數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)三

數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)三數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)三數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)三xxx公司數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)三文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度第一部分統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)與概率計(jì)算（共10題，10分/題）某人在每天上班途中要經(jīng)過3個(gè)設(shè)有紅綠燈的十字路口。設(shè)每個(gè)路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標(biāo)準(zhǔn)差。解：讀題可知每個(gè)路口遇到紅燈的概率是P=24／（24+36）=假設(shè)遇到紅燈的次數(shù)為X，則，X～B（3,），概率分布如下0次遇到紅燈的概率P0=（）3=1次遇到紅燈的概念P1=（）2*=2次遇到紅燈的概念P2=（）*=3次遇到紅燈的概念P3==期望：E（x）=nP=*3=方差：D(X)=δ2=nPq=*3*=標(biāo)準(zhǔn)差：2.一家人壽保險(xiǎn)公司某險(xiǎn)種的投保人數(shù)有20000人，據(jù)測(cè)算被保險(xiǎn)人一年中的死亡率為萬分之5。保險(xiǎn)費(fèi)每人50元。若一年中死亡，則保險(xiǎn)公司賠付保險(xiǎn)金額50000元。試求未來一年該保險(xiǎn)公司將在該項(xiàng)保險(xiǎn)中（這里不考慮保險(xiǎn)公司的其它費(fèi)用）：（1）至少獲利50萬元的概率；（2）虧本的概率；（3）支付保險(xiǎn)金額的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。解：設(shè)被保險(xiǎn)人死亡數(shù)為X，X～B(20000，總收入為2萬×50=100萬，要獲利至少50萬，則賠付的保險(xiǎn)金額應(yīng)該不超過50萬，也就是被保險(xiǎn)的人當(dāng)中死亡人數(shù)不能超過10人，精確點(diǎn)就是用二項(xiàng)分布來做，但是由于20000這個(gè)數(shù)比較大，就可以用正態(tài)近似來做，就是認(rèn)為死亡人數(shù)服從和原二項(xiàng)分布的均值方差相同的正態(tài)分布，結(jié)用正態(tài)函數(shù)表示。概率為P（X≤10）=（2）虧本的概率就是死亡人數(shù)大于20人的概率，思路如上P（X＞20）=1-P(X≤20)=(3)支付保險(xiǎn)金額的均值＝50000×E(X)＝50000×np=50000×20000×（元）＝50（萬元）支付保險(xiǎn)金額的標(biāo)準(zhǔn)差＝50000×σ(X)＝50000×[np(1-p)]1/2=50000×(20000××1/2＝158074（元）3.對(duì)題2的資料，試問：（1）可否利用泊松分布來近似計(jì)算（2）可否利用正態(tài)分布來近似計(jì)算（3）假如投保人只有5000人，可利用哪種分布來近似計(jì)算解：(1)由于泊松分布的特點(diǎn)為，當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大而p很小時(shí)，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似，其中λ為np。通常當(dāng)n≧10,p≦時(shí)，就可以用泊松公式近似得計(jì)算λ=np=20000×=10P(X≤10)=P(X=0)+P(X=1)+…+P(X=10)=010λk比較兩題的結(jié)果，可以知道泊松分布適用于此題。(2)可以。盡管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二項(xiàng)分布也可以利用正態(tài)分布來近似計(jì)算。本例中，np=20000×=10，np(1-p)=20000××=，即有X～N(10,。相應(yīng)的概率為：P(X≤＝，P(X≤＝?？梢娬`差比較大。(3)由于p＝，假如n=5000，則np＝<5，二項(xiàng)分布呈明顯的偏態(tài)，用正態(tài)分布來計(jì)算就會(huì)出現(xiàn)非常大的誤差。當(dāng)n≧10,p≦時(shí)，就可以用泊松公式計(jì)算。4.某企業(yè)收購進(jìn)甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的同樣規(guī)格的產(chǎn)品，在總收購量中甲、乙、丙三廠的產(chǎn)品各占40％、35％和25％。甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的次品率分別為1％、2％和3％。若從總購量中任取1件檢查，問：(1)該件產(chǎn)品是次品的概率是多少(2)如果抽到的產(chǎn)品是次品，那么所抽到的產(chǎn)品恰好是甲廠生產(chǎn)的概率是多少恰好是乙廠和丙廠生產(chǎn)的概率各是多少解：抽檢到次品的概率為P=40%×1%+35%×2%+25%×3%=%恰好是甲廠的概率為：P甲=40%×1%/%=%恰好是乙廠的概率為：P乙=35%×2%/%=%恰好是丙廠的概率為：P丙=25%×3%/%=%5.據(jù)某地過去氣象記錄，在11月的30天中平均有2天是雨天，假定11月每天是否下雨如同重復(fù)試驗(yàn)一樣服從二項(xiàng)分布。(1)這種假定是否合理(2)接二項(xiàng)分布計(jì)算，次年11月最多有2天是雨天的概率是多少解：按照題意，在每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果下雨或者不下雨，而且兩種結(jié)果發(fā)生與否互相對(duì)立互不影響，且實(shí)驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，事件發(fā)生與否的概率在每一次獨(dú)立試驗(yàn)中都保持不變，因此這種假定合理。下雨概率P=2/30=，設(shè)下雨天數(shù)＝X，X～B(30，則最多有兩天的概率為P(X≤2)＝6.應(yīng)用普哇松分布計(jì)算500人中至多有1人在元旦出生的概率(假定1年是365天)。解：至多有一人在元旦出生，換句話說就是500人當(dāng)中沒有人，或者只有一個(gè)人在元旦出生的概率。P（X≤1）=P(X=0)+P(X=1)=（364

7.已知生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)廢品的概率為，現(xiàn)每盒裝100個(gè)產(chǎn)品。問：(1)在1盒中沒有廢品的概率是多少(2)在1盒中有1個(gè)廢品的概率是多少(3)若要求以99％的概率保證每盒有100個(gè)合格品，每盒至少要裝多少產(chǎn)品解：（1）設(shè)盒中廢品數(shù)量＝X，因此，X～B(100，P（X=0）=((2)P（X=1）=設(shè)每盒產(chǎn)品為n個(gè)，合格品數(shù)量服從二項(xiàng)分布：X～B(n，P(X≥100)≥0.99或P(X＜100)≤根據(jù)中心極限定理，二項(xiàng)分布的正態(tài)近似8.某廠生產(chǎn)一批小型裝置，設(shè)已知該小型裝置的平均壽命為10年，標(biāo)準(zhǔn)差為2年。如果該小型裝置的壽命服從正態(tài)分布，問：(1)整批小型裝置不小于9年的比重是多少(2)整批小型裝置不小于11年的比重是多少(3)如果工廠規(guī)定在保用年限期間遇有故障可免費(fèi)換新，今要求免費(fèi)換新率限制在3％以內(nèi)，保用年限有多長(zhǎng)解：（1）設(shè)比重為Y年F(Y≥9)=1-F（Y≤9）=1-Ф（10-92）=1-Ф查正太表知道Ф（12）=所以F(Y≥9)(2)F(Y≥11)=1-F(Y≤11）=Ф（11-102）=Ф（12）(3)P(X<=n)=Φ((n-10)/2)=可得n=，則保用年限至多為6年。Excel：SPSS：9.某種電開關(guān)壽命(年)具有失效率K＝1/2的負(fù)指數(shù)分布。若有100個(gè)此種開關(guān)裝在不同系統(tǒng)中，那么在第一年最多有30個(gè)失效的概率是多少解：1個(gè)開關(guān)在第一年的失效率是X～Exp。P(X<1)≈。100個(gè)開關(guān)有第一年有30個(gè)失效的概率服從Y～B(100,。則P(Y<=30)≈。Excel：SPSS：1個(gè)1年失效概率100個(gè)中30個(gè)內(nèi)失效概率10.某投資者考慮將1000美元投資于n=5種不同的股票。每一種股票月收益率的均值為μ=10%，標(biāo)準(zhǔn)差σ=4%。對(duì)于這五種股票的投資組合，投資者每月的收益率是。投資者的每月收益率的方差是，它是投資者所面臨風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)度量。⑴假如投資者將1000美元僅投資于這5種股票的其中3種，則這個(gè)投資者所面對(duì)的風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)增加還是減少請(qǐng)解釋；⑵假設(shè)將1000美元投資在另外10種收益率與上述的完全一樣的股票，試度量