《現(xiàn)代控制理論》課后習題全部答案(最完整打印版)

第一章習題答案1-1試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達式。解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：阿令，則所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及輸出方程表達式為1-2有電路如圖1-28所示。以電壓為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻上的電壓作為輸出量的輸出方程。解：由圖，令，輸出量有電路原理可知：寫成矢量矩陣形式為：既得1-3參考例子1-3（P19）.1-4兩輸入，，兩輸出，的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求其狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)陣。解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如下所示：1-5系統(tǒng)的動態(tài)特性由下列微分方程描述列寫其相應的狀態(tài)空間表達式，并畫出相應的模擬結(jié)構(gòu)圖。解：令，則有相應的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：1-6（2）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù),試求出系統(tǒng)的約旦標準型的實現(xiàn)，并畫出相應的模擬結(jié)構(gòu)圖解：1-7給定下列狀態(tài)空間表達式‘（1）畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖（2）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：（2）1-8求下列矩陣的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：當時，解得：（或令當令得），得時，解得：令得（或令，得）當時，解得：令得1-9將下列狀態(tài)空間表達式化成約旦標準型（并聯(lián)分解）（2）解：A的特征方程當時，時，時，解之得當令得解之得當令得解之得令得約旦標準型1-10已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為W1(s)和W2(s)試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)連接時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，并討論所得結(jié)果解：（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié)1-11（第3版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：1-11（第2版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：1-12已知差分方程為試將其用離散狀態(tài)空間表達式表示，并使驅(qū)動函數(shù)u的系數(shù)b(即控制列陣)為（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，狀態(tài)空間表達式為第二章習題答案2-4用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù)（2）A=。解：第一種方法：令則，即。求解得到，當由時，特征矢量，得即當由即，可令時，特征矢量，得，可令則，第二種方法，即拉氏反變換法：第三種方法，即凱萊—哈密頓定理由第一種方法可知，2-5下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對應的A陣。（3）（4）解：（3）因為，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件（4）因為，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件2-6求下列狀態(tài)空間表達式的解：初始狀態(tài)解：，輸入時單位階躍函數(shù)。因為，2-9有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達式。設(shè)采樣周期分別為T=0.1s和1s，而和為分段常數(shù)。圖2.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖列出狀態(tài)方程則離散時間狀態(tài)空間表達式為由和得：當T=1時當T=0.1時第三章習題答案3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取值條件如何？（1）系統(tǒng)如圖3.16所示：解：由圖可得：狀態(tài)空間表達式為：由于、、與無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于只與有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。（3）系統(tǒng)如下式：解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標準形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對于約旦塊的最后一行元素不能為0，故有。要使系統(tǒng)能觀，則C中對應于約旦塊的第一列元素不全為0，故有3-2時不變系統(tǒng)。試用兩種方法判別其能控性和能觀性。解：方法一：方法二：將系統(tǒng)化為約旦標準形。，中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。中沒有全為0的列，系統(tǒng)可觀。3-3確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)解：構(gòu)造能控陣：要使系統(tǒng)完全能控，則構(gòu)造能觀陣：，即，即要使系統(tǒng)完全能觀，則3-4設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是（1）當a取何值時，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？（2）當a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達式。（3）當a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達式。解：(1)方法1：系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒有零極點對消。因此當a=1,或a=3或a=6時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。方法2：系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當a=1,或a=3或a=6時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。（2）當a=1,a=3或a=6時，系統(tǒng)可化為能控標準I型（3）根據(jù)對偶原理，當a=1,a=2或a=4時，系統(tǒng)的能觀標準II型為3-6已知系統(tǒng)的微分方程為：試寫出其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及其傳遞函數(shù)。解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為傳遞函數(shù)為其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：傳遞函數(shù)為3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控標準型和能觀標準型。解：系統(tǒng)的能控標準I型為能觀標準II型為3-10給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標準型。解：3-11試將下列系統(tǒng)按能控性進行分解（1）解：rankM=2<3，系統(tǒng)不是完全能控的。構(gòu)造奇異變換陣即：，其中是任意的，只要滿足滿秩。得3-12試將下列系統(tǒng)按能觀性進行結(jié)構(gòu)分解（1）解：由已知得則有rankN=2<3，該系統(tǒng)不能觀構(gòu)造非奇異變換矩陣則，有3-13試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進行結(jié)構(gòu)分解（1）解：由已知得rankM=3，則系統(tǒng)能控rankN=3，則系統(tǒng)能觀所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)取，則則，，3-14求下列傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn)。（1）解：，，，，系統(tǒng)能控不能觀取，則所以，，所以最小實現(xiàn)為驗證：，，，3-15設(shè)和是兩個能控且能觀的系統(tǒng)（1）試分析由和（2）試分析由和解：所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)；所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)。（1）和串聯(lián)當?shù)妮敵鍪堑妮斎霑r，，則rankM=2<3，所以系統(tǒng)不完全能控。當?shù)幂敵鍪堑妮斎霑r，因為rankM=3則系統(tǒng)能控因為rankN=2<3則系統(tǒng)不能觀（2）和并聯(lián)，因為rankM=3，所以系統(tǒng)完全能控因為rankN=3，所以系統(tǒng)完全能觀所以圖中開環(huán)及閉環(huán)系統(tǒng)為能控、能觀性一致。第四章習題答案4-1判斷下列二次型函數(shù)的符號性質(zhì)：（1）（2）解：（1）由已知得，，因此是負定的（2）由已知得，，因此不是正定的4-2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進穩(wěn)定的條件。解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進穩(wěn)定，則要求滿足A的特征值均具有負實部。即：有解，且解具有負實部。即：方法（2）：系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定，等價于，得到。取，令，則帶入若，則此方程組有唯一解。即其中要求正定，則要求因此，且4-3試用lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。（1）（2）解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取Lyapunov函數(shù)為，則是負定的。，有。即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取Lyapunov函數(shù)為，則是負定的。，有。即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。4-6設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：取很明顯，的符號無法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數(shù)為，則是負定的。，有。即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。4-9設(shè)非線性方程：試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依題意有：，有。取則，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：，的符號無法判斷。（2）李雅普諾夫方法：選取Lyapunov函數(shù)為，則是負定的。，有。即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。4-12試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)解：假設(shè)計算的梯度為：的導數(shù)為：選擇參數(shù)，試選，于是得：，顯然滿足旋度方程，表明上述選擇的參數(shù)是允許的。則有：如果，則是負定的，因此，是的約束條件。計算得到為：是正定的，因此在范圍內(nèi)，是漸進穩(wěn)定的。第五章習題答案5-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置為-1，-2，-3。解：依題意有：，系統(tǒng)能控。系統(tǒng)的特征多項式為：則將系統(tǒng)寫成能控標準I型，則有。引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，其中矩陣，設(shè)，則系統(tǒng)的特征多項式為：根據(jù)給定的極點值，得到期望特征多項式為：比較各對應項系數(shù)，可解得：則有：。5-3有系統(tǒng)：（1）畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。（2）若動態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點？（3）若指定極點為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點的充要條件是系統(tǒng)完全能控。對于系統(tǒng)有：，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點。（3）系統(tǒng)的特征多項式為：則將系統(tǒng)寫成能控標準I型，則有。引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：征多項式為：，設(shè)，則系統(tǒng)的特根據(jù)給定的極點值，得到期望特征多項式為：比較各對應項系數(shù)，可解得：。5-4設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試問能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成若有可能，試求出狀態(tài)反饋，并畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。解：由于傳遞函數(shù)無零極點對消，因此系統(tǒng)為能控且能觀。能控標準I型為令為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為由于狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點，根據(jù)題意，配置極點應為-2，-2，-3，得期望特征多項式為比較即與的對應項系數(shù)，可得系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：5-5使判斷下列系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。（1）解：系統(tǒng)的能控陣為：，系統(tǒng)能控。由定理5.2.1可知，采用狀態(tài)反饋對系統(tǒng)任意配置極點的充要條件是完全能控。又由于，系統(tǒng)能控，