步步高導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1配套練習(xí)232雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(含答案詳析)

雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長(zhǎng)是()A．2B．22C．4D．4222＝3的漸近線方程是()2．雙曲線3x－y1A．y＝±3xB．y＝±x33C．y＝±3xD．y＝±3xx2y23．雙曲線4－12＝1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A．23B．2C.3D．14．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m等于()11A．－4B．－4C．4D.4225．雙曲線x2－y2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，過(guò)F1作傾斜角為30°的直ab線，交雙曲線右支于M點(diǎn)，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為()3A.6B.3C.2D.3x2y2226．已知雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x＋y－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()2222x－y＝1B.x－y＝1A.54452222C.x－y＝1D.x－y＝13663227．已知雙曲線C：x－y＝1的張口比等軸雙曲線的張口更廣闊，則實(shí)數(shù)m的取值范圍4m是________．二、能力提升22xy8．已知圓C過(guò)雙曲線－＝1的一個(gè)極點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是__________．9．以下列圖，ABCDEF為正六邊形，則以F、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A、E、D、B四點(diǎn)的雙曲線的離心率為_(kāi)___________________．10．依照以下條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．x2－y2＝1有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)(－3,23)；(1)與雙曲線916x2y2(2)與雙曲線16－4＝1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(32，2)．11．已知雙曲線的一條漸近線為x＋3y＝0，且與橢圓x2＋4y2＝64有相同的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．x2y212．求證：雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)上任意一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為定值．三、研究與拓展22xy13．已知雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．若雙曲線上存在點(diǎn)P，使sin∠PF1F2＝a，求該雙曲線的離心率的取值范圍．sin∠PFF答案1．C2.C3.A4.A5.B6.A167．(4，＋∞)8.39.3＋110．解(1)設(shè)所求雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，9161將點(diǎn)(－3,23)代入得λ＝4，x2y21所以雙曲線方程為9－16＝4，2即4x9－y4＝1.x2y2設(shè)雙曲線方程為a2－b2＝1(a>0，b>0)．由題意易求c＝25.又雙曲線過(guò)點(diǎn)(32，2)，22a2－b2＝1.4又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.x2y2故所求雙曲線的方程為12－8＝1.x2y211．解橢圓方程為64＋16＝1，可知橢圓的焦距為83.①當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，22xy設(shè)雙曲線方程為a2－b2＝1(a>0，b>0)，a2＋b2＝48，2∴a＝36，b3解得2＝12.a＝3，b∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2＝1.3612②當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，y2x2設(shè)雙曲線方程為a2－b2＝1(a>0，b>0)，a2＋b2＝48，2＝12，∴aa＝3，解得b2＝36.b32雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為12y－36x＝1.由①②可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2y2x236－12＝1或12－36＝1.12．證明設(shè)P(x0，y0)是雙曲線上任意一點(diǎn)，由雙曲線的兩漸近線方程為bx＋ay＝0|bx0＋ay0|和bx－ay＝0，可得P到bx＋ay＝0的距離d1＝，a2＋b2到bx－ay＝0的距離|bx0－ay0|d2＝22.a＋b|bx0＋ay00－ay0|||bx∴d1d2＝·a2＋b2a2＋b2|b2x02－a2y02|＝.a2＋b222x0y0又P在雙曲線上，∴a2－b2＝1，22222222，∴d1d2＝ab2.即bx0－ay0＝ab2a＋b故P到兩條漸近線的距離之積為定值．13．解如圖，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，a由題意及正弦定理得m＝c，a∴n＝cm.又m－n＝2a，∴m－acm＝2a