分?jǐn)?shù)計(jì)算技巧

分?jǐn)?shù)計(jì)算技巧對(duì)于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，除了掌握常規(guī)的四則運(yùn)算法則外，還應(yīng)該掌握一些特殊的運(yùn)算技巧。分?jǐn)?shù)計(jì)算技巧也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的考點(diǎn)之一。1.湊整法與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四則運(yùn)算法則和運(yùn)算律(如交換律、結(jié)合律、分配律)，使部分的和、差、積、商成為整數(shù)、整十?dāng)?shù)從而使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。...12517例1計(jì)算(3-+6-+l--l-8^)X(2-—)13217原式=+7=20X2-20X—20=40-7=33.TOC\o"1-5"\h\z14例2計(jì)算X25+32t7^4+0.25X125解；1z^^=4x25+-x25+32-^4+--4+0.25x4x-31=100+5+3+-^31=144^.772.約分法m，丄甘62091069333337例31IW2X620910693333372x-5-W0132286910^02_265351069310602=10013X22869X333375x^xlix^llixlixlX^x2xlix31二—_z———X-~:X———;——-^x^x7xilxux5x3x2"7^1130例4計(jì)算99X(1-1)X(1-1)XC1-1)X-X(1-A)c解=1239S原式.99X-X_X-X^X-_=1O1^2^3-^2^4^6+7x14^21解：原式=解：原式=解：原式=1x3x5+2x6x10^7x21x35IX2X3*25X(1X2X3)+711解：原式=11^例叭十算（扌+*+…烷尸◎扌+…IX2X3*25X(1X2X3)+711^例叭十算（扌+*+…烷尸◎扌+…X(1X2X3)1x3~x5-h2rX(1x3\5)+7311^例叭十算（扌+*+…烷尸◎扌+…（1X2乂3）乂（】+夕+尸）（1X3X5）x（i+231X2X3_21X3X5V3?裂項(xiàng)法將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。TOC\o"1-5"\h\zE-211】111訃4汗2&12203042解；百十—1JLJL+2><3^3x4+4x55><6+6^7__丄2_11_12_1]_2=]~2^2~3^3~1^4~5十十§_亍例7在自然數(shù)1?100中找出10個(gè)不同的數(shù)，使這10個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和等于1。解：這道題看上去比較復(fù)雜，要求10個(gè)分子為1、而分母不同的分?jǐn)?shù)的和等于1，似乎無(wú)從下手。但如果巧用1/n-1/（n+1）=1/n（n+1）來(lái)做，就非常簡(jiǎn)單了。因?yàn)閉+|+扌-”￡,所以可根據(jù)題中所求，添上括號(hào)。此題要求的是10個(gè)數(shù)的倒數(shù)和為1,于是做成：-2X3^3X4+4X5+5^~6^6^7+7xg+8^99x10+10111111111126122030425?723010

所以，要求的10個(gè)數(shù)是：2、6、12、20、30、42、56、72、90、10。本題的解不是唯一的，例如由1/10+1/30=1/9+1/45可知，用9和45可以替換上面解答中的10和30，同樣符合要求。4?代數(shù)法計(jì)算計(jì)算（1*卜計(jì)算（1*卜46(4計(jì)算（1*卜46(4丄3^23解：通分計(jì)算太麻煩.不可取。注意到每個(gè)括號(hào)中都有1+-+-,111二匕斗不妨設(shè)+3^4A1則原式=（1十直）"直十5-（"直+*）＞＜蟲=A+^+A—+H-x33x44x55x6—+H-x33x44x55x6■5°5.分組法例9計(jì)算“耳吩+7存9撲洛+噲+噲+吩原式二（1+甜砕件原式二（1+甜砕件肝11+1銖15+訶）+（|+^46*77x3+Sx?+9xlO：＞11111111LH11)2030425672901111119~WO1J111111111119~W二81+f十1H1—^233^445566=81+(--丄)2102=幻一52)/+*…+厶“+(蛍馬+蘭204520192020解：n的分?jǐn)?shù)之和為n的分?jǐn)?shù)之和為TOC\o"1-5"\h\z[2fL[1_一+一+…+x[]+24+niinn1[1+(n-1)]x(n-1)n(n一1】口一1—x；n22n2原式中分母為2-20的分?jǐn)?shù)之和依次為19T1224原式19T原式=原式=一_|_1_1_1_2222原式=二丄X(1+2+E+4+“?+19)2190=9又26.—些典型例題十11111it算1+——++++仁1+21+2+31+2+3+4"2+并……*2。解：觀察這些分?jǐn)?shù)的分母，都是連續(xù)自然數(shù)的和，我們可以先求出分母來(lái)，再進(jìn)行裂項(xiàng)計(jì)算。+十+■-*--■++21*2*31+2+3*41+2+>……*20,1111(1+2)咒2(1+$x3(14卸)冥4(1+塑冥2022~2222_221?2+2^3*~=—*20x21=2“詩(shī)2、計(jì)算：1111~2+3~4+"'^199719觀19貽111'~~'1++1+19?92^2000?十200199?-h2997+1000+29^8分子二十—+—23419濟(jì)19931999_2J1+1+1++-L1,2461998rii1]rI11)14—亠一-I-■-■+-1+-+-+-.-4-I231999J1I.23999J11,1—十十-…十m111分母=++++20002002200439363998=2x(111〕十十-十J11—十...十1999(11~O原式=-100010012x3、計(jì)畀:夕一1?-143-12—1?-143-120053-1其富冥瀘F+1?4-1半十1"20053+1(2-1)(^+2十1),3—1)(扌十了十1)』—哄畢十4十1》v(2005-1)(200^十2QQ了十1)(2+0(，—2+1)況(3+嘰爭(zhēng)-？+1)X^+lX43-4+l)XX(2005+l)(S005a-5005+1)1x7z2xl3v3x21v<1x31^5x43v2003x4018021v200^1x40220313^34x75x136x217x312005x40140132006x40160211x2x40220313x2005x2006134067720110154、’丄音246330It辱>:+——_+十—1x33x55x77x929x31246230—+—十十1x33x55x71^929x31fl2、—斗一+_-|-———-p—C5JU7J1516313115315、計(jì)算：22005-r嚴(yán)+1?+1v2a-l+3Mi4^+14a-l200歹十1]2208-22005-它十〔今十1軍十I2005^+?孑匚I*孑匸1七十2005'_1丿『護(hù)一1+2羅―1+2車—1+220052-1+2^十T十…十4^-12005a-I)I22-122005-lx2004+2x?t1+3M+：4M+"+205?^2004x2005；；22005-2004+2x2嘰皿三些沁+2053~20Q5+20042006；20H0n計(jì)算:4022030110*+324IIx1224+324)xf34^+324ix(46*+324)\f\r\fXf!4*+3241XI154+324i284+324ix14C4+32411f1?*1I■ilO*-n324ixi224十324ixi34*+3^41X^46*十艾4丨i羊+324ixfl6*+324kxi2S*+324)xMO4+艾4i(10*4-183+2x10^x!8-2>;ltflxl8jx(224+324)x(34*+334)^(46*+324)-?44+182+2x43xl8-2x4ax!81xj!6*+3241k<28*+32-4jxi404+324jHO24-13ia-602^(22*+324)x(34*+324)k(46*+324j<4a+18i3-24a>?xi16*+324ix1284+324)xf40*+334>\J1■■1_178x58x634x370x1378x970x2^110x1858~58x：0x370xl78x970x634x1858x137824W=io-=241練習(xí)題z117昇妝111計(jì)鼻；(6665421995^31!;13|4?15172212-計(jì)算'卜2-計(jì)算'卜Fh11163991231QQ4199主3-+5--F7-+--+3989—-F3991—345199619975.計(jì)算:1#卜】+fl}]]1231QQ4199主3-+5--F7-+--+3989—-F3991—345199619975.計(jì)算:1#卜】+fl}]]X1+—XX1+——Xto□壬26122d30<422341Q9519961±_h2-+3-+-+1994—-4-1995——4計(jì)算.34519%19976.計(jì)算:567+345x566_TOC\o"1-5"\h\z567x545+222'6.計(jì)算:?“I6￡d15*14"1312?.計(jì)聲：71-x-十&1一兀一十51—天一十斗1一匯一+31-X--S756453433408109冃十19139

心2丄25…1陰"iVi十134-I-+-I-?■??