多元函數(shù)的極值與應(yīng)用

..多元函數(shù)的極值與應(yīng)用摘要：本文是有關(guān)函數(shù)極值問(wèn)題的解決,它由一元函數(shù)極值問(wèn)題的講解不斷深化到多元函數(shù)并且還講解到函數(shù)極值的應(yīng)用以及奇異性關(guān)鍵詞：函數(shù)極值:函數(shù)極值應(yīng)用:函數(shù)極值奇異性ExtremevalueoffunctionandapplicationAbstract：Thisarticleisaboutthefunctionextremesolutionbyafunctionextremeproblemtoexplainthecontinuousdeepeningtoamulti-functionandexplaintheapplicationoffunctionextremeandsingularKeywords：Functionextreme:functionextendapplication一函數(shù)極值理論定義設(shè)元函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)該鄰域內(nèi)任一異于的點(diǎn)都有<或>,則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)有極大值<或極小值>.極大值、極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).定義函數(shù)在個(gè)約束條件下的極值稱(chēng)為條件極值.3.多元函數(shù)普通極值存在的條件定理3.1〔必要條件若元函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù),且在該點(diǎn)取得極值,則有備注：使偏導(dǎo)數(shù)都為的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn),但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).定理3.2〔充分條件設(shè)元函數(shù)在附近具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且為的駐點(diǎn).那么當(dāng)二次型正定時(shí),為極小值；當(dāng)負(fù)定時(shí),為極大值；當(dāng)不定時(shí),不是極值.記,并記,它稱(chēng)為的階矩陣.對(duì)于二次型正負(fù)定的判斷有如下定理：定理3.3若,則二次型是正定的,此時(shí)為極小值；若,則二次型是負(fù)定的,此時(shí)為極大值.特殊地,當(dāng)時(shí),有如下推論：推論3.1若二元函數(shù)某領(lǐng)域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則①當(dāng)時(shí),.②當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值.③當(dāng)時(shí),不能確定,需另行討論.4．介紹多元函數(shù)條件極值的若干解法4.1代入消元法通過(guò)一個(gè)量用其它量代替的方法達(dá)到降元效果,將條件極值化為無(wú)條件極值問(wèn)題來(lái)解決一些較為簡(jiǎn)單的條件極值問(wèn)題,這種方法適用于約束函數(shù)較為簡(jiǎn)單的條件極值求解,有些條件極值很難化為無(wú)條件極值來(lái)解決.例求函數(shù)在條件下的極值.解由解得,將上式代入函數(shù),得解方程組得駐點(diǎn),,在點(diǎn)處,,所以不是極值點(diǎn)從而函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處無(wú)極值；在點(diǎn)處,,又,所以為極小值點(diǎn)因而,函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)處有極小值極小值為.4.2拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法,特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用.求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)組限制下的極值,若及有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且Jacobi矩陣的秩為,則可以用拉格朗日乘數(shù)法求極值.首先,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)然后,解方程組從此方程組中解出駐點(diǎn)的坐標(biāo),所得駐點(diǎn)是函數(shù)極值的可疑點(diǎn),需進(jìn)一步判斷得出函數(shù)的極值.定理〔充分條件設(shè)點(diǎn)及個(gè)常數(shù)滿(mǎn)足方程組,則當(dāng)方陣為正定〔負(fù)定矩陣時(shí),為滿(mǎn)足約束條件的條件極小〔大值點(diǎn),因此為滿(mǎn)足約束條件的條件極小〔大值.例求橢球在第一卦限內(nèi)的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的最小體積.解此橢球在點(diǎn)處的切平面為化簡(jiǎn),得此平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：則此切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積由題意可知,體積存在最小值,要使最小,則需最大；即求目標(biāo)函數(shù)在條件下的最大值,其中,拉格朗日函數(shù)為由解得;說(shuō)明：以上介紹的兩種方法為解多元函數(shù)條件極值的常用方法,但在實(shí)際解題過(guò)程中,我們還可以根據(jù)多元函數(shù)的一些特點(diǎn)選擇其它一些特殊解法來(lái)快速解題,如標(biāo)準(zhǔn)量代換法、不等式法、二次方程判別式法、梯度法、數(shù)形結(jié)合法.4.3標(biāo)準(zhǔn)量代換法求某些有多個(gè)變量的條件極值時(shí),我們可以選取某個(gè)與這些變量有關(guān)的量作為標(biāo)準(zhǔn)量,稱(chēng)其余各量為比較量,然后將比較量用標(biāo)準(zhǔn)量與另外選取的輔助量表示出來(lái),這樣就將其變?yōu)檠芯繕?biāo)準(zhǔn)量與輔助量間的關(guān)系了.如果給定條件是幾個(gè)變量之和的形式,一般設(shè)這幾個(gè)量的算術(shù)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量.例設(shè),求的最小值.解取為標(biāo)準(zhǔn)量,令,則<為任意實(shí)數(shù)>,從而有等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立,所以的最小值為.4.4不等式法利用均值不等式均值不等式是常用的不等式,其形式為,這里,且等號(hào)成立的充分條件是.例.1已知,,求的極小值.解當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.利用柯西不等式柯西不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和,總有,當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)成比例時(shí),等號(hào)成立.運(yùn)用柯西不等式,主要是把目標(biāo)函數(shù)適當(dāng)變形,進(jìn)而"配、湊"成柯西不等式的左邊或者右邊的形式,最終求得極大值或極小值.例.1已知,求的最值.解首先將變形為；再設(shè),于是,根據(jù)柯西不等式及已知條件,有即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立；即當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以,,.4.5二次方程判別式符號(hào)法例若,試求的極值.解因?yàn)?代入得即<1>這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須即解關(guān)于的二次不等式,得:顯然,求函數(shù)的極值,相當(dāng)于求<2>或<3>的極值.由<2>得<4>這個(gè)關(guān)于的二次方程要有實(shí)數(shù)解,必須,即解此關(guān)于的二次不等式,得.所以,.把代入<4>,得再把,代入<1>,得,最后把,,代入,得.所以,當(dāng),,時(shí),函數(shù)達(dá)到極大值3.同理可得,當(dāng),,時(shí),函數(shù)達(dá)到極小值-3.也可以從<3>作類(lèi)似討論得出的極大值3和極小值-3.4.6梯度法用梯度法求目標(biāo)函數(shù)在條件函數(shù)時(shí)組限制下的極值,方程組的解,就是所求極值問(wèn)題的可能極值點(diǎn).其中表示目標(biāo)函數(shù)的梯度向量,表示條件函數(shù)的梯度向量例從斜邊之長(zhǎng)為的一切直角三角形中,求最大周長(zhǎng)的直角三角形.解:設(shè)兩條直角邊為,本題的實(shí)質(zhì)是求在條件下的極值問(wèn)題.根據(jù)梯度法,列出方程組進(jìn)一步求解得容易解出根據(jù)題意是唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).所以,當(dāng)兩條直角邊都為時(shí),直角三角形的周長(zhǎng)最大.4.7數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,如直線(xiàn)的截距,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,圓的半徑等幾何性質(zhì)決定目標(biāo)的條件極值.例設(shè),求的最值.解法一數(shù)形結(jié)合法解設(shè)則,即表示坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的距離的平方的2倍顯然最大值為長(zhǎng)軸的長(zhǎng)38,最小值為解法二消元法解設(shè),,則故當(dāng),即時(shí),達(dá)到最小值.當(dāng),即時(shí),達(dá)到最大值.解法三均值不等式法解〔1若注意到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立因此：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立即故,此時(shí)〔2若,設(shè),則問(wèn)題變?yōu)榍蟮淖钪涤捎?所以因此即最大值為38〔3若,做變換,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為〔1〔4若,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為〔2解法四拉格朗日乘數(shù)法解設(shè)令則若,則,此時(shí)；若,則,或此時(shí)從該題可以看出,用拉格朗日乘數(shù)法和均值不等式法解題過(guò)程都比較繁瑣,但通過(guò)數(shù)形結(jié)合法和消元法法都可以簡(jiǎn)捷地求得結(jié)果.所以在解條件極值問(wèn)題時(shí),我們可以先分析題目的特點(diǎn)再選擇最合適的解題方法,從而提高解題效率.二.多元函數(shù)極值的應(yīng)用多元函數(shù)條件極值在不等式證明、物理、生產(chǎn)銷(xiāo)售、證券投資分析、多元統(tǒng)計(jì)分析學(xué)里判別分析和主成分分析等問(wèn)題上都有廣泛的應(yīng)用.由于本人其余學(xué)科知識(shí)和時(shí)間上的限制,不能很好地展開(kāi)條件極值在證券投資分析和多元統(tǒng)計(jì)分析上的應(yīng)用問(wèn)題,具體內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9],下面只討論條件極值在不等式證明、物理學(xué)、生產(chǎn)銷(xiāo)售上的應(yīng)用.5.1不等式證明例證明不等式：.證令,則只需證明函數(shù)在區(qū)域上存在最小值,對(duì)于,令,得,且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.由一元函數(shù)取極值的第一充分判斷法,為最小值點(diǎn),即在曲線(xiàn)上取得最小值,最小值.故在上,即.5.2物理學(xué)中光的折射定律證明例設(shè)定點(diǎn)和位于以平面分開(kāi)的不同光介質(zhì)中,從點(diǎn)射出的光線(xiàn)折射后到達(dá)點(diǎn),已知光在兩介質(zhì)中的傳播速度分別為,,求需時(shí)最短的傳播方式.解設(shè)到平面的距離為,到平面的距離為,〔如圖,,光線(xiàn)從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為,光線(xiàn)從點(diǎn)射到點(diǎn)所需時(shí)間為且,即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在條件下的最小值.作拉格朗日函數(shù)令由此解得,即光線(xiàn)的入射角與折射角應(yīng)滿(mǎn)足：〔光的折射定律時(shí)光線(xiàn)傳播時(shí)間最短.5.3生產(chǎn)銷(xiāo)售在生產(chǎn)和銷(xiāo)售商品的過(guò)程中,銷(xiāo)售價(jià)格上漲將使廠(chǎng)家在單位商品上獲得的利潤(rùn)增加,但同時(shí)也使消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)欲望下降,造成銷(xiāo)售量下降,導(dǎo)致廠(chǎng)家消減產(chǎn)量.但在規(guī)模生產(chǎn)中,單位商品的生產(chǎn)成本是隨著產(chǎn)量的增加而降低的,因此銷(xiāo)售量、成本與售價(jià)是相互影響的.廠(chǎng)家要選擇合理的銷(xiāo)售價(jià)格才能獲得最大利潤(rùn).用條件極值得出生產(chǎn)成本最小化方案例.1設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品需要原料A和B,它們的單價(jià)分別為10元、15元,用單位原料A和單位原料B可生產(chǎn)單位的該產(chǎn)品,現(xiàn)要以最低成本生產(chǎn)112單位的該產(chǎn)品,問(wèn)需要多少原料A和B？[分析]由題意可知,成本函數(shù).該問(wèn)題是求成本函數(shù)在條件下的條件極值問(wèn)題,利用拉格朗日常數(shù)法計(jì)算.解令解方程組這是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,所以當(dāng)原料A和B的用量分別為4單位,2單位時(shí),成本最低.利用條件極值得出利潤(rùn)最大化方案例.1為銷(xiāo)售產(chǎn)品作兩種方式廣告宣傳,當(dāng)宣傳費(fèi)分別為時(shí),銷(xiāo)售量是,若銷(xiāo)售產(chǎn)品所得利潤(rùn)是銷(xiāo)量的減去廣告費(fèi),現(xiàn)要使用廣告費(fèi)25萬(wàn)元,應(yīng)如何分配使廣告產(chǎn)生的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少？解依題意,利潤(rùn)函數(shù)為且設(shè)令得依題設(shè),存在最大利潤(rùn),又駐點(diǎn)唯一,因此兩廣告分別投入15萬(wàn)元和10萬(wàn)元利潤(rùn)最大.例.2一家電視機(jī)廠(chǎng)在對(duì)某種型號(hào)電視機(jī)的銷(xiāo)售價(jià)格決策時(shí)面對(duì)如下數(shù)據(jù)：〔1根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,當(dāng)?shù)貙?duì)該種電視機(jī)的年需求量為100萬(wàn)臺(tái)；〔2去年該廠(chǎng)共售出10萬(wàn)臺(tái),每臺(tái)售價(jià)為4000元；〔3僅生產(chǎn)1臺(tái)電視機(jī)的成本為4000元；但在批量生產(chǎn)后,生產(chǎn)1萬(wàn)臺(tái)時(shí)成本降低為每臺(tái)3000元.問(wèn)：在生產(chǎn)方式不變的情況下,每年的最優(yōu)銷(xiāo)售價(jià)格是多少？數(shù)學(xué)模型建立如下：設(shè)這種電視機(jī)的總銷(xiāo)售量為,每臺(tái)生產(chǎn)成本為,銷(xiāo)售價(jià)格為,那么廠(chǎng)家的利潤(rùn)為根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售價(jià)格之間有下面的關(guān)系：這里為市場(chǎng)的最大需求量,是價(jià)格系數(shù)〔這個(gè)公式也反映出,售價(jià)越高,銷(xiāo)售量越少.同時(shí),生產(chǎn)部門(mén)對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的成本有如下測(cè)算：這里是只生產(chǎn)1臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本,是規(guī)模系數(shù)〔這也反映出,產(chǎn)量越大即銷(xiāo)售量越大,成本越低.于是,問(wèn)題化為求利潤(rùn)函數(shù)在約束條件下的極值問(wèn)題.作Lagrange函數(shù)就得到最優(yōu)化條件由方程組中第二和第四式得到,即將第四式代入第五式得到再由第一式知.將所得的這三個(gè)式子代入方程組中第三式,得到由此解得最優(yōu)價(jià)格為只要確定了規(guī)模系數(shù)與價(jià)格系數(shù),問(wèn)題就迎刃而解了.現(xiàn)在利用這個(gè)模型解決本段開(kāi)始提出的問(wèn)題.此時(shí),.由于去年該廠(chǎng)共售出10萬(wàn)臺(tái),每臺(tái)售價(jià)為4000元,因此得到；又由于生產(chǎn)1萬(wàn)臺(tái)時(shí)成本就降低為每臺(tái)3000元,因此得到.將這些數(shù)據(jù)代入的表達(dá)式,就得到今年的最優(yōu)價(jià)格應(yīng)為〔元/臺(tái).參考文獻(xiàn)：[1]唐軍強(qiáng).用方向倒數(shù)法求解多元函數(shù)極值[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào),2008,〔15：246-247[2]汪元倫.兩類(lèi)多元函數(shù)條件極值的簡(jiǎn)捷求法[J].XX師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,27〔2：14-15.[3]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè)/—2版[M].北京：高等教育出版社,2004.10[4]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法-北京：高等教育出版社,1993.5[5]王延源