2020高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1 歸納與類比 1.2 類比推理課后鞏固提升 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2類比推理[A組基礎(chǔ)鞏固］1．已知eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（bn））為等比數(shù)列，b5＝2，則b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29。若eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(an))為等差數(shù)列，a5＝2，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的類似結(jié)論為(）A．a(chǎn)1a2a3…aB．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1a2a3…D．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9解析:等比數(shù)列中積的關(guān)系在等差數(shù)列中應(yīng)為加，同理，等比數(shù)列中的乘方在等差數(shù)列中應(yīng)為積．答案：D2．三角形的面積為S＝eq\f（1,2）(a＋b＋c)r，a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為（）A．V＝eq\f(1，3)abcB．V＝eq\f（1，3)ShC．V＝eq\f（1，3）（S1＋S2＋S3＋S4)r（S1、S2、S3、S4為四個(gè)面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)D．V＝eq\f（1,3)(ab＋bc＋ac）h(h為四面體的高)解析：設(shè)△ABC的內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC，將△ABC分割為三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形的高都是r，底邊長(zhǎng)分別為a、b、c；類比：設(shè)四面體A。BCD的內(nèi)切球的球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，以原來面為底面的四面體,高都為r,所以有V＝eq\f（1，3）(S1＋S2＋S3＋S4）r.答案：C3．已知扇形的弧長(zhǎng)為e，半徑為r，類比三角形的面積公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推出扇形的面積公式S扇＝(）A。eq\f（r2，2) B。eq\f（e2,2）C。eq\f（er,2) D．不可類比解析：由扇形的弧與半徑類比于三角形的底邊與高可得C.答案：C4．類比三角形中的性質(zhì)：（1)中位線長(zhǎng)等于對(duì)應(yīng)底邊長(zhǎng)的一半．（2)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：(1)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于第四個(gè)面面積的eq\f（1，4)。（2)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)．其中類比推理方法正確的為()A．（1） B．（2）C．（1)（2） D．都不對(duì)解析：以上類比推理方法都正確,需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確．答案：C5．已知｛bn｝為等比數(shù)列，b5＝2，則b1·b2·…·b9＝29，若｛an}為等差數(shù)列，a5＝2，則在數(shù)列{an｝中類似的結(jié)論為()A．a(chǎn)1·a2·…·a9＝29B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29C．a(chǎn)1·a2·…·a9＝2×9D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知：a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5。答案：D6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A,B不同時(shí)為0）表示過原點(diǎn)的直線．類似地:在空間直角坐標(biāo)系中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B,C不同時(shí)為0）表示________．解析：由方程的特點(diǎn)可知:平面幾何中的直線類比到立體幾何中應(yīng)為平面,“過原點(diǎn)”類比仍為“過原點(diǎn)”，因此應(yīng)得到：在空間直角坐標(biāo)系中,三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B,C不同時(shí)為0）表示過原點(diǎn)的平面．答案：過原點(diǎn)的平面7．在平面幾何中有命題：“夾在兩平行線之間的平行線段長(zhǎng)度相等”．在立體幾何中，類比上述命題,可以得到________________．解析:平面幾何中的點(diǎn)與空間中的線，平面幾何中的直線與空間中的平面是類比對(duì)象,據(jù)此可以得到相應(yīng)結(jié)論．答案：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段的長(zhǎng)度相等8．在△ABC中，D是BC的中點(diǎn),則eq\o(AD，\s\up6（→）)＝eq\f(1，2)（eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o（AC,\s\up6（→））），將命題類比到四面體中去,得到一個(gè)類比命題:_______________________________________________________________________________________________________。答案:在四面體A。BCD中,G為△BCD的重心,則eq\o(AG，\s\up6（→）)＝eq\f（1,3)（eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o（AC，\s\up6(→））＋eq\o(AD，\s\up6（→））)9．在平面中，我們有結(jié)論：“平行于同一條直線的兩條直線平行”“垂直于同一條直線的兩條直線平行"，將這兩個(gè)結(jié)論推廣到空間中，有什么結(jié)論?這些結(jié)論是否正確？解析：在空間中相應(yīng)的結(jié)論分別是:(1)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；(2)垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行．其中(1）是正確的，(2)是錯(cuò)誤的．10．如圖,在三棱錐S。ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分別為α1、α2、α3,三側(cè)面△SBC、△SAC、△SAB的面積分別為S1、S2、S3，類比三角形中的正弦定理，給出空間圖形的一個(gè)猜想．解析：在△DEF中，由正弦定理,得eq\f(d，sinD)＝eq\f（e,sinE)＝eq\f（f,sinF）。于是，類比三角形中的正弦定理，在四面體中,我們猜想eq\f(S1，sinα1）＝eq\f(S2，sinα2)＝eq\f（S3，sinα3)成立．[B組能力提升］1．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2）＝eq\f(1，4）。推廣到立體幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體A。BCD的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝（）A。eq\f（1，4) B.eq\f（1，8）C.eq\f（1,16) D.eq\f(1，27）解析：平面幾何中，圓的面積與圓半徑的平方成正比，而在立體幾何中，球的體積與半徑的立方成正比，設(shè)正四面體A。BCD的棱長(zhǎng)為a,可得其內(nèi)切球的半徑為eq\f(\r(6）,12）a,外接球的半徑為eq\f(\r(6)，4）a,則eq\f（V1，V2）＝eq\f(1,27)。答案：D2．已知x∈R且f(x＋1)＝－f（x），則f（x＋2）＝－f(x＋1）＝－[－f（x）］＝f(x），得f(x)的一個(gè)周期為2,類比上述結(jié)論,請(qǐng)寫出下列兩個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期．(1）已知a為正的常數(shù)，x∈R且f(x＋a)＝－f（x),則f（x)的一個(gè)周期為________;（2)已知a為正的常數(shù),x∈R且f(x＋a）＝eq\f(fx－1，fx＋1），則f(x）的一個(gè)周期為________．解析：(1)∵f(x＋a）＝－f(x)，∴f(x＋2a）＝f（x＋a＋a）＝－f（x＋a）＝－[－f(x)]＝f（x）．∴f（x)的一個(gè)周期為2a.（2）∵f(x＋a)＝eq\f（fx－1,fx＋1)，∴f（x＋2a）＝eq\f(fx＋a－1,fx＋a＋1）＝eq\f（\f（fx－1,fx＋1)－1,\f(fx－1，fx＋1）＋1)＝－eq\f(1,fx）?！鄁（x＋4a）＝－eq\f(1，fx＋2a）＝－eq\f(1，－\f（1，fx)）＝f(x)．∴f(x）的周期為4a.答案：(1)2a（2)4a3．在公比為4的等比數(shù)列{bn｝中，若Tn是數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)積，則有eq\f（T20，T10），eq\f(T30，T20),eq\f（T40，T30）也成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地，在公差為3的等差數(shù)列{an｝中,若Sn是{an}的前n項(xiàng)和．可類比得到的結(jié)論是________．解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的公差d＝3，所以（S30－S20)－(S20－S10）＝（a21＋a22＋…＋a30）－(a11＋a12＋…＋a20）＝＝100d＝300，同理可得:(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列，且公差為300。即結(jié)論為：數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300。答案：數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為3004．在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AE，EB)＝eq\f(AC,BC），把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A.BCD中（如圖所示），平面DEC平分二面角A。CD。B且與AB相交于點(diǎn)E，則得到的類比的結(jié)論是________．解析：易知點(diǎn)E到平面BCD與平面ACD的距離相等，故eq\f（VE。BCD，VE。ACD)＝eq\f（BE，EA)＝eq\f（S△BCD，S△ACD）.答案：eq\f(VE。BCD，VE。ACD)＝eq\f（S△BCD，S△ACD）5．設(shè)a1,a2，a3，…,an均為自然數(shù)，稱a1＋eq\f(1，a2＋\f(1,a3＋\f（1,a4＋…)））為無窮連分?jǐn)?shù)．例如eq\r(2)＝(eq\r(2）－1)＋1＝1＋eq\f（1，\r（2)＋1）＝1＋eq\f（1,2＋\r（2）－1)＝1＋eq\f(1，2＋\f(1,2＋\f(1,2＋…)）).這里a1＝1，an＝2(n∈N＋,n≥2)．請(qǐng)你類比上式將eq\r（3）寫成無窮連分?jǐn)?shù)，并寫出an.解析：eq\r（3)＝1＋（eq\r(3)－1)＝1＋eq\f(2,\r(3）＋1)＝1＋eq\f(1,\f（\r(3）＋1,2））＝1＋eq\f（1,1＋\f(\r(3)－1，2))＝1＋eq\f（1,1＋\f(1,\r（3)＋1)）＝1＋eq\f(1，1＋\f（1，2＋\r(3)－1））＝1＋eq\f(1,1＋\f(1,2＋\f(1，1＋…）））.這里a1＝a2n＝1，a2n＋1＝2(n∈N＋)．6．已知以下過程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因?yàn)椋╪＋1)2－n2＝2n＋1,n2－（n－1)2＝2(n－1)＋1,……22－12＝2×1＋1,有(n＋1）2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n＋12－n－1，2）＝eq\f（n