第六章保形映射(正式版)-復變函數(shù)課件

第六章保形映射這一章,我們從復平面之間映射的角度來研究復變函數(shù)保形映射,顧名思義是保持形狀的映射.人們利用保形映射成功地解決了流體力學與空氣動力學、彈性力學、電磁學以及其他方面的許多重要問題，比如：1.網(wǎng)格的保形變換，用以計算船體表面積2.茹可夫斯基變換，設計機翼，減小空氣阻力，增加浮力1第六章保形映射這一章,我們從復平面之間映射的角度

z平面內(nèi)的任一條有向曲線C可用z=z(t),atb

表示,它的正向取為t增大時點z移動的方向,z(t)為一條連續(xù)函數(shù).

如果z'(t0)0,a<t0<b,則我們用z'(t0)表示C在點z0=z(t0)處的z'(t)的切線(把起點放取在z0.與z(t0)z(a)z(b)z'(t0)曲線的概念2z平面內(nèi)的任一條有向曲線C可用z=z(t事實上,如果通過C上兩點P0與P的割線P0P的正向?qū)趖增大的方向,則這個方向與表示的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)當點P沿C無限趨向于點P0,割線P0P的極限位置就是C上P0處的切線.因此,表示的向量與C相切于點z0=z(t0),且方向與C的正向一致.z'(t0)3事實上,如果通過C上兩點P0與P的割線P0因此,我們有Argz'(t0)就是z0處C的切線正向與x軸正向間的夾角;相交于一點的兩條曲線C1與C2正向之間的夾角就是它們交點處切線正向間夾角Ox(z)z04因此,我們有Ox(z)z041.解析函數(shù)的導數(shù)的幾何意義

設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)

解析,z0為D內(nèi)的一點,且f

'(z0)0.又設C為z平面內(nèi)通過點z0的一條有向光滑曲線:z=z(t),atb,且z0=z(t0),z'(t0)0,a<t0<b.映射w=f(z)將C映射成w平面內(nèi)通過點z0的對應點w0=f(z0)的一條有向光滑曲線G:w=f[z(t)],atb.OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw51.解析函數(shù)的導數(shù)的幾何意義設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D根據(jù)復合函數(shù)求導法連鎖規(guī)則,有w'(t0)=f'(z0)z'(t0)0.

因此,在G上點w0處也有切線存在,且切線正向與u軸正向的夾角是Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0).若原來的切線的正向與映射過后的切線的正向之間的夾角理解為曲線C經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角,則

1)導數(shù)f

'(z0)0的輻角Argf

'(z0)是曲線C經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角;OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw即Argf'(z0)=Argw'(t0)-Argz'(t0)6根據(jù)復合函數(shù)求導法連鎖規(guī)則,有w'(t0)=f2)轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關.所以這種映射具有轉(zhuǎn)動角的不變性.通過z0點的可能的曲線有無限多條,其中的每一條都具有這樣的性質(zhì),即映射到w平面的曲線在w0點都轉(zhuǎn)動了一個角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w072)轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關.所以這種映相交于點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同于經(jīng)w=f(z)映射后C1與C2對應的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質(zhì).這種性質(zhì)稱為保角性.yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G28相交于點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和3)稱為C在z0的伸縮率.上式表明|f

'(z)|是兩象點間距離和兩原象點間距離比值的極限，從而可視為映射w=f(z)在點z0處沿曲線C的伸縮率,它與曲線C的形狀及方向無關.所以這種映射又具有伸縮率不變性.上式可視為93)2.保形映射的概念

定義設函數(shù)w=f(z)在z0的鄰域內(nèi)是一對一的,在z0具有保角性和伸縮率不變性,則稱映射w=f(z)在z0是保形的,或稱w=f(z)在z0是保形映射.如果映射w=f(z)在D內(nèi)的每一點都是保形的,就稱w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的保形映射.僅具有保角性和伸縮率不變性的映射稱為第一類保形映射；而具有伸縮率不變性和保持角度絕對值不變而旋轉(zhuǎn)方向相反的映射稱為第二類保形映射。例如是第二類保形映射。102.保形映射的概念

定義設函數(shù)w=f(z)在z0的定理一

設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點,且

f

'(z0)0,則映射w=f(z)在z0具有兩個性質(zhì):

1)保角性.即通過z0的兩條曲線間的夾角跟經(jīng)過映射后所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變。

2)伸縮率的不變性.即通過z0的任何一條曲線的伸縮率均為|f'(z0)|而與其形狀和方向無關.11定理一設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一在D內(nèi)作以z0為其一個頂點的小三角形,在映射下,得到一個以w0為其一個頂點的小曲邊三角形,這兩個三角形對應邊長之比近似為|f'(z0)|,有一個角相等,則這兩個三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理一的幾何意義.12在D內(nèi)作以z0為其一個頂點的小三角形,在映射下,得到一個定理二

如果函數(shù)w=f(z)在z0解析,且f

'(z0)0,則映射w=f(z)在z0是保形的,而且Argf

'(z0)表示這個映射在z0的轉(zhuǎn)動角,|f

'(z0)|表示伸縮率.

如果解析函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)是一一的,且處處有f

'(z)0,則映射w=f(z)是D內(nèi)的保形映射.保形映射是把區(qū)域雙方單值的映射成區(qū)域，在每一點保角，在每一點具有伸縮率不變性。例如函數(shù)在不是保形的；在是保形的。13定理二如果函數(shù)w=f(z)在z0解析,且f幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的保形映射1.冪函數(shù)w=zn(n2為自然數(shù))在z平面內(nèi)處處可導,它的導數(shù)是因而當z0時,所以,在z平面內(nèi)除去原點外,由w=zn所構(gòu)成的映射處處保形.映射的特點是:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域,但張角變成了原來的n倍.14幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的保形映射1.冪函數(shù)w=zn(n2為O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn15O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w例1求w=z2把角形域0<argz<p/4映射成何區(qū)域16例1求w=z2把角形域0<argz<p/4映射成何區(qū)域1O(z)q0O(w)nq0nq017O(z)q0O(w)nq0nq0172.指數(shù)函數(shù)w=ez由于在z平面內(nèi)w‘=ez0。所以,由w=ez所構(gòu)成的映射是0<y<2p上的保形映射.設z=x+iy,w=reij,則w=ez=ex+iy=reij推出=ex：z平面上垂直線x映射成w平面上圓周r；（x=0單位圓周,x<0單位圓內(nèi),x>0單位圓外）j=y：z平面上水平直線y映射成w平面上射線j。182.指數(shù)函數(shù)w=ez由于在z平面內(nèi)w‘=ezaiOxy(z)argw=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw19aiOxy(z)argw=auOv(w)2piOxy(z)帶形域0<Im(z)<a映射成角形域0<argw<a.特別是帶形域0<Im(z)<2p映射成沿正實軸剪開的w平面:0<argw<2p.它們間的點是一一對應的.20帶形域0<Im(z)<a映射成角形域0<ar21216.1幾個初等函數(shù)的映射226.1幾個初等函數(shù)的映射22線性變換,將方形(圓周)映成方形(圓周),保持形狀不變.23線性變換,將方形(圓周)映成方形(圓周),保持形狀不變.232424如果補充反演映射的定義則反演映射推廣到擴充復平面定理6.1（保圓性）復反演映射將圓周映射成圓周.25如果補充反演映射的定義則反演映射推廣到擴充復平面定理6.1方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0

a=0表示直線,表示a0圓周

代入x,y

變?yōu)榉匠蘢(u2+v2)+bu-cv+a=0。

當a0,d0：圓周映射為圓周;

當a0,d=0：圓周映射成直線;

當a=0,d0：直線映射成圓周；

當a=0,d=0：直線映射成直線.

這就是說,映射w=1/z把圓周映射成圓周.

或者說,映射w=1/z具有保圓性.26方程a(x2+y2)+bx+cy+d=027272828§6.2分式線性映射分式線性映射29§6.2分式線性映射分式線性映射29兩個分式線性映射的復合,仍是分式線性映射.例如30兩個分式線性映射的復合,仍是分式線性映射.例如3分式線性映射分解為一些簡單映射的復合,分式線性映射分解為一些簡單映射的復合,31分式線性映射分解為一些簡單映射的復合,分式線性映射分解為一些由此可見,一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊映射的復合:下面討論三種映射,為了方便畫圖,暫且將w平面看成是與z平面重合的.32由此可見,一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊映射的i)w=z+b.這是一個平移映射.因為復數(shù)相加可以化為向量相加,z沿向量b的方向平移一段距離|b|后,就得到w.O(z)(w)zwb33i)w=z+b.這是一個平移映射.因為復數(shù)相加可以化為向ii)w=az,a0.這是一個旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)的映射.設a=leia將z先轉(zhuǎn)一個角度a,再將|z|伸長(或縮短)l倍后,就得到w.O(z)=(w)zwa34ii)w=az,a0.這是一個旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)的zw1w1iii)復反演映射,35zw1w1iii)復反演映射,35定理6.2分式線性映射在擴充復平面上是一一對應的,且把圓映為圓(保圓性).36定理6.2分式線性映射在擴充復平面上是36圓周的對稱點OPOP'=r2,因為DOP'T相似于DOPT.因此,OP':OT=OT:OP,即OPOP'=OT2=r2.CPP'rTOP與P'關于圓周C互為對稱點3.保對稱性37圓周的對稱點OPOP'=r2,CPP'rTOP與P'關于圓z1,z2是關于圓周C的一對對稱點的充要條件是經(jīng)過z1,z2的任何圓周G都與C正交.CRz0z1z2z'G3.保對稱性38z1,z2是關于圓周C的一對對稱點的充要條件是經(jīng)過z1,z2定理6.3

設點z1,z2是關于圓周C的一對對稱點,則

在分式線性映射下,它們的象點w1與w2

也是關于C的象曲線G的一對對稱點.[證]設經(jīng)過w1與w2的任一圓周G'是經(jīng)過z1與z2的圓周G由分式線性映射過來的.由于G與C正交,而分式線性映射具有保角性,所以G'與C'(C的象)也必正交,因此,w1與w2是一對關于C'的對稱點.39定理6.3設點z1,z2是關于圓周C的一對對稱點,則3唯一決定分式線性映射的條件分式線性映射中含有四個常數(shù)a,b,c,d.但是,如果用這四個數(shù)中的一個去除分子和分母,就可將分式中的四個常數(shù)化為三個常數(shù).所以,上式中實際上只有三個獨立的常數(shù).因此,只需給定三個條件,就能決定一個分式線性映射.403唯一決定分式線性映射的條件分式線性映射中含有四個常數(shù)a,根據(jù)保圓性,在分式線性映射下,如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,則它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個點映射成無窮遠點,它就映射成直線.41根據(jù)保圓性,在分式線性映射下,如果給定的4242定理6.4

在z平面上任意給定三個相異的點

z1,z2,z3,在w平面上也任意給定三個相異的點w1,w2,w3,則存在唯一的分式線性映射,將zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).43定理6.4在z平面上任意給定三個相異的點434444由此得這就是所求的分式線性映射.如果有另外一個分式線性映射,也把z平面上三個相異點z1,z2,z3依次映射成w平面上的三個相異點w1,w2,w3,則重復上面的步驟,消去常數(shù)后,最后得到的仍然是(6.3.1)式.所以(6.3.1)式是由三對相異的對應點唯一確定的分式線性映射.45由此得這就是所求的分式線性映射.如果有另外推論：在分式線性變換下，交比(6.3.2)不變46推論：在分式線性變換下，交比(6.3.2)不變46現(xiàn)在研究,在給定兩個圓周C與C',在圓周上分別取定三個點,必能找到一個分式線性映射將C映射成C’.但是這個映射會將C內(nèi)部映射成什么呢?.

如果在C內(nèi)任取一點z0,而點z0的象在C‘的內(nèi)部,則C的內(nèi)部就映射成C’的內(nèi)部;如果z0的象在C‘的外部,則C的內(nèi)部就映射成C’的外部.

或者在C上取定三點z1,z2,z3,它們在C‘的象分別為w1,w2,w3.如果C依z1z2z3的繞向與C’依w1w2w3的繞向相同,則C的內(nèi)部就映射成C‘的內(nèi)部,否則映射成C’的外部。47現(xiàn)在研究,在給定兩個圓周C與C',在圓z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww48z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww48例1求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性映射.O1-1xylO1-1uiv(z)(w)49例1求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式[解法一]在x軸上任意取定三點:z1=-1,z2=0,z3=1使它們對應于|w|=1上三點:w1=1,w2=i,w3=-1,則因z1z2z3跟w1w2w3的繞向相同,由(6.3.1)6.3.1)式得所求的分式線性映射為化簡后即得50[解法一]在x軸上任意取定三點:z1=-1,z2=0,注意:如果選取其他三對不同點,勢必也能得出滿足要求的,但不同于(6.3.3)的分式線性映射.此可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不

是唯一的,而是有無窮多.[解法二]將上半平面看成半徑為無窮大的圓域,實軸就是圓域的邊界圓周.因為分式線性映射具有保圓性,因此它必能將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.由于上半平面總有一點z=l要映成單位圓周|w|=1的圓心w=0,51注意:如果選取其他三對不同點,勢必也能得出滿足要求的,但從而所求的分式線性映射具有下列形式:其中k為常數(shù).52從而所求的分式線性映射具有下列形式:其中k為常數(shù).52反之,形如上式的分式線性映射必將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.因為當z取實數(shù)時53反之,形如上式的分式線性映射必將上半平面Im即把實軸映射成|w|=1.又因為上半平面中的z=l映射成w=0,所以(6.3.3)必將Im(z)>0映射成|w|<1.54即把實軸映射成|w|=1.又因為上半平面中的z=l映射成w例2求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1且滿

足w(2i)=0,argw‘(2i)=0的分式線性映射.故有從而得所求的映射為解：由條件w(2i)=0知,所求的映射要將上半平面中的點z=2i映射成單位圓周的圓心w=0.所以由(6.3.3)得55例2求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1且滿

例3求將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線

性映射.x1y(z)OOuv(w)1a56例3求將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線

[解]設z平面上單位圓|z|<1內(nèi)部的一點a映射成w平

面上的單位圓|w|<1的中心w=0.這時與57[解]設z平面上單位圓|z|<1內(nèi)部的一點a映射成w平

由于z平面上單位圓周上的點要映成w平面上單位圓周上的點,所以當|z|=1,|w|=1.將圓周|z|=1上的點z=1代入上式,得所以|k'|=1,即k'=eij.這里j是任意實數(shù).因此,將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性映射的一般表示式是58由于z平面上單位圓周上的點要映成w平面上單位圓周上的點,所反之,形如上式的映射必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.這是因為圓周|z|=1上的點z=eiq(q為實數(shù))映射成圓周|w|=1上的點:同時單位圓|z|<1內(nèi)有一點z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.59反之,形如上式的映射必將單位圓|z|<1映例4求將單位圓映射成單位圓且滿足條件

w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式線性映射.[解]由條件w(1/2)=0知,所求的映射要將z=1/2映射成|w|<1的中心.所以由((6.3.5)得60例4求將單位圓映射成單位圓且滿足條件

例5求將Im(z)>0映射成|w-2i|<2且滿足條件w(2i)=2i,argw‘(2i)=-p/2的分式線性映射.[解]容易看出,映射z=(w-2i)/2將|w-2i|<2映射成|z|<1.但將Im(z)>0映射成|z|<1且滿足z(2i)=0的映射易知為61例5求將Im(z)>0映射成|w-2i|<2且滿足條件w2i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)622i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)62O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-a例5求把帶形域a<Re(z)<b映射成上半平面Im(w)>0的一個映射.O(t)(b-a)i63O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-a例5現(xiàn)討論在z平面內(nèi)兩個圓包圍的區(qū)域的映射情況.根據(jù)前面的討論可知:

(I)當二圓周上沒有點映射成無窮遠點時,這二圓周

的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域;

(II)當二圓周上有一個點映射成無窮遠點時,這二圓

周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所

圍成的區(qū)域;

(III)當二圓周交點中的一個映射成無窮遠點時,這

二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成角形區(qū)域.64現(xiàn)討論在z平面內(nèi)兩個圓包圍的區(qū)域的映射情況.根x1-ii-1C1C2y(z)O65x1-ii-1C1C2y(z)O65[解]所設的兩個圓弧的交點為-i與i,且相互正交.交點-i映射成無窮遠點,i映射成原點.因此所給的區(qū)域經(jīng)映射后映射成以原點為頂點的角形區(qū)域,張角等于p/2.此點在第三象限的分角線C1'上.由保角性知C2映射為第二象限的分角線C2.66[解]所設的兩個圓弧的交點為-i與i,且相互正交.交點映射的角形區(qū)如圖所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)67映射的角形區(qū)如圖所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C6868例8求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射成角形域j0<argw<j0+a的一個映射.aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii69例8求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii170aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii170[解]令C1,C2的交點z=i與z=-i分別映射成z平面中的z=0與z=,將所給月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數(shù):其中k為待定的復常數(shù).71[解]令C1,C2的交點z=i與z=-i分別映射成z平面中§4幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射1.冪函數(shù)w=zn(n2為自然數(shù))在z平面內(nèi)處處可導,它的導數(shù)是因而當z0時,所以,在z平面內(nèi)除去原點外,由w=zn所構(gòu)成的映射處處保形.映射的特點是:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域,但張角變成了原來的n倍.72§4幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射1.冪函數(shù)w=zn(n2O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn73O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w例1求把角形域0<argz<p/4映射成單位圓|w|<1的一個映射.[解]z=z4將所給角形域0<argz<p/4映射成上半平面

Im(z)>0.又從上節(jié)的例2知,映射74例1求把角形域0<argz<p/4映射成單位圓|w|<1(z)OO(z)1(w)z=

z475(z)OO(z)1(w)z=z47576762.指數(shù)函數(shù)w=ez由于在z平面內(nèi)w‘=ez0。所以,由w=ez所構(gòu)成的映射是0<y<2p上的保形映射.設z=x+iy,w=reij,則w=ez=ex+iy=reij推出=ex：z平面上垂直線x映射成w平面上圓周r；（x=0-單位圓周,x<0-單位圓內(nèi),x>0-單位圓外）j=y：z平面上水平直線y映射成w平面上射線j。帶形域0<Im(z)<a映射成角形域0<argw<a.特別是帶形域0<Im(z)<2p映射成沿正實軸剪開的w平面:0<argw<2p.它們間的點是一一對應的.772.指數(shù)函數(shù)w=ez由于在z平面內(nèi)w‘=ezaiOxy(z)argw=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw78aiOxy(z)argw=auOv(w)2piOxy(z)由指數(shù)函數(shù)w=ez所構(gòu)成的映射的特點是:把水平的帶形域0<Im(z)<a(ap)映射成角形域0<argw<a.例4求把帶形域0<Im(z)<p映射成單位圓|w|<1的一個映射.z=ez79由指數(shù)函數(shù)w=ez所構(gòu)成的映射的特點是:把水平的帶例4求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓。1-11-180例4求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓。1-11-1例6求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半

平面映射成上半平面的一個映射.xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCD81例6求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a82xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hB[解]不難看出,解決本題的關鍵顯然是要設法將垂直于x軸的割痕的兩側(cè)和x軸之間的夾角展平.由于映射w=z2能將頂點在原點處的角度增大到兩倍,所以利用這個映射可以達到將割痕展平的目的.

首先,把上半z平面向左平移一個距離a:z1=z-a.

第二,由映射z2=z12,得到具有割痕-h2Re(z2)<+,

Im(z2)=0的z2平面.

第三,把z2平面向右作一距離為h2的平移:z3=z2+h2,

便得到去掉了正實軸的z3平面.83[解]不難看出,解決本題的關鍵顯然是要設法將垂直于x軸的8484第六章保形映射這一章,我們從復平面之間映射的角度來研究復變函數(shù)保形映射,顧名思義是保持形狀的映射.人們利用保形映射成功地解決了流體力學與空氣動力學、彈性力學、電磁學以及其他方面的許多重要問題，比如：1.網(wǎng)格的保形變換，用以計算船體表面積2.茹可夫斯基變換，設計機翼，減小空氣阻力，增加浮力85第六章保形映射這一章,我們從復平面之間映射的角度

z平面內(nèi)的任一條有向曲線C可用z=z(t),atb

表示,它的正向取為t增大時點z移動的方向,z(t)為一條連續(xù)函數(shù).

如果z'(t0)0,a<t0<b,則我們用z'(t0)表示C在點z0=z(t0)處的z'(t)的切線(把起點放取在z0.與z(t0)z(a)z(b)z'(t0)曲線的概念86z平面內(nèi)的任一條有向曲線C可用z=z(t事實上,如果通過C上兩點P0與P的割線P0P的正向?qū)趖增大的方向,則這個方向與表示的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)當點P沿C無限趨向于點P0,割線P0P的極限位置就是C上P0處的切線.因此,表示的向量與C相切于點z0=z(t0),且方向與C的正向一致.z'(t0)87事實上,如果通過C上兩點P0與P的割線P0因此,我們有Argz'(t0)就是z0處C的切線正向與x軸正向間的夾角;相交于一點的兩條曲線C1與C2正向之間的夾角就是它們交點處切線正向間夾角Ox(z)z088因此,我們有Ox(z)z041.解析函數(shù)的導數(shù)的幾何意義

設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)

解析,z0為D內(nèi)的一點,且f

'(z0)0.又設C為z平面內(nèi)通過點z0的一條有向光滑曲線:z=z(t),atb,且z0=z(t0),z'(t0)0,a<t0<b.映射w=f(z)將C映射成w平面內(nèi)通過點z0的對應點w0=f(z0)的一條有向光滑曲線G:w=f[z(t)],atb.OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw891.解析函數(shù)的導數(shù)的幾何意義設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D根據(jù)復合函數(shù)求導法連鎖規(guī)則,有w'(t0)=f'(z0)z'(t0)0.

因此,在G上點w0處也有切線存在,且切線正向與u軸正向的夾角是Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0).若原來的切線的正向與映射過后的切線的正向之間的夾角理解為曲線C經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角,則

1)導數(shù)f

'(z0)0的輻角Argf

'(z0)是曲線C經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角;OxyOuvz0P0rzPDzC(z)(w)Gw0Q0QwrDw即Argf'(z0)=Argw'(t0)-Argz'(t0)90根據(jù)復合函數(shù)求導法連鎖規(guī)則,有w'(t0)=f2)轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關.所以這種映射具有轉(zhuǎn)動角的不變性.通過z0點的可能的曲線有無限多條,其中的每一條都具有這樣的性質(zhì),即映射到w平面的曲線在w0點都轉(zhuǎn)動了一個角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w0912)轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關.所以這種映相交于點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同于經(jīng)w=f(z)映射后C1與C2對應的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質(zhì).這種性質(zhì)稱為保角性.yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G292相交于點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和3)稱為C在z0的伸縮率.上式表明|f

'(z)|是兩象點間距離和兩原象點間距離比值的極限，從而可視為映射w=f(z)在點z0處沿曲線C的伸縮率,它與曲線C的形狀及方向無關.所以這種映射又具有伸縮率不變性.上式可視為933)2.保形映射的概念

定義設函數(shù)w=f(z)在z0的鄰域內(nèi)是一對一的,在z0具有保角性和伸縮率不變性,則稱映射w=f(z)在z0是保形的,或稱w=f(z)在z0是保形映射.如果映射w=f(z)在D內(nèi)的每一點都是保形的,就稱w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的保形映射.僅具有保角性和伸縮率不變性的映射稱為第一類保形映射；而具有伸縮率不變性和保持角度絕對值不變而旋轉(zhuǎn)方向相反的映射稱為第二類保形映射。例如是第二類保形映射。942.保形映射的概念

定義設函數(shù)w=f(z)在z0的定理一

設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點,且

f

'(z0)0,則映射w=f(z)在z0具有兩個性質(zhì):

1)保角性.即通過z0的兩條曲線間的夾角跟經(jīng)過映射后所得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變。

2)伸縮率的不變性.即通過z0的任何一條曲線的伸縮率均為|f'(z0)|而與其形狀和方向無關.95定理一設函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一在D內(nèi)作以z0為其一個頂點的小三角形,在映射下,得到一個以w0為其一個頂點的小曲邊三角形,這兩個三角形對應邊長之比近似為|f'(z0)|,有一個角相等,則這兩個三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理一的幾何意義.96在D內(nèi)作以z0為其一個頂點的小三角形,在映射下,得到一個定理二

如果函數(shù)w=f(z)在z0解析,且f

'(z0)0,則映射w=f(z)在z0是保形的,而且Argf

'(z0)表示這個映射在z0的轉(zhuǎn)動角,|f

'(z0)|表示伸縮率.

如果解析函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)是一一的,且處處有f

'(z)0,則映射w=f(z)是D內(nèi)的保形映射.保形映射是把區(qū)域雙方單值的映射成區(qū)域，在每一點保角，在每一點具有伸縮率不變性。例如函數(shù)在不是保形的；在是保形的。97定理二如果函數(shù)w=f(z)在z0解析,且f幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的保形映射1.冪函數(shù)w=zn(n2為自然數(shù))在z平面內(nèi)處處可導,它的導數(shù)是因而當z0時,所以,在z平面內(nèi)除去原點外,由w=zn所構(gòu)成的映射處處保形.映射的特點是:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域,但張角變成了原來的n倍.98幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的保形映射1.冪函數(shù)w=zn(n2為O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn99O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w例1求w=z2把角形域0<argz<p/4映射成何區(qū)域100例1求w=z2把角形域0<argz<p/4映射成何區(qū)域1O(z)q0O(w)nq0nq0101O(z)q0O(w)nq0nq0172.指數(shù)函數(shù)w=ez由于在z平面內(nèi)w‘=ez0。所以,由w=ez所構(gòu)成的映射是0<y<2p上的保形映射.設z=x+iy,w=reij,則w=ez=ex+iy=reij推出=ex：z平面上垂直線x映射成w平面上圓周r；（x=0單位圓周,x<0單位圓內(nèi),x>0單位圓外）j=y：z平面上水平直線y映射成w平面上射線j。1022.指數(shù)函數(shù)w=ez由于在z平面內(nèi)w‘=ezaiOxy(z)argw=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw103aiOxy(z)argw=auOv(w)2piOxy(z)帶形域0<Im(z)<a映射成角形域0<argw<a.特別是帶形域0<Im(z)<2p映射成沿正實軸剪開的w平面:0<argw<2p.它們間的點是一一對應的.104帶形域0<Im(z)<a映射成角形域0<ar105216.1幾個初等函數(shù)的映射1066.1幾個初等函數(shù)的映射22線性變換,將方形(圓周)映成方形(圓周),保持形狀不變.107線性變換,將方形(圓周)映成方形(圓周),保持形狀不變.2310824如果補充反演映射的定義則反演映射推廣到擴充復平面定理6.1（保圓性）復反演映射將圓周映射成圓周.109如果補充反演映射的定義則反演映射推廣到擴充復平面定理6.1方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0

a=0表示直線,表示a0圓周

代入x,y

變?yōu)榉匠蘢(u2+v2)+bu-cv+a=0。

當a0,d0：圓周映射為圓周;

當a0,d=0：圓周映射成直線;

當a=0,d0：直線映射成圓周；

當a=0,d=0：直線映射成直線.

這就是說,映射w=1/z把圓周映射成圓周.

或者說,映射w=1/z具有保圓性.110方程a(x2+y2)+bx+cy+d=01112711228§6.2分式線性映射分式線性映射113§6.2分式線性映射分式線性映射29兩個分式線性映射的復合,仍是分式線性映射.例如114兩個分式線性映射的復合,仍是分式線性映射.例如3分式線性映射分解為一些簡單映射的復合,分式線性映射分解為一些簡單映射的復合,115分式線性映射分解為一些簡單映射的復合,分式線性映射分解為一些由此可見,一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊映射的復合:下面討論三種映射,為了方便畫圖,暫且將w平面看成是與z平面重合的.116由此可見,一個一般形式的分式線性映射是由下列三種特殊映射的i)w=z+b.這是一個平移映射.因為復數(shù)相加可以化為向量相加,z沿向量b的方向平移一段距離|b|后,就得到w.O(z)(w)zwb117i)w=z+b.這是一個平移映射.因為復數(shù)相加可以化為向ii)w=az,a0.這是一個旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)的映射.設a=leia將z先轉(zhuǎn)一個角度a,再將|z|伸長(或縮短)l倍后,就得到w.O(z)=(w)zwa118ii)w=az,a0.這是一個旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)的zw1w1iii)復反演映射,119zw1w1iii)復反演映射,35定理6.2分式線性映射在擴充復平面上是一一對應的,且把圓映為圓(保圓性).120定理6.2分式線性映射在擴充復平面上是36圓周的對稱點OPOP'=r2,因為DOP'T相似于DOPT.因此,OP':OT=OT:OP,即OPOP'=OT2=r2.CPP'rTOP與P'關于圓周C互為對稱點3.保對稱性121圓周的對稱點OPOP'=r2,CPP'rTOP與P'關于圓z1,z2是關于圓周C的一對對稱點的充要條件是經(jīng)過z1,z2的任何圓周G都與C正交.CRz0z1z2z'G3.保對稱性122z1,z2是關于圓周C的一對對稱點的充要條件是經(jīng)過z1,z2定理6.3

設點z1,z2是關于圓周C的一對對稱點,則

在分式線性映射下,它們的象點w1與w2

也是關于C的象曲線G的一對對稱點.[證]設經(jīng)過w1與w2的任一圓周G'是經(jīng)過z1與z2的圓周G由分式線性映射過來的.由于G與C正交,而分式線性映射具有保角性,所以G'與C'(C的象)也必正交,因此,w1與w2是一對關于C'的對稱點.123定理6.3設點z1,z2是關于圓周C的一對對稱點,則3唯一決定分式線性映射的條件分式線性映射中含有四個常數(shù)a,b,c,d.但是,如果用這四個數(shù)中的一個去除分子和分母,就可將分式中的四個常數(shù)化為三個常數(shù).所以,上式中實際上只有三個獨立的常數(shù).因此,只需給定三個條件,就能決定一個分式線性映射.1243唯一決定分式線性映射的條件分式線性映射中含有四個常數(shù)a,根據(jù)保圓性,在分式線性映射下,如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,則它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個點映射成無窮遠點,它就映射成直線.125根據(jù)保圓性,在分式線性映射下,如果給定的12642定理6.4

在z平面上任意給定三個相異的點

z1,z2,z3,在w平面上也任意給定三個相異的點w1,w2,w3,則存在唯一的分式線性映射,將zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).127定理6.4在z平面上任意給定三個相異的點4312844由此得這就是所求的分式線性映射.如果有另外一個分式線性映射,也把z平面上三個相異點z1,z2,z3依次映射成w平面上的三個相異點w1,w2,w3,則重復上面的步驟,消去常數(shù)后,最后得到的仍然是(6.3.1)式.所以(6.3.1)式是由三對相異的對應點唯一確定的分式線性映射.129由此得這就是所求的分式線性映射.如果有另外推論：在分式線性變換下，交比(6.3.2)不變130推論：在分式線性變換下，交比(6.3.2)不變46現(xiàn)在研究,在給定兩個圓周C與C',在圓周上分別取定三個點,必能找到一個分式線性映射將C映射成C’.但是這個映射會將C內(nèi)部映射成什么呢?.

如果在C內(nèi)任取一點z0,而點z0的象在C‘的內(nèi)部,則C的內(nèi)部就映射成C’的內(nèi)部;如果z0的象在C‘的外部,則C的內(nèi)部就映射成C’的外部.

或者在C上取定三點z1,z2,z3,它們在C‘的象分別為w1,w2,w3.如果C依z1z2z3的繞向與C’依w1w2w3的繞向相同,則C的內(nèi)部就映射成C‘的內(nèi)部,否則映射成C’的外部。131現(xiàn)在研究,在給定兩個圓周C與C',在圓z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww132z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww48例1求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性映射.O1-1xylO1-1uiv(z)(w)133例1求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式[解法一]在x軸上任意取定三點:z1=-1,z2=0,z3=1使它們對應于|w|=1上三點:w1=1,w2=i,w3=-1,則因z1z2z3跟w1w2w3的繞向相同,由(6.3.1)6.3.1)式得所求的分式線性映射為化簡后即得134[解法一]在x軸上任意取定三點:z1=-1,z2=0,注意:如果選取其他三對不同點,勢必也能得出滿足要求的,但不同于(6.3.3)的分式線性映射.此可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不

是唯一的,而是有無窮多.[解法二]將上半平面看成半徑為無窮大的圓域,實軸就是圓域的邊界圓周.因為分式線性映射具有保圓性,因此它必能將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.由于上半平面總有一點z=l要映成單位圓周|w|=1的圓心w=0,135注意:如果選取其他三對不同點,勢必也能得出滿足要求的,但從而所求的分式線性映射具有下列形式:其中k為常數(shù).136從而所求的分式線性映射具有下列形式:其中k為常數(shù).52反之,形如上式的分式線性映射必將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.因為當z取實數(shù)時137反之,形如上式的分式線性映射必將上半平面Im即把實軸映射成|w|=1.又因為上半平面中的z=l映射成w=0,所以(6.3.3)必將Im(z)>0映射成|w|<1.138即把實軸映射成|w|=1.又因為上半平面中的z=l映射成w例2求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1且滿

足w(2i)=0,argw‘(2i)=0的分式線性映射.故有從而得所求的映射為解：由條件w(2i)=0知,所求的映射要將上半平面中的點z=2i映射成單位圓周的圓心w=0.所以由(6.3.3)得139例2求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1且滿

例3求將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線

性映射.x1y(z)OOuv(w)1a140例3求將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線

[解]設z平面上單位圓|z|<1內(nèi)部的一點a映射成w平

面上的單位圓|w|<1的中心w=0.這時與141[解]設z平面上單位圓|z|<1內(nèi)部的一點a映射成w平

由于z平面上單位圓周上的點要映成w平面上單位圓周上的點,所以當|z|=1,|w|=1.將圓周|z|=1上的點z=1代入上式,得所以|k'|=1,即k'=eij.這里j是任意實數(shù).因此,將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性映射的一般表示式是142由于z平面上單位圓周上的點要映成w平面上單位圓周上的點,所反之,形如上式的映射必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.這是因為圓周|z|=1上的點z=eiq(q為實數(shù))映射成圓周|w|=1上的點:同時單位圓|z|<1內(nèi)有一點z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.143反之,形如上式的映射必將單位圓|z|<1映例4求將單位圓映射成單位圓且滿足條件

w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式線性映射.[解]由條件w(1/2)=0知,所求的映射要將z=1/2映射成|w|<1的中心.所以由((6.3.5)得144例4求將單位圓映射成單位圓且滿足條件

例5求將Im(z)>0映射成|w-2i|<2且滿足條件w(2i)=2i,argw‘(2i)=-p/2的分式線性映射.[解]容易看出,映射z=(w-2i)/2將|w-2i|<2映射成|z|<1.但將Im(z)>0映射成|z|<1且滿足z(2i)=0的映射易知為145例5求將Im(z)>0映射成|w-2i|<2且滿足條件w2i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)1462i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)62O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-a例5求把帶形域a<Re(z)<b映射成上半平面Im(w)>0的一個映射.O(t)(b-a)i147O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-a例5現(xiàn)討論在z平面內(nèi)兩個圓包圍的區(qū)域的映射情況.根據(jù)前面的討論可知:

(I)當二圓周上沒有點映射成無窮遠點時,這二圓周

的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域;

(II)當二圓周上有一個點映射成無窮遠點時,這二圓

周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所

圍成的區(qū)域;

(III)當二圓周交點中的一個映射成無窮遠點時,這

二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成角形區(qū)域.148現(xiàn)討論在z平面內(nèi)兩個圓包圍的區(qū)域的映射情況.根x1-ii-1C1C2y(z)O149x1-ii-1C1C2y(z)O65[解]所設的兩個圓弧的交點為-i與i,且相互正交.交點-i映射成無窮遠點,i映射成原點.因此所給的區(qū)域經(jīng)映射后映射成以原點為頂點的角形區(qū)域,張角等于