圖形類方案設(shè)計(jì)

圖形類方案設(shè)計(jì)【例3】(2014·濟(jì)寧)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師發(fā)給每位同學(xué)一張半徑為6個(gè)單位長度的圓形紙板，要求同學(xué)們：(1)從帶刻度的三角板、量角器和圓規(guī)三種作圖工具中任意選取作圖工具，把圓形紙板分成面積相等的四部分；(2)設(shè)計(jì)的整個(gè)圖案是某種對稱圖形．王老師給出了方案一，請你用所學(xué)的知識(shí)再設(shè)計(jì)兩種方案，并完成下面的設(shè)計(jì)報(bào)告．名稱四等分圓的面積方案方案一方案二方案三選用的工具帶刻度的三角板帶刻度三角板、量角器、圓規(guī)．帶刻度三角板、圓規(guī).畫出示意圖簡述設(shè)計(jì)方案作⊙O兩條互相垂直的直徑AB，CD，將⊙O的面積分成相等的四份.(1)以點(diǎn)O為圓心，以3個(gè)單位長度為半徑作圓；(2)在大⊙O上依次取三等分點(diǎn)A，B，C；(3)連接OA，OB，OC.則小圓O與三等份圓環(huán)把⊙O的面積四等分．(4)作⊙O的一條直徑AB；(5)分別以O(shè)A，OB的中點(diǎn)為圓心，以3個(gè)單位長度為半徑作⊙O1，⊙O2；則⊙O1，⊙O2和⊙O中剩余的兩部分把⊙O的面積四等分.指出對稱性既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形軸對稱圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形【點(diǎn)評】本題主要考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案以及軸對稱圖形、中心對稱圖形的性質(zhì)，熟練利用扇形面積公式是解題關(guān)鍵．3．認(rèn)真觀察下圖的4個(gè)圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：(1)請寫出這四個(gè)圖案都具有的兩個(gè)共同特征．特征1：__都是軸對稱圖形__；特征2：__都是中心對稱圖形__．(2)請?jiān)谙聢D中設(shè)計(jì)出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征．圖形的分割與拼接【例4】(2014·廣安)在校園文化建設(shè)活動(dòng)中，需要裁剪一些菱形來美化教室．現(xiàn)有平行四邊形ABCD的鄰邊長分別為1，a(a＞1)的紙片，先剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形，又余下一個(gè)四邊形，…依此類推，請畫出剪三次后余下的四邊形是菱形的裁剪線的各種示意圖，并求出a的值．4．△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.(1)要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法(如圖①)，比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積更大？請說明理由．(2)圖①中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為S1；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個(gè)相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為S2(如圖②)，則S2＝__eq\f(1,2)__；再在余下的四個(gè)三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個(gè)相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個(gè)正方形的面積和為S3(如圖③)；繼續(xù)操作下去……則第10次剪取時(shí)，S10＝__eq\f(1,29)__．(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和．圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與翻折【例5】(2014·江西)如圖①，邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上(不與點(diǎn)A，B重合)，點(diǎn)F在BC邊上(不與點(diǎn)B，C重合)．第一次操作：將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；第二次操作：將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)H；依此操作下去……(1)圖②中的三角形EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為，求此時(shí)線段EF的長；(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH；①請判斷四邊形EFGH的形狀為，此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是；②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍．5．(2013·河南)如圖①，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖②，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是____；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是．(2)猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請你證明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E(如圖④)．若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF＝S△BDE，請直接寫出相應(yīng)的BF的長．立體圖形與平面圖形之間的相互轉(zhuǎn)化【例6】(2012·紹興)把一邊長為40cm的正方形硬紙板進(jìn)行適當(dāng)?shù)募舨?，折成一個(gè)長方形盒子(紙板的厚度忽略不計(jì))．(1)如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個(gè)同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的長方體盒子．①要使折成的長方體盒子的底面積為484cm2，那么剪掉的正方形的邊長為多少？②折成的長方體盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．(2)若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上)，將剩余部分折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，若折成的一個(gè)長方體盒子的表面積為550cm2，求此時(shí)長方體盒子的長、寬、高．(只需求出符合要求的一種情況)6．(2014·涼山州)如圖，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離為__20__cm.試題動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P，Q也隨之移動(dòng)．若限定點(diǎn)P，Q分別在AB，AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A′在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為____．錯(cuò)解：1.剖析學(xué)生主要缺乏動(dòng)手操作習(xí)慣，單憑想象造成錯(cuò)誤．本題考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度稍大，關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端，即BA′取最大或最小值時(shí)，點(diǎn)P或Q的位置．經(jīng)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點(diǎn)P與B重合時(shí)，BA′取最大值3和當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，BA′的最小值1.所以可求點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)的最大距離為2.正解當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，BA′取最大值是3，當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)(如圖)，由勾股定理得A′C＝4，此時(shí)BA′取最小值為1.則點(diǎn)A′在BC邊上移動(dòng)的最大距離為3－1＝2.答案3、解：(2)滿足條件的圖形有很多，只要畫正確一個(gè)．例4、解：①如圖，a＝4，②如圖，a＝eq\f(5,2)，③如圖，a＝eq\f(4,3)，④如圖，a＝eq\f(5,3)，【點(diǎn)評】本題主要考查了圖形的剪拼以及菱形的判定，根據(jù)已知平行四邊形ABCD將平行四邊形分割是解題關(guān)鍵．4、解：(1)如圖甲，由題意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如圖乙，設(shè)MN＝x，則由題意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，∴3x＝2eq\r(2)，解得x＝eq\f(2\r(2),3)，∴S正方形PNMQ＝(eq\f(2\r(2),3))2＝eq\f(8,9).∵1＞eq\f(8,9)，∴甲種剪法所得的正方形的面積更大；(2)由題意可得，S1＝1×1＝1，S2＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，S3＝22×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，S4＝23×eq\f(1,8)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,8)……Sn＝eq\f(1,2n－1).故S2＝eq\f(1,2)，S10＝eq\f(1,29)；(3)結(jié)合(2)中求得的規(guī)律：Sn＝eq\f(1,2n－1)，則第10次剪取后余下的所有小三角形的面積和為S9－S10＝S10＝eq\f(1,29).例5解：(1)等邊三角形．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°.∵ED＝FD，∴△ADE≌△CDF.(HL)∴AE＝CF，BE＝BF.∴BEF是等腰直角三角形．設(shè)BE的長為x，則EF＝eq\r(2)x，AE＝4－x.∵在Rt△AED中，AE2＋AD2＝DE2，DE＝EF，∴(4－x)2＋42＝(eq\r(2)x)2解得x1＝－4＋4eq\r(3)，x2＝－4－4eq\r(3)(不合題意，舍去)．∴EF＝eq\r(2)x＝eq\r(2)(－4＋4eq\r(3))＝4eq\r(6)－4eq\r(2)(2)①四邊形EFGH為正方形；AE＝BF.②∵AE＝x，∴BE＝4－x.∵在Rt△BEF中，EF2＝BF2＋BE2，AE＝BF，∴y＝EF2＝(4－x)2＋x2＝16－8x＋x2＋x2＝2x2－8x＋16，∵點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，點(diǎn)F不與點(diǎn)B，C重合，∴0＜x＜4.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x2－4x＋4)＋8＝2(x－2)2＋8，∴當(dāng)x＝2時(shí)有最小值8，當(dāng)x＝0或4時(shí)，有最大值16，∴y的取值范圍是8≤y＜16.【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，準(zhǔn)確找出其中的等量關(guān)系并列出方程是解本題的關(guān)鍵．5、解：(1)①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D恰好落在AB邊上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝eq\f(1,2)AB，∴BD＝AD＝AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC，AD上的高相等，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即S1＝S2；(2)∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACN＝∠DCM，,∠CMD＝∠N＝90°，,AC＝CD，))∴△ACN≌△DCM(AAS)，∴AN＝DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)，即S1＝S2；(3)如圖，過點(diǎn)D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE＝DF1，且BE，DF1上的高相等，此時(shí)S△DCF＝S△BDE，過點(diǎn)D作DF2⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°，∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1＝DF2，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，∴∠DBC＝∠DCB＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∴∠CDF1＝180°－30°＝150°，∠CDF2＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF1＝∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF1＝DF2，,∠CDF1＝∠CDF2，,CD＝CD，))∴△CDF1≌△CDF2(SAS)，∴點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，∵∠ABC＝60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝eq\f(1,2)×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝eq\f(1,2)×4÷cos30°＝2÷eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴BF1＝eq\f(4,3)eq\r(3)，BF2＝BF1＋F1F2＝eq\f(4,3)eq\r(3)＋eq\f(4,3)eq\r(3)＝eq\f(8,3)eq\r(3)，故BF的長為eq\f(4,3)eq\r(3)或eq\f(8,3)eq\r(3).例6解：(1)①設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm.則(40－2x)2＝484，解得x1＝31(不合題意，舍去)，x2＝9.∴剪掉的正方形的邊長為9cm.②側(cè)面積有最大值．設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm，盒子的側(cè)面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系為：y＝4(40－2x)x＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800