北師大版九年級上冊數(shù)學復(fù)習知識點及例題

數(shù)學九年級上冊知識點總結(jié)第一章特殊的平行四邊形復(fù)習中考考點綜述：特殊平行四邊形即矩形、菱形、正方形,它們是歷年中考的必考內(nèi)容之一,主要出現(xiàn)的題型多樣，注重考查學生的基礎(chǔ)證明和計算能力,以及靈活運用數(shù)學思想方法解決問題的能力。內(nèi)容主要包括：矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定，以及相關(guān)計算，了解平行四邊形與矩形、菱形、正方形之間的聯(lián)系,掌握平行四邊形是矩形、菱形、正方形的條件。知識目標掌握矩形、菱形、正方形等概念,掌握矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，通過定理的證明和應(yīng)用的教學,使學生逐步學會分別從題設(shè)和結(jié)論出發(fā),尋找論證思路分析法和綜合法。重難點:1.矩形、菱形性質(zhì)及判定的應(yīng)用2.相關(guān)知識的綜合應(yīng)用知識點歸納形方正性質(zhì)邊角對角線形吻矩菱是是??性對一.矩形矩形定義：有一角是直角的平行四邊形叫做矩形．【強調(diào)】矩形（1）是平行四邊形；（2）—一個角是直角.矩形的性質(zhì)性質(zhì)1矩形的四個角都是直角;性質(zhì)2矩形的對角線相等，具有平行四邊形的所以性質(zhì)。；矩形的判定矩形判定方法1:對角線相等的平行四邊形是矩形.注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）對角線相等矩形判定方法2:四個角都是直角的四邊形是矩形.矩形判斷方法3:有一個角是直角的平行四邊形是矩形。例1：若矩形的對角線長為8cm，兩條對角線的一個交角為600,則該矩形的面積為例2:菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A.對角線互相平分；B.四條邊都相等；C.對角相等；D.鄰角互補例3：已知：如圖，DABCD各角的平分線分別相交于點E,F,G,?H,?求證：?四邊形EFGH是矩形.^菱形菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.【強調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等.菱形的性質(zhì)，性質(zhì)1菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2菱形的對角線互相平分，并且每條對角線平分一組對角；菱形的判定菱形判定方法1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.注意此方法包括兩個條件：（1）是一個平行四邊形；（2）兩條對角線互相垂直.菱形判定方法2：四邊都相等的四邊形是菱形.例1已知:如圖,四邊形ABCD是菱形,F是AB上一點,DF交AC于E.求證：ZAFD=ZCBE.例2已知:如圖二ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F.求證：四邊形A求證：四邊形AFCE是菱形.例3、如圖，在A」BCD中,0是對角線AC的中點，過點0作AC的垂線與邊AD、BC分別交于E于E、F,求證：四邊形AFCE是菱形.例4、已知如圖，菱形ABCD中，E例4、已知如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點,AE、BD交于M,若AB=AE,ZEAD=2ZBAE。求證：AM=BE。例5.（10湖南益陽）如圖,在菱形ABCD中,ZA=60°,AB=4,O為對角線Bd的中點，過O點作0E丄AB,垂足為E.（1）求線段BE的長.例6、（2011四川自貢）如圖，四邊形ABCD是菱形，DE丄AB交BA的延長線于E,DF丄BC,交BC的延長線于F。請你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想例7、（2011山東煙臺）如圖，菱形ABCD的邊長為2,BD=2,E、F分別是邊AD,CD上的兩個動點，且滿足AE+CF=2.（1）求證：ABDE^ABCF；（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由；（3）設(shè)△BEF的面積為S,求S的取值范圍.三?正方形正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：有一組鄰邊相等的平行四邊形（菱形）一?正方形有一個角是直角的平行四邊形（矩形）正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點，正方形又是軸對稱圖形，對稱軸是對邊中點的連線和對角線所在直線，共有四條對稱軸；因為正方形是平行四邊形、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊:對邊平行，四邊相等；角：四個角都是直角；對角線：對角線相等，互相垂直平分,每條對角線平分一組對角.注意:正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì).正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì).正方形的判定方法：?（1）有一個角是直角的菱形是正方形；?（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形.?注意：1、正方形概念的三個要點：（1）是平行四邊形;

?（2）有一個角是直角；?（3）有一組鄰邊相等.上的2、要確定一個四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形.上的例1已知：如圖，正方形ABCD中，對角線的交點為O,E是OB一點，DG丄AE于G，DG交0A于F.求證：OE=OF.例2已知:如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點A、C兩點作l］〃l2，作BM丄*于M,DN丄11于N,直線MB、DN分別交12于Q、P點.求證：四邊形PQMN是正方形.例3、（2011海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線A一動點（P與A、C不重合），點E在射線EC上，且PE=PB.（1）求證：①PE=PD；②PE丄PD；（2）設(shè)AP=x,△PBE的面積為y.求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.實戰(zhàn)演練:對角線互相垂直平分的四邊形是（）D.菱形、正方形A.平行四邊形、菱形B.矩形、菱形。。D.菱形、正方形2?順次連接菱形各邊中點所得的四邊形一定是（）A.等腰梯形。B.正方形“C.平行四邊形。D.矩形3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（A.當AB=BC時，它是菱形B.當AC丄BD時，它是菱形D.4.如圖，在AABC中，點E,D,F分別在邊AB,BC，CA上，且DE〃CA,DF〃BA.下列四個判斷中，不正確的是（）A.四邊形AEDF是平行四邊形。B.如果ZBAC=90°，那么四邊形AEDF是矩形如果AD平分ABAC，那么四邊形AEDF是菱形如果AD丄BC且AB二AC，那么四邊形AEDF是菱形5.如圖,四邊形ABCD為矩形紙片.把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF.若CD二6,則AF等于（）4*3uB.313oc.4J2“d.86?如圖，矩形ABCD的周長為20cm，兩條對角線相交于O點，過點O作AC的垂線EF，分別交AD，BC于E,F點，連結(jié)CE，則HCDE的周長為（）A.5cmB.8cmC.9cmD.lOcm7?在右圖的方格紙中有一個菱形ABCD（A、B、C、D四點均為格點）,若方格紙中每個最小正方形的邊長為1,則該菱形的面積為8.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD交于點O，已知ZAOD=120。，AB=25，則AC的9?邊長為5cm的菱形，一條對角線長是6cm，則另一條對角線的長是（只填一個條件即可）.如圖所示，菱形ABCD中,對角線AC，BD相交于點O，若再補充一個條件能使菱形ABCD成（只填一個條件即可）.如圖，已知P是正方形ABCD對角線BD上一點，且BP如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB,CD的延長線分別交于E，F(xiàn).（1）求證:△BOE^△DOF；⑵當EF與AC滿足什么關(guān)系時，以A，E，C，F(xiàn)為頂點的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論.13.將兩塊全等的含30。角的三角尺如圖1擺放在一起，設(shè)較短直角邊為1.D1D1（1）四邊形ABCD是平行四邊形嗎?說出你的結(jié)論和理由：（2）如圖2,將RtABCD沿射線BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊TOC\o"1-5"\h\z形嗎?說出你的結(jié)論和理由：'.（3）在RtABCD沿射線BD方向平移的過程中，當點B的移動距離為時，四邊形AbC1D1為矩形，其理由是;當點B的移動距離為時，四邊形ABC]D]為菱形，其理由是.（圖3、圖4用于探究）應(yīng)用探究：1?如圖，將矩形ABCD紙片沿對角線BD折疊，使點C落在C處，BC'交AD于E，若ZDBC二22.5°,則在不添加任何輔助線的情況下，圖中45°的角（虛線也視為角的邊）有（）A.6個。B.5個“C.4個。D.3個C'正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點，則圖中陰影部分的面積是（124C'正方形ABCD的面積為1，M是AB的中點，則圖中陰影部分的面積是（124“B.bC.—"D.—103593?已知AC為矩形ABCD的對角線，則圖中Z1與Z2一定不相等的是（2.如圖，3A.CBBBB.)CCBC.4?紅絲帶是關(guān)注艾滋病防治問題的國際性標志.將寬為1cm的紅絲帶交叉成60°角重疊在一起（如圖），則重疊四邊形的面積為cm2.

5?如圖，將矩形紙ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，則邊AD的長是厘米.6.如圖，已知ZAOB,OA=OB，點E在OB邊上,四邊形AEBF是矩形.請你只用無刻度的直尺在圖中畫出ZAOB的平分線（請保留畫圖痕跡）.7?如圖：矩形紙片ABCDAB=2，點E在BC上，且AE=EC.若將紙片沿Ae折疊，點B恰好落在AC上，則AC的長是第二章一元二次方程一元二次方程（一）一元二次方程定義含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c二0（a豐0），它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式,等式右邊是零，其中ax2叫做二次項,a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。例方程(m-2)xm2-2+(3-m)x-2=0是一兀二次方程,則m-二、一元二次方程的解法1、直接開平方法

直接開平方法適用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。當b>0時，x+a=±、；b,x=-a+4b;當bvO時，方程沒有實數(shù)根。例第二象限內(nèi)一點A(x—1,X2—2),關(guān)于x軸的對稱點為B,且AB=6，則x=2、配方法一般步驟:方程ax2+bx+c=0(a豐0)兩邊同時除以a,將二次項系數(shù)化為1.將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊。所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配方，化成(x+a)2=b(5)開方，當b>0時,x=-a±4b；當b<0時，方程沒有實數(shù)根。例若方程(x-4)2=a有解，則a的取值范圍是().A.a<0B.a>0C.a>0D.無法確定3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)的求根公式：一b一b+\b2一4ac2a(b2-4ac>0)例已知x2+4x—2=0,那么3x2+12x+2012的值為4、因式分解法一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。例已知一個三角形的兩邊長是方程x2-8x+15=0的兩根,則第三邊y的取值范圍是().A.y<8B.3<y<5c.2Vyv8D.無法確定補充：一元二次方程根的判別式根的判別式1、定義：一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)的根的判別式。2、性質(zhì):當b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當b2-4ac=0時，方程

有兩個相等的實數(shù)根；當b2-4acVO時，方程沒有實數(shù)根。例若關(guān)于x的方程X2—2(a-1)x=(b+2)2有兩個相等的實根，則a2ois+b5的值為.例若關(guān)于x的方程x2—2x(k-x)+6=0無實根，則k可取的最小整數(shù)為()(A)-5(B)-4(C)-3(D)-2補充：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)bc如果方程ax2+bx+c=O(a豐0)的兩個實數(shù)根是x,x,那么x+x=-—，xx=—1212a12a第三章概率的進一步認識一、知識概括1、頻率在頻率分布表里,落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻．數(shù)．;每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻．率．；即頻數(shù)=頻數(shù)

數(shù)據(jù)總數(shù)—實驗次數(shù)在頻率分布直方圖中,由于各個小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率,而各組頻率的和等于1。因此，各個小長方形的面積的和等于1。2、概率的求法:一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m個結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=—n表格法用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。樹狀圖法通過畫樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。(當一次試驗要涉及三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。)例在布袋中裝有兩個大小一樣，質(zhì)地相同的球，其中一個為紅色,一個為白色。模擬“摸出一個球是白球”的機會，可以用下列哪種替代物進行實驗()(A)“拋擲一枚普通骰子出現(xiàn)1點朝上”的機會“拋擲一枚啤酒瓶蓋出現(xiàn)蓋面朝上”的機會“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面朝上”的機會“拋擲一枚普通圖釘出現(xiàn)針尖觸地”的機會

例如圖，圖中的兩個轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成5個和4個扇形，每個扇形上都標有數(shù)字，同時自由轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針都落在奇數(shù)上的概率是（）3(A)\f(2,5)(B)u。(C)\f(3,20))（D）\f（l,5）)例如圖，一個小球從A點沿制定的軌道下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種機會均等的結(jié)果，小球最終到達H點的概率是（TOC\o"1-5"\h\z（A）1（B）1（C）1（D）-2468例如圖是從一副撲克牌中取出的兩組牌，分別是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4,將它們背面朝上分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸出一張,那么摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和等于5的概率是（）1113（A）1（B）1（C）1（D）-2345例在圖中的甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤中,指針指向每一個數(shù)字的機會是均等的?當同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，停止后指針所指的兩個數(shù)字表示兩條線段的長，如果第三條線段的長為5,那么這三條線段不能構(gòu)成三角形的概率是（）（A）—。（B）—（C）12。（D）1625252525三、典型例題例1.袋中有紅、黃、白色球各一個，它們除顏色外其余都相同，每次任取一個，又放回抽取兩次。求下列事件的概率。（1）全紅（2）顏色全同（3）無白解：紅黃白紅（紅，紅）（紅，黃）（紅，白）黃（黃，紅）（黃，黃）（黃，白）白（白，紅）（白，黃）（白，白）1???p（全紅）二91p（顏色全同）二-34P（無白）二9

說明:顏色全同包括都是紅色或都是黃色或都是白色;無白指沒有白色球。例2．一個密碼保險柜的密碼由6個數(shù)字組成，每個數(shù)字都是由0~9這十個數(shù)字中的一個,王叔叔忘記了其中最后面的兩個數(shù)字,那么他一次就能打開保險柜的概率是多少？解:他前面的4個數(shù)字都已知道只有最后兩個數(shù)字忘記了,而最后兩個數(shù)字每個數(shù)字出現(xiàn)的可能結(jié)果都有10種情況，那么組成兩個數(shù)字的可能結(jié)果就有100種,因此正好是密碼上的最后兩個數(shù)字1的概率是而。例3.袋中有紅色、黃色、藍色、白色球若干個，小剛又放入5個黑球后，小穎通過多次摸球?qū)嶒灪?發(fā)現(xiàn)摸到紅球、黃球、藍球、白球及黑球的頻率依次為25%,30%,30%,10%,5%，試估計袋中紅色球、黃色球、藍色球及白色球各有多少個?解:小剛放入5個黑球后摸到的黑色球的頻率為5%,則可以由此估計出袋中共有球-%-=100(個)。說明此時袋中可能有100個球(包括5個黑球)，則有紅色球5%100X25%=25個,黃色球100X30%=30個,藍色球100X30%=30個，白色球100X10%=10個。例4.甲、乙兩人用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲，轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各1次若兩次數(shù)字之差的絕對值為0，1或2,則甲勝，否則乙勝。這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？解：(2)若兩次數(shù)字和是2的倍數(shù)，則甲勝解：(2)若兩次數(shù)字和是2的倍數(shù)，則甲勝,而若和是3的倍數(shù)或5的倍數(shù),則乙勝。這個游戲?qū)﹄p方公平嗎?為什么?13456810234572112346431012454210136532102從上表中可以看出兩個數(shù)字之差的絕對值,為0的有4種可能結(jié)果,1的有7種可能1713結(jié)果，2的有6種可能結(jié)果，所以甲勝的概率為17，而乙勝的概率為13，因此3030甲勝的可能性比乙大，所以不公平。(2)通過列表可知:134568124567923567810457891012568910111367910111214出現(xiàn)的兩個數(shù)字之和是2的倍數(shù)有15種，出現(xiàn)的兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)有10種,5的倍數(shù)有6種，所以甲勝的概率為，而乙勝的概率為，因此甲勝的可能性比乙小,所以不公平。例5.小明與同學一起想知道每6個人中有兩個人生肖相同的概率,他們想設(shè)計一個模擬實驗來估計6個人中恰有兩個人生肖相同的概率，你能幫他們設(shè)計這個模擬方案嗎？分析：可以用摸球、撲克牌、轉(zhuǎn)盤、計算器模擬隨機整數(shù)等方法。注意“一次實驗”的設(shè)計解:用12個完全相同的小球分別編上號碼1?12,代表12個生肖，放入一個不透明的袋中搖勻后，從中隨機抽取一球，記下號碼后放回,再搖勻后取出一球記下號碼……連續(xù)取出6個球為一次實驗，重復(fù)上述實驗過程多次，統(tǒng)計每次實驗中出現(xiàn)相同號碼的次數(shù)除以總的實驗次數(shù)，得到的實驗頻率可估計每6個人中有兩個人生肖相同的概率。第四章圖形相似與相似三角形知識點解讀知識點1.．相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。(即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形)解讀:(1)兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到.全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同.判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關(guān).例1.放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？

分析:要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變.解:是相似圖形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同.例2.下列各組圖形:①兩個平行四邊形;②兩個圓;③兩個矩形;④有一個內(nèi)角80。的兩個等腰三角

形；⑤兩個正五邊形；⑥有一個內(nèi)角是100。的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的是(填序號).解析:根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100。的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似.答案：②⑤⑥.知識點2.比例線段ac對于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即廠=-bd(或a:b=c:d)那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.ac解讀：(1)四條線段a，b，c，d成比例，記作丁=虧(或a:b=c:d)，不能寫成其他形式，即比例bd線段有順序性.ac(2)在比例式丁=—(或a:b=c:d)中，比例的項為a，b，c，d，其中a，d為比例外項，b，c為比例內(nèi)項,dbd

是第四比例項.ab如果比例內(nèi)項是相同的線段，即丁=—或a：b=b：c,那么線段b叫做線段和的比例中項。bc通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另一個單位也可以,因為整體表示兩個比相等．a(chǎn)例3.已知線段a=2cm,b=6mm,求ba分析：求亍即求與長度的比,與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比.b3例4.已知a，b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=—dm，求c的長度.分析:由a,b,c,d成比例，寫出比例式a:b=c:d,再把所給各線段a，b,,d統(tǒng)一單位后代入求c.知識點3.相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等.解讀：(1)正確理解相似多邊形的定義,明確“對應(yīng)”關(guān)系.(—)明確相似多邊形的“對應(yīng)”來自于書寫，且要明確相似比具有順序性.例5.若四邊形ABCD的四邊長分別是4，6,8,10,與四邊形ABCD相似的四邊形AiBiC1D1的最大邊長為30，則四邊形A1BiC1D1的最小邊長是多少？11分析：四邊形ABCD與四邊形A1BiC1Di相似，且它們的相似比為對應(yīng)的最大邊長的比，即為1,再根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長．知識點4.相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形.解讀:(1)相似三角形是相似多邊形中的一種；(2)應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；(3)相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同;⑷相似用“s”表示，讀作“相似于”；相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比注意：①相似比是有順序的，比如△ABCsAA]B1C1,相似比為k,若△A1BiC]SAABC,則1相似比為〒。②若兩個三角形的相似比為1,則這兩個三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊k情況。若兩個三角形全等,則這兩個三角形相似；若兩個三角形相似,則這兩個三角形不一定全等.例6.如圖，已知△ADEs^ABC,DE=2,BC=4,則和的相似比是多少?點D，E分別是AB，AC的中點嗎？注意：解決此類問題應(yīng)注意兩方面:(1)相似比的順序性,(2)圖形的識別.DEADAE解:因為DEADAE解:因為△ADE^ABC,所以bc=麗=走，因為DEBCADAE1所以==懇,所以D,E分別是AB,AC的中點.ABAC2知識點5?相似三角的判定方法（1）定義:對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似；（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長線）所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．（3）如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似.（4）如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似．（5）如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.（6）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似．經(jīng)過歸納和總結(jié),相似三角形有以下幾種基本類型:平行線型常見的有如下兩種,DE〃BC，則△ADEs^ABCCC相交線型常見的有如下四種情形，如圖，已知Z1=ZB,則由公共角ZA得‘△ADEs^aBC如下左圖，已知Z1=ZB,則由公共角ZA得‘△ADCs^acB如下右圖，已知ZB=ZD,則由對頂角Z1=Z2得,AADEsAABCE1E1旋轉(zhuǎn)型已知ZBAD=ZCAE,ZB=ZD，則△ADEs^ABC,下圖為常見的基本圖形.母子型已知ZACB=90°,AB丄CD,則厶CBD^^ABC^^ACD.解決相似三角形問題,關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中分解出（構(gòu)造出）上述基本圖形.例7.如圖，點D在厶ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，△ACD與厶ABC相似？試分別加以列舉．分析:此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知,△ACD與厶ABC已有公共角ZA,要使此兩個三角形相似,可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個條件即可．解：當滿足以下三個條件之一時‘△ACDs^ABCADAC條件一:Z1=ZB；條件二：Z2=ZACB；條件三：=，即AC2=AD?AB.ACAB知識點6.相似三角形的性質(zhì)（1）對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊的比相等；（2）對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3）相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方．例8.如圖，已知△ADEs^ABC,AD=8,BD=4,BC=15,EC=7（1）求DE、AE的長；C（2）你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例.CAEACADAEAC分析:此題重點考查由兩個三角形相似，可得到對應(yīng)邊成例，即bc=喬

DEADAE解:(1)TAADEsAABC,???==-BCABAC、8x*.*DEADAE解:(1)TAADEsAABC,???==-BCABAC、8x*.*，AD=8,BD=4,BC=15，EC=7設(shè)DE=x,貝—=—，1215AD_AE

~BD~~EC設(shè)AE=a，則-=12，???a=14.(2)a+712.*.12x=8X15,x=10；AB2例9.已知△ABC^^A1BC1，-—=^，AABC的周長為20cm,1，AB3ii求(1)AA1B1C1的周長；(2)^A1B1C1的面積.分析:根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解.易求出△A1B1C1的周長為30cm;△A1B1C1的面積90cm2面積為40cm2.五、視圖與投影1、視圖二視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。例如圖，一幾何體的三視圖如右:那么這個幾何體是主視圖左視圖例如果用□表示1個立方體，用□表示兩個立方體疊加，用■表示三個立方體疊加，那么下面右圖由7個立方體疊成的幾何體，從正前方觀察，可畫出的平面圖形是(2、投影(1)投影：物體在光線的照射下，在地面上或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象。(2)平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。⑶中心投影:探照燈、手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點發(fā)出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。(4)區(qū)分平行投影和中心投影:①觀察光源;②觀察影子。(5)從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當光線與投影垂直時的投影。①點在一個平面上的投影仍是一個點;線段在一個面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時，投影為一點；線段平行于投影面時,投影長度等于線段的實際長度；線段傾斜于投影面時,投影長度小于線段的實際長度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下,其投影為實際形狀;平面圖形和投影面垂直的情況下,其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情況下,其投影小于實際的形狀。例小明在操場上練習雙杠時，在練習的過程中他發(fā)現(xiàn)在地上雙杠的兩橫杠的影子（）TOC\o"1-5"\h\zA.相交B.平行C.垂直D.無法確定”例小明希望測量出電線桿AB的高度，于是在陽光明媚的一天，他在電線桿旁的點D處立一標桿CD,”4使標桿的影子DE與電線桿的影子BE