線性算子與線性泛函

第二章線性算子與線性泛函第一節(jié)有界線性算子一、線性算子本段中只需假設(shè)等是上的向量空間。定義：若一個映射滿足，則稱為從到的線性算子。容易看出，上述等式可推廣到更一般的情形：。命題2.1.1設(shè)是一線性算子，則以下結(jié)論成立：（1）任給子空間與子空間，與分別為與的子空間。特別，與（值域）是的子空間；是的子空間（稱為的核或零空間）。（2）若向量組線性相關(guān)，則亦線性相關(guān)；若是的子空間且，則。（3）是單射。說明：若，則稱為零算子，就記為0；若為常數(shù)，則稱為純量算子（或相似變換，若），記作，當(dāng)與1時，分別是零算子和單位算子。對線性算子可定義兩種自然的運(yùn)算：線性運(yùn)算與乘法。若是線性算子，，則是一個線性算子，它定義為若是另一個算子，則由定義出一個線性算子，稱它為與的乘積。實(shí)際上，線性算子的乘積就是它們的復(fù)合。容易原子能正驗(yàn)證，如上定義的運(yùn)算有以下性質(zhì)：只要以上等式的一端有意義。若線性算子為雙射，則稱它為線性同構(gòu)，此時其逆映射亦為線性算子。是線性同構(gòu)的充要條件是，存在線性算子，使得二、有界線性算子設(shè)是一個線性算子。令若，則稱為從到的有界線性算子，且稱為的算子范數(shù)，簡稱為范數(shù)。若，則稱為無界算子。約定以記從到的有界線性算子之全體，簡寫為。注1：的有界的等價刻畫：（1），有或（2）映中的有界集為中的有界集。注2：若，則對任給的有注3：范數(shù)定義的幾種等價形式（1）（2）（3）設(shè)，給定。定義是從到自身的線性算子。求。設(shè)是一個線性算子，則有界連續(xù)。推論：（1）是拓?fù)渫瑯?gòu)與皆連續(xù)（即為同胚）；（2）若，收斂，則有。例：設(shè)，在與中均采用sup范數(shù)。顯然是一線性算子。令，則，而，可見是無界算子。三、有界線性算子的運(yùn)算與擴(kuò)張：依算子范數(shù)是一個賦范空間；當(dāng)空間完備時，是Banach空間。定理2.1.7（擴(kuò)張定理）：設(shè)是的稠密子空間，，完備，則可保持范數(shù)惟一地擴(kuò)張到上。若線性算子是單射（即），則是一確定的線性算子，當(dāng)它有界時稱為的有界逆，并說有有界逆。線性算子有有界逆的充要條件是存在，使得。第二節(jié)常用有界線性算子一、矩陣設(shè)是有限維賦范空間，。分別取的基與的基。設(shè)則完全由矩陣所確定。若分別對應(yīng)矩陣，則算子恰好對應(yīng)矩陣。這樣，線性算子空間線性同構(gòu)于矩陣空間，因而對的研究可代之以對的研究。任給，依矩陣乘法自然地定義一個線性算子：其中當(dāng)作階矩陣。不妨用同一字母表示算子（2.2.1），它也可表成：若在中使用范數(shù)則可看作的子空間，只需將等同于中的元。通常稱范數(shù)（2.2.2）為范數(shù)，采用范數(shù)的也記作。相應(yīng)地，算子（定義見（2.2.1））的范數(shù)記作，即也稱為的范數(shù)。設(shè)，則。是的特征值的全體。以記一個無窮矩陣，其中。仿照，形式地定義一個算子：仍將式（2.2.7）所定義的算子記作。命題2.2.2設(shè)算子定義如式（2.2.7），依式（2.2.3）（但假定其中）。（1）若，則且。（2）若，則且。（3）若，則且。二、積分算子設(shè)，函數(shù)為定義在上的Lebesgue可測函數(shù)。定義積分算子要求上述積分對幾乎所有存在，函數(shù)稱為積分算子的核或核函數(shù)。命題2.2.3設(shè)是上的Lebesgue可測函數(shù)，算子依式（2.2.8）定義，約定（范數(shù)又稱為本性上確界）。1、若則且。2、若則且。3、若則且。例子考慮積分算子：取可將（2.2.9）寫成（2.2.8）的標(biāo)準(zhǔn)形式。由命題2.2.3得：。命題2.2.4設(shè)在上連續(xù)，積分算子定義如式（2.2.8），則，且下面考慮幾個具有特殊形式核的積分算子。（一）給定函數(shù)，以為核。此時，積分算子為通常將式（2.2.11）右端的積分記作，并稱它為函數(shù)與的卷積。算子顯然是在其有定義的集合上的線性算子，其定義域與性質(zhì)則取決于的選擇。命題設(shè)。（1）若，則，且。（2）若，則，且，此處，采用sup范數(shù)。（3）若，則，且。定理的證明需要如下引理：引理2.2.6設(shè)，，則當(dāng)時有。（二）以為核。此時就是的Fourier變換。命題，且。這里依sup范數(shù)為一Banach空間。三、微分算子設(shè)（1）若，則稱在中稠密；若，則稱為的稠子集；的稠子集就稱為稠集。（2）若含可數(shù)的稠子集，就稱為可分集；若本身可分，則稱為可分空間。（3）若，即為稠集，則稱為的基本集。（4）若是一序列，每個可惟一地表為，則稱為的Schauder基。注：（1）若是中的稠集，則每個可表為中某序列的極限；（2）若是的基本集，則每個可用中元的線性組合逼近；（3）稠集與Schauder基都是基本集；（4）可分有可數(shù)的基本集，因而有Schauder基的空間必定可分。（1）空間的基本集。令，1在第項，則是空間的Schauder基，因而是的基本集且是可分的。（2）空間的基本集，。由Weierstrass定理，每個可用上的多項式一致逼近，故上的多項式全體是中的稠集。其次，以記冪函數(shù)的全體，則顯然，故是的基本集，因而是可分的。（3）空間的基本集。注意到（ⅰ）每個可用連續(xù)函數(shù)逼近；（ⅱ）一致逼近強(qiáng)于逼近。因此空間的基本集也是的基本集，因而是可分的。此外，每個可用階梯函數(shù)一致逼近，而階梯函數(shù)為形如(是的子區(qū)間)的函數(shù)的線性組合，故{是的子區(qū)間}亦為的基本集。進(jìn)而是的基本集。（4）空間的基本集。對任何，令，則，即。而對每個視作的元可用上的階梯函數(shù)逼近。結(jié)合（3），有基本集{是有限區(qū)間}。（5）空間為任意開集的基本集。任給實(shí)或復(fù)值函數(shù)，約定，稱它為的支集。令是的有界子集，可以證明：在中稠密，因而是的基本集。（1）設(shè)，則有。（2）設(shè)，的Fourier變換定義為，則有。第三節(jié)對偶空間和對偶算子一、有界線性泛函定義給定上的賦范空間，約定，稱其為的對偶空間（由前面的結(jié)果，為Banach空間）。稱每個為上的有界線性泛函。注：（1）因有界線性泛函是有界線性算子的特殊情況，故關(guān)于一般有界線性算子的概念與結(jié)論，均適應(yīng)于有界線性泛函。（2）對，有。（3）（4）對上的線性泛函，有界連續(xù)。定義對與，稱為中由決定的超平面，也記為。注：過原點(diǎn)的超平面是的閉子空間。命題2.3.1設(shè)是一子空間。則以下兩條件等價：（1）有，使得；除一個常數(shù)因子的差別外，由惟一決定。（2）存在拓?fù)渲焙头纸猓颂幨侵械挠缮傻?維子空間。推論若，則。二、表示定理表示問題的一般思路是：對于給定的賦范空間，確定一個Banach空間，它通常是已被充分研究因而相當(dāng)熟悉的空間，使得存在等距同構(gòu)因而由式（2.3.4）得出結(jié)論：有通式，其中由惟一決定，且。若將與視為等同，則不妨認(rèn)定。這樣，通過同構(gòu)對應(yīng)式（2.3.4），本來很抽象的空間就獲得了一種具體的表示，就是的一個表示，或稱為一個實(shí)現(xiàn)。定理2.3.2設(shè)，則；有通式其中由惟一決定，且。定理2.3.3設(shè)，則，其中在上有界變差、右連續(xù)且；是中的緊集（即保持的緊性），因而有界；在上一致連續(xù)，即當(dāng)時，有；（2）在上取得最大值和最小值。注：若使得，則稱是最小化問題的最優(yōu)點(diǎn)或最優(yōu)解。定理1.4.4之（2）表明：若為緊集且，則問題（1.4.1）的最優(yōu)解存在。推論1.4.5（最佳逼近）設(shè)是的有限維子空間，。則存在，使得。即是中離最近的點(diǎn)，因而稱為在中的最佳逼近。特別：取為次數(shù)小于等于的多項式全體，（或，即得對任給的，存在次數(shù)小于等于的多項式，它是對的最佳一致（或）逼近。三、緊集的判定定理1.4.6（Arzela-Ascoli定理）相對緊的充要條件是：（1）一致有界，即依范數(shù)有界；（2）等度連續(xù)，即，當(dāng)時恒有。（3）若將換為任何有界閉區(qū)域，（1）、（2）仍成立。例若依范數(shù)（定義見式（1.2.6））有界，則作為的子集是相對緊的。設(shè)，則相對緊的充要條件是：（1）有界，即；（2）關(guān)于一致地有，即，，有。例是空間中的集（稱為Hilbert方體）。若，則中的閉單位球不是緊集。本定理的證明需用到著名的Riesz引理。引理1.4.9（Riesz引理）設(shè)是的閉子空間，。則存在，使得且。推論：（1）無限維賦范空間中的單位球面不是緊集。（2）平移與相似變換不改變集合的緊性。（3）無限維賦范空間中的閉球是非緊的。進(jìn)而有（4）無限維賦范空間中任何含內(nèi)點(diǎn)的集是非緊的，因而緊集必?zé)o內(nèi)點(diǎn)。例設(shè)，。顯然，且在上，但在上取不到最小值。四、綱定理設(shè)。若，則稱為疏集。可數(shù)個疏集之并稱為第一綱集；非第一綱集稱為第二綱集；第一綱集的補(bǔ)集稱為剩余集。例（1）無內(nèi)點(diǎn)的閉集是疏集；（2）單點(diǎn)集是疏集；（3）可數(shù)集是第一綱集。定理1.4.11（Baire綱定理）設(shè)完備，是第一綱集，則是第二綱集且為稠集。推論（1）設(shè)為一線性賦范空間，為疏集當(dāng)且僅當(dāng)，使得。（2）Banach空間是第二綱集。上幾乎所有連續(xù)函數(shù)處處不可微。第五節(jié)Hilbert空間一、內(nèi)積空間定義1.5.1設(shè)是上的向量空間。若對任一對元，指定了一個數(shù)，稱為與的內(nèi)積，它滿足以下內(nèi)積公理：（1）的線性性：；（2）共軛對稱性：；（3）正定性：，（這里），則稱為上的內(nèi)積空間。當(dāng)（或）時，上的內(nèi)積空間又稱為實(shí)（或復(fù)）內(nèi)積空間。例依下式所定義的內(nèi)積構(gòu)成一內(nèi)積空間。推論（1）；更一般地，有（2）；引理1.5.2（Schwarz不等式）對任給的，成立。推論對任給的，有。故為上的范數(shù)（稱其為由內(nèi)積定義的范數(shù)）。定義完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間。推論內(nèi)積依范數(shù)收斂是連續(xù)的，即若在中，則。例是Hilbert空間。這里是任一測度空間，中的內(nèi)積定義為。例是Hilbert空間。中的內(nèi)積定義為。定理1.5.3上的賦范空間是內(nèi)積空間的充要條件是，其中的范數(shù)滿足如下的中線公式（又稱為極化恒等式）：。二、正交系（1）設(shè)。若，則說與正交或直交，記為。（2）設(shè)。若當(dāng)時，則稱為正交系。若是正交系且（這等價于，是Konecker記號），則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交系。（3）設(shè)。約定，有；，有；，稱為的正交補(bǔ)。當(dāng)時，稱與相互正交。性質(zhì)：若是一有限正交系，則有。一般地，若，類似地有。性質(zhì)：不含零元的正交系必線性無關(guān)。性質(zhì)：設(shè)是中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。若可表為，則有，即表達(dá)式中的系數(shù)惟一確定。定義：若每個均可表為，則稱為的標(biāo)準(zhǔn)正交基。設(shè)是Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，則以下條件相互等價：（1）是的標(biāo)準(zhǔn)正交基；（2）是的基本集；（3）是極大正交系，即若，則；（4）對任給的，成立如下的Parseval等式：；（5）對任給的，成立如下內(nèi)積公式：。推論：任何Hilbert空間均與等距同構(gòu)。推論（標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在問題）：設(shè)是一個可分的無限維Hilbert空間，則其一定存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。三、標(biāo)準(zhǔn)正交基的例子1、三角函數(shù)系定義：形如的函數(shù)稱為三角多項式。定理：令，則三角多項式全體在中稠密。定理：設(shè)則的Foueier系數(shù)是，而其余的Foueier系數(shù)為零。并且對成立Parseval等式。推論：函數(shù)系是的基本集，并且也是標(biāo)準(zhǔn)正交基，因而每個可展開為均方收斂的Fourier級數(shù)：其中是通常的Foueier系數(shù)。問題：的Fourier級數(shù)的部分和均方收斂于是否意味著級數(shù)幾乎處處收斂，即：是否幾乎處處等于？（1）、早在1913年，魯津就猜測上式成立，這個猜測一直是三角級數(shù)理論的一個重要課題。（2）、1923年柯爾莫哥洛夫（Колмогоров）給出了一個，它的Fourier級數(shù)是處處發(fā)散的。（3）、1966年，L.Carleson證明魯津的猜測是正確的。（4）、1967年，R.A.Hunt證明；對于中的函數(shù)，其Fourier級數(shù)是幾乎處處收斂的。2、Legendre多項式系取，我們已經(jīng)得到：是中的基本集，將其標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到一個多項式系，稱為Legendre多項式系。定理：（1）Legendre多項式的一般表達(dá)式為（2）是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。3、Hermite多項式系稱為Hermite多項式。定理：若將中的內(nèi)積定義為，則多項式系為其標(biāo)準(zhǔn)正交基。4、Laguerre多項式系稱為Laguerre多項式。定理：若將中的內(nèi)積定義為，則多項式系為其標(biāo)準(zhǔn)正交基。5、Haar函數(shù)系以記區(qū)間的特征函數(shù)，令。定理：若補(bǔ)充，則是空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基。四、最佳逼近最佳逼近問題可描述為：對于給定的集與點(diǎn)，求一點(diǎn)，使得；即是最小化問題的最優(yōu)解。定理1.5.6設(shè)是的完備