2020高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.4 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）練習(xí)（含解析）4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第6課時同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）對應(yīng)學(xué)生用書P11知識點一化簡問題1．當(dāng)2kπ－eq\f（π,4）≤α≤2kπ＋eq\f（π,4)（k∈Z）時，化簡eq\r（1－2sinαcosα）＋eq\r(1＋2sinαcosα）的結(jié)果是()A．2sinαB．－2sinαC．2cosαD．－2cosα答案C解析當(dāng)2kπ－eq\f（π,4）≤α≤2kπ＋eq\f(π，4）(k∈Z）時,sinα＋cosα>0，cosα－sinα〉0,∴eq\r（1－2sinαcosα）＋eq\r(1＋2sinαcosα)＝eq\r(sinα－cosα2）＋eq\r（sinα＋cosα2)＝|sinα－cosα｜＋｜sinα＋cosα|＝cosα－sinα＋sinα＋cosα＝2cosα．2．化簡：eq\f（1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α)．解原式＝eq\f（1－cos4α－sin4α，1－cos6α－sin6α）＝eq\f（1－cos2α1＋cos2α－sin4α,1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α)＝eq\f(sin2α1＋cos2α－sin4α，sin2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α）＝eq\f(1＋cos2α－sin2α，1＋cos2α＋cos4α－sin4α）＝eq\f（2cos2α，1＋cos2α＋cos2α＋sin2αcos2α－sin2α)＝eq\f(2cos2α，1＋cos2α＋cos2α－sin2α）＝eq\f（2cos2α,3cos2α）＝eq\f(2，3)．知識點二求值問題3．已知－eq\f（π，2）〈x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1，5）,求下列各式的值．（1）sinx－cosx；(2)eq\f（1,cos2x－sin2x）．解(1)∵sinx＋cosx＝eq\f（1，5）,∴(sinx＋cosx）2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，5)）)2，即1＋2sinxcosx＝eq\f(1，25)，∴2sinxcosx＝－eq\f(24，25)．∵(sinx－cosx)2＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x＝1－2sinxcosx＝1＋eq\f（24，25)＝eq\f(49,25）,又－eq\f（π，2）<x〈0,∴sinx〈0，cosx>0，∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－eq\f（7,5)．(2)解法一：由已知條件及(1），可知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（sinx＋cosx＝\f（1,5)，,sinx－cosx＝－\f(7，5)，））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(sinx＝－\f（3,5），,cosx＝\f（4,5),）)∴eq\f（1,cos2x－sin2x）＝eq\f(1，\f(16，25）－\f(9,25））＝eq\f(25，7)．解法二：由已知條件及（1），可知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinx＋cosx＝\f(1,5）,，sinx－cosx＝－\f(7，5），）)∴eq\f（1，cos2x－sin2x)＝eq\f（1,cosx＋sinxcosx－sinx）＝eq\f(1，\f(1,5）×\f(7,5)）＝eq\f（25，7）．4．已知tanα＝3，求下列各式的值：(1）eq\f(sin2α－2sinαcosα－cos2α，4cos2α－3sin2α);(2)eq\f（3，4)sin2α＋eq\f(1,2)cos2α．解（1)原式的分子、分母同除以cos2α，得原式＝eq\f（tan2α－2tanα－1,4－3tan2α）＝eq\f(9－2×3－1,4－3×32）＝－eq\f(2，23)．（2）原式＝eq\f(\f（3，4)sin2α＋\f(1，2)cos2α,sin2α＋cos2α）＝eq\f（\f(3，4）tan2α＋\f(1，2),tan2α＋1)＝eq\f（\f（3，4)×9＋\f(1,2),9＋1）＝eq\f（29，40)．知識點三證明問題5．求證：sinα（1＋tanα）＋cosαeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanα））)＝eq\f（1,sinα）＋eq\f(1，cosα）．證明eq\f(1,sinα）＋eq\f（1,cosα)＝eq\f（sin2α＋cos2α，sinα）＋eq\f（sin2α＋cos2α,cosα）＝sinα＋cosα·eq\f(cosα，sinα）＋sinα·eq\f（sinα，cosα)＋cosα＝sinα＋cosα·eq\f（1，tanα)＋sinαtanα＋cosα＝sinα(1＋tanα）＋cosαeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanα)））．6．求證：eq\f（1－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f（1－tan2x,1＋tan2x)．證明左邊＝eq\f(cos22x＋sin22x－2sin2xcos2x,cos22x－sin22x)＝eq\f（cos2x－sin2x2，cos2x－sin2xcos2x＋sin2x）＝eq\f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f（1－tan2x，1＋tan2x)＝右邊．∴原等式成立．對應(yīng)學(xué)生用書P12一、選擇題1．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4，3）,θ∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)）)，則sinθ－cosθ的值為（)A．eq\f（\r(2)，3)B．－eq\f(\r(2)，3)C．eq\f(1，3)D．－eq\f（1，3）答案B解析由sinθ＋cosθ＝eq\f（4,3)，得1＋2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，∴2sinθcosθ＝eq\f(7,9)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,4））），∴sinθ－cosθ＝－eq\r（1－2sinθcosθ）＝－eq\f(\r(2）,3）．2．已知sinα－cosα＝eq\r（2）,則tanα＝（)A．－1B．－eq\f(\r(2），2）C．eq\f(\r(2），2）D．1答案A解析將等式sinα－cosα＝eq\r（2)的兩邊平方，整理得1＋2sinαcosα＝0，即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝0,∴（sinα＋cosα）2＝0，∴sinα＋cosα＝0,∴sinα＝－cosα．由已知得cosα≠0，∴tanα＝eq\f(sinα，cosα)＝－1．故選A．3．下列結(jié)論能成立的是()A．sinα＝eq\f(1,2)且cosα＝eq\f(1，2）B．tanα＝2且eq\f(cosα，sinα）＝eq\f(1，3）C．tanα＝1且cosα＝eq\f(\r（2），2)D．sinα＝1且tanα·cosα＝eq\f(1，2)答案C解析同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式是指同一個角的不同三角函數(shù)值之間的關(guān)系，這個角可以是任意角，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即得C成立．4．若π〈α〈eq\f(3π，2），eq\r（\f(1－cosα,1＋cosα））＋eq\r(\f(1＋cosα，1－cosα）)的化簡結(jié)果為（)A．eq\f(2,tanα)B．－eq\f（2，tanα）C．eq\f(2，sinα）D．－eq\f（2,sinα)答案D解析∵π〈α〈eq\f（3π,2），∴sinα〈0．原式＝eq\r（\f（1－cosα2,1－cos2α））＋eq\r(\f（1＋cosα2，1－cos2α））＝eq\f（1－cosα，|sinα｜）＋eq\f（1＋cosα,|sinα｜)＝－eq\f(2，sinα)，故選D．5．化簡eq\r（1－sin2160°)的結(jié)果是（）A．cos160°B．－cos160°C．±cos160°D．±｜cos160°|答案B解析∵cos160°〈0，∴原式＝|cos160°|＝－cos160°．二、填空題6．若2cosα＋sinα＝eq\r(5)，則eq\f(1,tanα）＝________．答案2解析將已知等式兩邊平方，得4cos2α＋sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化簡得4sin2α－4sinαcosα＋cos2α＝0，即（2sinα－cosα）2＝0，則2sinα＝cosα，故eq\f（1,tanα)＝2．7．若cos2x＋cosx＝1，則sin4x＋sin2x的值等于________．答案1解析∵cos2x＋cosx＝1，∴cosx＝1－cos2x＝sin2x，∴sin4x＋sin2x＝cos2x＋cosx＝1．8．若tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα）＋cos2α＝________．答案eq\f（16，5)解析原式＝eq\f（sinα＋cosα，sinα－cosα)＋eq\f（cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα＋1，tanα－1）＋eq\f（1,tan2α＋1)＝eq\f（2＋1,2－1)＋eq\f(1，4＋1)＝eq\f（16,5)．三、解答題9．已知0〈α<eq\f(π,2）,若cosα－sinα＝－eq\f(\r(5),5）,求eq\f（2sinαcosα－cosα＋1，1－tanα)的值．解由cosα－sinα＝－eq\f(\r(5）,5），得1－2sinαcosα＝eq\f(1，5)，∴2sinαcosα＝eq\f(4,5），∴（cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋eq\f(4,5）＝eq\f(9，5）．又0<α<eq\f(π，2），∴sinα＋cosα＝eq\f(3\r（5），5)，與cosα－sinα＝－eq\f（\r(5），5)聯(lián)立，解得sinα＝eq\f（2\r（5），5），cosα＝eq\f(\r(5），5)，∴eq\f（2sinαcosα－cosα＋1，1－tanα)＝eq\f(2sinαcosα－cosα＋1,1－\f(sinα，cosα)）＝eq\f（cosα2sinαcosα－cosα＋1,cosα－sinα）＝eq\f(\f(\r（5)，5）×\f（4，5）－\f(\r（5)，5)＋1,－\f（\r（5）,5）)＝eq\f(\r（5)－9，5)．10．已知關(guān)于x的方程4x2－2（m＋1）x＋m＝0的兩個根恰好是一個直角三角形的一個銳角的正、余弦，求實數(shù)m的值．解設(shè)直角三角形的一個銳角為β，因為方程4x2－2(m＋1）x＋m＝0中,Δ＝4（m＋1）2－4×4m＝4(m－1）2≥0,所以當(dāng)m∈R時，方程恒有兩實根．又因為sinβ＋cosβ＝eq\f（m＋1,2），sinβcosβ＝eq\f（m,4)，所以由以上兩式及sin2β＋cos2β＝1，得1＋2×eq\f（m，4）＝eq\f（m＋1，2)2，解得m＝±eq\r（3）．當(dāng)m＝eq\r（3）時，sinβ＋cosβ＝eq\f（\r(3）＋1,2)>0，sinβ·cosβ＝eq\f（\r（3）,4)>0，滿足題意，當(dāng)m＝－eq\r(3）時，sinβ＋cosβ＝eq\f（1－\r（3），2)〈0，這與β是銳角矛盾，舍去．綜上，m＝eq\r(3）．周周回饋練對應(yīng)學(xué)生用書P13一、選擇題1．給出下列說法：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，角的大小與角所在扇形的半徑的大小無關(guān)；④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；⑤若cosθ<0,則θ是第二或第三象限的角．其中正確說法的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4答案A解析對于①，150°是第二象限角，390°是第一象限角，但150°<390°,錯誤；對于②，三角形的內(nèi)角還可能為90°，是y軸非負(fù)半軸上的角,錯誤;顯然③正確；對于④，α與β的終邊還可以關(guān)于y軸對稱，錯誤；對于⑤,θ還可以是x軸非正半軸上的角，錯誤．2．下列各式正確的是（）A．eq\f(π,2）＝90B．eq\f(π，18)＝10°C．3°＝eq\f(60，π)D．38°＝eq\f（38,π)答案B解析A中，eq\f(π,2)＝90°，故錯誤;B中，eq\f（π,18)＝10°，故正確;C中,3°＝3×eq\f(π,180)＝eq\f（π,60)，故錯誤；D中，38°＝38×eq\f（π,180)＝eq\f(19π,90）,故錯誤．3．若角α的終邊經(jīng)過點P(sin780°，cos（－330°）),則sinα＝()A．eq\f（\r(3），2）B．eq\f(1，2)C．eq\f(\r（2），2）D．1答案C解析因為sin780°＝sin(2×360°＋60°）＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos（－330°)＝cos（－360°＋30°）＝cos30°＝eq\f（\r（3)，2)，所以Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r(3），2)，\f(\r(3)，2)))，sinα＝eq\f(\r(2）,2)．4．扇形的圓心角為150°,半徑為eq\r（3),則此扇形的面積為(）A．eq\f(5π，4)B．πC．eq\f(\r(3）π,3)D．eq\f（2\r(3）π2,9）答案A解析∵150°＝eq\f(5π,6），∴S＝eq\f(1,2）×eq\f（5π,6）×(eq\r(3)）2＝eq\f（5π，4），故選A．5．若角α與β的終邊互相垂直，則α與β的關(guān)系是(）A．β＝α＋90°B．β＝α±90°C．β＝α＋k·360°＋90°（k∈Z)D．β＝k·360°＋α±90°(k∈Z)答案D解析如圖1，角α與β終邊互相垂直，β＝α＋90°．如圖2,角α與β終邊互相垂直，α＝β＋90°．由終邊相同角的表示方法知：角α與β終邊互相垂直，則有β＝k·360°＋α±90°(k∈Z）．6．已知α是銳角，且tanα是方程4x2＋x－3＝0的根，則sinα＝（)A．eq\f（4,5)B．eq\f(3，5）C．eq\f(2，5）D．eq\f（1,5)答案B解析因為方程4x2＋x－3＝0的根為x＝eq\f(3,4）或x＝－1．又因為tanα是方程4x2＋x－3＝0的根且α為銳角,所以tanα＝eq\f(3,4)，所以sinα＝eq\f(3，4）cosα，即cosα＝eq\f（4，3）sinα．又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋eq\f(16，9）sin2α＝1，所以sin2α＝eq\f（9,25）（α為銳角)，所以sinα＝eq\f（3,5)．二、填空題7．將90°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°所得的角等于________．答案60°解析按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角度減少，即90°－30°＝60°．8．已知｜cosθ｜＝－cosθ且tanθ〈0，則代數(shù)式lg（sinθ－cosθ）________0．(填“>”“〈”)答案>解析由|cosθ|＝－cosθ，得cosθ≤0．又∵tanθ<0，∴角θ的終邊在第二象限．∴sinθ〉0，cosθ<0．由三角函數(shù)線可知sinθ－cosθ>1．∴l(xiāng)g（sinθ－cosθ)>0．9．已知tanα,eq\f(1，tanα）是關(guān)于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的兩個實根，且3π〈α<eq\f（7π，2）,則cosα＋sinα＝________．答案－eq\r（2)解析∵tanα·eq\f（1,tanα)＝k2－3＝1，∴k＝±2,而3π〈α〈eq\f（7π,2)，則tanα＋eq\f（1,tanα）＝k＝2,得tanα＝1,則sinα＝cosα＝－eq\f（\r（2)，2)，∴cosα＋sinα＝－eq\r（2）．三、解答題10．如圖所示，用弧度制表示頂點在原點,始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分的角的集合．解(1）將陰影部分看成是由OA逆時針轉(zhuǎn)到OB所形成．故滿足條件的角的集合為αeq\f(3π，4）＋2kπ<α<eq\f（4π，3)＋2kπ，k∈Z．（2）若將終邊為OA的一個角改寫為－eq\f（π,6）,此時陰影部分可以看成是OA逆時針旋轉(zhuǎn)到OB所形成，故滿足條件的角的集合為α－eq\f（π，6）＋2kπ〈α≤eq\f（5π,12）＋2kπ，k∈Z．(3）將圖中x軸下方的陰影部分看成是由x軸上方的陰影部分旋轉(zhuǎn)πrad而得到，所以滿足條件的角的集合為αkπ≤α≤eq\f（π,2)＋kπ，k∈Z．（4)與第（3）小題的解法類似,將第二象限陰影部分旋轉(zhuǎn)πrad后可得到第四象限的陰影部分．所以滿足條件的角的集合為αeq\f（2π，3）＋kπ〈α<eq\f（5π,6）＋kπ，k∈Z．11．若0<α<β<eq\f(π，2)，試比較β－sinβ與α－sinα的大?。馊鐖D，在單位圓中,sinα＝MP，sinβ＝NQ，弧eq\x\to（AP)的長為α，弧eq\x\to(AQ）的長為β，則弧eq\x\to(PQ)的長為β－α．過P作PR⊥QN