（福師網(wǎng)考）福建師范大學(xué)《實(shí)變函數(shù)》網(wǎng)考通關(guān)資料（含答案）

《實(shí)變函數(shù)》考試大綱附答案一、單項(xiàng)選擇題1、下列正確的是（）A.B.C.D.答案：B2、設(shè)E為中的一個(gè)不可測集，令，則必是（）A.L可積函數(shù)B.不是L可測函數(shù)C.無界函數(shù)D.連續(xù)函數(shù)答案：B3、若不是L可測，是L可測，則下列正確的是（）A.不是L可測B.不是L可測C.是L可測D.不是L可測答案：C4、若和都是中開集，且是的真子集，則（）A.B.C.D.答案：D5、若為L可積函數(shù)，則（）A.連續(xù)B.也L可積C.也L可積D.有界答案：B6、若且是L可積，則（）A.是L可測B.是L可積C.有界D.當(dāng)是L可測時(shí)，必L可積答案：D7.令，則在上()A.不是L可測B.不是廣義R可積C.L可積D.不是L可積答案：D8.令，則在上（）A.沒有L積分值B.廣義R可積C.L可積D.L積分具有絕對(duì)連續(xù)性答案：D9、設(shè)為上減函數(shù)，則為（）A.無界函數(shù)B.L可測函數(shù)C.不是幾乎處處連續(xù)D.絕對(duì)連續(xù)函數(shù)答案：B10、若，則（）A.處處可導(dǎo)B.C.D.處處連續(xù)答案：B11、若A，B均為非空閉集，則（）A.存在B.C.存在不相交開集D.對(duì)任意，存在答案：D12、在中，令，B是軸，則（）A.A為有界閉集B.B為有界閉集C.D.答案：C13、在中令，則（）A.B.B為有界閉集C.D.答案：A14、設(shè)在X上分別測度收斂于與，則（）A.測度收斂于B.測度收斂于C.測度收斂于D.測度收斂于答案：B15、在上定義，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，，當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，，則（）A.在上處處連續(xù)B.在上為L可測函數(shù)C.在上幾乎處處連續(xù)D.在上不是L可積函數(shù)答案：B16、當(dāng)，則（）A.連續(xù)B.C.D.答案：B17、若，則（）A.B.C.D.當(dāng)A或C之一為無限集時(shí)，答案：D18、設(shè)E為中的一個(gè)不可測集，令，則必是（）A.L可測函數(shù)B.L可積函數(shù)C.有界函數(shù)D.連續(xù)函數(shù)答案：C二、簡述Lebesgue積分與Riemann積分的區(qū)別與聯(lián)系解：（1）對(duì)于閉區(qū)間上有界實(shí)函數(shù)f，f常義R可積當(dāng)且僅當(dāng)幾乎處處連續(xù)（2）常義R可積時(shí)也必L可積，而且兩種積分值相等，但反之不成立（3）當(dāng)廣義R積分絕對(duì)收斂時(shí)，廣義R積分值與L積分值相等，而且有，廣義R積分絕對(duì)收斂當(dāng)且僅當(dāng)L可積三、敘述直線上非空開集的結(jié)構(gòu)，并簡述康托爾集（Cantor）的主要性質(zhì).解：（1）直線上非空開集是至多可數(shù)個(gè)兩兩不相交的開區(qū)間的并.（2）康托爾集C有下列主要性質(zhì)：是非空的有界閉集；沒有孤立點(diǎn)；是不可數(shù)集，具有連續(xù)統(tǒng)勢；測度等于零.四、簡述可測函數(shù)列的四種收斂性（處處收斂、幾乎處處收斂、一致收斂、測度收斂）之間的關(guān)系.解：（1）處處收斂必幾乎處處收斂，但反之不成立（2）一致收斂必處處收斂，但反之不成立（3）測度收斂與幾乎處處收斂和處處收斂沒有因果關(guān)系，但在一定條件下也有關(guān)系。測度收斂的可測函數(shù)列必有幾乎處處收斂的子列；測度有限的可測集上幾乎處處收斂的可測函數(shù)列必是測度收斂。五、設(shè),是互不相交的閉集，則有互不相交的開集,使,．證明：令，，則易知，且．又,故．因此，即．同理可證．故，因此是連續(xù)函數(shù)．故也是連續(xù)函數(shù)．故與為開集．六、設(shè)，則有區(qū)間，使得()．證明：設(shè)A有界（否則可取充分大，使，然后對(duì)有界的證本題）．由于A可測，由2．1．5得：存在開集GA,使GA=()．由1．5．1定理，存在開集列使=,互不相交．故=G()=．所以存在,使．即：，又．所以有區(qū)間，使<pΔ(Δ)．七、設(shè)則對(duì)任何可測集有證明：由Fatou定理有同理有．運(yùn)用性質(zhì)，若存在，則于是有=