2022-2023學(xué)年蘇教版選擇性必修第一冊 3.1.2.2 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 學(xué)案

課題:§3.1.2.2橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用目標要求1、理解并掌握直線與橢圓的位置關(guān)系．2、理解并掌握弦長及中點弦問題．3、理解并掌握與橢圓有關(guān)的綜合問題．4、理解并掌握橢圓方程及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標本章內(nèi)容的處理方式與“直線與方程”“圓與方程”一樣，都以滲透解析幾何的基本思想為教學(xué)目標，以“展示背景，建立曲線概念；建立方程，利用方程研究曲線性質(zhì)”為主線，從特殊到一般，在學(xué)生具有較多感性認識的基礎(chǔ)上建立一般曲線方程的概念．這種從感性到理性的學(xué)習(xí)過程符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律．本章以橢圓、雙曲線、拋物線為載體，首先從生活實際和數(shù)學(xué)實驗中抽象出曲線的定義，進而類比直線、圓的研究方法，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，得到圓錐曲線的方程，并利用方程研究圓錐曲線的性質(zhì)．在對三種曲線的研究過程中，雖然這三種曲線各有特點，但研究的思路和方法是一致的，這樣可以讓學(xué)生充分感受和理解解析幾何研究問題的基本思路．最后通過“鏈接”，從圓錐曲線的統(tǒng)一定義的角度進一步認識三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系．重點難點重點：與橢圓有關(guān)的綜合問題；難點：橢圓方程及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.點與橢圓的位置關(guān)系設(shè)P(x0，y0)，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則點P與橢圓的位置關(guān)系如表所示：位置關(guān)系滿足條件P在橢圓外eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)___1P在橢圓上eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)＝1P在橢圓內(nèi)eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)___12.直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y，得關(guān)于x的一元二次方程．當Δ＞0時，方程有兩個不同解，直線與橢圓______；當Δ＝0時，方程有兩個相同解，直線與橢圓_______；當Δ＜0時，方程無解，直線與橢圓_______．【課前預(yù)習(xí)思考】(1)過原點的直線和橢圓相交，兩交點關(guān)于原點對稱嗎？(2)直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有怎樣的位置關(guān)系？3．弦長公式設(shè)直線l：y＝kx＋m(k≠0，m為常數(shù))與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交，兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).弦長公式①：AB＝_____________________________．弦長公式②：AB＝_____________________________．【課前基礎(chǔ)演練】題1．已知直線l：x＋y－3＝0，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不能確定題2．已知橢圓C的焦點在x軸上，長軸長為4，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1題3．直線l與橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1相交于A，B兩點，若直線l的方程為x－2y＋1＝0，則線段AB的中點坐標是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))題4．直線y＝kx－k＋1(k≠0)與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定題5．橢圓ax2＋by2＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0))與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為eq\f(\r(3),2)，則eq\f(b,a)的值為()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(9\r(3),2)D．eq\f(2\r(3),27)題6．過橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左焦點且斜率為1的弦AB的長是________．題7．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1(a＞eq\r(2))的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.過左焦點F1作斜率為－2的直線與橢圓交于A，B兩點，P是AB的中點，O為坐標原點，若直線OP的斜率為eq\f(1,4)，則a的值是________．【當堂鞏固訓(xùn)練】題8．已知O為坐標原點，點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點，A為橢圓C上的一點，且AF2⊥F1F2，AF1與y軸交于點B，則|OB|的值為()A．eq\f(3,2)B．eq\f(3,4)C．eq\f(5,2)D．eq\f(5,4)題9．已知點P在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1上運動，點Q在圓(x－1)2＋y2＝eq\f(5,8)上運動，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))的最小值為()A．2B．eq\f(\r(10),2)C．2－eq\f(\r(10),4)D．eq\f(\r(10),4)題10．直線y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(0，3)∪(3，＋∞)C．(1，3)∪(3，＋∞)D．(1，＋∞)題11．P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右焦點，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,2)C．1D．3eq\r(3)題12．已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若點P恰為弦AB中點，則直線l的斜率是()A．－3B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)題13．設(shè)B是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上頂點，若C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是()A．[eq\f(\r(2),2)，1) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(0，eq\f(\r(2),2)] D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))題14（多選題）．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，直線y＝x－eq\r(3)過F2交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為8，則()A．橢圓焦距為eq\r(3)B．橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1C．弦長AB＝eq\f(8,5)D．S△OAB＝eq\f(4\r(6),5)題15（多選題）．已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1內(nèi)一點M(1，2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且M為線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．橢圓的焦點坐標為(2，0)，(－2，0)B．橢圓C的長軸長為4eq\r(2)C．直線l的方程為x＋y－3＝0D．AB＝eq\f(4\r(3),3)題16．已知直線l：y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1交于M，N兩點，且|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，則k＝________．題17．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，直線l：y＝eq\r(3)x與橢圓C相交于A，B兩點(A在B上方)，若AF⊥BF，則橢圓C的離心率為____________．題18．過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點M(2，1)引一條弦，使弦被M點平分．(1)求此弦所在的直線方程．(2)求此弦長．【課堂跟蹤拔高】題19．橢圓4x2＋9y2＝144內(nèi)有一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))，過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為()A．3x＋2y－13＝0B．2x＋3y－12＝0C．4x＋9y－30＝0D．9x＋4y－39＝0題20．在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中，A1，A2分別為橢圓的左右頂點，F(xiàn)1為左焦點，M是橢圓上的點，則△MF1A2的面積最大值為()A．16B．32C．16eq\r(2)D．32eq\r(2)題21．羅馬競技場，建于公元72年到82年，是古羅馬文明的象征，其內(nèi)部形狀近似為一個橢圓形，其長軸長約為188米，短軸長約為156米，競技場分為表演區(qū)與觀眾區(qū)，中間的表演區(qū)也近似為橢圓形，其長軸長為86米，短軸長為54米，若橢圓的面積為πab(其中a，b分別為橢圓的長半軸長與短半軸長，π取3.14)，已知觀眾區(qū)可以容納9萬人，由此推斷，觀眾區(qū)每個座位所占面積約為()A．0.41平方米 B．0.32平方米C．0.22平方米 D．0.12平方米題22．(多選題)泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點F(1，0)，直線l：x＝4，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半．若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是()A．點P的軌跡方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1B．直線l1：x＋2y－4＝0是“最遠距離直線”C．平面上有一點A(1，1)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))的最小值為3D．點P的軌跡與圓C：x2＋y2－2x＋eq\f(1,2)＝0是沒有交匯的軌跡(也就是沒有交點)題23．設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1的交點為A，B，點P為橢圓上的動點，則使△PAB的面積為eq\f(1,2)的點P的個數(shù)是________．題24．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點M(2，3)，點A為其左頂點，且AM的斜率為eq\f(1,2)，則橢圓C的方程為________；點N為橢圓上任意一點，則△AMN的面積的最大值為________．題25．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\r(2)，若M為橢圓上一點，線段MF1與圓C：x2＋y2＝1相切于該線段的中點N.(1)求橢圓C的方程；(2)若過F1作直線l與橢圓C交于兩點A，B，且橢圓C上存在點P，滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，求直線l的方程．題26．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點A(0，－2)，以四個頂點圍成的四邊形面積為4eq\r(5).(1)求橢圓E的標準方程；(2)過點P(0，－3)的直線l斜率為k，交橢圓E于不同的兩點B，C，直線AB交y＝－3于點M，直線AC交y＝－3于點N.若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范圍．編號：017課題:§3.1.2.2橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用目標要求1、理解并掌握直線與橢圓的位置關(guān)系．2、理解并掌握弦長及中點弦問題．3、理解并掌握與橢圓有關(guān)的綜合問題．4、理解并掌握橢圓方程及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標本章內(nèi)容的處理方式與“直線與方程”“圓與方程”一樣，都以滲透解析幾何的基本思想為教學(xué)目標，以“展示背景，建立曲線概念；建立方程，利用方程研究曲線性質(zhì)”為主線，從特殊到一般，在學(xué)生具有較多感性認識的基礎(chǔ)上建立一般曲線方程的概念．這種從感性到理性的學(xué)習(xí)過程符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律．本章以橢圓、雙曲線、拋物線為載體，首先從生活實際和數(shù)學(xué)實驗中抽象出曲線的定義，進而類比直線、圓的研究方法，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼担玫綀A錐曲線的方程，并利用方程研究圓錐曲線的性質(zhì)．在對三種曲線的研究過程中，雖然這三種曲線各有特點，但研究的思路和方法是一致的，這樣可以讓學(xué)生充分感受和理解解析幾何研究問題的基本思路．最后通過“鏈接”，從圓錐曲線的統(tǒng)一定義的角度進一步認識三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系．重點難點重點：與橢圓有關(guān)的綜合問題；難點：橢圓方程及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.點與橢圓的位置關(guān)系設(shè)P(x0，y0)，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則點P與橢圓的位置關(guān)系如表所示：位置關(guān)系滿足條件P在橢圓外eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)>1P在橢圓上eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)＝1P在橢圓內(nèi)eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)<12.直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y，得關(guān)于x的一元二次方程．當Δ＞0時，方程有兩個不同解，直線與橢圓相交；當Δ＝0時，方程有兩個相同解，直線與橢圓相切；當Δ＜0時，方程無解，直線與橢圓相離．【課前預(yù)習(xí)思考】(1)過原點的直線和橢圓相交，兩交點關(guān)于原點對稱嗎？(2)直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有怎樣的位置關(guān)系？提示：(1)根據(jù)橢圓的對稱性知，兩交點關(guān)于原點對稱．(2)直線y＝kx＋1恒過定點(0，1)，點(0，1)在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的內(nèi)部，因此直線與橢圓相交．3．弦長公式設(shè)直線l：y＝kx＋m(k≠0，m為常數(shù))與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交，兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).弦長公式①：AB＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)．弦長公式②：AB＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)．【課前基礎(chǔ)演練】題1．已知直線l：x＋y－3＝0，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不能確定【解析】選C.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0,\f(x2,4)＋y2＝1))，得eq\f(x2,4)＋(3－x)2＝1，化簡得5x2－24x＋32＝0，因為Δ＝242－4×5×32＝－64<0，所以方程無解，所以直線與橢圓的位置關(guān)系是相離．題2．已知橢圓C的焦點在x軸上，長軸長為4，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|＝3，則C的方程為()A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【解析】選A.設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則2a＝4，a＝2，因為AB經(jīng)過右焦點F2且垂直于x軸，且|AB|＝3，所以將x＝c代入eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1得y＝±eq\f(b2,a)，所以|AB|＝eq\f(2b2,a)＝3，所以b2＝3，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.題3．直線l與橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1相交于A，B兩點，若直線l的方程為x－2y＋1＝0，則線段AB的中點坐標是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，－\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))【解析】選D.把直線x－2y＋1＝0代入橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的方程，消去x，化簡得6y2－4y－7＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1＋y2＝eq\f(2,3)，故線段AB的中點的縱坐標是eq\f(1,3)，把y＝eq\f(1,3)代入直線x－2y＝－1，可得x＝－eq\f(1,3)，故線段AB的中點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))).題4．直線y＝kx－k＋1(k≠0)與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定【解析】選A.直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1(k≠0)過定點(1，1)，且該點在橢圓內(nèi)部，因此直線必與橢圓相交．題5．橢圓ax2＋by2＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0))與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為eq\f(\r(3),2)，則eq\f(b,a)的值為()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(9\r(3),2)D．eq\f(2\r(3),27)【解析】選B.設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax2＋by2＝1,y＝1－x))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))x2－2bx＋b－1＝0，則x1＋x2＝eq\f(2b,a＋b).設(shè)線段AB的中點為C，則xC＝eq\f(b,a＋b).將xC＝eq\f(b,a＋b)代入y＝1－x得到y(tǒng)C＝eq\f(a,a＋b).因為kOC＝eq\f(\f(a,a＋b),\f(b,a＋b))＝eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),2)，故eq\f(b,a)＝eq\f(2,3)eq\r(3).題6．過橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的左焦點且斜率為1的弦AB的長是________．【解析】橢圓的左焦點為(－4，0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋4，,\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，,))得34x2＋200x＋175＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(200,34)，x1x2＝eq\f(175,34).所以AB＝eq\r(2)×eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(200,34)))\s\up12(2)－4×\f(175,34))＝eq\f(90,17).答案：eq\f(90,17)題7．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1(a＞eq\r(2))的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.過左焦點F1作斜率為－2的直線與橢圓交于A，B兩點，P是AB的中點，O為坐標原點，若直線OP的斜率為eq\f(1,4)，則a的值是________．【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),a2)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2)＝1，))兩式相減得eq\f(（x1－x2）（x1＋x2）,a2)＝－eq\f(（y1－y2）（y1＋y2）,b2)，所以eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(a2,b2)·eq\f(y1－y2,x1－x2)，所以eq\f(x0,y0)＝eq\f(2a2,b2)＝4，所以a2＝2b2＝4，所以a＝2.答案：2【當堂鞏固訓(xùn)練】題8．已知O為坐標原點，點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點，A為橢圓C上的一點，且AF2⊥F1F2，AF1與y軸交于點B，則|OB|的值為()A．eq\f(3,2)B．eq\f(3,4)C．eq\f(5,2)D．eq\f(5,4)【解析】選B.如圖所示：由AF2⊥F1F2知，AF2∥OB，因為O為F1F2的中點，所以O(shè)B為△AF1F2的中位線，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))＝eq\f(3,4).題9．已知點P在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1上運動，點Q在圓(x－1)2＋y2＝eq\f(5,8)上運動，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))的最小值為()A．2B．eq\f(\r(10),2)C．2－eq\f(\r(10),4)D．eq\f(\r(10),4)【解析】選D.設(shè)點P(x，y)，則eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1，得y2＝3－eq\f(x2,3)，圓(x－1)2＋y2＝eq\f(5,8)的圓心A(1，0)，半徑為eq\f(\r(10),4)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AP))2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋3－eq\f(x2,3)＝eq\f(2,3)x2－2x＋4，x∈[－3，3]，令h(x)＝eq\f(2,3)x2－2x＋4，x∈[－3，3]，對稱軸為x＝eq\f(3,2)，所以當x＝eq\f(3,2)時，h(x)取得最小值heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2－2×eq\f(3,2)＋4＝eq\f(5,2)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AP))的最小值為eq\f(\r(10),2)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))的最小值為eq\f(\r(10),2)－eq\f(\r(10),4)＝eq\f(\r(10),4).題10．直線y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(0，3)∪(3，＋∞)C．(1，3)∪(3，＋∞)D．(1，＋∞)【解析】選C.聯(lián)立直線和橢圓方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2,3x2＋my2＝3m))，所以(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，所以Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，所以m>1或m<0，因為m>0，m≠3，所以m>1且m≠3.題11．P為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左右焦點，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,2)C．1D．3eq\r(3)【解析】選D.橢圓a＝5，b＝3，根據(jù)橢圓焦點三角形的面積公式S＝b2taneq\f(60°,2)＝9×eq\f(\r(3),3)＝3eq\r(3).題12．已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若點P恰為弦AB中點，則直線l的斜率是()A．－3B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)【解析】選C.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，則eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),3)＝1，eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),3)＝1，兩式相減得eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),4)＝－eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),3)，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(3,4)×eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(3,4)×eq\f(2,2)＝－eq\f(3,4)，即直線l的斜率是－eq\f(3,4).題13．設(shè)B是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上頂點，若C上的任意一點P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是()A．[eq\f(\r(2),2)，1) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(0，eq\f(\r(2),2)] D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【解析】選C.(方法一)易知B(0，b).設(shè)P(acosα，bsinα)(0≤α<2π)，則|PB|2＝a2cos2α＋b2(1－sinα)2＝a2cos2α＋b2sin2α－2b2sinα＋b2＝a2(1－sin2α)＋b2sin2α－2b2sinα＋b2＝(b2－a2)sin2α－2b2sinα＋a2＋b2.當a2≤2b2時，eq\f(b2,b2－a2)≤－1，則sinα＝－1時，|PB|2取得最大值4b2，符合題意，此時e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1－\f(b2,a2))≤eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)；當a2>2b2時，－1≤eq\f(b2,b2－a2)≤0，所以sinα＝eq\f(b2,b2－a2)時，|PB|2取得最大值eq\f(b4,b2－a2)＋a2＋b2，不符合題意．綜上可知，0＜e≤eq\f(\r(2),2).(方法二)易知B(0，b).設(shè)P(x，y)(－b≤y≤b)，則x2＝eq\f(a2－a2y2,b2)，則|PB|2＝x2＋(b－y)2＝a2－eq\f(a2y2,b2)＋b2＋y2－2by＝(1－eq\f(a2,b2))y2－2by＋a2＋b2.當a2≤2b2時，eq\f(b3,b2－a2)≤－b，所以y＝－b時，|PB|2取得最大值4b2，符合題意，此時e＝eq\r(\f(c2,a2))＝1－eq\r(\f(b2,a2))≤eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)；當a2＞2b2時，－b＜eq\f(b3,b2－a2)＜0，所以y＝eq\f(b3,b2－a2)時，|PB|2取得最大值eq\f(b4,a2－b2)＋a2＋b2，不符合題意．綜上可知，0＜e≤eq\f(\r(2),2).題14（多選題）．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，直線y＝x－eq\r(3)過F2交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為8，則()A．橢圓焦距為eq\r(3)B．橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1C．弦長AB＝eq\f(8,5)D．S△OAB＝eq\f(4\r(6),5)【解析】選BC.因為△AF1B的周長為8，所以4a＝8，得a＝2，因為y＝x－eq\r(3)過右焦點F2，所以c＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以橢圓焦距為2eq\r(3)，故A錯誤；所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1，故B正確；設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1,y＝x－\r(3)))，得5x2－8eq\r(3)x＋8＝0，解得x1＋x2＝eq\f(8\r(3),5)，x1x2＝eq\f(8,5)，AB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－x2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1－y2))2)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－x2))2)＝eq\r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))2－4x1x2)))＝eq\r(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),5)))2－4×\f(8,5))))＝eq\f(8,5)，故C正確；原點到直線y＝x－eq\r(3)的距離為d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\r(3))),\r(2))＝eq\f(\r(6),2)，所以S△OAB＝eq\f(1,2)dAB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)×eq\f(8,5)＝eq\f(2\r(6),5)，故D錯誤.題15（多選題）．已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1內(nèi)一點M(1，2)，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且M為線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．橢圓的焦點坐標為(2，0)，(－2，0)B．橢圓C的長軸長為4eq\r(2)C．直線l的方程為x＋y－3＝0D．AB＝eq\f(4\r(3),3)【解析】選BCD.A：由橢圓方程知：其焦點坐標為(0，±2)，錯誤；B：a2＝8，即橢圓C的長軸長為2a＝4eq\r(2)，正確；C：由題意，可設(shè)直線l為x＝k(y－2)＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4，聯(lián)立橢圓方程并整理得(2k2＋1)y2＋4k(1－2k)y＋8k2－8k－6＝0，M為橢圓內(nèi)一點，則Δ>0，所以y1＋y2＝eq\f(4k（2k－1）,2k2＋1)＝4，可得k＝－1，即直線l為x＋y－3＝0，正確；D：由C知：y1＋y2＝4，y1y2＝eq\f(10,3)，則AB＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝eq\f(4\r(3),3)，正確．題16．已知直線l：y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1交于M，N兩點，且|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，則k＝________．【解析】設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y并化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2k2))x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4k,1＋2k2)，x1x2＝0，由|MN|＝eq\f(4\r(2),3)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－x2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y1－y2))2＝eq\f(32,9)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋k2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－x2))2＝eq\f(32,9)，所以(1＋k2)[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))eq\s\up12(2)－4x1x2]＝eq\f(32,9)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋k2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k,1＋2k2)))2＝eq\f(32,9)，化簡得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.答案：±1題17．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，直線l：y＝eq\r(3)x與橢圓C相交于A，B兩點(A在B上方)，若AF⊥BF，則橢圓C的離心率為____________．【解析】由橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，直線l：y＝eq\r(3)x與橢圓C相交于A，B兩點，AF⊥BF，可知三角形OAF是正三角形，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c，\f(\r(3),2)c))，所以FB＝eq\r(3)c，由橢圓的定義可得eq\r(3)c＋c＝2a，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－1題18．過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)一點M(2，1)引一條弦，使弦被M點平分．(1)求此弦所在的直線方程．(2)求此弦長．【解析】(1)方法一：設(shè)所求直線方程為y－1＝k(x－2).代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩個根，于是x1＋x2＝eq\f(8（2k2－k）,4k2＋1).又M為AB的中點，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(4（2k2－k）,4k2＋1)＝2，解得k＝－eq\f(1,2).故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.方法二：設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).又M(2，1)為AB的中點，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B兩點在橢圓上，則xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋4yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝16，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋4yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝16.兩式相減得(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＋4(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4（y1＋y2）)＝－eq\f(1,2)，即kAB＝－eq\f(1,2).又直線AB過點M(2，1)，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.(2)設(shè)弦的兩端點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1，))得x2－4x＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，所以AB＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2))·eq\r(42－4×0)＝2eq\r(5).【課堂跟蹤拔高】題19．橢圓4x2＋9y2＝144內(nèi)有一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))，過點P的弦恰好以P為中點，那么這弦所在直線的方程為()A．3x＋2y－13＝0B．2x＋3y－12＝0C．4x＋9y－30＝0D．9x＋4y－39＝0【解析】選B.設(shè)弦的兩個端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，有4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋9yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝144，4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋9yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝144，作差得4(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＋9(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝0，4＋9·eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝0，所以4＋9·kAB·eq\f(2,3)＝0，解得kAB＝－eq\f(2,3)，又直線過Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))，故直線方程為2x＋3y－12＝0.題20．在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中，A1，A2分別為橢圓的左右頂點，F(xiàn)1為左焦點，M是橢圓上的點，則△MF1A2的面積最大值為()A．16B．32C．16eq\r(2)D．32eq\r(2)【解析】選A.由已知，當點M為短軸端點時，△MF1A2的面積取最大值，因為橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，所以a＝5，b＝4，c＝3，則△MF1A2的面積最大值為eq\f(1,2)(a＋c)×b＝eq\f(1,2)×8×4＝16.題21．羅馬競技場，建于公元72年到82年，是古羅馬文明的象征，其內(nèi)部形狀近似為一個橢圓形，其長軸長約為188米，短軸長約為156米，競技場分為表演區(qū)與觀眾區(qū)，中間的表演區(qū)也近似為橢圓形，其長軸長為86米，短軸長為54米，若橢圓的面積為πab(其中a，b分別為橢圓的長半軸長與短半軸長，π取3.14)，已知觀眾區(qū)可以容納9萬人，由此推斷，觀眾區(qū)每個座位所占面積約為()A．0.41平方米 B．0.32平方米C．0.22平方米 D．0.12平方米【解析】選C.由已知，競技場的總面積為π×eq\f(188,2)×eq\f(156,2)＝7332π(平方米)，表演區(qū)的面積為π×eq\f(86,2)×eq\f(54,2)＝1161π(平方米)，故觀眾區(qū)的面積為7332π－1161π＝6171π(平方米)，故觀眾區(qū)每個座位所占面積為eq\f(6171π,90000)≈eq\f(6171×3.14,90000)≈0.22(平方米).題22．(多選題)泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點F(1，0)，直線l：x＝4，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半．若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是()A．點P的軌跡方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1B．直線l1：x＋2y－4＝0是“最遠距離直線”C．平面上有一點A(1，1)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))的最小值為3D．點P的軌跡與圓C：x2＋y2－2x＋eq\f(1,2)＝0是沒有交匯的軌跡(也就是沒有交點)【解析】選BCD.設(shè)點P為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))，點P到l的距離為d，因為動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半，則2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋y2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－4))，化簡得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故A錯誤；聯(lián)立直線l1：x＋2y－4＝0和橢圓方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＝0，故存在Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，直線l1：x＋2y－4＝0是“最遠距離直線”，B正確；由2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝d知，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＋d，當點P與點A縱坐標相等時，最小距離為：4－1＝3，C正確；圓C：x2＋y2－2x＋eq\f(1,2)＝0化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋y2＝eq\f(1,2)，顯然圓C在橢圓內(nèi)，故D正確．題23．設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1的交點為A，B，點P為橢圓上的動點，則使△PAB的面積為eq\f(1,2)的點P的個數(shù)是________．【分析】先求交點A，B得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\r(5)，再求與直線l平行且與橢圓相切的直線方程，最后根據(jù)兩直線距離判定點P的個數(shù)．【解析】由題意知，直線l恰好經(jīng)過橢圓的兩個頂點(1，0)，(0，2)，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\r(5)，若△PAB的面積為eq\f(1,2)，則eq\f(1,2)×eq\r(5)×h＝eq\f(1,2)(h為AB邊上的高)，所以h＝eq\f(1,\r(5)).聯(lián)立y＝－2x＋m與橢圓方程x2＋eq\f(y2,4)＝1，得8x2－4mx＋m2－4＝0.令Δ＝0，得m＝±2eq\r(2)，即當直線l平移到直線y＝－2x＋2eq\r(2)或y＝－2x－2eq\r(2)時，與橢圓相切，它們與直線l的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)＋2)),\r(5))或d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2\r(2)＋2)),\r(5))，當d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)＋2)),\r(5))>eq\f(1,\r(5))，所以有2個點符合要求；當d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2\r(2)＋2)),\r(5))<eq\f(1,\r(5))，沒有滿足題意的點；所以一共有2個點符合要求．答案：2題24．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)過點M(2，3)，點A為其左頂點，且AM的斜率為eq\f(1,2)，則橢圓C的方程為________；點N為橢圓上任意一點，則△AMN的面積的最大值為________．【解析】(1)由已知，直線AM的方程為y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y＝－4，當y＝0時，解得x＝－4，所以a＝4，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點M(2，3)，得eq\f(4,16)＋eq\f(9,b2)＝1，解得b2＝12，所以C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1；(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：x－2y＝m，當直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時△AMN的面積取得最大值．x－2y＝m代入橢圓方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，化簡得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，與AM距離比較遠的直線方程：x－2y＝8，利用平行線之間的距離為：d＝eq\f(8＋4,\r(1＋4))＝eq\f(12\r(5),5)，|AM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋4))2＋32)＝3eq\r(5).所以△AMN的面積的最大值為eq\f(1,2)×3eq\r(5)×eq\f(12\r(5),5)＝18.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝118題25．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2eq\r(2)，若M為橢圓上一點，線段MF1與圓C：x2＋y2＝1相切于該線段的中點N.(1)求橢圓C的方程；(2)若過F1作直線l與橢圓C交于兩點A，B，且橢圓C上存在點P，滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，求直線l的方程．【解析】(1)如圖所示，由已知c＝eq\r(2)，F(xiàn)1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(2)，0))，不妨設(shè)M，N在x軸上方，因為圓C：x2＋y2＝1的圓心為原點，半徑為1，所以切線F1M斜率為1，點M在y軸上，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)))，所以橢圓中心在原點，b＝eq\r(2)，