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(三)ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)
由ARMA(p,q)的自協(xié)方差公式可以看出,只有的q個自相關(guān)的值同時依賴于和;當(dāng)時,具有與AR(p)模型相同的自相關(guān)函數(shù)差分公式或者1(三)ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)1若,自相關(guān)函數(shù)是指數(shù)或正弦波衰減的,具體由多項式和初始值決定。若,就會有個初始值不遵從一般的衰減變化形式。ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)是步拖尾的。這一事實在識別ARMA模型時也非常有用。2若,自相關(guān)函數(shù)ARMA(1,1)過程3ARMA(1,1)過程3二、偏自相關(guān)函數(shù)(partialautocorrelationfunction,PACF)時間序列過程的偏自相關(guān)函數(shù)就是時間序列在兩個時間隨機(jī)變量之間,排除了其間各個時間隨機(jī)變量影響的相關(guān)系數(shù)。4二、偏自相關(guān)函數(shù)(partialautocorrelati(一)AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)AR(p)的模型偏自相關(guān)函數(shù)定義為計算方法把對回歸,得到回歸方程其中最后一項的回歸系數(shù)就是要求的偏自相關(guān)系數(shù)。5(一)AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)5根據(jù)線性回歸法計算偏自相關(guān)函數(shù),運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計,得到正規(guī)方程組該方程組也可以認(rèn)為是利用的協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)導(dǎo)出。尤勒——沃克方程如下6根據(jù)線性回歸法計算偏自相關(guān)函數(shù),運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計,分別求解,得到偏自相關(guān)系數(shù):7分別求解,得到偏自相關(guān)系數(shù):7由于AR(p)模型意味著與以后的滯后項不相關(guān),因此大于p階的偏自相關(guān)系數(shù)必然都等于0。這意味著AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)有在處截尾的特征。這也是識別自回歸模型及其自回歸階數(shù)的重要依據(jù)。8由于AR(p)模型意味著與以后的滯后項不相(二)MA(q)和ARMA模型的偏自相關(guān)函數(shù)MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)
該函數(shù),且被衰減指數(shù)控制,因此具有拖尾性??赡娴腗A()過程等價于無限階的AR過程,因此它們的偏自相關(guān)函數(shù)會無限延伸,被指數(shù)衰減和(或)正弦波衰減所控制??傊季哂型衔驳奶卣?。9(二)MA(q)和ARMA模型的偏自相關(guān)函數(shù)9自回歸移動平均混合過程ARMA(p,q),是由自回歸過程和移動平均過程兩部分組成,因此它們的偏自相關(guān)函數(shù)也是無限延伸的,其特征就像純移動平均過程的偏自相關(guān)函數(shù)。混合過程的偏自相關(guān)函數(shù)被復(fù)合的衰減指數(shù)和(或)衰減正弦波所控制。衰減特性主要由移動平均過程的階數(shù)和具體參數(shù)決定。10自回歸移動平均混合過程ARMA(p,q),是由自回歸過程和移三、模型識別方法1、基本ARMA模型自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)的基本特征(1)AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的,即會按指數(shù)衰減,或正弦振蕩衰減,偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的,截尾處為自回歸階數(shù)p;(2)MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)是截尾的,截尾處對應(yīng)移動平均階數(shù)q。偏自相關(guān)函數(shù)則是拖尾的;11三、模型識別方法11(3)ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的,自相關(guān)函數(shù)是步拖尾,偏自相關(guān)函數(shù)是步拖尾。12(3)ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖2、樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)假設(shè)有一組觀測樣本,一般認(rèn)為近似自相關(guān)函數(shù)最好的樣本自相關(guān)函數(shù)為:其中132、樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)13計算樣本偏自相關(guān)函數(shù)(SPACF)的方法:直接把樣本自相關(guān)值代入尤勒——沃克方程進(jìn)行計算,或者用公式回歸的方法計算。14計算樣本偏自相關(guān)函數(shù)(SPACF)的方法:14第三節(jié)自回歸移動平均模型的估計ARMA模型的參數(shù)估計常用的方法是利用均值(期望)、自相關(guān)函數(shù),包括Yule-Walker方程的矩估計方法。這些矩估計方法是一致估計,但未必有效。充分有效的估計方法是最大似然法,但最大似然法比較復(fù)雜。在樣本容量較大時矩估計與最大似然估計是接近的。15第三節(jié)自回歸移動平均模型的估計ARMA模型的參數(shù)估計常用的一、移動平均模型參數(shù)估計MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)為16一、移動平均模型參數(shù)估計16首先利用樣本數(shù)據(jù)計算出的估計值把這q+1個樣本自協(xié)方差代自協(xié)方差函數(shù)中的,或者根據(jù)這些再計算出的估計代入自相關(guān)函數(shù),并用和分別代自協(xié)方差或自相關(guān)函數(shù)中的待定參數(shù)和,可得到q+1個方程的聯(lián)立方程組。17首先利用樣本數(shù)據(jù)計算出的估計值17如果可以從這個方程組解出和,就是我們要求的參數(shù)估計值。也可以先解出真實參數(shù)與自協(xié)方差、自相關(guān)的關(guān)系,再代入樣本估計值。因為是時間序列過程的二階矩,上述估計量是通過q+1個樣本矩方程求出的,所以是矩估計量,具有一致估計的性質(zhì)。18如果可以從這個方程組解出和,就是q=1時的參數(shù)估計方法一:直接利用一階自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計19q=1時的參數(shù)估計19由于可逆性條件要求的絕對值小于1,因此只有滿足要求。把樣本自相關(guān)系數(shù)作為的估計代入上式,就可以解得模型參數(shù)的估計量20由于可逆性條件要求的絕對值小于1,因此只有20方法二:利用自協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行估計MA(1)模型有求解上述方程組,并利用,可解得21方法二:利用自協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行估計21代入樣本自相關(guān)和自協(xié)方差得模型參數(shù)和模型誤差項方差的估計量由于上述矩估計的方程組是非線性的,因此只有當(dāng)q較?。╭=1、2、3)時,直接進(jìn)行解析求解才可行,當(dāng)更大時解析求解越來越困難,一般應(yīng)使用迭代方法求近似解。22代入樣本自相關(guān)和自協(xié)方差得模型參數(shù)和模型誤差項方差最簡單的迭代方法把MA(q)模型的自協(xié)方差公式代入估計量,并變換為23最簡單的迭代方法23首先給出參數(shù)的一組初始值:將它們和代入上述兩個迭代公式,計算出參數(shù)的第一次迭代值,,再將這些參數(shù)值代入迭代公式反復(fù)迭代,直到收斂。最后得到迭代值作為參數(shù)估計值。24首先給出參數(shù)的一組初始值:24二、自回歸模型參數(shù)估計(一)普通最小二乘估計OLS根據(jù)模型,殘差平方和為根據(jù)最小二乘原理,利用一階條件求上述最小二乘函數(shù)最小化的參數(shù)值,即為最小二乘估計。25二、自回歸模型參數(shù)估計25(二)利用樣本自協(xié)方差方程的矩估計對于一般的平穩(wěn)AR(p)模型,有關(guān)于自相關(guān)的一組關(guān)系,即Yule-Walker方程:26(二)利用樣本自協(xié)方差方程的矩估計26利用樣本數(shù)據(jù)計算出樣本自相關(guān),代入上述Yule-Walker方程,可以解得的“Yule-Walker估計”:27利用樣本數(shù)據(jù)計算出樣本自相關(guān)27該模型中修正項的方差則可以用下式估計:因為計算估計量的方程組是樣本自相關(guān)函數(shù),也是二階樣本矩方程,因此Yule-Walker估計同樣是矩估計量,也是一致估計。28該模型中修正項的方差則可以用下式估計:28當(dāng)樣本容量足夠大時,OLS法和矩估計方法的結(jié)果是很相似的。在使用OLS法時需要注意的是,AR(p)模型回歸用的是一個時間序列的數(shù)據(jù),各期滯后之間相關(guān)性較強(qiáng),因此回歸結(jié)果的有效性往往有問題,必須時間序列的樣本容量比較大,而且還要排斥存在共線性問題。29當(dāng)樣本容量足夠大時,OLS法和矩估計方法的結(jié)果是很相似的。2三、自回歸移動平均模型參數(shù)估計ARMA(p,q)模型的個參數(shù)可分兩步進(jìn)行估計步驟一:先估計出其中的自回歸參數(shù);步驟二:估計移動平均系數(shù)和。30三、自回歸移動平均模型參數(shù)估計30(一)估計自回歸參數(shù)因為當(dāng)時,ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)與AR(p)相同的性質(zhì),因此31(一)估計自回歸參數(shù)31利用樣本自相關(guān)函數(shù)值,可計算出的估計量:32利用樣本自相關(guān)函數(shù)值,可計算出的估計量:32(二)估計移動平均系數(shù)模型改寫成令,并讓作為一個變量代入,則模型近似為就是一個MA(q)模型,可以利用前面介紹的MA(q)模型矩方法估計其中的參數(shù)和33(二)估計移動平均系數(shù)33可以利用原時間序列的自協(xié)方差和前面得到的自回歸系數(shù)估計,計算出的自協(xié)方差,進(jìn)而計算出自相關(guān)系數(shù)。再代入MA(q)模型矩估計的樣本自相關(guān)函數(shù),就可以用前面介紹的方法得到和的參數(shù)估計。3434第四節(jié)ARMA模型檢驗和預(yù)測一、ARMA模型檢驗ARMA模型最主要的檢驗是殘差序列隨機(jī)性檢驗,也就是在用所選擇的模型進(jìn)行參數(shù)估計以后,確定殘差序列是無序列相關(guān)的白噪聲,還是存在序列相關(guān)性:如果仍然存在明顯的序列相關(guān)性,意味著選擇的模型沒有把原時間序列中的信息全部模擬出來,或者說存在一定的偏差,模型需要修正。如果殘差序列已經(jīng)是白噪聲,則所選擇的模型比較合理。35第四節(jié)ARMA模型檢驗和預(yù)測一、ARMA模型檢驗35檢驗殘差是否白噪聲的方法(一)是根據(jù)殘差序列的樣本自相關(guān)函數(shù)SACF,樣本偏自相關(guān)函數(shù)SPACF,看它們是否在統(tǒng)計上具有顯著性。(二)利用SACF,用專門的統(tǒng)計量
~36檢驗殘差是否白噪聲的方法36一般的參數(shù)顯著性t檢驗,確定模型及其階數(shù)的信息準(zhǔn)則SIC和AIC,也都對ARMA模型的選擇,對自回歸、移動平均階數(shù)的確定有參考價值。在應(yīng)用時應(yīng)該綜合考慮這些因素。BOX等建議采用“過擬合方法”進(jìn)行檢驗。即先設(shè)定參數(shù)較多,階數(shù)較高的模型,然后根據(jù)顯著性和模型選擇、判斷準(zhǔn)則逐步簡化。這種方法有一定道理,但有時也有問題。37一般的參數(shù)顯著性t檢驗,確定模型及其階數(shù)的信息準(zhǔn)則SIC和A二、ARMA模型預(yù)測(一)ARMA模型預(yù)測原理預(yù)測的前提是已確定了模型,并且已經(jīng)作了參數(shù)估計和進(jìn)行了基本的檢驗。檢驗評估模型的預(yù)測往往把觀測數(shù)據(jù)分成兩部分,一部分用于估計參數(shù),另一部分則用于檢驗?zāi)P偷念A(yù)測效果,從而判斷模型的有效性。時間序列模型預(yù)測的一般準(zhǔn)則是均方誤(MSE)最小,而均方誤最小的預(yù)測就是條件期望預(yù)測。38二、ARMA模型預(yù)測38(二)MA模型預(yù)測MA模型預(yù)測的前提是移動平均參數(shù)、擾動方差,以及不可觀測的擾動都得到了估計,后者通常是利用AR形式進(jìn)行估計的。方便起見,在預(yù)測分析中仍然用原來符號表示參數(shù)和擾動項的估計值,并只討論無常數(shù)項模型的預(yù)測。39(二)MA模型預(yù)測391、MA(1)模型預(yù)測(1)一步預(yù)測因此一步預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為401、MA(1)模型預(yù)測40(2)二步預(yù)測因此二步預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為對于任意h>2,MA(1)模型的h步預(yù)測也都為0,預(yù)測方差則都為41(2)二步預(yù)測412、MA(2)模型預(yù)測(1)一步預(yù)測因此一步預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為422、MA(2)模型預(yù)測42(2)二步預(yù)測因此二步預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為對于任意h>2,MA(2)模型的h步預(yù)測也都為0,預(yù)測方差則都為。43(2)二步預(yù)測433、MA(q)模型預(yù)測h步預(yù)測的公式:其中,且對于,。h步預(yù)測誤差的方差443、MA(q)模型預(yù)測44(三)AR模型預(yù)測1、AR(1)模型預(yù)測(1)一步預(yù)測因此一步預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為45(三)AR模型預(yù)測45(2)二步預(yù)測因此二步預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為46(2)二步預(yù)測46(3)h步預(yù)測()預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為47(3)h步預(yù)測()472、AR(2)模型預(yù)測(1)一步預(yù)測因此一步預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為482、AR(2)模型預(yù)測48(2)二步預(yù)測因此二步預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為49(2)二步預(yù)測49(3)三步預(yù)測預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為對三步以上的預(yù)測則更復(fù)雜,把模型轉(zhuǎn)變?yōu)橐苿悠骄P秃箢A(yù)測會更容易一些。50(3)三步預(yù)測503、MA(q)模型預(yù)測h步預(yù)測的公式:其中,且對于,。h步預(yù)測誤差的方差513、MA(q)模型預(yù)測51(四)ARMA(1,1)模型的預(yù)測一步預(yù)測因此一步預(yù)測為預(yù)測誤差方差為52(四)ARMA(1,1)模型的預(yù)測52二步預(yù)測因此二步預(yù)測為預(yù)測誤差的方差為53二步預(yù)測53(五)預(yù)測的比較可以用不同模型預(yù)測的均方預(yù)測誤差,即各步預(yù)測誤差平方和除預(yù)測步數(shù),作為判斷標(biāo)準(zhǔn)。例如作了m步預(yù)測,意味著留了m個樣本數(shù)據(jù)作為預(yù)測用,那么就是判斷模型預(yù)測性能,選擇模型的重要依據(jù)。54(五)預(yù)測的比較54(三)ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)
由ARMA(p,q)的自協(xié)方差公式可以看出,只有的q個自相關(guān)的值同時依賴于和;當(dāng)時,具有與AR(p)模型相同的自相關(guān)函數(shù)差分公式或者55(三)ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)1若,自相關(guān)函數(shù)是指數(shù)或正弦波衰減的,具體由多項式和初始值決定。若,就會有個初始值不遵從一般的衰減變化形式。ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)是步拖尾的。這一事實在識別ARMA模型時也非常有用。56若,自相關(guān)函數(shù)ARMA(1,1)過程57ARMA(1,1)過程3二、偏自相關(guān)函數(shù)(partialautocorrelationfunction,PACF)時間序列過程的偏自相關(guān)函數(shù)就是時間序列在兩個時間隨機(jī)變量之間,排除了其間各個時間隨機(jī)變量影響的相關(guān)系數(shù)。58二、偏自相關(guān)函數(shù)(partialautocorrelati(一)AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)AR(p)的模型偏自相關(guān)函數(shù)定義為計算方法把對回歸,得到回歸方程其中最后一項的回歸系數(shù)就是要求的偏自相關(guān)系數(shù)。59(一)AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)5根據(jù)線性回歸法計算偏自相關(guān)函數(shù),運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計,得到正規(guī)方程組該方程組也可以認(rèn)為是利用的協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)導(dǎo)出。尤勒——沃克方程如下60根據(jù)線性回歸法計算偏自相關(guān)函數(shù),運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計,分別求解,得到偏自相關(guān)系數(shù):61分別求解,得到偏自相關(guān)系數(shù):7由于AR(p)模型意味著與以后的滯后項不相關(guān),因此大于p階的偏自相關(guān)系數(shù)必然都等于0。這意味著AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)有在處截尾的特征。這也是識別自回歸模型及其自回歸階數(shù)的重要依據(jù)。62由于AR(p)模型意味著與以后的滯后項不相(二)MA(q)和ARMA模型的偏自相關(guān)函數(shù)MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)
該函數(shù),且被衰減指數(shù)控制,因此具有拖尾性。可逆的MA()過程等價于無限階的AR過程,因此它們的偏自相關(guān)函數(shù)會無限延伸,被指數(shù)衰減和(或)正弦波衰減所控制??傊季哂型衔驳奶卣鳌?3(二)MA(q)和ARMA模型的偏自相關(guān)函數(shù)9自回歸移動平均混合過程ARMA(p,q),是由自回歸過程和移動平均過程兩部分組成,因此它們的偏自相關(guān)函數(shù)也是無限延伸的,其特征就像純移動平均過程的偏自相關(guān)函數(shù)?;旌线^程的偏自相關(guān)函數(shù)被復(fù)合的衰減指數(shù)和(或)衰減正弦波所控制。衰減特性主要由移動平均過程的階數(shù)和具體參數(shù)決定。64自回歸移動平均混合過程ARMA(p,q),是由自回歸過程和移三、模型識別方法1、基本ARMA模型自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)的基本特征(1)AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)是拖尾的,即會按指數(shù)衰減,或正弦振蕩衰減,偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的,截尾處為自回歸階數(shù)p;(2)MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)是截尾的,截尾處對應(yīng)移動平均階數(shù)q。偏自相關(guān)函數(shù)則是拖尾的;65三、模型識別方法11(3)ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的,自相關(guān)函數(shù)是步拖尾,偏自相關(guān)函數(shù)是步拖尾。66(3)ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖2、樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)假設(shè)有一組觀測樣本,一般認(rèn)為近似自相關(guān)函數(shù)最好的樣本自相關(guān)函數(shù)為:其中672、樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)13計算樣本偏自相關(guān)函數(shù)(SPACF)的方法:直接把樣本自相關(guān)值代入尤勒——沃克方程進(jìn)行計算,或者用公式回歸的方法計算。68計算樣本偏自相關(guān)函數(shù)(SPACF)的方法:14第三節(jié)自回歸移動平均模型的估計ARMA模型的參數(shù)估計常用的方法是利用均值(期望)、自相關(guān)函數(shù),包括Yule-Walker方程的矩估計方法。這些矩估計方法是一致估計,但未必有效。充分有效的估計方法是最大似然法,但最大似然法比較復(fù)雜。在樣本容量較大時矩估計與最大似然估計是接近的。69第三節(jié)自回歸移動平均模型的估計ARMA模型的參數(shù)估計常用的一、移動平均模型參數(shù)估計MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)為70一、移動平均模型參數(shù)估計16首先利用樣本數(shù)據(jù)計算出的估計值把這q+1個樣本自協(xié)方差代自協(xié)方差函數(shù)中的,或者根據(jù)這些再計算出的估計代入自相關(guān)函數(shù),并用和分別代自協(xié)方差或自相關(guān)函數(shù)中的待定參數(shù)和,可得到q+1個方程的聯(lián)立方程組。71首先利用樣本數(shù)據(jù)計算出的估計值17如果可以從這個方程組解出和,就是我們要求的參數(shù)估計值。也可以先解出真實參數(shù)與自協(xié)方差、自相關(guān)的關(guān)系,再代入樣本估計值。因為是時間序列過程的二階矩,上述估計量是通過q+1個樣本矩方程求出的,所以是矩估計量,具有一致估計的性質(zhì)。72如果可以從這個方程組解出和,就是q=1時的參數(shù)估計方法一:直接利用一階自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計73q=1時的參數(shù)估計19由于可逆性條件要求的絕對值小于1,因此只有滿足要求。把樣本自相關(guān)系數(shù)作為的估計代入上式,就可以解得模型參數(shù)的估計量74由于可逆性條件要求的絕對值小于1,因此只有20方法二:利用自協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行估計MA(1)模型有求解上述方程組,并利用,可解得75方法二:利用自協(xié)方差函數(shù)進(jìn)行估計21代入樣本自相關(guān)和自協(xié)方差得模型參數(shù)和模型誤差項方差的估計量由于上述矩估計的方程組是非線性的,因此只有當(dāng)q較?。╭=1、2、3)時,直接進(jìn)行解析求解才可行,當(dāng)更大時解析求解越來越困難,一般應(yīng)使用迭代方法求近似解。76代入樣本自相關(guān)和自協(xié)方差得模型參數(shù)和模型誤差項方差最簡單的迭代方法把MA(q)模型的自協(xié)方差公式代入估計量,并變換為77最簡單的迭代方法23首先給出參數(shù)的一組初始值:將它們和代入上述兩個迭代公式,計算出參數(shù)的第一次迭代值,,再將這些參數(shù)值代入迭代公式反復(fù)迭代,直到收斂。最后得到迭代值作為參數(shù)估計值。78首先給出參數(shù)的一組初始值:24二、自回歸模型參數(shù)估計(一)普通最小二乘估計OLS根據(jù)模型,殘差平方和為根據(jù)最小二乘原理,利用一階條件求上述最小二乘函數(shù)最小化的參數(shù)值,即為最小二乘估計。79二、自回歸模型參數(shù)估計25(二)利用樣本自協(xié)方差方程的矩估計對于一般的平穩(wěn)AR(p)模型,有關(guān)于自相關(guān)的一組關(guān)系,即Yule-Walker方程:80(二)利用樣本自協(xié)方差方程的矩估計26利用樣本數(shù)據(jù)計算出樣本自相關(guān),代入上述Yule-Walker方程,可以解得的“Yule-Walker估計”:81利用樣本數(shù)據(jù)計算出樣本自相關(guān)27該模型中修正項的方差則可以用下式估計:因為計算估計量的方程組是樣本自相關(guān)函數(shù),也是二階樣本矩方程,因此Yule-Walker估計同樣是矩估計量,也是一致估計。82該模型中修正項的方差則可以用下式估計:28當(dāng)樣本容量足夠大時,OLS法和矩估計方法的結(jié)果是很相似的。在使用OLS法時需要注意的是,AR(p)模型回歸用的是一個時間序列的數(shù)據(jù),各期滯后之間相關(guān)性較強(qiáng),因此回歸結(jié)果的有效性往往有問題,必須時間序列的樣本容量比較大,而且還要排斥存在共線性問題。83當(dāng)樣本容量足夠大時,OLS法和矩估計方法的結(jié)果是很相似的。2三、自回歸移動平均模型參數(shù)估計ARMA(p,q)模型的個參數(shù)可分兩步進(jìn)行估計步驟一:先估計出其中的自回歸參數(shù);步驟二:估計移動平均系數(shù)和。84三、自回歸移動平均模型參數(shù)估計30(一)估計自回歸參數(shù)因為當(dāng)時,ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)與AR(p)相同的性質(zhì),因此85(一)估計自回歸參數(shù)31利用樣本自相關(guān)函數(shù)值,可計算出的估計量:86利用樣本自相關(guān)函數(shù)值,可計算出的估計量:32(二)估計移動平均系數(shù)模型改寫成令,并讓作為一個變量代入,則模型近似為就是一個MA(q)模型,可以利用前面介紹的MA(q)模型矩方法估計其中的參數(shù)和87(二)估計移動平均系數(shù)33可以利用原時間序列的自協(xié)方差和前面得到的自回歸系數(shù)估計,計算出的自協(xié)方差,進(jìn)而計算出自相關(guān)系數(shù)。再代入MA(q)模型矩估計的樣本自相關(guān)函數(shù),就可以用前面介紹的方法得到和的參數(shù)估計。8834第四節(jié)ARMA模型檢驗和預(yù)測一、ARMA模型檢驗ARMA模型最主要的檢驗是殘差序列隨機(jī)性檢驗,也就是在用所選擇的模型進(jìn)行參數(shù)估計以后,確定殘差序列是無序列相關(guān)的白噪聲,還是存在序列相關(guān)性:如果仍然存在明顯的序列相關(guān)性,意味著選擇的模型沒有把原時間序列中的信息全部模擬出來,或者說存在一定的偏差,模型需要修正。如果殘差序列已經(jīng)是白噪聲,則所選擇的模型比較合理。89第四節(jié)ARMA模型檢驗和預(yù)測一、ARMA模型檢驗35檢驗殘差是否白噪聲的方法(一)是根據(jù)殘差序列的樣本自相關(guān)函數(shù)SACF,樣本偏自相關(guān)函數(shù)SPACF,看它們是否在統(tǒng)計上具有顯著性。(二)利用SACF,用專門的統(tǒng)計量
~90檢驗殘差是否白噪聲的方法36一般的參數(shù)顯著性t檢驗,確定模型及其階數(shù)的信息準(zhǔn)則SIC和AIC,也都對ARMA模型的選擇,對自回歸、移動平均階數(shù)的確定有參考價值。在應(yīng)用時應(yīng)該綜合考慮這些因素。BOX等建議采用“過擬合方法”進(jìn)行檢驗。即先設(shè)定參數(shù)較多,階數(shù)較高的模型,然后根據(jù)顯著性和模型選擇、判斷準(zhǔn)則逐步簡化。這種方法有一定道理,但有時也有問題。91一般的參數(shù)顯著性t檢驗,確定模型及其階數(shù)的信息準(zhǔn)則SIC和A二、ARMA模型預(yù)測(一)ARMA模型預(yù)測原理預(yù)測的前提是已確定了模型,并且已經(jīng)作了參數(shù)估計和進(jìn)行了基本的檢驗。檢驗評估模型的預(yù)測往往把觀測數(shù)據(jù)分成兩部分,一部分用于估計參數(shù),另一部分則用于檢驗?zāi)P偷念A(yù)測效果,從而判斷模型的有效性。時間序列模型預(yù)測的一般準(zhǔn)則是均方誤(MSE)最小,而均方誤最小
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