2020高中數(shù)學(xué) 第章 空間向量與立體幾何 .2.2 平面的法向量與平面的向量表示學(xué)案 2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2。2平面的法向量與平面的向量表示學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解平面的法向量的概念，會(huì)求平面的法向量．（重點(diǎn))2.會(huì)用平面的法向量證明平行與垂直．(重點(diǎn)）3.理解并會(huì)應(yīng)用三垂線定理及其逆定理證明有關(guān)垂直問題．(難點(diǎn))1.通過本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.借助向量法證明有關(guān)平行與垂直問題，提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．平面的法向量及其應(yīng)用(1）平面的法向量：如果向量n的基線與平面α垂直，則向量n叫做平面α的法向量或說向量n與平面α正交．（2)平面的向量表示式：設(shè)A是空間任一點(diǎn)，n為空間內(nèi)任一非零向量，用eq\o（AM，\s\up15(→）)·n＝0表述通過空間內(nèi)一點(diǎn)并且與一個(gè)向量垂直的平面，這個(gè)式子通常稱為一個(gè)平面的向量表示式．(3)兩個(gè)平面平行或垂直的判斷：設(shè)n1，n2分別是平面α,β的法向量，則α∥β或α與β重合?n1∥n2；α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？[提示]平面的法向量與空間一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面,利用平面的法向量可以判斷直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．平面的法向量不唯一，它們都是共線的．2．三垂線定理及其逆定理：（1）射影：①已知平面α和一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作α的垂線l與平面α相交于點(diǎn)A′，則A′就是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的正射影，簡(jiǎn)稱射影．②圖形F上所有的點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影所成的集合F′，叫做圖形F在平面α內(nèi)的射影．（2）三垂線定理：如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直．（3）三垂線定理的逆定理:如果平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直．1．直線l的方向向量s＝(－1，1,1)，平面α的法向量為n＝（2,x2＋x，－x)，若直線l∥平面α，則x的值為()A．－2B．－eq\r（2)C.eq\r(2）D．±eq\r（2)D[線面平行時(shí),直線的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×（x2＋x）＋1×（－x）＝0，解得x＝±eq\r(2）.］2．設(shè)平面α的法向量的坐標(biāo)為（1,2，－2)，平面β的法向量的坐標(biāo)為（－2，－4，k)．若α∥β，則k等于（）A．2 B．－4C．4 D．－2C［因?yàn)棣痢桅拢詄q\f(1，－2)＝eq\f(2,－4）＝eq\f(－2,k），所以k＝4.］3．已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量a＝(2,3,1)，b＝（5，6,4)，則該平面的一個(gè)法向量為(）A．(1，－1,1） B．（2，－1，1)C．(－2，1，1) D．(－1,1，－1）C[顯然a與b不平行，設(shè)平面的法向量為n＝（x，y,z)，則有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a·n＝0，,b·n＝0，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋3y＋z＝0，，5x＋6y＋4z＝0.））令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1，1)．]求平面的法向量【例1】如圖所示,在四棱錐P。ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．AB＝AP＝1，AD＝eq\r(3），試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量．［解］因?yàn)镻A⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB，\s\up15(→)）的方向?yàn)閤軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，eq\r（3），0），Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r（3），2），\f(1，2)））,B（1,0,0),C(1，eq\r(3)，0），于是eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)，2），\f（1，2)))，eq\o（AC，\s\up15(→)）＝(1，eq\r（3)，0)．設(shè)n＝（x，y，z）為平面ACE的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（n·\o(AC，\s\up15(→))＝0，,n·\o（AE,\s\up15(→))＝0，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋\r(3)y＝0，,\f(\r（3），2）y＋\f（1,2)z＝0,））所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－\r（3)y,，z＝－\r(3)y，））令y＝－1，則x＝z＝eq\r（3）。所以平面ACE的一個(gè)法向量為n＝（eq\r(3)，－1，eq\r(3）)．利用待定系數(shù)法求法向量的解題步驟1．如圖所示,在四棱錐P。ABCD中，底面ABCD是菱形,平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∠ABC＝60°,E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面DEF的法向量．［解］因?yàn)镻A＝PB,F為AB的中點(diǎn)，所以PF⊥AB，又因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB,PF?平面PAB。所以PF⊥平面ABCD，因?yàn)锳B＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC是等邊三角形，所以CF⊥AB。以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)．由題意得F(0,0,0），Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，0，\f(\r（3），2））),Deq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－1，\f(\r(3),2)，0)），Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f(\r(3)，2)，0）），Eeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r（3）,4），\f(\r(3),4)）).所以eq\o(FE，\s\up15（→))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3)，4），\f(\r(3）,4）))，eq\o（FD，\s\up15(→））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－1,\f(\r(3),2),0）).設(shè)平面DEF的法向量為m＝（x，y，z）．則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m·\o(FE，\s\up15（→))＝0，,m·\o(FD，\s\up15(→）)＝0,））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3）,4)y＋\f（\r（3),4）z＝0，,－x＋\f(\r（3)，2)y＝0。))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（z＝－y,，x＝\f(\r（3）,2）y,))令y＝2，則x＝eq\r(3)，z＝－2。所以平面DEF的一個(gè)法向量為m＝（eq\r(3），2，－2).利用法向量證明空間中的位置關(guān)系［探究問題］1．平面的法向量有何特點(diǎn)？［提示]設(shè)向量n是平面α的一個(gè)法向量．則：(1)n是一個(gè)非零向量．（2）向量n與平面α垂直．（3)平面α的法向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們都與向量n平行，方向相同或相反．(4）給定空間中任意一點(diǎn)A和非零向量n，可確定唯一一個(gè)過點(diǎn)A且垂直于向量n的平面．2．用向量法證明空間線面垂直關(guān)系的關(guān)鍵是什么？[提示］設(shè)直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，a2，a3）,b＝(b1，b2，b3）,平面α，β的法向量分別為u＝(u1，u2，u3），v＝(v1，v2,v3）,則位置關(guān)系向量關(guān)系向量運(yùn)算關(guān)系坐標(biāo)關(guān)系l⊥ma⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0l⊥αa∥ua＝λu,λ∈Ra1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3α⊥βu⊥vu·v＝0u1v1＋u2v2＋u3v3＝0【例2】如圖所示，在正方體ABCD。A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別為棱BB1,CD，AA1(1）證明：C1M∥平面ADE(2）平面ADE⊥平面A1D1F［思路探究]建立空間坐標(biāo)系,求出平面ADE與平面A1D1F［解](1)以D為原點(diǎn)，向量eq\o（DA,\s\up15(→）），eq\o（DC,\s\up15(→)），eq\o（DD1，\s\up15(→））的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1。則D(0,0,0），A（1,0，0),Eeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，1,\f(1，2)))，C1(0，1，1），Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1,0，\f（1，2）)）,eq\o（DA,\s\up15（→))＝(1,0,0）,eq\o（DE，\s\up15（→)）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1，1，\f（1,2))），eq\o（C1M,\s\up15（→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,－1，－\f(1,2）))。設(shè)平面ADE的法向量為m＝（a,b，c)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m·\o(DA，\s\up15(→））＝0，m·\o(DE,\s\up15（→)）＝0）)?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0，,a＋b＋\f（1，2）c＝0。)）令c＝2，得m＝(0，－1，2），∵m·eq\o(C1M，\s\up15(→))＝（0,－1，2）·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，－1，－\f（1，2)）)＝0＋1－1＝0，∴eq\o(C1M,\s\up15(→))⊥m。又C1M?平面ADE，∴C1M∥平面(2）由D1（0，0，1）,A1（1,0，1），F(xiàn)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2)，0))，得eq\o（D1A1，\s\up15(→））＝(1，0,0)，eq\o（D1F,\s\up15（→))＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f（1,2），－1)）,設(shè)平面A1D1F的法向量為n＝(x，y，z則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1A1，\s\up15（→））＝0，，n·\o（D1F，\s\up15(→））＝0))?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0，,\f(1，2)y－z＝0。))令y＝2，則n＝（0，2,1)．∵m·n＝（0,－1，2）·（0，2,1）＝0－2＋2＝0，∴m⊥n?！嗥矫鍭DE⊥平面A1D1F1．(變結(jié)論)本例條件不變,試求直線D1E的一個(gè)方向向量和平面EFM的一個(gè)法向量．［解]如本例解析題,D1（0，0，1)，Eeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，1,\f(1，2））)，Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1,0，\f(1,2))），所以eq\o(D1E,\s\up15(→)）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1，1,－\f（1,2）))，即直線D1E的一個(gè)方向向量．設(shè)平面EFM的法向量為n＝（x，y,z），因?yàn)镕eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1，2),0））,所以eq\o（EF,\s\up15(→））＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－1,－\f(1，2），－\f(1，2)）)，eq\o（EM，\s\up15（→)）＝(0,－1,0)，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(n·\o（EF，\s\up15(→））＝0,，n·\o(EM,\s\up15（→）)＝0，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－x－\f(1,2）y－\f（1,2)z＝0，,－y＝0。)）所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（z＝－2x，,y＝0，))令x＝1，則z＝－2。所以平面EFM的一個(gè)法向量為(1,0，－2)．2．(變條件，變結(jié)論)在本例中設(shè)D1B1的中點(diǎn)為N，其他條件不變．試證：EN⊥平面B1AC[證明]如本例解析圖，Eeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，1,\f(1，2））)，Neq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2)，1)),A(1,0，0），B1（1，1，1），C(0，1,0)．∴eq\o(EN，\s\up15（→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2）,－\f（1,2)，\f(1，2)))，eq\o（AB1，\s\up15(→)）＝(0，1，1),eq\o(AC，\s\up15（→）)＝（－1,1，0)，∴eq\o（EN，\s\up15（→))·eq\o(AB1，\s\up15（→）)＝0，eq\o(EN，\s\up15(→））·eq\o（AC,\s\up15（→)）＝0，∴eq\o（EN,\s\up15(→))⊥eq\o(AB1，\s\up15（→）），eq\o(EN,\s\up15(→）)⊥eq\o(AC，\s\up15（→）),即EN⊥AB1，EN⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC利用向量法證明空間中的位置關(guān)系，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)向量,證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運(yùn)算。提醒：解這類問題時(shí)要利用好向量垂直和平行的坐標(biāo)表示.三垂線定理及逆定理的應(yīng)用【例3】如圖所示，三棱錐P.ABC中，PA⊥平面ABC，若O，Q分別是△ABC和△PBC的垂心，求證:OQ⊥平面PBC。[證明］如圖，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接PE.∵PA⊥平面ABC，AE⊥BC（由于O是△ABC的垂心),∴PE⊥BC（三垂線定理的逆定理),∴點(diǎn)Q在PE上．∵eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(AE⊥BC,,PE⊥BC，,AE∩PE＝E）)?BC⊥平面PAE?BC⊥OQ。①連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，則BF⊥AC。連接BQ并延長(zhǎng)交PC于點(diǎn)M，則BM⊥PC。連接MF?！逷A⊥平面ABC，BF⊥AC,∴BF⊥PC(三垂線定理）．∵eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（BM⊥PC，,BF⊥PC,，BM∩BF＝B））?PC⊥平面BMF?PC⊥OQ。②由①②，知OQ⊥平面PBC.利用傳統(tǒng)的幾何法進(jìn)行證明，在證明線面垂直時(shí)，首先應(yīng)證明線線垂直，本題在證明線線垂直時(shí)，應(yīng)用到了三垂線定理及其逆定理。2．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝eq\r(6),M是CC1中點(diǎn),求證：AB1⊥A1M。[證明]連接AC1，∵eq\f(AC,MC1)＝eq\f(\r（3）,\f(\r（6),2））＝eq\r(2)，eq\f（CC1,C1A1）＝eq\f（\r（6)，\r(3)）＝eq\r(2)，∴Rt△ACC1∽R(shí)t△MC1A1，∠AC1C＝∠MA1C∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，∴A1M⊥∵ABC。A1B1C1為直三棱柱,∴B1C1⊥CC又∵B1C1⊥A1C1，A1C1∩CC1＝∴B1C1⊥平面AC1,由三垂線定理知，AB1⊥A11．思考辨析(1）已知直線l垂直于平面α，向量a與直線l平行,則a是平面α的一個(gè)法向量． (）（2）若直線l是平面α外的一條直線；直線m垂直于l在平面α內(nèi)的