求證全等三角形的幾種方法

求證全等三角形的幾種方法課程解讀全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是此后學(xué)習(xí)其余知識(shí)的基礎(chǔ)。判斷三角形全等的公義有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，假如所給條件充分，則可直接依據(jù)相應(yīng)的公義證明，可是假如給出的條件不全，就需要依據(jù)已知的條件聯(lián)合相應(yīng)的公義進(jìn)行剖析，先推導(dǎo)出所缺的條件而后再證明。一些較難的證明題要結(jié)構(gòu)適合的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來(lái)，再進(jìn)行等量代換，就能夠化難為易了。典型例題全等三角形協(xié)助線找全等三角形的方法：（1）能夠從結(jié)論出發(fā)，找尋要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；2）能夠從已知條件出發(fā)，看已知條件能夠確立哪兩個(gè)三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確立哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不行行，可考慮增添協(xié)助線，結(jié)構(gòu)全等三角形。三角形中常有協(xié)助線的作法：①延伸中線結(jié)構(gòu)全等三角形；②利用翻折，結(jié)構(gòu)全等三角形；③引平行線結(jié)構(gòu)全等三角形；④作連線結(jié)構(gòu)等腰三角形。常有協(xié)助線的作法有以下幾種：（1）碰到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思想模式是全等變換中的“對(duì)折”。例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD均分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延伸線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。解答過(guò)程：證明：延伸BA，CE交于點(diǎn)F，在BEF和BEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，進(jìn)而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ABD和ACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。（2）若碰到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延伸線段與原中線長(zhǎng)相等，結(jié)構(gòu)全等三角形，利用的思想模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知

ABC中，AD是∠BAC的均分線，

AD又是

BC邊上的中線。求證：

ABC是等腰三角形。?解答過(guò)程：?證明：延伸AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE。又由于AD是BC邊上的中線，∴BD=DC又∠BDE=∠CDABED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的均分線∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，AB=EB，進(jìn)而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解題后的思慮：題目中假如出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延伸此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，即可獲得全等三角形。（3）碰到角均分線，能夠自角均分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思想模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)經(jīng)常是角均分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3：已知，如圖，AC均分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。解答過(guò)程：證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F?！逜C均分∠BAD，CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思慮：①對(duì)于角平行線的問(wèn)題，常用兩種協(xié)助線；②見(jiàn)中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。（4）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，結(jié)構(gòu)全等三角形，利用的思想模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4：如圖，ABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延伸線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。解答過(guò)程：證明：過(guò)E作EG//AC交BC于G，則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，DE=DF。解題后的思慮：本題的協(xié)助線還能夠有以下幾種作法：例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP均分∠BAC交BC于P，BQ均分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。解答過(guò)程：證明：如圖（1），過(guò)O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思慮：1）本題也能夠在AB上截取AD=AQ，連OD，結(jié)構(gòu)全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。（2）本題利用“平行法”的解法也許多，舉比以下：①如圖（2），過(guò)O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO進(jìn)而得以解決。④如圖（5），過(guò)P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP進(jìn)而得以解決。小結(jié)：經(jīng)過(guò)一題的多種協(xié)助線增添方法，領(lǐng)會(huì)增添協(xié)助線的目的在于結(jié)構(gòu)全等三角形。而不一樣的增添方法實(shí)質(zhì)是從不一樣門(mén)路來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，領(lǐng)會(huì)結(jié)構(gòu)的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的看法能夠看到，無(wú)論是作平行線仍是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換結(jié)構(gòu)了全等三角形。5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，詳細(xì)作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延伸，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的相關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這類(lèi)作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目。例6：如圖甲，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。解答過(guò)程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。解題后的思慮：碰到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，而后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延伸，延伸部分等于另一條短線段，而后證明新線段等于長(zhǎng)線段。1）對(duì)于證明相關(guān)線段和差的不等式，往常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想方法將其放在一個(gè)三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延伸某邊組成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形圖中有角均分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)此后關(guān)系現(xiàn)。角均分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角均分線加垂線，三線合一試一試看。線段垂直均分線，常向兩頭把線連。線段和差及倍半，延伸縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連結(jié)則成中位線。三角形中有中線，延伸中線等中線。同步練習(xí)（答題時(shí)間：90分鐘）這幾道題必定要仔細(xì)思慮啊，都是要增添協(xié)助線的，開(kāi)動(dòng)腦筋好好想想吧！加油！你必定行！1、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD均分∠ABC。求證：∠BAD+∠BCD=180°。2、已知，如圖2，∠1=∠2，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD。求證：∠BAP+∠BCP=180°。3、已知，如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB=AC+CD。試題答案1、剖析：由于平角等于180°，因此應(yīng)試慮把兩個(gè)不在一同的角經(jīng)過(guò)全等轉(zhuǎn)變成為平角，圖中缺乏全等的三角形，因此解題的重點(diǎn)在于結(jié)構(gòu)直角三角形，可經(jīng)過(guò)“截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法”來(lái)實(shí)現(xiàn)。證明：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直BA的延伸線于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，如圖1-2Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠DAE=∠DCF。又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°2、剖析：與1相近似，證兩個(gè)角的和是180°，可把它們移到一同，讓它們成為鄰補(bǔ)角，即證明∠BCP=∠EAP，因此本題合用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。證明：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直BA的延伸線于點(diǎn)E，如圖2-2Rt△APE≌Rt△CPD(SAS)，∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°?！唷螧AP+∠BCP=180°3、剖析：從結(jié)論剖析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)變，即延伸AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。證明：方法一（補(bǔ)短法）延伸AC到E，使DC=CE，則∠CDE＝∠CED，如圖3-2∴△AFD≌△ACD（SAS），∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，F(xiàn)D=FB。AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD。4、證明：（方法一）將DE兩邊延伸分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE；①在△BDM中，MB+MD>BD；②在△CEN中，CN+NE>CE；③由①+②+③得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC（方法二：圖4-2）延伸BD交AC于F，延伸CE交BF于G，在△ABF、△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF①GF+FC>GE+CE②DG+GE>DE③由①+②+③得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC。5、剖析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，因此有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左側(cè)比要證結(jié)論多BD+CD，故不可以直接證出本題，而由2AD想到要結(jié)構(gòu)2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB+AC>2AD。6、剖析：欲證AC=BF，只需證AC、BF所在兩個(gè)三角形全等，明顯圖中沒(méi)有含有AC、BF的兩個(gè)全等三角形，而依據(jù)題目條件去結(jié)構(gòu)兩個(gè)含有AC、BF的全等三角形也其實(shí)不簡(jiǎn)單。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角平等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只需說(shuō)明轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形此后的這兩條線段，所對(duì)的角相等即可。思路一、以三角形ADC為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在三角形BFH中方法一：延伸AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，證明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。經(jīng)過(guò)證明∠H=∠BFH，獲得BF=BH?！唷鰽DC≌△HDB(SAS)AC=BH，∠H=∠HACEA=EF∴∠HAE=∠AFE又∵∠BFH=∠AFE∴BH=BF∴BF=AC方法二：過(guò)B點(diǎn)作BH平行AC，與AD的延伸線訂交于點(diǎn)H，證明△ADC和△HDB全等即可。小結(jié)：對(duì)于含有中點(diǎn)的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)“倍長(zhǎng)中線”能夠獲得