人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件第5章-三角函數(shù)-任意角

5.1.1

任意角5.1.1任意角課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解任意角的概念,能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角.2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示方法,并能判斷角所在的位置.4.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,提高直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課標(biāo)定位1.了解任意角的概念,能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角.自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易錯辨析隨

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、角的相關(guān)概念【問題思考】1.小明要將射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置.(1)請問有幾種旋轉(zhuǎn)方向?提示:有順時針和逆時針兩種旋轉(zhuǎn)方向.(2)先將OA順時針旋轉(zhuǎn)到OB形成角α,再把OB順時針旋轉(zhuǎn)到OC形成角β,則OC的終邊對應(yīng)的角是多少?提示:OC的終邊對應(yīng)的角是α+β.一、角的相關(guān)概念2.(1)一條射線繞其端點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),就稱它形成了一個零角.這樣,零角的始邊與終邊重合.(2)任意角包括正角、負(fù)角和零角.(3)規(guī)定:設(shè)α,β是任意兩個角,把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β,這時終邊所對應(yīng)的角是α+β.(4)把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角α的相反角記為

–α.這樣,角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法,即α-β=α+(-β).2.(1)一條射線繞其端點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角,3.做一做:將35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角為

,將35°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角為

.

答案:-25°

395°3.做一做:將35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角為二、象限角【問題思考】1.角的三要素是什么?提示:頂點(diǎn)、始邊和終邊.2.使角的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,則角的終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置?提示:終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個象限內(nèi).二、象限角3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸4.做一做:(多選題)下列說法正確的是(

)A.小于90°的角是銳角

B.鈍角是第二象限角C.第二象限角是鈍角

D.直角不屬于任何象限解析:因為小于90°的角包含負(fù)角,所以A錯誤;因為鈍角的范圍是大于90°小于180°,所以鈍角是第二象限角,第二象限角不一定是鈍角,如-240°是第二象限角,但-240°不是鈍角,所以B正確,C錯誤.因為直角的終邊落在y軸的非負(fù)半軸上,所以直角不屬于任何象限,故D正確.答案:BD4.做一做:(多選題)下列說法正確的是()三、終邊相同的角【問題思考】1.如圖,60°角的終邊是OA,請回答下列問題:(1)-660°,420°角的終邊與60°角的終邊有什么關(guān)系?提示:相同.(2)它們與60°角分別相差多少?提示:-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它們與60°角分別相差了-2個周角及1個周角.(3)如何表示與60°角終邊相同的角?提示:60°+k·360°(k∈Z).三、終邊相同的角2.(1)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.(2)象限角的表示(①終邊在第一象限的角:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}.②終邊在第二象限的角:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}.③終邊在第三象限的角:{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}.④終邊在第四象限的角:{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}.2.(1)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集3.做一做:與-457°角的終邊相同的角的集合是(

)A.{α|α=457°+k·360°,k∈Z}B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}解析:因為-457°=-1×360°-97°=-2×360°+263°,所以與-457°角的終邊相同的角的集合是{α|α=-457°+k·360°,k∈Z}={α|α=-97°+k·360°,k∈Z}={α|α=263°+k·360°,k∈Z}.答案:C3.做一做:與-457°角的終邊相同的角的集合是()【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)-30°角是第四象限角.(√)(2)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同.(√)(3)終邊相同的角有無數(shù)個,它們相差360°的整數(shù)倍.(√)(4)終邊相同的角的表示不唯一.(√)(5)始邊與終邊重合的角是零角.(×)【思考辨析】

合作探究·釋疑解惑合作探究·釋疑解惑探究一

任意角的概念【例1】

端點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,且與x軸正方向相同的射線OA繞端點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到射線OB的位置,接著再順時針旋轉(zhuǎn)30°到OC的位置,則∠AOC的度數(shù)為

.

解析:畫出的簡圖如圖所示,由圖可知∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°)=60°.所以∠AOC的度數(shù)為60°.答案:60°探究一任意角的概念【例1】端點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,且與x軸正反思感悟角的概念推廣后,確定角的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小,畫圖分析有助于培養(yǎng)直觀想象的素養(yǎng).反思感悟【變式訓(xùn)練1】

寫出下列說法所表示的角:(1)順時針擰螺絲2圈;(2)將時鐘撥慢2時30分,分針轉(zhuǎn)過的角.解:(1)順時針擰螺絲2圈即螺絲順時針旋轉(zhuǎn)了2周,因此所表示的角為-720°.(2)撥慢時鐘需將分針按逆時針方向旋轉(zhuǎn),因此將時鐘撥慢2時30分,分針轉(zhuǎn)過的角為900°.【變式訓(xùn)練1】寫出下列說法所表示的角:探究二

象限角與終邊相同的角【例2】

已知角α=2020°.(1)把α改寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ<720°.探究二象限角與終邊相同的角【例2】已知角α=2020解:(1)因為2

020°÷360°=5……220°,所以取k=5,β=220°,α=5×360°+220°.又因為β=220°是第三象限角,所以α為第三象限角.(2)由(1)知α=5×360°+220°,故θ=k·360°+220°(k∈Z).當(dāng)k=-2時,θ=-500°<-360°,不滿足;當(dāng)k=-1時,θ=-140°,滿足;當(dāng)k=0時,θ=220°,滿足;當(dāng)k=1時,θ=580°,滿足;當(dāng)k=2時,θ=940°>720°,不滿足.綜上可知角θ的值為-140°,220°或580°.解:(1)因為2020°÷360°=5……220°,反思感悟1.把任意角化為α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,關(guān)鍵是確定k.可以用觀察法(α的絕對值較小),也可用除法.2.要求適合某種條件,且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.反思感悟【變式訓(xùn)練2】

已知角α=2235°.(1)寫出與角α終邊相同的角β的集合,并指出角α是第幾象限角;(2)求在360°≤β<1080°范圍內(nèi)與角α終邊相同的角.【變式訓(xùn)練2】已知角α=2235°.解:(1)因為2

235°=6×360°+75°,所以與角α終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+75°,k∈Z},且角α是第一象限角.(2)當(dāng)360°≤β<1

080°時,即360°≤k·360°+75°<1

080°(k∈Z),又因為k∈Z,所以k=1或k=2.當(dāng)k=1時,β=435°;當(dāng)k=2時,β=795°.綜上所述,與角α終邊相同且在360°≤β<1

080°范圍內(nèi)的角有435°和795°.解:(1)因為2235°=6×360°+75°,所以與角α探究三

區(qū)域角的表示【例3】

已知角β的終邊在如圖所示的陰影內(nèi),求角β的取值集合.解:由題圖可知角β的取值集合為{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}.探究三區(qū)域角的表示【例3】已知角β的終邊在如圖所示的陰1.若將本例圖形改為如圖所示的圖形,其他不變,如何求解?解:角β在x軸上方部分的角的集合為A={β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}={β|2m×180°+60°≤β<2m×180°+105°,m∈Z}.1.若將本例圖形改為如圖所示的圖形,其他不變,如何求解?解:角β在x軸下方部分的角的集合為B={β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|k·360°+180°+60°≤β<k·360°+180°+105°,k∈Z}={β|(2m+1)×180°+60°≤β<(2m+1)×180°+105°,m∈Z}.所以角β的取值集合是A∪B,即A∪B={β|2m×180°+60°≤β<2m×180°+105°,m∈Z}∪{β|(2m+1)×180°+60°≤β<(2m+1)×180°+105°,m∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.角β在x軸下方部分的角的集合為B={β|k·360°+2402.若將本例圖形改為如圖所示的圖形,其他不變,如何求解?解:圖中陰影在第一、第三象限,根據(jù)象限角的表示可知角β的取值集合是{β|k·360°<β<k·360°+90°,k∈Z}∪{β|k·360°+180°<β<k·360°+270°,k∈Z}={β|2k·180°<β<2k·180°+90°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°<β<(2k+1)·180°+90°,k∈Z}={β|n·180°<β<n·180°+90°,n∈Z}.2.若將本例圖形改為如圖所示的圖形,其他不變,如何求解?反思感悟表示區(qū)域角的三個步驟第一步:根據(jù)圖形按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.第二步:按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β,寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β},其中β-α<360°.第三步:起始、終止邊界對應(yīng)角α,β,再加上k·360°(k∈Z),即得區(qū)域角集合.反思感悟易

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析易錯辨析人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件第5章-三角函數(shù)-任意角提示:致錯原因是把第二象限角誤認(rèn)為是大于90°而小于180°,第二象限角應(yīng)該是{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}.正解:由題意,得90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),故180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z).故2α是第三、第四象限角或終邊落在y軸的非正半軸上.由90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),可得提示:致錯原因是把第二象限角誤認(rèn)為是大于90°而小于180°人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件第5章-三角函數(shù)-任意角防范措施防范措施【變式訓(xùn)練】

若α是第三象限角,則

是(

)A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角C.第二或第四象限角 D.第三或第四象限角【變式訓(xùn)練】若α是第三象限角,則是()答案:C答案:C隨

堂

練

習(xí)隨堂練習(xí)1.如圖,將射線OM繞端點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)135°所得的角為(

)

A.120° B.-120° C.60° D.240°答案:A1.如圖,將射線OM繞端點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)135°所得的角2.已知α是第二象限角,則180°-α是(

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析:因為90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),所以-k·360°<180°-α<90°-k·360°(k∈Z),故180°-α是第一象限角.答案:A2.已知α是第二象限角,則180°-α是()3.將-885°化為α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是

.

解析:-885°=-1

080°+195°=(-3)×360°+195°.答案:195°+(-3)×360°3.將-885°化為α+k·360°(0°≤α<360°,k4.如圖所示,已知角α的終邊在陰影范圍內(nèi)(不包含邊界),則角α的取值集合是

.

答案:{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k∈Z}4.如圖所示,已知角α的終邊在陰影范圍內(nèi)(不包含邊界),則角5.在0°~360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限的角:(1)-120°;

(2)640°.5.在0°~360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判解:(1)與-120°終邊相同的角的集合為M={β|β=-120°+k·360°,k∈Z}.當(dāng)k=1時,β=-120°+1×360°=240°,故在0°~360°范圍內(nèi),與-120°終邊相同的角是240°,它是第三象限角.(2)與640°終邊相同的角的集合為M={β|β=640°+k·360°,k∈Z}.當(dāng)k=-1時,β=640°-360°=280°,故在0°~360°范圍內(nèi),與640°終邊相同的角為280°,它是第四象限角.解:(1)與-120°終邊相同的角的集合為人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件第5章-三角函數(shù)-任意角5.1.1

任意角5.1.1任意角課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解任意角的概念,能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角.2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.3.掌握終邊相同的角的含義及其表示方法,并能判斷角所在的位置.4.體會數(shù)學(xué)抽象的過程,提高直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課標(biāo)定位1.了解任意角的概念,能正確區(qū)分正角、負(fù)角和零角.自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

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習(xí)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易錯辨析隨

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、角的相關(guān)概念【問題思考】1.小明要將射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置.(1)請問有幾種旋轉(zhuǎn)方向?提示:有順時針和逆時針兩種旋轉(zhuǎn)方向.(2)先將OA順時針旋轉(zhuǎn)到OB形成角α,再把OB順時針旋轉(zhuǎn)到OC形成角β,則OC的終邊對應(yīng)的角是多少?提示:OC的終邊對應(yīng)的角是α+β.一、角的相關(guān)概念2.(1)一條射線繞其端點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),就稱它形成了一個零角.這樣,零角的始邊與終邊重合.(2)任意角包括正角、負(fù)角和零角.(3)規(guī)定:設(shè)α,β是任意兩個角,把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β,這時終邊所對應(yīng)的角是α+β.(4)把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角α的相反角記為

–α.這樣,角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法,即α-β=α+(-β).2.(1)一條射線繞其端點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角,3.做一做:將35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角為

,將35°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角為

.

答案:-25°

395°3.做一做:將35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角為二、象限角【問題思考】1.角的三要素是什么?提示:頂點(diǎn)、始邊和終邊.2.使角的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,則角的終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置?提示:終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個象限內(nèi).二、象限角3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.3.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸4.做一做:(多選題)下列說法正確的是(

)A.小于90°的角是銳角

B.鈍角是第二象限角C.第二象限角是鈍角

D.直角不屬于任何象限解析:因為小于90°的角包含負(fù)角,所以A錯誤;因為鈍角的范圍是大于90°小于180°,所以鈍角是第二象限角,第二象限角不一定是鈍角,如-240°是第二象限角,但-240°不是鈍角,所以B正確,C錯誤.因為直角的終邊落在y軸的非負(fù)半軸上,所以直角不屬于任何象限,故D正確.答案:BD4.做一做:(多選題)下列說法正確的是()三、終邊相同的角【問題思考】1.如圖,60°角的終邊是OA,請回答下列問題:(1)-660°,420°角的終邊與60°角的終邊有什么關(guān)系?提示:相同.(2)它們與60°角分別相差多少?提示:-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它們與60°角分別相差了-2個周角及1個周角.(3)如何表示與60°角終邊相同的角?提示:60°+k·360°(k∈Z).三、終邊相同的角2.(1)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.(2)象限角的表示(①終邊在第一象限的角:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}.②終邊在第二象限的角:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}.③終邊在第三象限的角:{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}.④終邊在第四象限的角:{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}.2.(1)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集3.做一做:與-457°角的終邊相同的角的集合是(

)A.{α|α=457°+k·360°,k∈Z}B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}解析:因為-457°=-1×360°-97°=-2×360°+263°,所以與-457°角的終邊相同的角的集合是{α|α=-457°+k·360°,k∈Z}={α|α=-97°+k·360°,k∈Z}={α|α=263°+k·360°,k∈Z}.答案:C3.做一做:與-457°角的終邊相同的角的集合是()【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)-30°角是第四象限角.(√)(2)終邊相同的角不一定相等,但相等的角終邊一定相同.(√)(3)終邊相同的角有無數(shù)個,它們相差360°的整數(shù)倍.(√)(4)終邊相同的角的表示不唯一.(√)(5)始邊與終邊重合的角是零角.(×)【思考辨析】

合作探究·釋疑解惑合作探究·釋疑解惑探究一

任意角的概念【例1】

端點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,且與x軸正方向相同的射線OA繞端點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到射線OB的位置,接著再順時針旋轉(zhuǎn)30°到OC的位置,則∠AOC的度數(shù)為

.

解析:畫出的簡圖如圖所示,由圖可知∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°)=60°.所以∠AOC的度數(shù)為60°.答案:60°探究一任意角的概念【例1】端點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,且與x軸正反思感悟角的概念推廣后,確定角的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小,畫圖分析有助于培養(yǎng)直觀想象的素養(yǎng).反思感悟【變式訓(xùn)練1】

寫出下列說法所表示的角:(1)順時針擰螺絲2圈;(2)將時鐘撥慢2時30分,分針轉(zhuǎn)過的角.解:(1)順時針擰螺絲2圈即螺絲順時針旋轉(zhuǎn)了2周,因此所表示的角為-720°.(2)撥慢時鐘需將分針按逆時針方向旋轉(zhuǎn),因此將時鐘撥慢2時30分,分針轉(zhuǎn)過的角為900°.【變式訓(xùn)練1】寫出下列說法所表示的角:探究二

象限角與終邊相同的角【例2】

已知角α=2020°.(1)把α改寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ<720°.探究二象限角與終邊相同的角【例2】已知角α=2020解:(1)因為2

020°÷360°=5……220°,所以取k=5,β=220°,α=5×360°+220°.又因為β=220°是第三象限角,所以α為第三象限角.(2)由(1)知α=5×360°+220°,故θ=k·360°+220°(k∈Z).當(dāng)k=-2時,θ=-500°<-360°,不滿足;當(dāng)k=-1時,θ=-140°,滿足;當(dāng)k=0時,θ=220°,滿足;當(dāng)k=1時,θ=580°,滿足;當(dāng)k=2時,θ=940°>720°,不滿足.綜上可知角θ的值為-140°,220°或580°.解:(1)因為2020°÷360°=5……220°,反思感悟1.把任意角化為α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,關(guān)鍵是確定k.可以用觀察法(α的絕對值較小),也可用除法.2.要求適合某種條件,且與已知角終邊相同的角,其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式,再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.反思感悟【變式訓(xùn)練2】

已知角α=2235°.(1)寫出與角α終邊相同的角β的集合,并指出角α是第幾象限角;(2)求在360°≤β<1080°范圍內(nèi)與角α終邊相同的角.【變式訓(xùn)練2】已知角α=2235°.解:(1)因為2

235°=6×360°+75°,所以與角α終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+75°,k∈Z},且角α是第一象限角.(2)當(dāng)360°≤β<1

080°時,即360°≤k·360°+75°<1

080°(k∈Z),又因為k∈Z,所以k=1或k=2.當(dāng)k=1時,β=435°;當(dāng)k=2時,β=795°.綜上所述,與角α終邊相同且在360°≤β<1

080°范圍內(nèi)的角有435°和795°.解:(1)因為2235°=6×360°+75°,所以與角α探究三

區(qū)域角的表示【例3】

已知角β的終邊在如圖所示的陰影內(nèi),求角β的取值集合.解:由題圖可知角β的取值集合為{β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}.探究三區(qū)域角的表示【例3】已知角β的終邊在如圖所示的陰1.若將本例圖形改為如圖所示的圖形,其他不變,如何求解?解:角β在x軸上方部分的角的集合為A={β|k·360°+60°≤β<k·360°+105°,k∈Z}={β|2m×180°+60°≤β<2m×180°+105°,m∈Z}.1.若將本例圖形改為如圖所示的圖形,其他不變,如何求解?解:角β在x軸下方部分的角的集合為B={β|k·360°+240°≤β<k·360°+285°,k∈Z}={β|k·360°+180°+60°≤β<k·360°+180°+105°,k∈Z}={β|(2m+1)×180°+60°≤β<(2m+1)×180°+105°,m∈Z}.所以角β的取值集合是A∪B,即A∪B={β|2m×180°+60°≤β<2m×180°+105°,m∈Z}∪{β|(2m+1)×180°+60°≤β<(2m+1)×180°+105°,m∈Z}={β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.角β在x軸下方部分的角的集合為B={β|k·360°+2402.若將本例圖形改為如圖所示的圖形,其他不變,如何求解?解:圖中陰影在第一、第三象限,根據(jù)象限角的表示可知角β的取值集合是{β|k·360°<β<k·360°+90°,k∈Z}∪{β|k·360°+180°<β<k·360°+270°,k∈Z}={β|2k·180°<β<2k·180°+90°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°<β<(2k+1)·180°+90°,k∈Z}={β|n·180°<β<n·180°+90°,n∈Z}.2.若將本例圖形改為如圖所示的圖形,其他不變,如何求解?反思感悟表示區(qū)域角的三個步驟第一步:根據(jù)圖形按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.第二步:按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β,寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β},其中β-α<360°.第三步:起始、終止邊界對應(yīng)角α,β,再加上k·360°(k∈Z),即得區(qū)域角集合.反思感悟易

錯

辨

析易錯辨析人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件第5章-三角函數(shù)-任意角提示:致錯原因是把第二象限角誤認(rèn)為是大于90°而小于180°,第二象限角應(yīng)該是{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}.正解:由題意,得90°+k·360°<α<180°+k·360°