斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...特別指出：0是第0項(xiàng)，不是第1項(xiàng)。這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。斐波那契數(shù)列的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci），生于公元1170年，卒于1240年，籍貫是比薩。他被人稱(chēng)作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫(xiě)了《珠算原理》（LiberAbacci）一書(shū)。他是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點(diǎn)相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個(gè)阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數(shù)學(xué)。與黃金分割關(guān)系有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式卻是用無(wú)理數(shù)來(lái)表達(dá)的。而且當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來(lái)越逼近黃金分割0.618.（或者說(shuō)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值小數(shù)部分越來(lái)越逼近黃金分割0.618、前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值越來(lái)越逼近黃金分割0.618）1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...越到后面，這些比值越接近黃金比.平方與前后項(xiàng)從第二項(xiàng)開(kāi)始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1。如：第二項(xiàng)1的平方比它的前一項(xiàng)1和它的后一項(xiàng)2的積2少1，第三項(xiàng)2的平方比它的前一項(xiàng)1和它的后一項(xiàng)3的積3多1。（注：奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是指項(xiàng)數(shù)的奇偶，而并不是指數(shù)列的數(shù)字本身的奇偶，比如從數(shù)列第二項(xiàng)1開(kāi)始數(shù)，第4項(xiàng)5是奇數(shù)，但它是偶數(shù)項(xiàng)，如果認(rèn)為5是奇數(shù)項(xiàng)，那就誤解題意，怎么都說(shuō)不通）證明經(jīng)計(jì)算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)生活中斐波那契斐波那契數(shù)列中的斐波那契數(shù)會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹(shù)葉的排列、某些花朵的花瓣數(shù)（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數(shù)e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。斐波那契數(shù)與植物花瓣3………百合和蝴蝶花5………藍(lán)花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花8………翠雀花13………金盞和玫瑰21………紫宛34、55、89……………雛菊斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹(shù)木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點(diǎn)數(shù)葉子（假定沒(méi)有折損），直到到達(dá)與那些葉子正對(duì)的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個(gè)位置到達(dá)下一個(gè)正對(duì)的位置稱(chēng)為一個(gè)循回。葉子在一個(gè)循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個(gè)循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱(chēng)為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。黃金分割隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來(lái)越逼近黃金分割的0.6180339887..…楊輝三角將楊輝三角左對(duì)齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數(shù)加起來(lái)，即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8、……自然界中巧合斐波那契數(shù)列在自然科學(xué)的其他分支，有許多應(yīng)用。例如，樹(shù)木的生長(zhǎng)，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時(shí)間，供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹(shù)苗在一段間隔，例如一年，以后長(zhǎng)出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過(guò)一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹(shù)木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發(fā)現(xiàn)它們花瓣數(shù)目具有斐波那契數(shù)：3、5、8、13、21、……其中百合花花瓣數(shù)目為3，梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬(wàn)壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34,55和89三個(gè)數(shù)目的花瓣。斐波那契螺旋：具有13條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長(zhǎng)方式也是如此，對(duì)于許多植物來(lái)說(shuō)，每片葉子從中軸附近生長(zhǎng)出來(lái)，為了在生長(zhǎng)的過(guò)程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長(zhǎng)出來(lái)，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個(gè)角度稱(chēng)為“黃金角度”，因?yàn)樗驼麄€(gè)圓周360度之比是黃金分割數(shù)0.618033989……的倒數(shù)，而這種生長(zhǎng)方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時(shí)能達(dá)到89，甚至144條。1922年，兩位法國(guó)科學(xué)家通過(guò)對(duì)花瓣形成過(guò)程的計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了在系統(tǒng)保持最低能量的狀態(tài)下，花朵會(huì)以斐波那契數(shù)列長(zhǎng)出花瓣。影視作品中的斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列在歐美可謂是盡人皆知，于是在電影這種通俗藝術(shù)中也時(shí)常出現(xiàn)，比如在風(fēng)靡一時(shí)的《達(dá)芬奇密碼》里它就作為一個(gè)重要的符號(hào)和情節(jié)線索出現(xiàn)，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會(huì)計(jì)時(shí)隨口問(wèn)的問(wèn)題。可見(jiàn)此數(shù)列就像黃金分割一樣流行?？墒请m說(shuō)叫得上名，多數(shù)人也就背過(guò)前幾個(gè)數(shù)，并沒(méi)有深入理解研究。在電視劇中也出現(xiàn)斐波那契數(shù)列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國(guó)模擬考試題中的最后一道數(shù)學(xué)題，在FOX熱播美劇《Fringe》中更是無(wú)數(shù)次引用，甚至作為全劇宣傳海報(bào)的設(shè)計(jì)元素之一。斐波那契—盧卡斯數(shù)列盧卡斯數(shù)列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數(shù)列同樣的性質(zhì)。（我們可稱(chēng)之為斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和f(n)=f(n-1)+f(n-2）。盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式為f(n)=[(1+√5）/2]^n+[(1-√5)/2]^n這兩個(gè)數(shù)列還有一種特殊的聯(lián)系（如下表所示），F(xiàn)（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)n12345678910…斐波那契數(shù)列F(n)11235813213455…盧卡斯數(shù)列L(n)13471118294776123…F(n)*L(n)138215514437798725846765…類(lèi)似的數(shù)列還有無(wú)限多個(gè)，我們稱(chēng)之為斐波那契—盧卡斯數(shù)列。排列組合有一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法?這就是一個(gè)斐波那契數(shù)列：登上第一級(jí)臺(tái)階有一種登法；登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十級(jí)，有89種走法。類(lèi)似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問(wèn)不連續(xù)出現(xiàn)正面的可能情形有多少種？答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2)-[(1-√5)/2]^(10+2)}=144種。求遞推數(shù)列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項(xiàng)公式由數(shù)學(xué)歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），將斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)式代入，化簡(jiǎn)就得結(jié)果。兔子繁殖問(wèn)題斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”。一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來(lái)。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子？我們不妨拿新出生的一對(duì)小兔子分析一下：第一個(gè)月小兔子沒(méi)有繁殖能力，所以還是一對(duì)兩個(gè)月后，生下一對(duì)小兔對(duì)數(shù)共有兩對(duì)三個(gè)月以后，老兔子又生下一對(duì)，因?yàn)樾⊥米舆€沒(méi)有繁殖能力，所以一共是三對(duì)－－－－－－依次類(lèi)推可以列出下表：經(jīng)過(guò)月數(shù)0123456789101112幼仔對(duì)數(shù)101123581321345589成兔對(duì)數(shù)01123581321345589144總體對(duì)