32立體幾何中的向量方法(一)課件

3.2立體幾何中的向量方法（一）3.2立體幾何中的向量方法（一）1思考1：如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置？答：空間中任意一個(gè)P的位置可以用向量OP來表示。向量OP稱為點(diǎn)P的位置向量。思考1：答：空間中任意一個(gè)P的位置可以用向量OP2思考2：在空間中給一個(gè)定點(diǎn)A和一個(gè)定方向（向量），能確定一條直線在空間的位置嗎？答：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向（向量）確定。思考2：答：空間中任意一條直線l的位置可以由l上3思考3：給一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向（向量），能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎？答：空間中平面的位置可以由平面內(nèi)兩條相交直線來確定。思考3：答：空間中平面的位置可以由平面內(nèi)兩條相4ala思考4：給一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向（向量），能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎？給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,過點(diǎn)A，以向量a為法向量的平面是完全確定的。ala思考4：給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)5方法指導(dǎo)：怎樣求平面法向量？一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平面的法向量，進(jìn)而就可以利用平面的法向量解決相關(guān)立體幾何問題。推導(dǎo)平面法向量的方法如下：方法指導(dǎo)：怎樣求平面法向量？一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平6設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α，β的法向量分別為u,v,則線線平行：l∥ma∥ba=kb;線面平行：l∥αa⊥ua·u=0;面面平行：α∥βu∥vu=kv.線線垂直：l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.線面垂直：l⊥αa∥ua=ku;設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α，β線線平行：l∥7二、講授新課1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形問題）二、講授新課1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。8

例1：如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，設(shè)化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，進(jìn)行向量運(yùn)算所以回到圖形問題這個(gè)晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的倍。例1：如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，9思考：（1）本題中四棱柱的對(duì)角線BD1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？（2）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于,那么有這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)嗎?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)。思考：（1）本題中四棱柱的對(duì)角線BD1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？10（3）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？（提示：求兩個(gè)平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距離回歸圖形點(diǎn)面距離向量的模解：∴所求的距離是（3）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？（11練習(xí):如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長(zhǎng)都是1，點(diǎn)D，E分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，計(jì)算DE的長(zhǎng)。OABCDE圖2練習(xí):如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的12

例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長(zhǎng)為,AB的長(zhǎng)為。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問題根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行向量運(yùn)算于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫(kù)底與水壩所成的二面角。因此ABCD圖3例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面13所以回到圖形問題庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為所以回到圖形問題庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為14

例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長(zhǎng)為,AB的長(zhǎng)為。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。思考：（1）本題中如果夾角可以測(cè)出，而AB未知，其他條件不變，可以計(jì)算出AB的長(zhǎng)嗎？ABCD圖3分析：∴可算出AB的長(zhǎng)。例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面15（2）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？分析：如圖，設(shè)以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為，三條棱長(zhǎng)分別為各棱間夾角為。A1B1C1D1ABCD（2）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線16（3）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值嗎？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夾角回歸圖形解：如圖，在平面AB1內(nèi)過A1作A1E⊥AB于點(diǎn)E，EF在平面AC內(nèi)作CF⊥AB于F?！嗫梢源_定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值。（3）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于17練習(xí)：（1）如圖4，60°的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長(zhǎng)。B圖4ACD練習(xí)：（1）如圖4，60°的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)18（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。ABCA1B1C1圖5（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長(zhǎng)為219如圖6，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且。（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，求二面角的正切值。O’C’B’A’OABCEF圖6思考：如圖6，在棱長(zhǎng)為的正方體20小結(jié)：用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。作業(yè)：課本P121第2、6題面面距離回歸圖形點(diǎn)面距離向量的模二面角平面角向量的夾角回歸圖形小結(jié)：用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。作業(yè)：面面距離213.2立體幾何中的向量方法（一）3.2立體幾何中的向量方法（一）22思考1：如何確定一個(gè)點(diǎn)在空間的位置？答：空間中任意一個(gè)P的位置可以用向量OP來表示。向量OP稱為點(diǎn)P的位置向量。思考1：答：空間中任意一個(gè)P的位置可以用向量OP23思考2：在空間中給一個(gè)定點(diǎn)A和一個(gè)定方向（向量），能確定一條直線在空間的位置嗎？答：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向（向量）確定。思考2：答：空間中任意一條直線l的位置可以由l上24思考3：給一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向（向量），能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎？答：空間中平面的位置可以由平面內(nèi)兩條相交直線來確定。思考3：答：空間中平面的位置可以由平面內(nèi)兩條相25ala思考4：給一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向（向量），能確定一個(gè)平面在空間的位置嗎？給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a,過點(diǎn)A，以向量a為法向量的平面是完全確定的。ala思考4：給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)26方法指導(dǎo)：怎樣求平面法向量？一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平面的法向量，進(jìn)而就可以利用平面的法向量解決相關(guān)立體幾何問題。推導(dǎo)平面法向量的方法如下：方法指導(dǎo)：怎樣求平面法向量？一般根據(jù)平面法向量的定義推導(dǎo)出平27設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α，β的法向量分別為u,v,則線線平行：l∥ma∥ba=kb;線面平行：l∥αa⊥ua·u=0;面面平行：α∥βu∥vu=kv.線線垂直：l⊥ma⊥ba·b=0;面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.線面垂直：l⊥αa∥ua=ku;設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α，β線線平行：l∥28二、講授新課1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形問題）二、講授新課1、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。29

例1：如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，設(shè)化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，進(jìn)行向量運(yùn)算所以回到圖形問題這個(gè)晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的倍。例1：如圖1：一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，30思考：（1）本題中四棱柱的對(duì)角線BD1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？（2）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于,那么有這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)嗎?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)。思考：（1）本題中四棱柱的對(duì)角線BD1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？31（3）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？（提示：求兩個(gè)平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距離回歸圖形點(diǎn)面距離向量的模解：∴所求的距離是（3）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？（32練習(xí):如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長(zhǎng)都是1，點(diǎn)D，E分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，計(jì)算DE的長(zhǎng)。OABCDE圖2練習(xí):如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的33

例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長(zhǎng)為,AB的長(zhǎng)為。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問題根據(jù)向量的加法法則進(jìn)行向量運(yùn)算于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫(kù)底與水壩所成的二面角。因此ABCD圖3例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面34所以回到圖形問題庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為所以回到圖形問題庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為35

例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長(zhǎng)為,AB的長(zhǎng)為。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。思考：（1）本題中如果夾角可以測(cè)出，而AB未知，其他條件不變，可以計(jì)算出AB的長(zhǎng)嗎？ABCD圖3分析：∴可算出AB的長(zhǎng)。例2：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面36（2）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)，并且以同一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？分析：如圖，設(shè)以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為，三條棱長(zhǎng)分別為各棱間夾角為。A1B1C1D1ABCD（2）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)和一條對(duì)角線37（3）如果已知一個(gè)四棱柱的各棱長(zhǎng)都等于，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值嗎？A1B1C1D1ABCD分析：二面角平面角向量的夾角回歸圖形解：如圖，在平面AB1內(nèi)過A1作A1E⊥AB于點(diǎn)E，EF在平面AC內(nèi)作CF⊥AB于F。∴可以確定這個(gè)四棱柱相鄰兩個(gè)夾角的余弦值。（3）如果已知一個(gè)四棱柱的各