但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定哈密頓正則方程二課件

§4哈密頓動力學(xué)1正則方程2守恒原理3泊松括號和泊松定理4劉維定理5哈密頓原理6正則變換7哈密頓—雅可比原理§4哈密頓動力學(xué)1正則方程1拉格朗日動力學(xué)哈密頓動力學(xué)從量綱來分析：能量×?xí)r間=作用量拉格朗日動力學(xué)哈密頓動力學(xué)從量綱來分析：能量×?xí)r間=作用量21.哈密頓正則方程完整、保守的系統(tǒng)，動力學(xué)方程為拉格朗日方程是廣義坐標(biāo)的二階微分方程，可改寫為廣義動量定義為2s個(gè)一階微分方程作為系統(tǒng)的動力學(xué)方程用廣義坐標(biāo)和廣義動量來代替廣義坐標(biāo)和廣義速度一、正則方程1.哈密頓正則方程完整、保守的系統(tǒng)，動力學(xué)方程為拉格朗日方3從廣義動量的定義解出廣義速度系統(tǒng)的動力學(xué)方程，但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定從廣義動量的定義解出廣義速度系統(tǒng)的動力學(xué)方程，但形式由廣義坐4但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定哈密頓正則方程二課件5哈密頓正則方程哈密頓正則方程6二、特性函數(shù)二、特性函數(shù)7三、勒讓德變換兩個(gè)自變量的函數(shù)四個(gè)變量之間的兩個(gè)方程，其中的2個(gè)是獨(dú)立的以u，y為獨(dú)立變量，則三、勒讓德變換兩個(gè)自變量的函數(shù)四個(gè)變量之間的兩個(gè)方程，其中的8構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)因此舊獨(dú)立變量舊獨(dú)立變量新獨(dú)立變量構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)因此舊獨(dú)立變量舊獨(dú)立變量新獨(dú)立變量9不要的原獨(dú)立變量=新函數(shù)新獨(dú)立變量=新的不獨(dú)立變量原不獨(dú)立變量=--新函數(shù)新獨(dú)立變量舊函數(shù)保留的獨(dú)立變量==保留的不獨(dú)立變量不要的原獨(dú)立變量=新函數(shù)新獨(dú)立變量=新的不獨(dú)立變量原不獨(dú)10比較將f換成g后第一式：u與x對易第二式：加負(fù)號這種由一組獨(dú)立變量(x,y)變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立變量(u,y)的變換成為勒讓德變換勒讓德變換指出：獨(dú)立變量改變，相應(yīng)的函數(shù)本身隨之改變，這樣不獨(dú)立變量仍可以用獨(dú)立變量的偏導(dǎo)數(shù)表示比較將f換成g后第一式：u與x對易第二式：加負(fù)11由勒讓德變換給出正則方程：拉格朗日變量：哈密頓變量：新函數(shù)新的獨(dú)立變量不要的原獨(dú)立變量舊函數(shù)根據(jù)前面我們得到的勒讓德變換有：由勒讓德變換給出正則方程：拉格朗日變量：哈密頓變量：新函數(shù)新12這些勒讓德變換只是數(shù)學(xué)內(nèi)容，考慮拉格朗日方程，則有這些勒讓德變換只是數(shù)學(xué)內(nèi)容，考慮拉格朗日方程，則有13哈密頓量H=Ep+Ek動量定義牛頓第二定律p…廣義動量x…廣義位移即：哈密頓正則方程：一維彈簧振子的運(yùn)動哈密頓量H=Ep+Ek動量定義牛頓第二定律p…廣義14哈密頓變量：哈密頓正則方程哈密頓函數(shù)：哈密頓變量：哈密頓正則方程哈密頓函數(shù)：15拉格朗日變量：哈密頓變量：拉格朗日變量：哈密頓變量：16對比可得對比可得17考慮拉格朗日方程，因此有：考慮拉格朗日方程，因此有：182.守恒原理一、能量積分哈密頓量：對時(shí)間求微商：考慮正則方程2.守恒原理一、能量積分哈密頓量：對時(shí)間求微商：考慮正則方19也就是說，哈密頓函數(shù)H中不顯含時(shí)間t，則有表示一積分常數(shù)廣義能量守恒由拉格朗日動力學(xué)可知穩(wěn)定約束：體系機(jī)械能守恒不穩(wěn)定約束：廣義能量守恒也就是說，哈密頓函數(shù)H中不顯含時(shí)間t，則有表示一積分常數(shù)廣義20二、循環(huán)積分，可遺坐標(biāo)若哈密頓函數(shù)H中不顯含某一廣義坐標(biāo)則由正則方程，立即有也就是這就是哈密頓動力學(xué)中的廣義動量守恒原理二、循環(huán)積分，可遺坐標(biāo)若哈密頓函數(shù)H中不顯含某一廣義坐標(biāo)則21拉格朗日動力學(xué)：拉格朗日函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo)哈密頓動力學(xué)：哈密頓函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo)廣義動量守恒原理的條件：這兩個(gè)條件實(shí)際上是等價(jià)的即在L和H中，若其一不含廣義坐標(biāo)則另一必定也不含有拉格朗日動力學(xué)：拉格朗日函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo)哈密頓動力學(xué)22可遺坐標(biāo)對應(yīng)的廣義動量守恒不含于L或H的廣義坐標(biāo)稱為可遺坐標(biāo)若體系某一廣義動量守恒，給問題的求解帶來方便，這在拉格朗日動力學(xué)和哈密頓動力學(xué)中是相同的，但在哈密頓動力學(xué)中更適合于處理可遺坐標(biāo)；拉格朗日函數(shù)中雖然可以含有可遺坐標(biāo)，但是可以含有相應(yīng)的廣義速度，問題仍然是s個(gè)自由度；而哈密頓函數(shù)中，不僅不含有可遺坐標(biāo)，而相應(yīng)的廣義動量是個(gè)常數(shù)，因此這一自由度相當(dāng)于已經(jīng)解出，只要求解其他自由度即可?？梢娫诠茴D動力學(xué)中可遺坐標(biāo)才是正真的可以忽略想一想：為什么不討論L中不顯含，或H中不顯含的問題？可遺坐標(biāo)對應(yīng)的廣義動量守恒不含于L或H的廣義坐標(biāo)23例1質(zhì)量為M的楔子置于光滑的水平桌面上.楔子底面也是光滑的,斜面卻是粗糙的,質(zhì)量為m,半徑為R的圓柱體沿著楔子斜面無滑動地滾下.求解楔子和圓柱體的運(yùn)動.解楔子可在水平方向運(yùn)動.取桌面上的固定點(diǎn)O為原點(diǎn),把楔子的質(zhì)心(其實(shí)不一定要質(zhì)心，改為楔子的任一點(diǎn)也行)相對于O點(diǎn)的水平坐標(biāo)記作X.圓柱體可在楔子的斜面上滾動.把圓柱軸相對于楔子斜面上端并沿斜邊計(jì)算的坐標(biāo)記作q,把圓柱某根半徑與豎直向下之間的夾角記作,無滑動這個(gè)約束條件可寫為例1質(zhì)量為M的楔子置于光滑的水平桌面上.楔子底面也是光24這個(gè)運(yùn)動約束可以積分為故,這是一個(gè)完整約束,q和不獨(dú)立.這個(gè)系統(tǒng)有兩個(gè)自由度,可以選x和是兩個(gè)獨(dú)立的廣義坐標(biāo).主動力都是重力.圓柱體的勢能楔子的動能為圓柱的動能包括質(zhì)心的平動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能這個(gè)運(yùn)動約束可以積分為故,這是一個(gè)完整約束,q和不獨(dú)25所以按定義,廣義動量所以得到廣義速度所以按定義,廣義動量所以得到廣義速度26于是,系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)不含有廣義坐標(biāo)X,所以X是循環(huán)坐標(biāo),相應(yīng)的廣義動量守恒此時(shí)對的正則方程為:于是,系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)不含有廣義坐標(biāo)X,所以X27所以這是勻加速轉(zhuǎn)動,積分一次簡單推導(dǎo),可得所以這是勻加速轉(zhuǎn)動,積分一次簡單推導(dǎo),可得28例2：寫出粒子在中心勢場V=-a/r中哈密頓函數(shù)和正則方程。解：自由度是2，廣義坐標(biāo)r、。廣義動量：中心勢場粒子的能量守恒，因此粒子的哈密頓函數(shù)為：例2：寫出粒子在中心勢場V=-a/r中哈密頓函數(shù)和正則方程。29可以解得正則方程：該題還可解得粒子的徑向運(yùn)動方程．

角動量守恒定律．可以解得正則方程：該題還可解得粒子的徑向運(yùn)動方程．

角動30[例3]分別用笛卡兒坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)寫出一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在勢場V()中的哈密頓函數(shù)H。解:體系為質(zhì)點(diǎn)，自由度數(shù)s＝3。（1）在笛卡兒坐標(biāo)系中，取x，y，z為廣義坐標(biāo)，則拉格朗日函數(shù)L為[例3]分別用笛卡兒坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)寫出一個(gè)解:31（2）在柱面坐標(biāo)系中L=T－V（2）在柱面坐標(biāo)系中L=T－V32（3）在球面坐標(biāo)系中（3）在球面坐標(biāo)系中33,V=V（r，，）V（r，，）,V=V（r，，）V（r，，）34[例4]求彈性雙原子分子的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)。設(shè)兩原子之間相互作用的彈性力為F=－k（r－r0）其中r為兩原子間距離，r0為兩原子處在平衡時(shí)的距離。解:為了求出拉格朗日函數(shù)，應(yīng)先求分子的動能。T=Tc＋T

兩原子相對質(zhì)心的動能質(zhì)心動能把兩原子相對質(zhì)心的動能轉(zhuǎn)換為m2相對于m1的運(yùn)動。[例4]求彈性雙原子分子的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)。設(shè)兩35但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定哈密頓正則方程二課件36L=T－V

L=T－V37[例5]一質(zhì)量為m的自由質(zhì)點(diǎn)，受力為位矢，k為大于零的常數(shù)。求在直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。解:取x，y，z為廣義坐標(biāo)。動能為[例5]一質(zhì)量為m的自由質(zhì)點(diǎn)，受力38但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定哈密頓正則方程二課件39[例6]應(yīng)用哈密頓正則方程求核外電子的運(yùn)動規(guī)律。設(shè)電子的電量為－e，原子核帶電為Ze，Z為原子序數(shù)。是循環(huán)坐標(biāo):

p=C

[例6]應(yīng)用哈密頓正則方程求核外電子的運(yùn)動規(guī)律。設(shè)電子40可見電子的運(yùn)動與無關(guān)，可令，則?？梢婋娮拥倪\(yùn)動與無關(guān)，可令41但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定哈密頓正則方程二課件42

在拉格朗日動力學(xué)中,從拉格朗日函數(shù)可以直接寫出動力學(xué)方程即拉格朗日方程.在哈密頓動力學(xué)中,必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù),才可寫出動力學(xué)方程即哈密頓正則方程,從哈密頓正則方程消去廣義動量的結(jié)果其實(shí)不過是從另一條路徑達(dá)到拉格朗日方程,所以哈密頓動力學(xué)不如拉格朗日動力學(xué)簡便.哈密頓動力學(xué)的優(yōu)點(diǎn)之一是便于量子化.另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在變量的變換中比較自由：拉格朗日動力學(xué)采用的變量廣義坐標(biāo)和廣義動量并不對等,只能對廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換,而廣義速度也隨之而變.哈密頓動力學(xué)采用的變量坐標(biāo)和動量是完全對等的,不僅可以對廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換,而且可以坐標(biāo)和動量一起變換,這個(gè)到下面正則變換時(shí)進(jìn)一步分析.在拉格朗日動力學(xué)中,從拉格朗日函數(shù)可以直接433.泊松括號和泊松定理哈密頓正則方程對于循環(huán)坐標(biāo)不顯含時(shí)間t，則有稱為運(yùn)動積分當(dāng)體系運(yùn)動時(shí)，如果函數(shù)則稱其為正則方程的一個(gè)運(yùn)動積分3.泊松括號和泊松定理哈密頓正則方程對于循環(huán)坐標(biāo)不顯含時(shí)間44若都是正則方程的運(yùn)動積分，則這些積分的任意函數(shù)任然是正則方程的積分若找到了2s個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動積分則由可以解出即為正則方程的解。若都是正則方程的運(yùn)動45如果函數(shù)是正則變量q,p和時(shí)間的函數(shù)則它對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為其中[,H]叫做泊松括號.一、泊松括號的定義如果函數(shù)是正則變量q,p和時(shí)間的函數(shù)則它對時(shí)間的46如果函數(shù)在運(yùn)動中保持為常數(shù),則如果函數(shù)也是正則變量和時(shí)間的函數(shù),泊松括號[,]定義為如果函數(shù)在運(yùn)動中保持為常數(shù),則如果函數(shù)也是正則變量和47二、泊松括號的性質(zhì)雅可比恒等式二、泊松括號的性質(zhì)雅可比恒等式48例1計(jì)算泊松括號[Ly,Lz],[Lz,Lx]和[Lx,Ly];[Lx,L2],[Ly,L2]和[Lz,L2].這里L(fēng)是質(zhì)點(diǎn)的角動量.解:這里廣義坐標(biāo)q1=x,q2=y,q3=z;廣義動量p1=px,p2=py,p3=pz;先計(jì)算泊松括號[Ly,Lz],即例1計(jì)算泊松括號[Ly,Lz],[Lz,Lx]和[Lx,L49同理同理同理同理50三、泊松定理如果函數(shù),都是相空間中的運(yùn)動積分,則它們的組合[,]也是相空間中的運(yùn)動積分.證明：三、泊松定理如果函數(shù),都是相空間中的運(yùn)動積分,則它51顯然[,]也是運(yùn)動常數(shù).還可以通過類似的關(guān)系得到更多的運(yùn)動常數(shù).顯然[,]也是運(yùn)動常數(shù).還可以通過類似的關(guān)系得到更多的52（1）利用泊松括號表示正則方程：即正則方程可以表示為：（1）利用泊松括號表示正則方程：即正則方程可以表示為：53克朗內(nèi)克符號（2）利用泊松括號表示正則變量：是一組正則變量克朗內(nèi)克符號（2）利用泊松括號表示正則變量：是一組正則變量54四、量子力學(xué)中的泊松括號在經(jīng)典力學(xué)中,兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定的值并不成為問題.可是,在量子力學(xué)中這卻是個(gè)問題.力學(xué)量在量子力學(xué)中是用算符或矩陣表示的,兩個(gè)算符或矩陣的乘積一般是與這兩個(gè)算符或矩陣的先后次序有關(guān)的.兩個(gè)力學(xué)量X和Y是否可以同時(shí)具有確定的值就看它們的量子泊松括號是否為零.如果兩個(gè)力學(xué)量的經(jīng)典泊松括號為零,則它們的量子松括號也為零,在量個(gè)力學(xué)中它們是可以同時(shí)確定的.比如,任意兩個(gè)廣義坐標(biāo)可以同時(shí)確定,任意兩個(gè)廣義動量也可以同時(shí)確定,一個(gè)廣義坐標(biāo)和對應(yīng)的廣義動量不能同時(shí)確定,一個(gè)廣義坐標(biāo)和非對應(yīng)的廣義動量可以同時(shí)確定.又比如,角動量的任意兩個(gè)分量不能同時(shí)確定,但角動量的一個(gè)分量和角動量的平方可以同時(shí)確定.四、量子力學(xué)中的泊松括號在經(jīng)典力學(xué)中,兩個(gè)力554.劉維定理

分析力學(xué)解決宏觀機(jī)械問題的過程并不比牛頓力學(xué)簡單,但是對于大數(shù)目系統(tǒng),往往牛頓力學(xué)無法求解,而運(yùn)用哈密頓正則方程卻容易的多.哈密頓動力學(xué)用廣義坐標(biāo)和廣義動量描述力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動.對一個(gè)自由度問題,某一時(shí)刻的狀態(tài)用x和p值表示,即xp平面上的一個(gè)點(diǎn)表示.隨著時(shí)間推移,狀態(tài)不斷變化,它在xp平面上刻畫出一條曲線.多自由度的情況也類似.對于s個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng),我們把廣義坐標(biāo)和廣義動量當(dāng)作直角坐標(biāo)而構(gòu)成2s維的空間叫作相空間.該力學(xué)系統(tǒng)在某一時(shí)刻的狀況也可用相空間的一個(gè)點(diǎn)表示.隨著時(shí)間的推移,相空間中的代表點(diǎn)給出的曲線形成相軌道,換句話說,相軌道給出力學(xué)系統(tǒng)隨時(shí)間的演變過程.4.劉維定理分析力學(xué)解決宏觀機(jī)械問題的過程56原則上,給定力學(xué)系統(tǒng)的初始狀態(tài),該系統(tǒng)的運(yùn)動就由動力學(xué)方程完全確定,即以相空間中某一點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)的相軌道，由動力學(xué)方程所完全決定.但是,如果系統(tǒng)的自由度數(shù)比較大,力學(xué)系統(tǒng)比較復(fù)雜,我們不能斷定相空間中究竟哪一點(diǎn)準(zhǔn)確地代表系統(tǒng)的狀態(tài).怎么辦?替代的辦法：我們只能考慮各種可能的代表點(diǎn),其中每一點(diǎn)都代表系統(tǒng)的一種可能狀態(tài).實(shí)質(zhì)上,這是考慮處于給定約束條件下許許多多性質(zhì)完全相同的力學(xué)系統(tǒng),這些性質(zhì)完全相同的力學(xué)系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)系綜;相空間中每一個(gè)代表點(diǎn)對應(yīng)于系綜中某一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài),代表點(diǎn)的相軌道對應(yīng)于該系統(tǒng)的演變,各種可能的代表點(diǎn)則對應(yīng)于系綜中所有力學(xué)系統(tǒng)的狀況,各種可能的相軌道則對應(yīng)于系綜的演變.這就是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的起點(diǎn).原則上,給定力學(xué)系統(tǒng)的初始狀態(tài),該系統(tǒng)的運(yùn)動就由動力學(xué)方57劉維定理:保守力學(xué)體系在相空間中代表點(diǎn)的密度,在運(yùn)動過程中保持不變.物理含義:同一力學(xué)體系在不同的初始狀態(tài)所構(gòu)成的不同代表點(diǎn),它們各自獨(dú)立地沿著正則方程所規(guī)定的軌道運(yùn)動.當(dāng)這些點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域隨時(shí)間運(yùn)動到另外一個(gè)區(qū)域時(shí),在新的區(qū)域,代表點(diǎn)的密度,等于在出發(fā)區(qū)域中的密度.設(shè)體積元為其中代表點(diǎn)的數(shù)目為dN,代表點(diǎn)的密度為,則一般密度隨時(shí)隨地不同,所以從劉維定理:保守力學(xué)體系在相空間中代表點(diǎn)的密度,在運(yùn)動過程58知劉維定理說明在體系中劉維定理證明:假定初始時(shí),體元位置為經(jīng)歷時(shí)間dt,這個(gè)固定體元中代表點(diǎn)的數(shù)目變化另一方面也可以從代表點(diǎn)在運(yùn)動中出入這個(gè)固定體元的邊界的數(shù)目來計(jì)算在時(shí)間dt中代表點(diǎn)的數(shù)目變化知劉維定理說明在體系中劉維定理證明:假定初始時(shí),體元位置為59先考慮通過一對曲面q,q+dq進(jìn)出d代表點(diǎn)的增加.把體元d表達(dá)式改寫為在dt時(shí)間內(nèi)通過q進(jìn)入d的代表點(diǎn)必定位于一個(gè)柱體內(nèi),柱體底為dA,高為,為相空間中代表點(diǎn)垂直于曲面q的速度分量.所以在dt時(shí)間內(nèi)通過q進(jìn)入d的代表點(diǎn)數(shù)為同理,在dt時(shí)間內(nèi)通過曲面q+dq離開d代表點(diǎn)的數(shù)目為先考慮通過一對曲面q,q+dq進(jìn)出d代表點(diǎn)的60兩者相減,得通過曲面q和q+dq進(jìn)入d代表點(diǎn)的凈數(shù)目為同理,得通過曲面p和p+dp進(jìn)入d代表點(diǎn)的凈數(shù)目為把上面兩式相加,并對求和,則得在dt時(shí)間內(nèi)由于代表點(diǎn)的運(yùn)動,穿過d的邊界而進(jìn)入其中的代表點(diǎn)的凈數(shù)目兩者相減,得通過曲面q和q+dq進(jìn)入d代表61顯然所以利用正則方程,得證明完畢!顯然所以利用正則方程,得證明完畢!62劉維定理是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本的定理.它是2s維的相空間中的定理,在普通空間或s維的位形空間(把s個(gè)廣義坐標(biāo)作為直角坐標(biāo)構(gòu)成的空間)中并不存在類似的定理.因此,在統(tǒng)計(jì)力學(xué)討論系綜時(shí)需要運(yùn)用哈密頓動力學(xué)而不用拉格朗日動力學(xué).劉維定理的另外表示劉維定理是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本的定理.它是2s維的635.哈密頓原理力學(xué)原理微分原理牛頓動力學(xué)方程拉格朗日動力學(xué)方程哈密頓動力學(xué)方程變分原理：積分形式不涉及廣義坐標(biāo)的選取有限自由度的力學(xué)體系無限自由度的力學(xué)體系非力學(xué)體系動力學(xué)問題5.哈密頓原理力學(xué)原理微分原理牛頓動力學(xué)方程拉格朗日動力學(xué)64一、變分法初步1、泛函最速落徑問題質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道自A點(diǎn)自由下滑到B點(diǎn)，所需時(shí)間最短的路徑怎樣？一、變分法初步1、泛函最速落徑問題質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道65總時(shí)間取決于軌道的形狀，即函數(shù)關(guān)系而不是y的值一個(gè)變數(shù)J的值取決于函數(shù)關(guān)系，就叫作函數(shù)的泛函，記做2、變分問題考慮最速落徑問題，選取適當(dāng)?shù)能壍朗官|(zhì)點(diǎn)從A到B自由下滑的時(shí)間最短，這就是泛函的極值問題。泛函的極值問題叫做變分問題總時(shí)間取決于軌道的形狀，即函數(shù)關(guān)系而不是y的值一個(gè)變數(shù)J的663、歐拉方程設(shè)泛函J只依賴于單個(gè)自變量x，單個(gè)函數(shù)y(x)及其導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)F對于x，y，y都是二次連續(xù)可導(dǎo)，所以y的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的設(shè)函數(shù)關(guān)系y(x)稍有變動，稱為函數(shù)y(x)的變分則泛函的值也隨之改變，其增量為3、歐拉方程設(shè)泛函J只依賴于單個(gè)自變量x，單個(gè)函數(shù)y(x)67由于由于68這樣在簡單的變分問題中，變分在端點(diǎn)保持為零，即于是變分為零的要求是上式對任意均成立，所以就是泛函取極值的必要條件，叫做變分問題的歐拉方程這樣在簡單的變分問題中，變分在端點(diǎn)保持為零，即于69若泛函J不顯含x，則歐拉方程有初積分證明：若泛函J不顯含x，則歐拉方程有初積分證明：70泛函取極值的必要條件，歐拉方程拉格朗日方程，二、哈密頓原理也就是說，拉格朗日方程是下列變分問題的歐拉方程泛函取極值的必要條件，歐拉方程拉格朗日方程，二、哈密頓原理也71力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)方程歸結(jié)為一個(gè)變分原理：力學(xué)系統(tǒng)從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2的一切可能運(yùn)動之中，使作用量取極值的運(yùn)動才是實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動——哈密頓原理位形空間：以s個(gè)廣義坐標(biāo)為直角坐標(biāo)的空間位形空間中的一個(gè)點(diǎn)可以表示體系任一時(shí)刻的位形隨著時(shí)間的推移，力學(xué)系統(tǒng)的位形方式演變，位形空間中的代表點(diǎn)描繪出相應(yīng)的曲線，在一切可能的曲線中，使作用量取極值的那一條曲線就是真實(shí)的運(yùn)動。力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)方程歸結(jié)為一個(gè)變分原理：力學(xué)系統(tǒng)從時(shí)刻t1到72位形空間中的哈密頓原理：做變換：可得相空間中的哈密頓原理：位形空間中的哈密頓原理：做變換：可得相空間中的哈密頓原理：73在相空間中，有力學(xué)系統(tǒng)的始末位形是確定的，則在相空間中，有力學(xué)系統(tǒng)的始末位形是確定的，則74因此有也就是正則方程因此有也就是正則方程756.正則變換一、正則變換的條件點(diǎn)變換：廣義坐標(biāo)之間的變換例如：有心力問題中直角坐標(biāo)極坐標(biāo)極角是循環(huán)坐標(biāo)哈密頓動力學(xué)中可以考慮更廣泛的變換正則變換：變換后的動力學(xué)方程仍保持正則方程的形式正則變量共軛變量6.正則變換一、正則變換的條件點(diǎn)變換：廣義坐標(biāo)之間的變換例76變換前：變換后：都必須滿足正則方程也就是說變分原理二者等價(jià)變換前：變換后：都必須滿足正則方程也就是說變分原理二者等價(jià)77分析變分原理給被積函數(shù)加上某個(gè)函數(shù)對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，則增添的部分為若認(rèn)為力學(xué)系統(tǒng)在位形空間或相空間中的代表點(diǎn)的初始和終末位形是給定的，則因而增添的部分恒為零，也就是說哈密頓原理中的被積函數(shù)加上某個(gè)函數(shù)對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，并不改變動力學(xué)方程。分析變分原理給被積函數(shù)加上某個(gè)函數(shù)對時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)，則增添的部78二者等價(jià)也就是說即滿足此式的變換就是正則變換二者等價(jià)也就是說即滿足此式的變換就是正則變換79二、正則變換的母函數(shù)函數(shù)U決定了正則變換，因此稱為正則變換的母函數(shù)由可以把母函數(shù)用q、Q及t表示，記做U1這樣二、正則變換的母函數(shù)函數(shù)U決定了正則變換，因此稱為正則變換80借助勒讓德變換，作為母函數(shù)，則這樣借助勒讓德變換，作為母函數(shù)，則這樣81借助另一個(gè)勒讓德變換，作為母函數(shù)，則這樣借助另一個(gè)勒讓德變換，作為母函數(shù)，則這樣82借助另一個(gè)勒讓德變換，作為母函數(shù)，則這樣借助另一個(gè)勒讓德變換，作為母函數(shù)，則這樣83例1：取母函數(shù)為這給出變換公式恒等變換例1：取母函數(shù)為這給出變換公式恒等變換84例2：取母函數(shù)為這給出變換公式例2：取母函數(shù)為這給出變換公式85例3：取母函數(shù)為這給出變換公式廣義坐標(biāo)廣義動量廣義動量廣義坐標(biāo)例3：取母函數(shù)為這給出變換公式廣義坐標(biāo)廣義動量廣義動量廣義坐86§4哈密頓動力學(xué)1正則方程2守恒原理3泊松括號和泊松定理4劉維定理5哈密頓原理6正則變換7哈密頓—雅可比原理§4哈密頓動力學(xué)1正則方程87拉格朗日動力學(xué)哈密頓動力學(xué)從量綱來分析：能量×?xí)r間=作用量拉格朗日動力學(xué)哈密頓動力學(xué)從量綱來分析：能量×?xí)r間=作用量881.哈密頓正則方程完整、保守的系統(tǒng)，動力學(xué)方程為拉格朗日方程是廣義坐標(biāo)的二階微分方程，可改寫為廣義動量定義為2s個(gè)一階微分方程作為系統(tǒng)的動力學(xué)方程用廣義坐標(biāo)和廣義動量來代替廣義坐標(biāo)和廣義速度一、正則方程1.哈密頓正則方程完整、保守的系統(tǒng)，動力學(xué)方程為拉格朗日方89從廣義動量的定義解出廣義速度系統(tǒng)的動力學(xué)方程，但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定從廣義動量的定義解出廣義速度系統(tǒng)的動力學(xué)方程，但形式由廣義坐90但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定哈密頓正則方程二課件91哈密頓正則方程哈密頓正則方程92二、特性函數(shù)二、特性函數(shù)93三、勒讓德變換兩個(gè)自變量的函數(shù)四個(gè)變量之間的兩個(gè)方程，其中的2個(gè)是獨(dú)立的以u，y為獨(dú)立變量，則三、勒讓德變換兩個(gè)自變量的函數(shù)四個(gè)變量之間的兩個(gè)方程，其中的94構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)因此舊獨(dú)立變量舊獨(dú)立變量新獨(dú)立變量構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)因此舊獨(dú)立變量舊獨(dú)立變量新獨(dú)立變量95不要的原獨(dú)立變量=新函數(shù)新獨(dú)立變量=新的不獨(dú)立變量原不獨(dú)立變量=--新函數(shù)新獨(dú)立變量舊函數(shù)保留的獨(dú)立變量==保留的不獨(dú)立變量不要的原獨(dú)立變量=新函數(shù)新獨(dú)立變量=新的不獨(dú)立變量原不獨(dú)96比較將f換成g后第一式：u與x對易第二式：加負(fù)號這種由一組獨(dú)立變量(x,y)變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立變量(u,y)的變換成為勒讓德變換勒讓德變換指出：獨(dú)立變量改變，相應(yīng)的函數(shù)本身隨之改變，這樣不獨(dú)立變量仍可以用獨(dú)立變量的偏導(dǎo)數(shù)表示比較將f換成g后第一式：u與x對易第二式：加負(fù)97由勒讓德變換給出正則方程：拉格朗日變量：哈密頓變量：新函數(shù)新的獨(dú)立變量不要的原獨(dú)立變量舊函數(shù)根據(jù)前面我們得到的勒讓德變換有：由勒讓德變換給出正則方程：拉格朗日變量：哈密頓變量：新函數(shù)新98這些勒讓德變換只是數(shù)學(xué)內(nèi)容，考慮拉格朗日方程，則有這些勒讓德變換只是數(shù)學(xué)內(nèi)容，考慮拉格朗日方程，則有99哈密頓量H=Ep+Ek動量定義牛頓第二定律p…廣義動量x…廣義位移即：哈密頓正則方程：一維彈簧振子的運(yùn)動哈密頓量H=Ep+Ek動量定義牛頓第二定律p…廣義100哈密頓變量：哈密頓正則方程哈密頓函數(shù)：哈密頓變量：哈密頓正則方程哈密頓函數(shù)：101拉格朗日變量：哈密頓變量：拉格朗日變量：哈密頓變量：102對比可得對比可得103考慮拉格朗日方程，因此有：考慮拉格朗日方程，因此有：1042.守恒原理一、能量積分哈密頓量：對時(shí)間求微商：考慮正則方程2.守恒原理一、能量積分哈密頓量：對時(shí)間求微商：考慮正則方105也就是說，哈密頓函數(shù)H中不顯含時(shí)間t，則有表示一積分常數(shù)廣義能量守恒由拉格朗日動力學(xué)可知穩(wěn)定約束：體系機(jī)械能守恒不穩(wěn)定約束：廣義能量守恒也就是說，哈密頓函數(shù)H中不顯含時(shí)間t，則有表示一積分常數(shù)廣義106二、循環(huán)積分，可遺坐標(biāo)若哈密頓函數(shù)H中不顯含某一廣義坐標(biāo)則由正則方程，立即有也就是這就是哈密頓動力學(xué)中的廣義動量守恒原理二、循環(huán)積分，可遺坐標(biāo)若哈密頓函數(shù)H中不顯含某一廣義坐標(biāo)則107拉格朗日動力學(xué)：拉格朗日函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo)哈密頓動力學(xué)：哈密頓函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo)廣義動量守恒原理的條件：這兩個(gè)條件實(shí)際上是等價(jià)的即在L和H中，若其一不含廣義坐標(biāo)則另一必定也不含有拉格朗日動力學(xué)：拉格朗日函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo)哈密頓動力學(xué)108可遺坐標(biāo)對應(yīng)的廣義動量守恒不含于L或H的廣義坐標(biāo)稱為可遺坐標(biāo)若體系某一廣義動量守恒，給問題的求解帶來方便，這在拉格朗日動力學(xué)和哈密頓動力學(xué)中是相同的，但在哈密頓動力學(xué)中更適合于處理可遺坐標(biāo)；拉格朗日函數(shù)中雖然可以含有可遺坐標(biāo)，但是可以含有相應(yīng)的廣義速度，問題仍然是s個(gè)自由度；而哈密頓函數(shù)中，不僅不含有可遺坐標(biāo)，而相應(yīng)的廣義動量是個(gè)常數(shù)，因此這一自由度相當(dāng)于已經(jīng)解出，只要求解其他自由度即可?？梢娫诠茴D動力學(xué)中可遺坐標(biāo)才是正真的可以忽略想一想：為什么不討論L中不顯含，或H中不顯含的問題？可遺坐標(biāo)對應(yīng)的廣義動量守恒不含于L或H的廣義坐標(biāo)109例1質(zhì)量為M的楔子置于光滑的水平桌面上.楔子底面也是光滑的,斜面卻是粗糙的,質(zhì)量為m,半徑為R的圓柱體沿著楔子斜面無滑動地滾下.求解楔子和圓柱體的運(yùn)動.解楔子可在水平方向運(yùn)動.取桌面上的固定點(diǎn)O為原點(diǎn),把楔子的質(zhì)心(其實(shí)不一定要質(zhì)心，改為楔子的任一點(diǎn)也行)相對于O點(diǎn)的水平坐標(biāo)記作X.圓柱體可在楔子的斜面上滾動.把圓柱軸相對于楔子斜面上端并沿斜邊計(jì)算的坐標(biāo)記作q,把圓柱某根半徑與豎直向下之間的夾角記作,無滑動這個(gè)約束條件可寫為例1質(zhì)量為M的楔子置于光滑的水平桌面上.楔子底面也是光110這個(gè)運(yùn)動約束可以積分為故,這是一個(gè)完整約束,q和不獨(dú)立.這個(gè)系統(tǒng)有兩個(gè)自由度,可以選x和是兩個(gè)獨(dú)立的廣義坐標(biāo).主動力都是重力.圓柱體的勢能楔子的動能為圓柱的動能包括質(zhì)心的平動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能這個(gè)運(yùn)動約束可以積分為故,這是一個(gè)完整約束,q和不獨(dú)111所以按定義,廣義動量所以得到廣義速度所以按定義,廣義動量所以得到廣義速度112于是,系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)不含有廣義坐標(biāo)X,所以X是循環(huán)坐標(biāo),相應(yīng)的廣義動量守恒此時(shí)對的正則方程為:于是,系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)不含有廣義坐標(biāo)X,所以X113所以這是勻加速轉(zhuǎn)動,積分一次簡單推導(dǎo),可得所以這是勻加速轉(zhuǎn)動,積分一次簡單推導(dǎo),可得114例2：寫出粒子在中心勢場V=-a/r中哈密頓函數(shù)和正則方程。解：自由度是2，廣義坐標(biāo)r、。廣義動量：中心勢場粒子的能量守恒，因此粒子的哈密頓函數(shù)為：例2：寫出粒子在中心勢場V=-a/r中哈密頓函數(shù)和正則方程。115可以解得正則方程：該題還可解得粒子的徑向運(yùn)動方程．

角動量守恒定律．可以解得正則方程：該題還可解得粒子的徑向運(yùn)動方程．

角動116[例3]分別用笛卡兒坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)寫出一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在勢場V()中的哈密頓函數(shù)H。解:體系為質(zhì)點(diǎn)，自由度數(shù)s＝3。（1）在笛卡兒坐標(biāo)系中，取x，y，z為廣義坐標(biāo)，則拉格朗日函數(shù)L為[例3]分別用笛卡兒坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)寫出一個(gè)解:117（2）在柱面坐標(biāo)系中L=T－V（2）在柱面坐標(biāo)系中L=T－V118（3）在球面坐標(biāo)系中（3）在球面坐標(biāo)系中119,V=V（r，，）V（r，，）,V=V（r，，）V（r，，）120[例4]求彈性雙原子分子的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)。設(shè)兩原子之間相互作用的彈性力為F=－k（r－r0）其中r為兩原子間距離，r0為兩原子處在平衡時(shí)的距離。解:為了求出拉格朗日函數(shù)，應(yīng)先求分子的動能。T=Tc＋T

兩原子相對質(zhì)心的動能質(zhì)心動能把兩原子相對質(zhì)心的動能轉(zhuǎn)換為m2相對于m1的運(yùn)動。[例4]求彈性雙原子分子的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)。設(shè)兩121但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定哈密頓正則方程二課件122L=T－V

L=T－V123[例5]一質(zhì)量為m的自由質(zhì)點(diǎn)，受力為位矢，k為大于零的常數(shù)。求在直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。解:取x，y，z為廣義坐標(biāo)。動能為[例5]一質(zhì)量為m的自由質(zhì)點(diǎn)，受力124但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定哈密頓正則方程二課件125[例6]應(yīng)用哈密頓正則方程求核外電子的運(yùn)動規(guī)律。設(shè)電子的電量為－e，原子核帶電為Ze，Z為原子序數(shù)。是循環(huán)坐標(biāo):

p=C

[例6]應(yīng)用哈密頓正則方程求核外電子的運(yùn)動規(guī)律。設(shè)電子126可見電子的運(yùn)動與無關(guān)，可令，則?？梢婋娮拥倪\(yùn)動與無關(guān)，可令127但形式由廣義坐標(biāo)的選取來確定哈密頓正則方程二課件128

在拉格朗日動力學(xué)中,從拉格朗日函數(shù)可以直接寫出動力學(xué)方程即拉格朗日方程.在哈密頓動力學(xué)中,必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù),才可寫出動力學(xué)方程即哈密頓正則方程,從哈密頓正則方程消去廣義動量的結(jié)果其實(shí)不過是從另一條路徑達(dá)到拉格朗日方程,所以哈密頓動力學(xué)不如拉格朗日動力學(xué)簡便.哈密頓動力學(xué)的優(yōu)點(diǎn)之一是便于量子化.另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在變量的變換中比較自由：拉格朗日動力學(xué)采用的變量廣義坐標(biāo)和廣義動量并不對等,只能對廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換,而廣義速度也隨之而變.哈密頓動力學(xué)采用的變量坐標(biāo)和動量是完全對等的,不僅可以對廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換,而且可以坐標(biāo)和動量一起變換,這個(gè)到下面正則變換時(shí)進(jìn)一步分析.在拉格朗日動力學(xué)中,從拉格朗日函數(shù)可以直接1293.泊松括號和泊松定理哈密頓正則方程對于循環(huán)坐標(biāo)不顯含時(shí)間t，則有稱為運(yùn)動積分當(dāng)體系運(yùn)動時(shí)，如果函數(shù)則稱其為正則方程的一個(gè)運(yùn)動積分3.泊松括號和泊松定理哈密頓正則方程對于循環(huán)坐標(biāo)不顯含時(shí)間130若都是正則方程的運(yùn)動積分，則這些積分的任意函數(shù)任然是正則方程的積分若找到了2s個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動積分則由可以解出即為正則方程的解。若都是正則方程的運(yùn)動131如果函數(shù)是正則變量q,p和時(shí)間的函數(shù)則它對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為其中[,H]叫做泊松括號.一、泊松括號的定義如果函數(shù)是正則變量q,p和時(shí)間的函數(shù)則它對時(shí)間的132如果函數(shù)在運(yùn)動中保持為常數(shù),則如果函數(shù)也是正則變量和時(shí)間的函數(shù),泊松括號[,]定義為如果函數(shù)在運(yùn)動中保持為常數(shù),則如果函數(shù)也是正則變量和133二、泊松括號的性質(zhì)雅可比恒等式二、泊松括號的性質(zhì)雅可比恒等式134例1計(jì)算泊松括號[Ly,Lz],[Lz,Lx]和[Lx,Ly];[Lx,L2],[Ly,L2]和[Lz,L2].這里L(fēng)是質(zhì)點(diǎn)的角動量.解:這里廣義坐標(biāo)q1=x,q2=y,q3=z;廣義動量p1=px,p2=py,p3=pz;先計(jì)算泊松括號[Ly,Lz],即例1計(jì)算泊松括號[Ly,Lz],[Lz,Lx]和[Lx,L135同理同理同理同理136三、泊松定理如果函數(shù),都是相空間中的運(yùn)動積分,則它們的組合[,]也是相空間中的運(yùn)動積分.證明：三、泊松定理如果函數(shù),都是相空間中的運(yùn)動積分,則它137顯然[,]也是運(yùn)動常數(shù).還可以通過類似的關(guān)系得到更多的運(yùn)動常數(shù).顯然[,]也是運(yùn)動常數(shù).還可以通過類似的關(guān)系得到更多的138（1）利用泊松括號表示正則方程：即正則方程可以表示為：（1）利用泊松括號表示正則方程：即正則方程可以表示為：139克朗內(nèi)克符號（2）利用泊松括號表示正則變量：是一組正則變量克朗內(nèi)克符號（2）利用泊松括號表示正則變量：是一組正則變量140四、量子力學(xué)中的泊松括號在經(jīng)典力學(xué)中,兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定的值并不成為問題.可是,在量子力學(xué)中這卻是個(gè)問題.力學(xué)量在量子力學(xué)中是用算符或矩陣表示的,兩個(gè)算符或矩陣的乘積一般是與這兩個(gè)算符或矩陣的先后次序有關(guān)的.兩個(gè)力學(xué)量X和Y是否可以同時(shí)具有確定的值就看它們的量子泊松括號是否為零.如果兩個(gè)力學(xué)量的經(jīng)典泊松括號為零,則它們的量子松括號也為零,在量個(gè)力學(xué)中它們是可以同時(shí)確定的.比如,任意兩個(gè)廣義坐標(biāo)可以同時(shí)確定,任意兩個(gè)廣義動量也可以同時(shí)確定,一個(gè)廣義坐標(biāo)和對應(yīng)的廣義動量不能同時(shí)確定,一個(gè)廣義坐標(biāo)和非對應(yīng)的廣義動量可以同時(shí)確定.又比如,角動量的任意兩個(gè)分量不能同時(shí)確定,但角動量的一個(gè)分量和角動量的平方可以同時(shí)確定.四、量子力學(xué)中的泊松括號在經(jīng)典力學(xué)中,兩個(gè)力1414.劉維定理

分析力學(xué)解決宏觀機(jī)械問題的過程并不比牛頓力學(xué)簡單,但是對于大數(shù)目系統(tǒng),往往牛頓力學(xué)無法求解,而運(yùn)用哈密頓正則方程卻容易的多.哈密頓動力學(xué)用廣義坐標(biāo)和廣義動量描述力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動.對一個(gè)自由度問題,某一時(shí)刻的狀態(tài)用x和p值表示,即xp平面上的一個(gè)點(diǎn)表示.隨著時(shí)間推移,狀態(tài)不斷變化,它在xp平面上刻畫出一條曲線.多自由度的情況也類似.對于s個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng),我們把廣義坐標(biāo)和廣義動量當(dāng)作直角坐標(biāo)而構(gòu)成2s維的空間叫作相空間.該力學(xué)系統(tǒng)在某一時(shí)刻的狀況也可用相空間的一個(gè)點(diǎn)表示.隨著時(shí)間的推移,相空間中的代表點(diǎn)給出的曲線形成相軌道,換句話說,相軌道給出力學(xué)系統(tǒng)隨時(shí)間的演變過程.4.劉維定理分析力學(xué)解決宏觀機(jī)械問題的過程142原則上,給定力學(xué)系統(tǒng)的初始狀態(tài),該系統(tǒng)的運(yùn)動就由動力學(xué)方程完全確定,即以相空間中某一點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)的相軌道，由動力學(xué)方程所完全決定.但是,如果系統(tǒng)的自由度數(shù)比較大,力學(xué)系統(tǒng)比較復(fù)雜,我們不能斷定相空間中究竟哪一點(diǎn)準(zhǔn)確地代表系統(tǒng)的狀態(tài).怎么辦?替代的辦法：我們只能考慮各種可能的代表點(diǎn),其中每一點(diǎn)都代表系統(tǒng)的一種可能狀態(tài).實(shí)質(zhì)上,這是考慮處于給定約束條件下許許多多性質(zhì)完全相同的力學(xué)系統(tǒng),這些性質(zhì)完全相同的力學(xué)系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)系綜;相空間中每一個(gè)代表點(diǎn)對應(yīng)于系綜中某一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài),代表點(diǎn)的相軌道對應(yīng)于該系統(tǒng)的演變,各種可能的代表點(diǎn)則對應(yīng)于系綜中所有力學(xué)系統(tǒng)的狀況,各種可能的相軌道則對應(yīng)于系綜的演變.這就是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的起點(diǎn).原則上,給定力學(xué)系統(tǒng)的初始狀態(tài),該系統(tǒng)的運(yùn)動就由動力學(xué)方143劉維定理:保守力學(xué)體系在相空間中代表點(diǎn)的密度,在運(yùn)動過程中保持不變.物理含義:同一力學(xué)體系在不同的初始狀態(tài)所構(gòu)成的不同代表點(diǎn),它們各自獨(dú)立地沿著正則方程所規(guī)定的軌道運(yùn)動.當(dāng)這些點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域隨時(shí)間運(yùn)動到另外一個(gè)區(qū)域時(shí),在新的區(qū)域,代表點(diǎn)的密度,等于在出發(fā)區(qū)域中的密度.設(shè)體積元為其中代表點(diǎn)的數(shù)目為dN,代表點(diǎn)的密度為,則一般密度隨時(shí)隨地不同,所以從劉維定理:保守力學(xué)體系在相空間中代表點(diǎn)的密度,在運(yùn)動過程144知劉維定理說明在體系中劉維定理證明:假定初始時(shí),體元位置為經(jīng)歷時(shí)間dt,這個(gè)固定體元中代表點(diǎn)的數(shù)目變化另一方面也可以從代表點(diǎn)在運(yùn)動中出入這個(gè)固定體元的邊界的數(shù)目來計(jì)算在時(shí)間dt中代表點(diǎn)的數(shù)目變化知劉維定理說明在體系中劉維定理證明:假定初始時(shí),體元位置為145先考慮通過一對曲面q,q+dq進(jìn)出d代表點(diǎn)的增加.把體元d表達(dá)式改寫為在dt時(shí)間內(nèi)通過q進(jìn)入d的代表點(diǎn)必定位于一個(gè)柱體內(nèi),柱體底為dA,高為,為相空間中代表點(diǎn)垂直于曲面q的速度分量.所以在dt時(shí)間內(nèi)通過q進(jìn)入d的代表點(diǎn)數(shù)為同理,在dt時(shí)間內(nèi)通過曲面q+dq離開d代表點(diǎn)的數(shù)目為先考慮通過一對曲面q,q+dq進(jìn)出d代表點(diǎn)的146兩者相減,得通過曲面q和q+dq進(jìn)入d代表點(diǎn)的凈數(shù)目為同理,得通過曲面p和p+dp進(jìn)入d代表點(diǎn)的凈數(shù)目為把上面兩式相加,并對求和,則得在dt時(shí)間內(nèi)由于代表點(diǎn)的運(yùn)動,穿過d的邊界而進(jìn)入其中的代表點(diǎn)的凈數(shù)目兩者相減,得通過曲面q和q+dq進(jìn)入d代表147顯然所以利用正則方程,得證明完畢!顯然所以利用正則方程,得證明完畢!148劉維定理是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本的定理.它是2s維的相空間中的定理,在普通空間或s維的位形空間(把s個(gè)廣義坐標(biāo)作為直角坐標(biāo)構(gòu)成的空間)中并不存在類似的定理.因此,在統(tǒng)計(jì)力學(xué)討論系綜時(shí)需要運(yùn)用哈密頓動力學(xué)而不用拉格朗日動力學(xué).劉維定理的另外表示劉維定理是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本的定理.它是2s維的1495.哈密頓原理力學(xué)原理微分原理牛頓動力學(xué)方程拉格朗日動力學(xué)方程哈密頓動力學(xué)方程變分原理：積分形式不涉及廣義坐標(biāo)的選取有限自由度的力學(xué)體系無限自由度的力學(xué)體系非力學(xué)體系動力學(xué)問題5.哈密頓原理力學(xué)原理微分原理牛頓動力學(xué)方程拉格朗日動力學(xué)150一、變分法初步1、泛函最速落徑問題質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道自A點(diǎn)自由下滑到B點(diǎn)