35拉格朗日中值定理與洛必達(dá)法則

子項(xiàng)目3.1拉格朗日中值定理與洛必達(dá)法則能力目標(biāo)：了解拉格朗日中值定理及幾何意義;掌握用洛必達(dá)法則求。和竺未定式的08極限.任務(wù)引入：求lim坦七宜,(a>0)的值.xTax-a任務(wù)分析：對于這個極限，當(dāng)xTa時,分子和分母同時都趨向于零，用我們原來幾種求極限的方法都不能解決，學(xué)了本項(xiàng)目以后我們將很輕松的求出這類極限的值.相關(guān)知識：1.了解拉格朗日中值定理及其幾何意義.2.掌握用洛必達(dá)法則求。型和竺型未定式極限的方法.08一、拉格朗日(Lagrange)中值定理Th3.1(拉格朗日中值定理)：設(shè)函數(shù)/?(*)滿足下列條件：在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&,(&與a,b有關(guān))，使得f，(&)=f(b)-f(a).(3-1)b—a定理證明從略.定理的幾何意義：因?yàn)榈仁?5T)的右面表示連接端點(diǎn)(A(a,f(a)),B(b,f(b)))的線段所在直線的斜率，定理表示，如果f(x)在［a,b］上連續(xù)，且除端點(diǎn)A,B外在每一點(diǎn)都存在切線，

那么至少有一點(diǎn)P化,f化))處的切線與AB平行.例1：驗(yàn)證f(x)=x2在區(qū)間［1,2］上拉格朗日中值定解：顯然f(x)=x2在［1,2］上連續(xù)且在(1,2)上可導(dǎo)，所以拉格朗日中值定理成立.f(x)=2x,令f⑵—f⑴=f⑴，即3=2x，得x=1.5.2-1所以，&=1.5.例2：證明當(dāng)b>a>0時，不等式3a2(b-a)<b3-a3<3b2(b-a)成立。由拉格證：設(shè)f(x)=x3，xeCa，b］，則f(x)在區(qū)間Ca，b］上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，朗日定理，得b3-a3=3&2（b一a）（a<&<b）由拉格于是，有3a2（b一a）<b3一a3<3b2（b一a）.例3:證明不等式史產(chǎn)<ln-<?對任意0<a<b成立.證：改寫欲求證的不等式為如下形式：1lnb—lna1bb一aa因?yàn)镮nx在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，所以據(jù)拉格朗日中值定理有l(wèi)nb—lna1/=(lnx)￡=—,(a<&<b)，b一ax=&&因?yàn)閍<&<b，1<：<所以(1)成立.原不等式得證.注：拉格朗日中值定理可以改寫成另外的形式.如f(b)-f(a)=3)(b-a)或f(b)=f(a)+廣(&)(b-a)，a<&<b；TOC\o"1-5"\h\zf(x)=f(x)+f低)(x-x)，也在x,x之間)；(3-2)000f(x+Ax)-f(x)=f'忑)Ax或Ay=f'(^)Ax,(x<&<x+Ax;x,x+Axe[a,b]);(3-3)一般稱(5-3)形式為拉格朗日中值定理的增量形式，其中的中間值&與區(qū)間端點(diǎn)有關(guān).推論1如果f'(x)三0,xe(a,b)，則f(x)三C(xe(a,b),C為常數(shù))，即在(a,b)內(nèi)f(x)為一個常數(shù)函數(shù).證：在(a,b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x,x(不妨設(shè)x<x).TOC\o"1-5"\h\z1212因?yàn)閇x,x]u[a,b]，所以f(x)在[x,x]上連續(xù)，在(x,x)內(nèi)可導(dǎo).于是由拉格朗日121212中值定理有f(x)-f(x)=f'(&)(x-x),(x<&<x)212112又因?qū)?a,b)內(nèi)一切x都有f'(x)=0.&在x1,x2之間，當(dāng)然在(a,b)內(nèi)，所以f'(&)=0，于是得，f(x)—f(x)=0，即f(x)=f(x).2121既然對于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x,x都有f(x)=f(x)，那就說明f(x)在(a,b)內(nèi)是一個1221常數(shù)．以前我們證明過“常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零”，推論1說明它的逆命題也是對的.推論2如果f'(x)三g'(x),xe(a,b)，則f(x)三g(x)+C，(xe(a,b)，C為常數(shù)).證：因?yàn)閇f(x)一g(x)]'=f'(x)一g'(x)三0,xe(a,b)，據(jù)推論1，得f(x)一g(x)三0,,(xe(a,b),C為常數(shù))，移項(xiàng)即得結(jié)論.二、洛必達(dá)法則若當(dāng)xTX0時，兩個函數(shù)f(X),g(X)都是無窮小或無窮大，則求極限lim如時不能直0g(X)接用商的極限運(yùn)算法則，其結(jié)果可能存在，也可能不存在；即使存在，其值也因式而異.因此常把兩個無窮小之比或無窮大之比的極限，稱為0型或巴型未定式(也稱為0型或空型未定型)極限.1.0型未定式0Th2(羅必塔(L’Hospital法則I)：設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足:⑴lim⑴limf(x)=0xTx0limg(x)=0；xTx0(2)函數(shù)f(x),g(x)在x0的某個鄰域內(nèi)(點(diǎn)x0可除外)可導(dǎo)，且g'(x)尹0;lim=a,(A可以是有限數(shù)，也可為3,+3,-3)xTx0g(x)lim也=limd=a.xTx0g(x)xTx()g(x)注：法則對于xT3,xT±3時的0型未定式同樣適用.0例4：求下列0型未定式的極限0(1)].lnx(1)].lnx-lna<。)；xTax-a(2)].71—arctanxx—T+31X(3)x—sinxlimt0sin3x解：(1)這是0型未定式，由羅必塔法則，得limlnx—Inax—a(lnxlimlnx—Inax—a(x—a))—1(2)這是0型未定式，由羅必塔法則，得0TOC\o"1-5"\h\zi~-arctanx口(—一arctanx)'口-1口x2「1]x—>+8Tx—>+8(1)x—>+81x—>+81+"2x_—+81+1xxx2x2(3)極限是0型未定式，使用羅必塔法則得0x—sinx(x—sinx)'1—cosxlim=lim=lim；x—osin3xx—o(sin3x)'$—o3sin2xcosx最后的極限仍然是極限是0型未定式，繼續(xù)使用羅必塔法則得0x一sinx(1一cosx)'sinxlim=lim=limx—osin3xx—o(3sin2xcosx)'x—o6sinxcosx一3sin3x11=lim=_-x—o6cosx—3sin2x68型未定式8Th3(羅必塔(L'HospitaD法則II)：設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足:⑴limf(x)=8，limg(x)=8；x—xx—x(2)函數(shù)f(x),g(x)在xo的某個鄰域內(nèi)(點(diǎn)xo可除外)可導(dǎo)，且g'(x)尹O;⑶lim旦立=a,(A可以是有限數(shù)，也可為8,+8,—8)，x—xOg(x)lim也=limd=a-xxog(x)xx()g(x)注：與法則1相同，定理對于x—8,x—±8時的8型未定式同樣適用，并且對使用后的得8到的8或o型未定式，只要導(dǎo)數(shù)存在，可以連續(xù)使用.例5：用洛必達(dá)法則求下列極限(1)tan3xlimtWtanx(2)lim旦lnx（n為自然數(shù)）;(3)lim-e（n為自然數(shù)）.解：（1）lim兀x—T2tan3(1)tan3xlimtWtanx(2)lim旦lnx（n為自然數(shù)）;(3)lim-e（n為自然數(shù)）.解：（1）lim兀x—T2tan3xtanx3sec23xlimwsec2xx—T2lim兀x—T23cos2xcos23x（0型未定式）06cosx(—sinx)=limw2cos3x(—3sin3x)x2sin2x=limksin6xx20型未定式）0(2)2cos2x1=lim=一兀6cos6x3XT2xnnxn—1lim=lim=limxT+8lnxxT+8丁xnx(3)lim=limexxxnx1n(n一1)xn-2=lim=limn(n—1)(n—2)xn3een!=lim—=0-例6：求limxT8x—sinx解：lim;=limT81-1sinx（本例雖屬于8型，8(x)'但是limY=xT8Lx—sinxylim不存在,xT81—cosx因此洛必達(dá)法則無效，應(yīng)考慮其他方法進(jìn)行計(jì)算。）在使用羅必塔法則時，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：（1）每次使用羅必塔法則時，必須檢驗(yàn)極限是否屬于0型或8型未定式，如果不是這種08未定式就不能使用該法則；（2）如果有可約因子，或有非零極限的乘積因子，則可先約去或提出，然后再利用羅必塔法則，以簡化演算步驟;(3)當(dāng)lim山不存在時，并不能斷定lim也不存在，此時應(yīng)使用其他方法求極限.g'(x)g(x)例7：證明lim抒匝工存在，但不能用羅必塔法則求其極限.x-0sinxx2sinix1x1證：lim=limxsin—=limlimxsin—=0，x-0sinxx-0sinxxx-0sinxx-0x所給的極限存在為0.又因?yàn)檫@是0型未定式，可利用羅必塔法則，得0Ix2sint].2xsin丁一costx-0sinxx-0cosx最后的極限不存在，所以所給的極限不能用羅必塔法則求出.其他類型的未定式對函數(shù)f(x),g(x)在求x-x0,x-3,x-±3的極限時，除0型與2型未定式之外，還有下列一些其他類型的未定式：0-3型：f的極限為0、g的極限為3或相反，求f(x)-g(x)的極限；3-3型：f,g的極限為3，求f(x)-g(x)的極限；13型：f的極限為1、g的極限為3，求f(x)g(x)的極限；00型：f,g的極限為0，求f(x)g(x)的極限；30型：f的極限為3、g的極限為0，求f(x)g(x)的極限.這些類型的極限，也不能機(jī)械地使用極限的運(yùn)算法則來求，其極限的存在與否因式而異.這些類型的未定式，可按下述方法處理：對(1)(2)兩種類型，可利用適當(dāng)變換將它們

TOC\o"1-5"\h\z化為0型或竺型未定式，再用羅必塔法則求極限；對(3)(4)(5)三種類型未定式，則直接08=limeg(x)inf(x)=elimg(X)ln=limeg(x)inf(x)例8：求下列極限(I)limxnInx,(n>0)；(2)lim(~^——)；(3)limXX.xT0+1X—1lnXxT+8解：(1)這是0.8型未定式，可將其化為8型未定式.8lnx丁X，limx，lnx=lim=limx=lim=0.00x—11T0—，x—11—10—，(2)這是8—8型未定式，通過“通分”將其化為0型未定式.0lnx+1—1=limxT1+lnx+x-1x,x1.xlnx—x+1xt1+xlnx+1—1=limxT1+lnx+x-1x=lim=limx=—xT1+lnx+1—~xT1+丁+尋2這是80型未定式，將其化為0.8型，再將其8型未定式.8—-1li^Hx1—li^He［血x—li^ne"x—e1血一eEm［—e0—1.imxx—mex—mex—ext+8x—ext+81—e=xxx練習(xí)題3-1判斷題設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上有定義，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)=f(b)，則至少有一一點(diǎn)Ee(a,b)，使廣(g)=0；設(shè)f(x),g(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在［a,b］上有f'(x)<g'(x)，則有f(b)—f(a)<g(b)—g(a)；設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上可導(dǎo).若f(a)尹f(b)，則不存在ge