2020高中數(shù)學 階段質量檢測（三）直線與方程（含解析）2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學必求其心得，業(yè)必貴于專精階段質量檢測（三）直線與方程(時間:120分鐘滿分:150分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分,共60分）1．已知直線l的方程為y＝－x＋1，則直線l的傾斜角為（）A．30° B．45°C．60° D．135°解析：選D由題意可知，直線l的斜率為－1，故由tan135°＝－1,可知直線l的傾斜角為135°。2．已知過點M（－2，a)，N（a,4）的直線的斜率為－eq\f（1，2)，則｜MN｜＝（）A．10 B．180C．6eq\r（3） D．6eq\r(5）解析：選D由kMN＝eq\f（a－4，－2－a）＝－eq\f（1，2），解得a＝10，即M(－2，10），N（10,4),所以|MN|＝eq\r（－2－102＋10－42)＝6eq\r(5)，故選D.3．已知直線nx－y＝n－1和直線ny－x＝2n的交點在第二象限，則實數(shù)n的取值范圍是（)A．(0，1） B.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2）))∪（1，＋∞）C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（1，2）)) D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2），＋∞))解析:選C由題意，知當n＝1時,兩直線平行,當n＝－1時，兩直線重合，故n≠±1。解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（nx－y＝n－1,,ny－x＝2n,））得x＝eq\f（n,n－1)，y＝eq\f(2n－1，n－1）.∴eq\f（n，n－1)＜0且eq\f(2n－1，n－1)＞0，解得0＜n＜eq\f(1,2）.4．已知直線l1：（2m2－5m＋2)x－（m2－4)y＋5＝0的斜率與直線l2：x－y＋1＝0的斜率相同，則實數(shù)m等于()A．2或3 B．2C．3 D．－3解析：選C直線l1的斜率為eq\f（2m2－5m＋2，m2－4)，直線l2的斜率為1，則eq\f（2m2－5m＋2,m2－4)＝1，即2m2－5m＋2＝m2－4，整理得m2－5m＋6＝0，解得m＝2或3.當m＝2時，2m2－5m＋2＝0，－(m2－4)＝0，不符合題意,故m＝3。5．若直線(m2－1）x－y－2m＋1＝0不經過第一象限，則實數(shù)m的取值范圍是(）A。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，1)） B。eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（－1，\f(1，2）））C。eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)，1）） D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1,2)，1）)解析：選D若直線（m2－1）x－y－2m＋1＝0不經過第一象限,則直線經過第二、四象限或第三、四象限或第二、三、四象限，所以直線的斜率和截距均小于等于0.直線方程變形為y＝(m2－1）x－2m＋1,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m2－1≤0,,－2m＋1≤0,））解得eq\f(1,2)≤m≤1。6．已知直線mx＋ny＋1＝0平行于直線4x＋3y＋5＝0，且在y軸上的截距為eq\f（1，3)，則m,n的值分別為（）A．4和3 B．－4和3C．－4和－3 D．4和－3解析:選C由題意知：－eq\f(m，n)＝－eq\f（4,3)，即3m＝4n，且有－eq\f（1，n)＝eq\f（1，3)，∴n＝－3，m＝－4。7．兩點A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b）關于直線4x＋3y＝11對稱，則a，b的值為（）A．a＝－1，b＝2 B．a＝4，b＝－2C．a＝2，b＝4 D．a＝4，b＝2解析：選DA、B關于直線4x＋3y＝11對稱,則kAB＝eq\f(3，4)，即eq\f（b＋2－－b，a＋2－b－a）＝eq\f(3,4),①且AB中點eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,2）,1））在已知直線上，代入得2(b＋2）＋3＝11，②解①②組成的方程組得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝4，，b＝2.)）8．直線l1與直線l2：3x＋2y－12＝0的交點在x軸上,且l1⊥l2，則直線l1在y軸上的截距是(）A．－4 B．4C．－eq\f(8,3) D。eq\f（8，3）解析：選C設直線l1的斜率為k1,直線l2的斜率為k2，則k2＝－eq\f（3,2）?！遧1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴k1＝－eq\f（1，k2)＝－eq\f（1，－\f（3，2)）＝eq\f(2,3).設直線l1的方程為y＝eq\f（2,3）x＋b，直線l2與x軸的交點為(4，0）．將點(4,0）代入l1方程，得b＝－eq\f(8，3）.9．光線從點A(－3,5）射到x軸上,經反射以后經過點B（2，10），則光線從A到B的路程為()A．5eq\r(2) B．2eq\r(5)C．5eq\r(10） D．10eq\r(5)解析:選C點A（－3，5)關于x軸的對稱點為A′(－3，－5)，則光線從A到B的路程即A′B的長，｜A′B｜＝eq\r(－5－102＋－3－22）＝5eq\r（10）。10．數(shù)學家歐拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心（外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點,重心是三角形三條中線的交點，垂心是三角形三條高線的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點B(－1，0），C（0,2)，AB＝AC，則△ABC的歐拉線方程為（）A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0解析：選D本題考查歐拉線方程，∵B(－1,0），C(0，2）,∴線段BC中點的坐標為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2），1))，線段BC所在直線的斜率kBC＝2，則線段BC的垂直平分線的方程為y－1＝－eq\f（1，2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1，2))），即2x＋4y－3＝0?！逜B＝AC，∴△ABC的外心、重心、垂心都在線段BC的垂直平分線上，∴△ABC的歐拉線方程為2x＋4y－3＝0.故選D。11．已知點M（1，0)和N（－1，0），直線2x＋y＝b與線段MN相交，則b的取值范圍為(）A．［－2,2］ B．[－1,1］C.eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1，2)）) D．［0,2］解析：選A直線可化成y＝－2x＋b，當直線過點M時，可得b＝2；當直線過點N時，可得b＝－2，所以要使直線與線段MN相交，b的取值范圍為[－2,2]．12．若直線l1：y－2＝（k－1)x和直線l2關于直線y＝x＋1對稱,那么直線l2恒過定點（)A．（2，0） B．（1，－1)C．（1,1) D．(－2,0)解析:選C∵l1：kx＝x＋y－2，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0，,x＋y－2＝0，))得l1恒過定點（0，2)，記為點P,∴與l1關于直線y＝x＋1對稱的直線l2也必恒過一定點，記為點Q，且點P和Q也關于直線y＝x＋1對稱．令Q(m，n)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（n＋2,2）＝\f（m，2)＋1，，\f(n－2，m）×1＝－1,））?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝1，，n＝1,)）即Q(1，1）,∴直線l2恒過定點(1,1)．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分,共20分）13．已知點A(2，1),B(－2，3)，C（0，1），則△ABC中，BC邊上的中線長為________．解析：BC中點為（－1，2)，所以BC邊上中線長為eq\r(2＋12＋1－22)＝eq\r（10)。答案：eq\r（10）14．直線l與直線y＝1，x－y－7＝0分別交于A,B兩點，線段AB的中點為M（1，－1),則直線l的斜率為________．解析：設A(x1，y1)，B（x2,y2)，則eq\f（y1＋y2,2）＝－1，又y1＝1,∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－3),又eq\f(x1＋x2，2）＝1，∴x1＝－2，即A（－2,1)，∴kAB＝eq\f(－3－1，4－－2）＝－eq\f(2,3）。答案:－eq\f(2,3)15．已知點M（a,b)在直線3x＋4y＝15上，則eq\r(a2＋b2）的最小值為________．解析:eq\r(a2＋b2)的最小值為原點到直線3x＋4y＝15的距離：d＝eq\f(｜0＋0－15｜，\r（32＋42))＝3。答案：316．在△ABC中，已知C（2，5)，角A的平分線所在的直線方程是y＝x，BC邊上的高所在的直線方程是y＝2x－1,則頂點B的坐標為________．解析:依題意，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝x，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1,，y＝1，)）則A（1，1）．因為角A的平分線所在的直線方程是y＝x,所以點C(2，5)關于直線y＝x的對稱點C′(5,2)在邊AB所在的直線上,所以邊AB所在的直線方程為y－1＝eq\f(2－1，5－1）（x－1)，整理得x－4y＋3＝0。又邊BC上的高所在的直線方程是y＝2x－1，所以邊BC所在的直線的斜率為－eq\f（1,2)，所以邊BC所在的直線方程是y－5＝－eq\f（1,2)（x－2),整理得x＋2y－12＝0.由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,x＋2y－12＝0,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝\f（5,2),))則Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（7，\f(5，2)）).答案：eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（7,\f（5,2)）)三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）已知直線l經過點P(－2，1)，且與直線x＋y＝0垂直．(1）求直線l的方程;（2）若直線m與直線l平行且點P到直線m的距離為eq\r(2）,求直線m的方程．解：(1)由題意得直線l的斜率為1,故直線l的方程為y－1＝x＋2,即x－y＋3＝0。（2）由直線m與直線l平行，可設直線m的方程為x－y＋c＝0,由點到直線的距離公式得eq\f(｜－2－1＋c｜，\r（2)）＝eq\r（2）,即｜c－3｜＝2，解得c＝1或c＝5.故直線m的方程為x－y＋1＝0或x－y＋5＝0.18．（本小題滿分12分)已知兩條直線l1：x＋m2y＋6＝0，l2：（m－2）x＋3my＋2m＝0，當m為何值時,l1與l2：(1)相交；(2)平行；(3）重合．解：當m＝0時,l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l(xiāng)1∥l2.當m＝2時，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l(xiāng)1與l2相交．當m≠0且m≠2時，由eq\f(1，m－2)＝eq\f（m2，3m)得m＝－1或m＝3，由eq\f（1，m－2）＝eq\f（6，2m），得m＝3.故（1)當m≠－1且m≠3且m≠0時，l1與l2相交．(2)當m＝－1或m＝0時,l1∥l2。(3）當m＝3時，l1與l2重合．19．（本小題滿分12分）等腰直角三角形斜邊所在直線的方程是3x－y＝0，一條直角邊所在的直線l的斜率為eq\f（1，2），且經過點（4，－2)，若此三角形的面積為10，求此直角三角形的直角頂點的坐標．解：設直角頂點為C，點C到直線y＝3x的距離為d，則eq\f(1,2)d·2d＝10,∴d＝eq\r(10).∵直線l的斜率為eq\f（1,2），且經過點(4，－2)，∴直線l的方程為y＋2＝eq\f(1，2）（x－4）．即x－2y－8＝0.設直線l′是與直線y＝3x平行且距離為eq\r(10）的直線，則直線l′與l的交點就是C點，設直線l′的方程是3x－y＋m＝0,∴eq\f（|m｜，\r（32＋－12))＝eq\r（10）,∴m＝±10,∴直線l′的方程是3x－y±10＝0.由方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y－8＝0，，3x－y－10＝0））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y－8＝0，,3x－y＋10＝0,)）得點C的坐標是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（12,5),－\f(14,5）)）或eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（28,5)，－\f（34,5)）).20．(本小題滿分12分)如圖,已知點A（2，3）,B（4，1),△ABC是以AB為底邊的等腰三角形,點C在直線l：x－2y＋2＝0上．（1）求AB邊上的高CE所在直線的方程;(2）求△ABC的面積．解:（1）由題意可知，E為AB的中點，∴E(3,2），且kCE＝－eq\f（1，kAB)＝1，∴CE所在直線方程為：y－2＝x－3，即x－y－1＝0。（2)由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2y＋2＝0，,x－y－1＝0，)）得C(4,3),∴｜AC｜＝｜BC|＝2，AC⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2）｜AC|·|BC|＝2。21．(本小題滿分12分）已知三條直線l1：2x－y＋a＝0(a＞0）；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3:x＋y－1＝0，且l1與l2間的距離是eq\f（7\r（5），10)。(1)求a的值．（2）能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件：①點P在第一象限;②點P到l1的距離是點P到l2的距離的eq\f（1,2）；③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是eq\r(2）∶eq\r（5）。若能,求點P的坐標；若不能,說明理由．解：（1)直線l2的方程等價于2x－y－eq\f(1，2)＝0,所以兩條平行線l1與l2間的距離d＝eq\f（\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2)）)）)，\r(22＋－12）)＝eq\f（7\r（5)，10)，即eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（a＋\f（1,2)）)＝eq\f（7,2）。又因為a＞0，解得a＝3。（2）假設存在點P，設點P(x0，y0),若點P滿足條件②，則點P在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上,且eq\f(|c－3｜,\r(5）)＝eq\f(1,2)·eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（c＋\f（1，2))),\r（5)），解得c＝eq\f（13，2）或eq\f（11，6），所以2x0－y0＋eq\f(13，2)＝0或2x0－y0＋eq\f(11，6）＝0.若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式，得eq\f(｜2x0－y0＋3|，\r（5)）＝eq\f(\r（2)，\r(5））·eq\f(|x0＋y0－1|,\r(2）)，即｜2x0－y0＋3|＝｜x0＋y0－1｜，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0。若點P滿足條件①，則3x0＋2＝0不合適．解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x0－y0＋\f(13，2）＝0，,x0－2y0＋4＝0，))得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝－3,,y0＝\f（1，2).)）不符合點P在第一象限，舍去．解方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x0－y0＋\f（11,6）＝0，，x0－2y0＋4＝0，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1，9），,y0＝\f(37,18)。）)符合條件①.所以存在點Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，9）,\f(37，18)）)同時滿足三個條件．22．(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1,AB，AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合，如圖，將矩形折疊，使A點落在線段DC上．(1）若折痕所在直線的斜率為k,試求折