝g（e）＝，由f（x）＝g（x），即x﹣2e＝，得x＝，作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致圖象如下：則h（x）極大值＝g（e）＝，且在（0，），（e，+∞）上單調遞減，在[，e]上單調遞增，則h（x）的單調遞增區(qū)間為[，e]．故答案為：，[，e]．【知識點】利用導數研究函數的極值四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟?？忌鶕笞鞔稹?7.Sn為等比數列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0．（1）求an及Sn；（2）是否存在常數λ，使得數列{Sn+λ}是等比數列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意可得，解得a1＝1，q＝3，根據通項公式和求和公式即可求出，（2）假設存在常數λ，使得數列{Sn+λ}是等比數列，分別令n＝1，2，3，根據等比數列的性質求出λ的值，再根據定義證明即可．【解答】解：（1）由題意可得，解得a1＝1，q＝3，∴an＝3n﹣1，Sn＝＝，（2）假設存在常數λ，使得數列{Sn+λ}是等比數列，∵S1+λ＝λ+1，S2+λ＝λ+4，S3+λ＝λ+13，∴（λ+4）2＝（λ+1）（λ+13），解得λ＝，此時Sn+λ＝×3n，則＝3，故存在常數，使得數列{Sn+}是等比數列．【知識點】等比數列的前n項和18.已知數列{an}的前n項和為，數列{bn}滿足bn＝log2an．（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；（2）求Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2．【分析】本題第（1）題先根據組合的知識可知Sn＝2n﹣1，然后根據公式an＝可計算出數列{an}的通項公式，最后將數列{an}的通項公式代入bn＝log2an進行計算可得數列{bn}的通項公式；第（2）題先根據第（1）題的結果可判斷出數列{bn}是以0為首項，1為公差的等差數列，然后對n分奇數和偶數兩種情況分別進行計算，利用平方差公式及等差數列的求和公式可計算出Tn的表達式．【解答】解：（1）由題意，＝2n﹣1，當n＝1時，a1＝S1＝21﹣1＝1，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，∵當n＝1時，a1＝1也滿足an＝2n﹣1，∴an＝2n﹣1，n∈N*，∴bn＝log2an＝log22n﹣1＝n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，bn＝n﹣1＝0+1?（n﹣1），故數列{bn}是以0為首項，1為公差的等差數列，①當n為奇數時，n﹣1為偶數，Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+bn﹣22﹣bn﹣12+bn2＝（b1+b2）（b1﹣b2）+（b3+b4）（b3﹣b4）+…+（bn﹣2+bn﹣1）（bn﹣2﹣bn﹣1）+bn2＝﹣（b1+b2+b3+b4+…+bn﹣2+bn﹣1）+bn2＝﹣+（n﹣1）2＝；②當n為偶數時，n﹣1，n+1均為奇數，Tn＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+（﹣1）n+1bn2＝b12﹣b22+b32﹣b42+…+bn﹣12﹣bn2＝（b1+b2）（b1﹣b2）+（b3+b4）（b3﹣b4）+…+（bn﹣1+bn）（bn﹣1﹣bn）＝﹣（b1+b2+b3+b4+…+bn﹣1+bn）＝﹣＝；綜上所述，可知：Tn＝．【知識點】數列的求和、組合及組合數公式19.為了貫徹落實黨中央對新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，堅決防范疫情向校園蔓延，切實保障廣大師生身體健康和生命的安全，教育主管部門決定通過電視頻道、網絡平臺等多種方式實施線上教育教學工作．某教育機構為了了解人們對其數學網課授課方式的滿意度，從經濟不發(fā)達的A城市和經濟發(fā)達的B城市分別隨機調查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：若評分不低于80分，則認為該用戶對此教育機構授課方式“認可”，否則認為該用戶對此教育機構授課方式“不認可”．（Ⅰ）請根據此樣本完成下列2×2列聯表，并據此列聯表分析，能否有95%的把握認為城市經濟狀況與該市的用戶認可該教育機構授課方式有關？認可不認可合計A城市B城市合計（Ⅱ）以該樣本中A，B城市的用戶對此教育機構授課方式“認可”的頻率分別作為A，B城市用戶對此教育機構授課方式“認可”的概率．現從A城市和B城市的所有用戶中分別隨機抽取2個用戶，用X表示這4個用戶中對此教育機構授課方式“認可”的用戶個數，求x的分布列．參考公式：，其中n＝a+b+c+d．參考數據：P（K2≥K）0.100.050.025k2.7063.8415.024【答案】【第1空】5【第2空】15【第3空】20【第4空】10【第5空】10【第6空】20【第7空】15【第8空】25【第9空】40【分析】（Ⅰ）根據莖葉圖可完成列聯表，再根據公式求出K2，再與3.841比較大小即可求出結論；（Ⅱ）由題意可得，X的取值可能為0，1，2，3，4，再根據相互獨立事件與互斥事件的概率公式即可求出分布列．【解答】解：（Ⅰ）有莖葉圖可得列聯表如下：認可不認可合計A城市51520B城市101020合計152540∴，∴沒有95%的把握認為城市經濟狀況與該市的用戶認可該教育機構授課方式有關；（Ⅱ）由題意知，A城市用戶對此教育機構授課方式“認可”的概率為，B城市用戶對此教育機構授課方式“認可”的概率為，X的可能結果為0，1，2，3，4，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝+＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝，∴X的分布列為X01234P【知識點】獨立性檢驗、離散型隨機變量及其分布列20.某中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校300名高三學生平均每天體育鍛煉的時間（單位：分鐘）進行調查，得到頻率分布直方圖如圖．將日均體育鍛煉時間在[40，60）的學生評價為“鍛煉達標”．（1）根據頻率分布直方圖，完成下面的2×2列聯表；鍛煉達標鍛煉不達標合計身體素質合格身體素質不合格50120合計300（2）根據列聯表判斷，是否有99.9%的把握認為學生“身體素質”與“鍛煉時間”有關？參考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．臨界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828【分析】（1）根據題目所給的數據填寫2×2列聯表即可；（2）計算K的觀測值K2，并與附錄中的數據進行對比即可作出判斷．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，“鍛煉達標”的人數為300×（0.03+0.04）×10＝210．補充完整的2×2列聯表如下：鍛煉達標鍛煉不達標合計身體素質合格14040180身體素質不合格7050120合計21090300（2）K2＝＝≈12.963＞10.828，故有99.9%的把握認為學生“身體素質”與“鍛煉時間”有關．【知識點】獨立性檢驗21.在集合A＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）元素構成集合Am．若Am的所有元素之和為偶數，則稱Am為A的偶子集，其個數記為f（m）；若Am的所有元素之和為奇數，則稱Am為A的奇子集，其個數記為g（m）．令F（m）＝f（m）﹣g（m）．（1）當n＝2時，求F（1），F（2）的值；（2）求F（m）．【分析】（1）當n＝2時，根據定義即可求F（1），F（2）（2）分別討論當m是奇數和偶數時，f（m）和g（m）的值，利用二項式定理進行求解即可．【解答】解：（1）當n＝2時，集合為{1，2，3，4}．當m＝1時，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，f（1）＝2，g（1）＝2，F（1）＝0；當m＝2時，偶子集有{2，4}，{1，3}，奇子集有{1，2}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，f（2）＝2，g（2）＝4，F（2）＝﹣2；（2）當m為奇數時，偶子集的個數f（m）＝?n0?nm+?n2?nm﹣2+?n4?nm﹣4+…+?nm﹣1?n1，奇子集的個數g（m）＝?n1?nm﹣1+?n3?nm﹣3+…+?nm?n0，所以f（m）＝g（m），F（m）＝f（m）﹣g（m）＝0．當m為偶數時，偶子集的個數?n0?nm+?n2?nm﹣2+?n4?nm﹣4+…+?nm?n0，奇子集的個數g（m）＝?n1?nm﹣1+?n3?nm﹣3+…+?nm﹣1?n1，所以F（m）＝f（m）﹣g（m）＝?n0?nm﹣?n1?nm﹣1+?n2?nm﹣2﹣?n3?nm﹣3+…﹣?nm﹣1?n1+?nm?n0，一方面，（1+x）m（1﹣x）m＝（?m0+?m1x+?m2x2+…+?mmxm）（（?m0﹣?m1x+?m2x2+…+（﹣1）m?mmxm），所以（1+x）m（1﹣x）m中xm的系數為?m0?mm﹣?m1?mm﹣1+?m2?mm﹣2﹣?m3?mm﹣3+…﹣?mm﹣1?m1+?mm?m0，另一方面，（1+x）m（1﹣x）m＝（1+x）m（1﹣x2）m中，（1﹣x2）m中xm的系數為（﹣1），故F（m）＝（﹣1），綜上，F（m）＝．【知識點】二項式定理22.已知函數f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1．（1）當a＝﹣1時，判斷函數的單調性；（2）討論f（x）零點的個數．【分析】（1）把a＝﹣1代入后對函數求導，然后結合導數與單調性的關系即可求解函數的單調性；（2）先對函數求導，然后結合導可判斷函數的單調性，然后結合函數的性質及零點判定定理即可求解．【解答】解：（1）a＝﹣1時，f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x2+2x﹣1，，令h（x）＝，則＝，易得函數h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，故h（x）≤h（1）＝0即f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞減；（2）由f（x）＝（x﹣1）lnx+ax2+（1﹣a）x﹣1可得f（1）＝0，即x＝1為函數f（x）的一個零點，設g（x）＝lnx+ax+1，則f（x）的零點個數即為g（x）的不為1的零點個數加上1，（i）當a＝﹣1時，由（1）知f（x）單調遞減，且x＝1是f（x）的零點，故f（x）有且只有1個零點1；（ii）當a≥0時，g（x）單調遞增且g（1）＞0，g（x）＝lnx+ax+1＜＝，0＜x＜1，因為ax2+（a+3）x﹣1＜（a+4）x2+（a+3）x﹣1＝[（a+4）x﹣1]（x+1），所以g（）＜0，綜上可知，g（x）在（0，+∞）上有1個零點且g（1）＝9，所以f（x）有2個零點（iii）又，所以當﹣1＜a＜0時，g（x）在（0，﹣）上單調遞增，在（﹣）上單調遞減，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＞0，又g（x）＜＝0，且g（）＜0，g（）＝＜0，所以g（x）在（0，﹣）上有1個零點，在（﹣）上有1個零點且x＝0也是零點，此時f（x）共有3個零點，（iv）又，所以當a＜﹣1時，g（x）在（0，﹣）上單調遞增，在（﹣）上單調遞減，故g（x）的最大值g（﹣）＝ln（﹣）＜0，故g（x）沒有零點，此時f（x）只有1個零點，綜上可得，當a≤﹣1時，f（x）有1個零點；當﹣1＜a＜0時，f（x）有3個零點，當a≥0時，f（x）有2個零點．【知識點】利用導數研究函數的單調性高二下學期期末考試數學試卷（三）注意事項：1．本試卷共22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。2．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a6＝3，S9＝54，則a1+a10＝（）A．7 B．8 C．9 D．102.設復數是虛數單位），則＝（）A．1+i B．﹣i C．i D．03.在（x﹣2）8的二項展開式中，二項式系數的最大值為a，含x5項的系數為b，則＝（）A． B．﹣ C． D．﹣4.隨機變量X～B（4，），則D（3X+1）等于（）A． B． C．6 D．85.已知x，y的取值如表所示，若y與x線性相關，且＝0.6x+，則＝（）x12345y5.56778A．4.2 B．4.6 C．4.7 D．4.96.已知函數y＝f（x）（x∈R）的圖象如圖所示，則不等式＜0的解集為（）A．（﹣∞，0）∪（，2） B．（﹣1，1）∪（1，3）C．（﹣∞，）∪（，2） D．（﹣∞，）（1，2）7.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若a1+2a2＝0，，且a≤Sn≤a+2，則實數a的取值范圍是（）A．[﹣1，0] B． C． D．[0，1]8.已知函數f（x）＝x2++a（x＜0），g（x）＝lnx（x＞0），其中a∈R．若f（x）的圖象在點A（x1，f（x1））處的切線與g（x）的圖象在點B（x2，f（x2））處的切線重合，則a的取值范圍是（）A．（﹣1+ln2，+∞） B．（﹣1﹣ln2，+∞）C． D．（ln2﹣ln3，+∞）二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選對得分，錯選或漏選不得分。9.已知數列{an}是等差數列，前n項和為Sn，滿足a1+5a3＝S8，下列選項正確的有（）A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S20＝010.現有3個男生4個女生，若從中選取3個學生，則（）A．選取的3個學生都是女生的不同選法共有4種B．選取的3個學生恰有1個女生的不同選法共有24種C．選取的3個學生至少有1個女生的不同選法共有34種D．選取的3個學生至多有1個男生的不同選法共有18種11.設離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X+1，則下列結果正確的有（）A．q＝0.1 B．EX＝2，DX＝1.4C．EX＝2，DX＝1.8 D．EY＝5，DY＝7.212.已知函數f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，則下列選項正確的是（）A．B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C．x2f（x1）＜x1f（x2）D．當lnx＞﹣1時，x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝6，S6＝﹣8，則S9＝﹣．14.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）．根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是．15.已知（x﹣）（1﹣x）4的展開式中x2的系數為4，則a＝，（x﹣）（1﹣x）4的展開式中的常數項為．16.已知函數，當x∈[0，1]時，函數f（x）僅在x＝1處取得最大值，則a的取值范圍是．四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟?？忌鶕笞鞔?。17.在（n≥3，n∈N*）的展開式中，