群題極值點偏移

1、（2023合肥二模）已知，（）有兩個根，，求證：分析：幾何感受明顯，但有兩個地方帶，常用的對稱函數(shù)方法失效，但注意下圖：方法一：……（1）故只需證明，，的兩根，即可。下面證明：，，(,<0)記:,；令得，在（，）單調(diào)遞增；同理在（，0）單調(diào)遞減。又，；同理，只要證明的兩根，即的兩根即可；設，易知在（，0）單調(diào)遞減，在（0，）單調(diào)遞增，構造函數(shù)=，（），在（0，）單調(diào)遞增，即，又，，且，<0，，得證。方法二：證明：，，再由得：，（>1）2、已知函數(shù)，如果且，求證：（方法1）分析：已知的是相等關系所求是一個不等關系，已知的是函數(shù)值之間的關系所求是自變量之間的關系，故考慮利用函數(shù)的單調(diào)性。此外利用已知的相等關系將雙變量降為單變量，從而構造函數(shù)。證明：，易得當時，，當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且要證，只要，又易知所以只要證即可構造函數(shù)，在單調(diào)遞增，即，從而，即原結論成立，證畢。（方法2）（引入?yún)?shù)、設而不求，利用齊次式將雙變量降為單變量）因為，所以可設（1）+（2）得（1）-（2）得，帶入（3）得設，，則要證，只要只要即可，即只要即可（此處很重要，指對冪分離）設，所以，所以在單調(diào)遞增所以，即,即，從而原結論成立，證畢注：本題變式有兩個不同的實數(shù)根，，求證：3、已知，若且，求證：4、已知函數(shù)，,有兩個不同的零點求證：證明：的定義域為，顯然時，不符合題意時當單調(diào)遞減當單調(diào)遞增有極小值，且下面證明構造在單調(diào)遞減又又且在單調(diào)遞減又設易知在單調(diào)遞增，且由易知5、已知函數(shù)，若函數(shù)有兩根極值點求證：證明：設當時，在單調(diào)x遞增，不符合題意當時，若在上單調(diào)遞增若在單調(diào)遞減依題意有兩根不同的零點，不妨設要證明只要證明即可，下面證明：由上可知：且設故只要即即可令易知在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減即所以原結論得證。6、已知，函數(shù)有兩個零點（1）求實數(shù)的取值范圍。（2）證明：解析：設則原函數(shù)有兩個零點可轉化為有兩個根要證明只要即可（方法一）：對數(shù)均值不等式可證（方法二）：構造函數(shù)先設可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減可得要證只要即可只要即可,又構造函數(shù)7、已知（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）若有兩個不等實根求證：8、已知函數(shù)有兩個零點則下列說法正確的是（）.有極小值點且解析：(1)有極值點而且(2)又得(3)(4)下面另證，設此處不宜直接令也不要轉化為此處不宜直接令也不要轉化為原則是指對冪分離只要即可設在單調(diào)遞增所以再證（要證）只要即可設在上單調(diào)遞減9、已知,若有兩個不等實根求證：證明：設則則有兩不等實根(不妨設要證只要即可又時,單調(diào)遞增時單調(diào)遞減方程要有兩個不等實根，則即且下面證明（方法1）：,得證（方法2）：要證只要只要又所以只要證構造函數(shù)以下略10、（2023年新課標i）已知有兩個零點(1)求的取值范圍(2)設是的兩個零點，證明：11、(2023年中國科技大學自主招生考試)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值(2)設,且,證明：,其中為自然對數(shù)的底數(shù)12、(2023年湖南卷)已知函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間(2)證明：當時,13、(2023年遼寧卷)已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性(2)若函數(shù)的圖像與軸交于兩點，線段的中點的橫坐標為，證明：14、已知函數(shù)(1)若函數(shù)無零點，求實數(shù)的取值范圍(2)若存在兩個實數(shù)且,滿足,求證：15、已知的圖像上有兩點，其橫坐標為,且(1)證明：(2)證明：(3)若,求的取值范圍解析：(1),令得所以且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增構造函數(shù)（極值點偏移）易證以下略要證明只要即可（因為且，而在單調(diào)遞增所以只要證明只要即可構造函數(shù)在上單調(diào)遞增由于時，且