2020高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步水平測試 2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE19學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第一章立體幾何初步水平測試本試卷分第Ⅰ卷（選擇題)和第Ⅱ卷（非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分,共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列三視圖表示的幾何體是()A．圓臺(tái)B．棱錐C．圓錐D．圓柱答案A解析由于俯視圖是兩個(gè)同心圓，則這個(gè)幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又左視圖和主視圖均是等腰梯形，所以該幾何體是圓臺(tái)．2．已知水平放置的△ABC按“斜二測畫法"得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1,A′O′＝eq\f（\r（3）,2），那么原△ABC是一個(gè)(）A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形答案A解析根據(jù)“斜二測畫法”可得BC＝B′C′＝2,AO＝2A′O′＝eq\r（3)。故原△ABC是一個(gè)等邊三角形．3．已知某個(gè)幾何體的三視圖如下圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm),可得這個(gè)幾何體的體積是(）A。eq\f(4000,3）cm3B.eq\f（8000，3）cm3C．2000cm3D．4000cm3答案B解析由三視圖得該幾何體為四棱錐，則其體積為V＝eq\f（1,3）×20×20×20＝eq\f(8000,3)cm3.4．已知一個(gè)圓錐的展開圖如右圖所示,其中扇形的圓心角為120°，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為(）A.eq\f（2\r（2）π,3)B。eq\f(2π，3）C。eq\f(\r(2)π，3）D.eq\r(3)π答案A解析由底面圓的半徑為1，可知扇形的弧長為2π,又扇形的圓心角為120°，所以圓錐母線長為eq\f(2π,\f（120,180)π)＝3,高為eq\r（32－12）＝2eq\r（2），所求體積V＝eq\f(1，3）×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2）π,3）.5.如右圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為()A．6eq\r（2)B．6C．4eq\r（2)D．4答案B解析該多面體是如下圖所示的棱長為4的正方體內(nèi)的三棱錐E－CC1D1（其中E為BB1的中點(diǎn)），其中最長的棱為D1E＝eq\r（4\r（2)2＋22）＝6。6．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）A。eq\f（2\r（2)π，3）B.eq\f（4\r（2）π,3）C．2eq\r(2)πD．4eq\r（2）π答案B解析由題意,該幾何體可以看作兩個(gè)底面半徑和高都為eq\r(2）的圓錐的組合體，其體積為2×eq\f(1，3)×π×（eq\r(2)）2×eq\r(2)＝eq\f（4\r（2)π，3）.7．正方體ABCD－A1B1C1D1如下圖所示，A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°答案D解析對于A，由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；對于B,連接AC,易證BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD；對于C,因?yàn)锽D∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，同理可證AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1；對于D，因?yàn)锽C∥AD，所以∠B1CB即AD與CB1所成的角，此角為45°,8．如下圖所示，在四面體ABCD中，E、F分別是AC與BD的中點(diǎn)，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為（）A．90°B．45°C．60°D．30°答案D解析取BC的中點(diǎn)H，連接EH、FH，則∠EFH為所求的角，可證△EFH為直角三角形,EH⊥EF，F(xiàn)H＝2，EH＝1，∴sin∠EFH＝eq\f(EH，F(xiàn)H)＝eq\f(1，2),∴∠EFH＝30°。9．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F分別是棱BC,C1D1的中點(diǎn)，則EF與平面BB1D1DA．平行B．相交C．EF?平面BB1D1DD．無法判斷答案A解析取B1C1中點(diǎn)H，連接EH,FH∵E、F、H分別為BC、D1C1、B1C1∴FH∥D1B1，EH∥BB1,∴平面EFH∥平面BB1D1D∵EF平面EFH，∴EF∥平面BB1D1D.10．如圖，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A′，B′，C′，若eq\f（S△A′B′C，S△ABC)＝eq\f（9,49),則eq\f(PA′,AA′)＝()A.eq\f(4,3)B。eq\f(3，49）C。eq\f(7,8)D.eq\f（3,4)答案D解析由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，從而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，eq\f（S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(A′B′，AB）)）2＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（PA′，PA）)）2＝eq\f(9,49）,所以eq\f(PA′,PA)＝eq\f(3，7)，所以eq\f(PA′，\a\vs4\al(AA′))＝eq\f(3，4）,故選D.11．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交,且交線平行于l答案D解析由于m,n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β必相交,但未必垂直，且交線垂直于直線m，n，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則交線平行于l，故選D.12．已知平面ABC外一點(diǎn)P，且PH⊥平面ABC于點(diǎn)H。給出下列四個(gè)說法：①若PA⊥BC，PB⊥AC,則點(diǎn)H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC兩兩互相垂直,則點(diǎn)H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn),則PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)H是△ABC的外心．其中正確說法的個(gè)數(shù)為(）A．1B．2C．3D．4答案D解析對于①，易知AH⊥BC，BH⊥AC,所以點(diǎn)H是△ABC的垂心;對于②，易知PB⊥平面PAC，所以PB⊥AC，同理，PA⊥BC，由①可知點(diǎn)H是△ABC的垂心;對于③，∠ABC＝90°，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，所以HA＝HC＝HB，又∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，所以PA＝PB＝PC；對于④，∠PHA＝∠PHB＝∠PHC＝90°，PA＝PB＝PC，所以HA＝HB＝HC，即點(diǎn)H是△ABC的外心．①②③④都正確，故選D.第Ⅱ卷（非選擇題,共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上）13．下列說法正確的是________．（填序號(hào))①連接圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線;②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面；④圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長．答案④解析本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．根據(jù)圓柱母線的定義，①說法錯(cuò)誤；以直角梯形垂直于上、下底的腰為軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，以另一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，故②說法錯(cuò)誤；圓錐只有—個(gè)底面，故③說法錯(cuò)誤；根據(jù)圓錐母線的定義,④說法正確．14．把直徑分別為6cm，8cm，10cm的三個(gè)鐵球熔成一個(gè)大鐵球，則這個(gè)大鐵球的半徑為________cm。答案6解析設(shè)大鐵球的半徑為Rcm，由eq\f(4，3）πR3＝eq\f（4，3)π×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(6,2）））3＋eq\f（4，3）π×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(8，2）)）3＋eq\f（4，3）π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10，2))）3，得R3＝216,得R＝6.15．如圖所示，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個(gè)面所在的平面中，與直線CE平行、相交的平面?zhèn)€數(shù)分別為m，n,則m＋n＝________.答案5解析CE與正方體上底面平行,且在正方體下底面所在的平面內(nèi)，而與它相交的平面分別是前、后、左、右四個(gè)平面，即m＝1，n＝4，因此m＋n＝5.16．如圖所示的四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形是________．(填序號(hào))答案①④解析①中,記點(diǎn)B正上方的頂點(diǎn)為C，連接AC,則易證平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP;④中AB∥NP，根據(jù)空間直線與平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP；②③中，AB均與平面MNP相交．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1,C1Q＝2QA1。求證：直線AA1,BP，CQ證明如圖，連接PQ.由B1P＝2PA1,C1Q＝2QA1,得PQ∥B1C1,且PQ＝eq\f（1,3）B1C1。又BC綊B1C1，∴四邊形BCQP為梯形∴直線BP，CQ相交，設(shè)交點(diǎn)為R，則R∈BP,R∈CQ.又BP平面AA1B1B,CQ平面AA1C∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C∴R在平面AA1B1B與平面AA1C1C的交線上,即R∈∴直線AA1，BP，CQ相交于一點(diǎn)．18．（本小題滿分12分)某幾何體的三視圖如圖所示(不考慮接觸點(diǎn))．（1）求該幾何體的表面積；（2）求該幾何體的體積．解(1）由三視圖，知該幾何體由兩部分組成，上部分是直徑為1的球，下部分是底面邊長為2，高為3的正三棱柱．表面積S＝4π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）))2＋eq\f（1，2）×2×eq\r（3）×2＋2×3×3＝π＋2eq\r(3）＋18。(2)體積V＝eq\f(1,2）×2×eq\r（3）×3＋eq\f(4，3）π×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))3＝3eq\r(3)＋eq\f(π,6).19．（本小題滿分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC,A1B⊥AC.D,E分別是BB1，A1C（1）求證:DE∥平面A1BC；（2)若AB⊥BC,求證：A1B⊥平面ABC；（3）在（2)的條件下,AB＝BC＝1，BB1＝eq\r(2),求三棱錐A1－BCC1的體積．解（1）證明：取A1C的中點(diǎn)F，連接BF，EF∵E是A1C1的中點(diǎn)∴EF∥CC1，且EF＝eq\f（1，2)CC1。又CC1∥BB1，D是BB1的中點(diǎn)，∴EF∥DB，且EF＝DB,∴四邊形BDEF是平行四邊形,∴DE∥BF，而DEeq\o（?,/)平面A1BC，BF平面A1BC，∴DE∥平面A1BC。（2）證明：∵AA1⊥BC，AB⊥BC，AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B又A1B⊥AC，AC∩BC＝C，∴A1B⊥平面ABC.(3）由（2)的結(jié)論，得A1B⊥AB，∵AB⊥BC，∴AB⊥平面A1BC.∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面A1BC.由B1C1∥BC，可知B1C1∥平面A1∵A1B1＝AB＝1，BB1＝eq\r（2），∴A1B＝1,∴三棱錐A1－BCC1的體積Veq\s\do4（A1－BCC1)＝Veq\s\do4(C1－A1BC）＝Veq\s\do4（B1－A1BC）＝eq\f(1,3)Seq\s\do4（△A1BC）·A1B1＝eq\f(1,3）×eq\f（1，2)×BC×A1B×A1B1＝eq\f(1,3）×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f（1，6).20．（本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC＝90°，BC＝BB1，M，N分別是A1B1，AC1求證：（1）MN∥平面BCC1B1；（2)平面MAC1⊥平面ABC1。證明（1)取BC1的中點(diǎn)D,連接B1D，ND，∵D，N分別是BC1，AC1的中點(diǎn)，∴ND∥AB，ND＝eq\f(1,2）AB。又M為A1B1的中點(diǎn)，AB∥A1B1，∴ND綊B1M∴MNDB1為平行四邊形，∴MN∥B1D。又B1D平面BCC1B1,MNeq\o（?，/)平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.（2）由題可知AB⊥B1D,B1D⊥BC1.又AB平面ABC1,BC1平面ABC1,AB∩BC1＝B,∴B1D⊥平面ABC1.又B1D∥MN，∴MN⊥平面ABC1。又MN平面MAC1，∴平面MAC1⊥平面ABC1。21．(本小題滿分12分）如圖，已知二面角α－MN－β的大小為60°，菱形ABCD在面β內(nèi),A，B兩點(diǎn)在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中點(diǎn),DO⊥面α，垂足為O。(1）證明：AB⊥平面ODE;(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值．解（1)證明：如圖，因?yàn)镈O⊥α,AB?α，所以DO⊥AB。連接BD,由題設(shè)，知△ABD是正三角形，又E是AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB。而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.（2）因?yàn)锽C∥AD，所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是BC與OD所成的角．由（1),知AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB,于是∠DEO是二面角α－MN－β的平面角，從而∠DEO＝60°.不妨設(shè)AB＝2，則AD＝2，易知DE＝eq\r(