剛體的動量與角動量

第五章剛體的轉動

rotationofarigidbody12/10/20221鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!§5-1剛體的平動、轉動和定軸轉動

1.剛體rigidbody

剛體是一種特殊的質點系統(tǒng)，無論它在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質點間的距離始終保持不變。2、剛體的平動：translationofarigidbody當剛體運動時，如果剛體內(nèi)任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫平動。12/10/20222鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!剛體的平動過程bca平動和轉動剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!bcab剛體的平動過程平動和轉動剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!bca剛體的平動過程平動和轉動剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!bca剛體的平動過程平動和轉動剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!bca剛體的平動過程平動和轉動剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!3.剛體的定軸轉動rotationofarigidbodyaroundafixaxis

定軸轉動：定軸轉動剛體上各點都繞同一轉軸作不同半徑的圓周運動，且在相同時間內(nèi)轉過相同的角度。剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!4.角速度矢量

angularvelocityvector角速度角速度的方向：與剛體轉動方向呈右手螺旋關系。角速度矢量在定軸轉動中，角速度的方向沿轉軸方向。12/10/20229鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!(1)滑輪的角加速度。(2)開始上升后,5秒末滑輪的角速度(3)在這5秒內(nèi)滑輪轉過的圈數(shù)。(4)開始上升后,1秒末滑輪邊緣上一點的加速度(不打滑)。解:(1)輪緣上一點的切向加速度與物體的加速度相等ar例題5-1:一條纜索繞過一定滑論拉動一升降機,滑論半徑為0.5m,如果升降機從靜止開始以a=0.4m/s2勻加速上升,求：12/10/202210鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!*例題5-2一飛輪轉速n=1500r/min，受到制動后均勻地減速，經(jīng)t=50s后靜止。（1）求角加速度a和飛輪從制動開始到靜止所轉過的轉數(shù)N；（2）求制動開始后t=25s時飛輪的加速度；（3）設飛輪的半徑r=1m，求在

t=25s時邊緣上一點的速度和加速度。角速度0vanatarO解

（1）設初角度為0方向如圖所示，12/10/202211鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!角速度（2）t=25s時飛輪的角速度為12/10/202212鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!邊緣上該點的加速度其中

的方向與的方向相反，的方向指向軸心，的大小為

的方向幾乎和

相同。角速度12/10/202213鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!§5-2轉動中的功和能

Workandenergyinthe

rotation

1.力矩的功workdonebytorque力矩的功：當剛體在外力矩作用下繞定軸轉動而發(fā)生角位移時，就稱力矩對剛體做功。力對P點作功：0‘012/10/202214鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!A、所謂力矩的功，實質上還是力的功，并無任何關于力矩的功的新的定義，只是在剛體轉動中，用力矩和角位移的積來表示功更為方便而己。B、對于定軸轉動剛體，所有內(nèi)力的功總和在任何過程中均為零。（內(nèi)力成對，大小相等方向相反，一對內(nèi)力矩的代數(shù)和為零；∴內(nèi)力矩的功總和為零。另一角度，內(nèi)力的功相對位移為零.）C、功率：

當M與ω同方向，A和P為正

當M與ω反方向，A和P為負說明：12/10/202215鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!2).轉動慣量:rotationalinertia(momentofinertia)如果剛體是連續(xù)分布的質點系轉動慣量的物理意義平動：質點平動動能動量剛體的轉動動能轉動：角動量可見，轉動慣量J是轉動中慣性大小的量度12/10/202216鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!4、剛體的重力勢能:xyzoC12/10/202217鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!轉動慣量是轉動中慣性大小的量度。質量是平動中慣性大小的量度。轉動慣量的計算區(qū)別：平動：平動動能

線動量轉動：轉動動能角動量12/10/202218鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!轉動慣量的計算例題5.5求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉軸的轉動慣量。設圓盤的半徑為R，質量為m，密度均勻。rRdr解設圓盤的質量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質量dm=2rdr。可得12/10/202219鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!例題5.6求質量為m、長為l的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量：（1）轉軸通過棒的中心并和棒垂直；（2）轉軸通過棒的一端并和棒垂直；*（3）轉軸通過棒上距中心為h的一點并和棒垂直。llOxdxlOxdxAlxdxAABh12/10/202220鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!因=m/l，代入得轉動慣量的計算（2）當轉軸通過棒的一端A并和棒垂直時，我們有l(wèi)xdxA12/10/202221鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!哪種握法轉動慣量大？12/10/202222鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!定軸（相當于）剛體所受到的對于給定軸的總外力矩等于剛體對該軸的角動量的時間變化率由轉動的動能定律微分形式：§5.4剛體轉動定律lawofrotationofarigidbody兩邊除以dt:12/10/202223鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!m1Rm2*例5.9.物體m1>m2，滑輪（R，m）。阻力矩Mf，繩子質量忽略，不伸長、不打滑。求重物的加速度及繩中張力解：m1gT1T2m2ga1a2T2T1Mf12/10/202224鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!3.不計軸上摩擦、不計滑輪質量(Mf=0,m=0)2.不計滑輪質量m=012/10/202225鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!l2l2lll2l2由轉動定律：細棒在豎直位置時，端點A和中心點C的速度分別為12/10/202226鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!質點Δmi對O點的角動量為：因vi垂直于Ri,，所以ΔLi的大小為剛體對O點的角動量，等于各質點角動量的矢量和。L并不和OZ方向一致。感興趣的OZ的分量Lz,叫做剛體繞定軸的角動量，即轉動慣量J一、剛體的角動量angularmomentumofarigidbody§5.5剛體定軸轉動的角動量守恒lawofconservationofangularmomentumofarotationalrigidbodyaroundafixaxis12/10/202227鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!

當物體所受合外力矩等于零時，物體的角動量保持不變。-------角動量守恒定律若則由角動量定理三、定軸轉動剛體的角動量守恒定律lawofconservationofangularmomentumofarotationalrigidbodyaroundafixaxis角動量守恒定律：12/10/202228鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!b.若系統(tǒng)由若干個剛體構成,當合外力矩為零時,系統(tǒng)的角動量依然守恒。J大→

小,J小→大。c.若系統(tǒng)內(nèi)既有平動也有轉動現(xiàn)象發(fā)生，若對某一定軸的合外力矩為零,則系統(tǒng)對該軸的角動量守恒。定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202229鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!應用事例：定軸轉動剛體的角動量守恒定律直升飛機12/10/202230鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!例5.10一長為l、質量為m的勻質細桿，可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動。當桿靜止時，一顆質量為m0的子彈水平射入與軸相距為a處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉到q=300，求子彈的初速v0。解：分兩個階段進行考慮其中(1)子彈射入細桿,使細桿獲得初速度。因這一過程進行得很快,細桿發(fā)生偏轉極小,可認為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細桿組成待分析的系統(tǒng),無外力矩,滿足角動量守恒條件。子彈射入細桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動量分別為定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202231鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!由機械能守恒，E=E0,代入q=300，得：將上式與聯(lián)立，并代入J

值，得定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202232鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!例題5-12*圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉動慣量為J=2103kgm2，它以=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉。每個噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是=2kg/s。廢氣的噴射速率（相對于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應噴射多長時間才能使飛船停止旋轉。rdm/2dm/2u-uL0Lg解把飛船和排出的廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣質量為m?？梢哉J為廢氣質量遠小于飛船的質量，定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202233鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!當宇宙飛船停止旋轉時，其角動量為零。系統(tǒng)這時的總角動量L1就是全部排出的廢氣的總角動量，即為在整個噴射過程中，系統(tǒng)所受的對于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對于此軸的角動量守恒，即L0=L1，由此得即定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202234鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!例題5-13*一勻質細棒長為l，質量為m，可繞通過其端點O的水平軸轉動，如圖所示。當棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質量也為m，它與地面的摩擦系數(shù)為。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質心C離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解：這個問題可分為三個階段進行分析。階段是棒自由擺落的過程。這時除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機械能守恒。我們把棒在豎直位置時質心所在處取為勢能CO定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202235鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為（3）由勻減速直線運動的公式得（4）亦即由式（1）、（2）與（4）聯(lián)合求解，即得（5）定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202236鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!例題4-14工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉速一起轉動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉動慣量為JA=10kgm2，B的轉動慣量為JB=20kgm2。開始時A輪的轉速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉速；在嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？AACBACB定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202237鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!或共同轉速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉化為熱量，損失的機械能為定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202238鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!代入J00=J中，整理后得由于中子星的致密性和極快的自轉角速度，在星體周圍形成極強的磁場，并沿著磁軸的方向發(fā)出很強的無線電波、光或X射線。當這個輻射束掃過地球時，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈沖星。目前已探測到的脈沖星超過300個。定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202239鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!剛體的平動過程bca平動和轉動剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!bca剛體的平動過程平動和轉動剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!bca剛體的平動過程平動和轉動剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!bca剛體的平動過程平動和轉動剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!

剛體在平動時，在任意一段時間內(nèi)，剛體中所質點的位移都是相同的。而且在任何時刻，各個質點的速度和加速度也都是相同的。所以剛體內(nèi)任何一個質點的運動，都可代表整個剛體的運動。

剛體運動時，如果剛體的各個質點在運動中都繞同一直線圓周運動，這種運動就叫做轉動，這一直線就叫做轉軸。平動和轉動12/10/202244鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!特點：角位移，角速度和角加速度均相同；質點在垂直轉軸的平面內(nèi)運動，且作圓周運動。剛體的定軸轉動角位移角速度角加速度定軸轉動剛體運動的角量描述:12/10/202245鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!5、角量與線量的關系:對時間微分方向對于勻加速轉動,有下面公式:12/10/202246鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!(2)(3)(4)ar合加速度的方向與輪緣切線方向夾角已知at=a=0.4m/s212/10/202247鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!量值為0=21500/60=50rad/s，對于勻變速轉動，可以應用以角量表示的運動方程，在t=50S時刻=0，代入方程=0+at得角速度從開始制動到靜止，飛輪的角位移及轉數(shù)N分別為12/10/202248鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!（3）t=25s時飛輪邊緣上一點P的速度。的方向與0相同；的方向垂直于和構成的平面，如圖所示相應的切向加速度和向心加速度分別為角速度由12/10/202249鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!例題5-3一飛輪在時間t內(nèi)轉過角度＝at+bt3-ct4,式中a、b、c都是常量。求它的角加速度。解：飛輪上某點角位置可用表示為＝at+bt3-ct4將此式對t求導數(shù)，即得飛輪角速度的表達式為角加速度是角速度對t的導數(shù)，因此得由此可見飛輪作的是變加速轉動。角速度12/10/202250鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!因力矩作功：對于剛體定軸轉動情形，因質點間無相對位移，任何一對內(nèi)力作功為零。力矩的功0‘012/10/202251鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!1).剛體的轉動動能:剛體是有許多質點組成的,第i小塊質點的動能總動能:質點運動的動能2.剛體的轉動動能rotationalkineticenergyofarigidbody12/10/202252鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!說明：A、轉動動能定理也與質點動力學中講的動能定理相同，只是動能的表示形式不同而己，B、對剛體，內(nèi)力的功總和在任何過程中都為零。3、定軸轉動的動能定律rotationalkineticenergytheorem把質點系的動能定理應用到定軸轉動的剛體，由于剛體內(nèi)各個質元間相互不作功，Ainr=0,而Aext=M·dθ.則剛體定軸轉動的動能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量。12/10/202253鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!—質元的質量—質元到轉軸的距離轉動慣量的計算

剛體的質量可認為是連續(xù)分布的，所以上式可寫成積分形式§5.3轉動慣量的計算Calculationofmomentofinertia

(Calculationofrotationalinertia)按轉動慣量的定義有12/10/202254鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!例題5.4P146,均勻圓環(huán)：dmCR12/10/202255鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!例5.5:計算質量為m,半徑為R,厚為l的均勻圓盤的轉動慣量.軸與盤面垂直并通過盤心。l解:圓盤可以認為由許多圓環(huán)組成。實心圓柱對軸的轉動慣量R012/10/202256鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!llOxdxA解如圖所示，在棒上離軸x處，取一長度元dx，如棒的質量線密度為，這長度元的質量為dm=dx。

（1）當轉軸通過中心并和棒垂直時，我們有轉動慣量的計算12/10/202257鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!轉動慣量的計算（3）當轉軸通過棒上距中心為h的B點并和棒垂直時，我們有這個例題表明，同一剛體對不同位置的轉軸，轉動慣量并不相同。lOxdxABh12/10/202258鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!轉動慣量與質量分布有關轉動慣量與材料性質有關平行軸定理:剛體對任一軸的轉動慣量J,等于對過中心的平行軸的轉動慣量、與二軸間的垂直距離d的平方和剛體質量的乘積之和。證明略，見例題5.6（3）12/10/202259鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!ammmRMh例題5.8.已知：M、R、m，繩質量不計，求：物體由靜止開始下落h高度時的速度和滑輪的角速度。T1T2mgT1=T2=T

0+）12/10/202260鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!1.不計軸上摩擦Mf=012/10/202261鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!解：外力：重力、軸的作用力重力勢能的減少1)、例5.9：一勻質細桿（l，m）繞光滑水平軸在豎直面內(nèi)轉動,初始時在水平位置，靜止釋放，求:1)、豎直位置時重力所作的功;2)、下落θ角時的角加速度、角速度;*3)、豎直位置時軸端所受的力。mgθ2）、由轉動定律：12/10/202262鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!*3>、轉動mgNC質心運動mgllllθ12/10/202263鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!二、定軸轉動剛體的角動量定理

angularmomentumtheoremofarotationalrigidbodyaroundafixaxis

轉動物體所受合外力矩的沖量矩等于在這段時間內(nèi)轉動物體角動量的增量------角動量定理。所以由轉動定律12/10/202264鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!討論：a.對于繞固定轉軸轉動的剛體，因J保持不變，當合外力矩為零時，其角速度恒定。J=恒量12/10/202265鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!LABABCC常平架上的回轉儀應用事例：定軸轉動剛體的角動量守恒定律精確制導12/10/202266鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!直線運動與定軸轉動規(guī)律對照質點的直線運動剛體的定軸轉動定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202267鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!(2)子彈隨桿一起繞軸O轉動。以子彈、細桿及地球構成一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機械能守恒。選取細桿處于豎直位置時子彈的位置為重力勢能零點，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機械能為：由角動量守恒，得：(1)勢能零點定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202268鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁!例5.11：圓盤（R，M），人（m）開始靜止，人走一周，求盤相對地轉動的角度解：系統(tǒng)對轉軸角動量守恒人—，盤—12/10/202269鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第69頁!所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等于飛船自身的角動量，即在噴氣過程中，以dm表示dt時間內(nèi)噴出的氣體，這些氣體對中心軸的角動量為dmr(u+v)，方向與飛船的角動量相同。因u=50m/s遠大于飛船的速率v(=r)，所以此角動量近似地等于dm

ru。在整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量Lg應為定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202270鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第70頁!于是所需的時間為定軸轉動剛體的角動量守恒定律12/10/202271鄭建洲剛體的動量與角動量共76頁，您現(xiàn)在瀏覽