2022年高考理數(shù)真題試卷（全國甲卷）

2022年高考理數(shù)真題試卷（全國甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2022·全國甲卷）若z=?1+3i，則A．?1+3i B．?1?3i C．2．（2022·全國甲卷）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3．（2022·全國甲卷）設(shè)全集U={?2，?1，0，1，2，3}，集合A={?1，2}，B={x∣x2?4x+3=0}A．{1，3} B．{0，3} C．{?2，1} D．{?2，0}4．（2022·全國甲卷）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）A．8 B．12 C．16 D．205．（2022·全國甲卷）函數(shù)y=(3x?A．?? B．??C．?? D．??6．（2022·全國甲卷）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+bx取得最大值A(chǔ)．-1 B．?12 C．17．（2022·全國甲卷）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，已知A．AB=2ADB．AB與平面AB1C．AC=CD．B1D與平面B8．（2022·全國甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB．“會圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+CD2OA．當(dāng)A．11?332 B．11?432 C．9．（2022·全國甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若A．5 B．22 C．10 D．10．（2022·全國甲卷）橢圓C：x2a2+A．32 B．22 C．1211．（2022·全國甲卷）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)A．[53，136) B．[12．（2022·全國甲卷）已知a=31A．c>b>a B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（2022·全國甲卷）設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且|a|=1，|b|=3，則(2a+b)?b=14．（2022·全國甲卷）若雙曲線y2?x2m215．（2022·全國甲卷）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．16．（2022·全國甲卷）已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．當(dāng)ACAB取得最小值時(shí)，BD=三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．（2022·全國甲卷）記Sn為數(shù)列{an（1）證明：{a（2）若a4，a18．（2022·全國甲卷）在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=3（1）證明：BD⊥PA；（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值．19．（2022·全國甲卷）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．20．（2022·全國甲卷）設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p，0)，過F（1）求C的方程：（2）設(shè)直線MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β．當(dāng)α?β取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．21．（2022·全國甲卷）已知函數(shù)f(x)=e（1）若f(x)≥0，求a的取值范圍；（2）證明：若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x四、選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．（2022·全國甲卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+t6y=t（1）寫出C1（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為2cosθ?sinθ=0，求C3與23．（2022·全國甲卷）已知a，b，c均為正數(shù)，且a2（1）a+b+2c≤3；（2）若b=2c，則1a

答案解析部分1．【答案】C【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算【解析】【解答】解：由題意得，z=?1?3i，

則zz=?1+3i2．【答案】B【知識點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差【解析】【解答】解：對于A，講座前中位數(shù)為70%+75%2>70%，所以A錯(cuò)；

對于B，講座后問卷答題的正確率只有1個(gè)是80%，4個(gè)85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%，所以B對；

對于C，講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所以C錯(cuò)；

對于D，講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%，

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%，所以D錯(cuò).

故選：B.3．【答案】D【知識點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算；一元二次方程【解析】【解答】解：由題意得，B={x∣x2?4x+3=0}=1，3，所以A∪B={-1，1，2，3}，

所以?U4．【答案】B【知識點(diǎn)】由三視圖求面積、體積；棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】解：由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積V=2+42×2×2=12.

故選：B.5．【答案】A【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值【解析】【解答】解：由題意得，f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cosx=-f(x)，又x∈[?π2，π2]

所以f(x)為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)x∈(0，π2]時(shí)，36．【答案】B【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)定義域?yàn)椋?，+∞），所以依題可知，f(1)=-2，f'(1)=0，

又f'x=ax?bx2，

則aln1+b=?2a?b=0，解得a=?2b=?2，

所以f'x=?7．【答案】D【知識點(diǎn)】直線與平面所成的角【解析】【解答】解：如圖所示：

不妨設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，B1D與平面ABCD所成角為∠B1DB，

B1D與平面AA1B1B所成角為∠DB1A，

所以sin30°=cB1D=bB1D，

即b=c，B1D=2c=a2+b2+c2，

解得a=2c．

對于A，AB=a，AD=b，AB=2AD，A錯(cuò)誤；

對于B，過B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB與平面AB1C1D所成角為∠BAE，

因?yàn)閠an∠BAE=ca=22，所以∠BAE≠30°，B錯(cuò)誤；

對于C，8．【答案】B【知識點(diǎn)】扇形的弧長與面積【解析】【解答】解：如圖，連接OC，

因?yàn)镃是AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)C⊥AB，

又CD⊥AB，所以O(shè)，C，D三點(diǎn)共線，

即OD=OA=OB=2，

又∠AOB=60°，

所以AB=OA=OB=2，

則OC=3，

故CD=2?3，

所以s=AB+CD2OA=2+9．【答案】C【知識點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺、球）【解析】【解答】解：設(shè)母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，

則S甲S乙=πr1lπr2l=r1r2=2，

所以r1=2r2，

又2πr1l+2πr2l=2π，

則r1+r2l=1，

10．【答案】A【知識點(diǎn)】斜率的計(jì)算公式；橢圓的簡單性質(zhì)【解析】【解答】解：依題意易知A（-a，0），

設(shè)P（x1，y1），則Q（-x1，y1），

則KAP=y1x1+a，KAQ=y1?x1+a，

故KAP·KAQ=y1x1+a·y1?x1+a=y12?x12+a11．【答案】C【知識點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的零點(diǎn)與最值【解析】【解答】解：依題意可得ω>0，因?yàn)閤∈（0，π），所以ωx+π3∈π3，ωπ+π3，

要使函數(shù)在區(qū)間（0，π）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又y=sinx，π3，3π的圖象如下所示：

則5π2<ωπ+π3≤3π，12．【答案】A【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；單位圓與三角函數(shù)線【解析】【解答】解：因?yàn)閏b=4tan14，因?yàn)楫?dāng)x∈0，π2，sinx<x<tanx，

所以tan14>14，即cb>1，所以c>b；

設(shè)fx=cosx+113．【答案】11【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】【解答】解：由題意得a→·b→=a→·b→·14．【答案】3【知識點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓的一般方程；雙曲線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】解：雙曲線y2?x2m2=1(m>0)的漸近線為y=±xm，即x±m(xù)y=0，不妨取x+my=0，

圓x2+y2?4y+3=0，即x2+(y-2)2=1，所以圓心為（0，2），半徑r=1，

依題意圓心（0，2）到漸近線x+my=0的距離d=15．【答案】6【知識點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式【解析】【解答】解：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有個(gè)結(jié)果n=C84=70，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有m=6+6=12個(gè)，

故所求概率P=mn=1216．【答案】3?1或【知識點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)CD=2BD=2m>0，

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB=m2+4+2m，

在△ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC=4m2+4-4m，

所以AC2AB2=4m2+4?4mm2+4+2m=4m2+4+2m?121+mm2+4+2m=4?17．【答案】（1）已知2Snn+n=2當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn?1①-②得，2S即2a即2(n?1)an?2(n?1)an?1=2(n?1)，所以所以{a（2）由（1）中an?an?1=1可得，a又a4，a7，a9即(a1+6)所以an=n?13，所以所以，當(dāng)n=12或n=13時(shí)(S【知識點(diǎn)】等差數(shù)列；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列遞推式【解析】【分析】（1）依題意可得2Sn+n2（2）由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出a1，即可得到{an}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．18．【答案】（1）證明：在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，

因?yàn)镃D//AB，AD=CD=CB=1，AB=2，所以四邊形ABCD為等腰梯形，所以AE=BF=1故DE=32，所以AD所以AD⊥BD，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA?平面PAD，所以BD⊥PA（2）解：由(1)知，PD，AD，BD兩兩垂直，BD=AB2?AD2∴PD=(0，0，?設(shè)平面PAB的法向量為n=(x，y，z)PA?n不妨設(shè)y=z=1，則n=(設(shè)PD與平面PAB的所成角為θ，則sin∴PD與平面PAB的所成的角的正弦值為55【知識點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)；用空間向量求直線與平面的夾角【解析】【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，利用勾股定理證明AD⊥BD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得PD⊥BD，從而可得BD⊥平面PAD，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）依題意建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.19．【答案】（1）解：設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A，B，C，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)（2）解：依題可知，X的可能取值為0，10，20，30，所以，P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16，P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44，P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34，P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.即X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13【知識點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差【解析】【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A，B，C，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，X的可能取值為0，10，20，30，再分別計(jì)算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．20．【答案】（1）解：拋物線的準(zhǔn)線為x=?p2，當(dāng)此時(shí)|MF|=p+p2=3所以拋物線C的方程為y2（2）解：設(shè)M(y12由x=my+1y2=4x可得y由斜率公式可得kMN=y直線MD：x=x1?2Δ>0，y1y3=?8所以k又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為α，β，所以kAB若要使α?β最大，則β∈(0，π設(shè)kMN=2k當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k即所以當(dāng)α?β最大時(shí)，kAB=2代入拋物線方程可得y2Δ>0，y3y所以直線AB：x=2【知識點(diǎn)】拋物線的定義；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】（1）由拋物線的定義可得MF=p+（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線MN：x=my+1，由韋達(dá)定理及斜率公式可得KMN=2KAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得KAB=221．【答案】（1）解：由題意得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，+∞，

f'x=1x?1x2ex?（2）證明：由題知，f(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1，一個(gè)零點(diǎn)大于1不妨設(shè)x要證x1x因?yàn)閤1，因?yàn)閒(x1即證e即證e下面證明x>1時(shí)，e設(shè)g(x)=e則g=(1?設(shè)φ(x)=所以φ(x)>φ(1)=e，而e所以exx所以g(