2022年四川省資陽市樂至縣數(shù)學(xué)九上期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．若關(guān)于x的分式方程有增根，則m為（）A．-1 B．1 C．2 D．-1或22．已知二次函數(shù)y=-x2+2mx+2,當(dāng)x<-2時，y的值隨x的增大而增大，則實數(shù)m（）A．m=-2 B．m>-2 C．m≥-2 D．m≤-23．一張圓心角為的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式剪得一個正方形，邊長都為4，已知，則扇形紙板和圓形紙板的半徑之比是（）A． B． C． D．4．在中，，，，則直角邊的長是（）A． B． C． D．5．若雙曲線y=在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（）A．k＜3 B．k≥3 C．k＞3 D．k≠36．下列說法正確的是（）A．“經(jīng)過有交通信號的路口遇到紅燈”是必然事件B．已知某籃球運動員投籃投中的概率為0.6，則他投10次一定可投中6次C．投擲一枚硬幣正面朝上是隨機事件D．明天太陽從東方升起是隨機事件7．已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞PB），AB=4，那么AP的長是（）A． B． C． D．8．如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,下列說法正確的是（）A． B． C． D．圖象的對稱軸是直線9．將二次函數(shù)y=2x2-4x+4的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位后所得圖象的函數(shù)解析式為（）A．y=2(x+1)2+1 B．y=2(x+1)2+3 C．y=2(x-3)2+1 D．y=-2(x-3)2+310．小李與小陳做猜拳游戲，規(guī)定每人每次至少要出一個手指，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)時小李獲勝，那么，小李獲勝的概率為（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．若，則銳角α的度數(shù)是_____．12．已知二次函數(shù)，用配方法化為的形式為_________________，這個二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)為____________.13．若，則的值為_____．14．一個不透明的袋子中裝有3個白球和若干個黑球，它們除顏色外，完全相同.從袋子中隨機摸出一球，記下顏色并放回，重復(fù)該試驗多次，發(fā)現(xiàn)得到白球的頻率穩(wěn)定在0.6，則可判斷袋子中黑球的個數(shù)為______.15．如圖，OA、OB是⊙O的半徑，CA、CB是⊙O的弦，∠ACB＝35°，OA＝2，則圖中陰影部分的面積為_____．（結(jié)果保留π）16．如圖，四邊形ABCD是菱形，⊙O經(jīng)過點A、C、D，與BC相交于點E，連接AC、AE.若∠D＝70°，則∠EAC的度數(shù)為____________.17．如圖，圓是銳角的外接圓，是弧的中點，交于點，的平分線交于點，過點的切線交的延長線于點，連接，則有下列結(jié)論：①點是的重心；②；③；④，其中正確結(jié)論的序號是__________．18．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，點G為四邊形DEAF對角線交點，則線段GF的最小值為_______.三、解答題(共66分)19．（10分）已知二次函數(shù)圖象的頂點在原點，對稱軸為軸.直線的圖象與二次函數(shù)的圖象交于點和點（點在點的左側(cè)）（1）求的值及直線解析式；（2）若過點的直線平行于直線且直線與二次函數(shù)圖象只有一個交點，求交點的坐標(biāo).20．（6分）如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點，且BP=1，D為AC上一點，若∠APD=60°.求CD的長.21．（6分）如圖，為固定一棵珍貴的古樹，在樹干處向地面引鋼管，與地面夾角為，向高的建筑物引鋼管，與水平面夾角為，建筑物離古樹的距離為，求鋼管的長．(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：)22．（8分）如圖1，已知中，，，，它在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，點在軸的負(fù)半軸上（點在點的右側(cè)），頂點在第二象限，將沿所在的直線翻折，點落在點位置（1）若點坐標(biāo)為時，求點的坐標(biāo)；（2）若點和點在同一個反比例函數(shù)的圖象上，求點坐標(biāo)；（3）如圖2，將四邊形向左平移，平移后的四邊形記作四邊形，過點的反比例函數(shù)的圖象與的延長線交于點，則在平移過程中，是否存在這樣的，使得以點為頂點的三角形是直角三角形且點在同一條直線上？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由23．（8分）如圖，拋物線與直線相交于，兩點，且拋物線經(jīng)過點（1）求拋物線的解析式．（2）點是拋物線上的一個動點（不與點點重合），過點作直線軸于點，交直線于點．當(dāng)時，求點坐標(biāo)；（3）如圖所示，設(shè)拋物線與軸交于點，在拋物線的第一象限內(nèi)，是否存在一點，使得四邊形的面積最大？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．24．（8分）某商貿(mào)公司以每千克元的價格購進一種干果，計劃以每千克元的價格銷售,為了讓顧客得到更大的實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量(千克)與每千克降價(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示:.（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式;（2）函數(shù)圖象中點表示的實際意義是;（3）該商貿(mào)公司要想獲利元，則這種干果每千克應(yīng)降價多少元?25．（10分）如圖，點E是弧BC的中點，點A在⊙O上，AE交BC于點D．（1）求證：；（2）連接OB，OC，若⊙O的半徑為5，BC=8，求的面積．26．（10分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的長．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【分析】增根就是分母為零的x值，所以對分式方程去分母，得m=x-3，將增根x=2代入即可解得m值．【詳解】對分式方程去分母，得：1=﹣m+2-x，∴m=x-3，∵方程有增根，∴x-2=0，解得：x=2，將x=2代入m=x-3中，得：m=2-3=﹣1，故選：A．【點睛】本題考查分式方程的解，解答的關(guān)鍵是理解分式方程有增根的原因．2、C【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定拋物線的對稱軸及開口方向得出函數(shù)的增減性，結(jié)合題意確定m值的范圍.【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線∵,拋物線開口向下，∴當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大，∵當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大，∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性，由系數(shù)的符號特征得出函數(shù)性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.3、A【分析】分別求出扇形和圓的半徑，即可求出比值．【詳解】如圖，連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB＝∠ABO＝90°，AB＝BC＝CD＝4，∵=，∴OB＝AB＝3，∴CO=7由勾股定理得：OD＝=r1；如圖2，連接MB、MC，∵四邊形ABCD是⊙M的內(nèi)接四邊形，四邊形ABCD是正方形，∴∠BMC＝90°，MB＝MC，∴∠MCB＝∠MBC＝45°，∵BC＝4，∴MC＝MB＝=r2∴扇形和圓形紙板的半徑比是：=故選：A．【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)；解此題的關(guān)鍵是求出扇形和圓的半徑，題目比較好，難度適中．4、B【分析】根據(jù)余弦的定義求解．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，

∴BC=10cos40°．

故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．5、C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可解．【詳解】解：∵雙曲線在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∴k-3＞0∴k＞3故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)，當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．6、C【解析】試題解析：A.“經(jīng)過有交通信號的路口遇到紅燈”是隨機事件,說法錯誤.B.已知某籃球運動員投籃投中的概率為0.6，則他投10次一定可投中6次,說法錯誤.C.投擲一枚硬幣正面朝上是隨機事件,說法正確.D.明天太陽從東方升起是必然事件.說法錯誤.故選C.7、A【解析】根據(jù)黃金比的定義得：，得.故選A.8、D【分析】根據(jù)拋物線與y軸交點的位置即可判斷A選項；根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點即可判斷B選項；由圖象可知，當(dāng)x=1時，圖象在x軸的下方可知，故C錯誤；根據(jù)圖象經(jīng)過點兩點，即可得出對稱軸為直線．【詳解】解：A、由圖可知，拋物線交于y軸負(fù)半軸，所以c＜0，故A錯誤；B、由圖可知，拋物線與x軸有兩個交點，則，故B錯誤；C、由圖象可知，當(dāng)x=1時，圖象在x軸的下方，則，故C錯誤；D、因為圖象經(jīng)過點兩點，所以拋物線的對稱軸為直線，故D正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．9、A【分析】先配方成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”解答即可．【詳解】由“上加下減，左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2-4x+4配方成的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得以新的拋物線的表達式是y=2(x+1)2+1，故選：A．【點睛】本題主要考查的是函數(shù)圖象的平移，由y=ax2平移得到y(tǒng)=a（x-h）2+k，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式即可．10、A【分析】畫出樹狀圖，共有25個等可能的結(jié)果，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有13個，即可得出答案．【詳解】解：畫樹狀圖如圖：共有25個等可能的結(jié)果，兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有13個，∴小李獲勝的概率為；故選A．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法以及概率公式；根據(jù)題意畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、45°．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【詳解】解：∵，∴α＝45°．故答案為：45°．【點睛】本題考查的知識點特殊角的三角函數(shù)值，理解并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.12、【分析】先利用配方法提出二次項的系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，再根據(jù)頂點式即可得到頂點的坐標(biāo).【詳解】利用完全平方公式得：由此可得頂點坐標(biāo)為.【點睛】本題考查了用配方法將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點式、以及二次函數(shù)頂點坐標(biāo)，熟練運用配方法是解題關(guān)鍵.13、．【解析】根據(jù)比例的合比性質(zhì)變形得：【詳解】∵，∴故答案為：.【點睛】本題主要考查了合比性質(zhì)，對比例的性質(zhì)的記憶是解題的關(guān)鍵．14、2【分析】由摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.6附近得出口袋中得到白色球的概率，進而求出黑球個數(shù)即可．【詳解】解：設(shè)黑球個數(shù)為：x個，∵摸到白色球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，∴口袋中得到白色球的概率為0.6，∴，解得：x=2，故黑球的個數(shù)為2個．故答案為2.【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，根據(jù)大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題關(guān)鍵．15、【分析】利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】∵∠AOB＝2∠ACB＝70°，∴S扇形OAB＝＝，故答案為．【點睛】本題主要考查扇形的面積公式，求出扇形的圓心角是解題的關(guān)鍵.16、【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求∠ACD的度數(shù)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠AEC的度數(shù)，由三角形的內(nèi)角和求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC,AD=DC,∴∠DAC=∠ACB,∠DAC=∠DCA∵∠D=70°,∴∠DAC=,∴∠ACB=55°,∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AEC+∠D=180°,∴∠AEC=180°-70°=110°，∴∠EAC=180°-∠AEC-∠ACB=180°-55°-110°=15°,∴∠EAC=15°.故答案為：15°【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．17、②④【分析】根據(jù)三角形重心的定義，即可判斷①；連接OD，根據(jù)垂徑定理和切線的性質(zhì)定理，即可判斷②；由∠ACD=∠BAD，∠CAF=∠BAF，得∠AFD=∠FAD，若，可得∠EAF=∠ADF=∠BAC，進而得，即可判斷③；易證?ACD~?EAD，從而得，結(jié)合DF=DA，即可判斷④．【詳解】∵是弧的中點，∴∠ACD=∠BCD，即：CD是∠ACB的平分線，又∵AF是的平分線，∴點F不是的重心，∴①不符合題意，連接OD，∵是弧的中點，∴OD⊥AB，∵PD與圓相切，∴OD⊥PD，∴，∴②符合題意，∵是弧的中點，∴∠ACD=∠BAD，∵AF是的平分線，∴∠CAF=∠BAF，∴∠CAF+∠ACD=∠BAF+∠BAD，即：∠AFD=∠FAD，若，則∠AFD=∠AEF，∴∠AFD=∠AEF=∠FAD，∴∠EAF=∠ADF=∠BAC，∴．即：只有當(dāng)時，才有．∴③不符合題意，∵∠ACD=∠BAD，∠D=∠D，∴?ACD~?EAD，∴，又∵∠AFD=∠FAD，∴DF=DA，∴，∴④符合題意．故答案是：②④．【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)與相似三角形的綜合，掌握垂徑定理，圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．18、【分析】由勾股定理求出BC的長，再證明四邊形DEAF是矩形，可得EF=AD，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．【詳解】解：∵∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，

∴在Rt△ABC中，利用勾股定理得：BC===15，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC=90°

∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°，

∴四邊形DEAF是矩形，

∴EF=AD，GF=EF

∴當(dāng)AD⊥BC時，AD的值最小，

此時，△ABC的面積=AB×AC=BC×AD，

∴AD===，

∴EF=AD=,因此EF的最小值為；又∵GF=EF∴GF=×=

故線段GF的最小值為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．三、解答題(共66分)19、（1）m=，；（2）【分析】（1）由于拋物線的頂點為原點，因此可設(shè)其解析式為y=ax2，直接將A點，B點的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式以及m的值，進而可知出點B的坐標(biāo)，再將A，B點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，即可求出一次函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)題意可知直線l2的解析式，由拋物線與l2只有一個交點，聯(lián)立直線與二次函數(shù)的解析式，消去y，得出一個含x一元二次方程，根據(jù)方程的判別式為0可求得n的值，進而得出結(jié)果．【詳解】（1）解：假設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將分別代入二次函數(shù)的解析式，得：，解得．解得：．將代入中，得，,解得：．的解析式為．（2）由題意可知：l2∥l1，可設(shè)直線的解析式為：過點，則有：．．由題意，聯(lián)立直線與二次函數(shù)的解析式，可得以下方程組：，消元，得：，整理，得：，①由題意，得與只有一個交點，可得：，解得：．將代回方程①中，得．將代入中，得．可得交點坐標(biāo)為．【點睛】此題主要考查了求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，以及兩函數(shù)的交點問題，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程組求解．20、CD=.【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理求出，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比解答．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP∽△PCD，∴，即，∴CD=.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，證出兩三角形相似是解題的關(guān)鍵．21、鋼管AB的長約為6m【分析】過點C作CF⊥AD于點F，于是得到CF=DE=6，AF=CFtan30°．在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】過點C作CF⊥AD于點F，則CF=DE=6，AF=CFtan30°=62，∴AD=AF+DF=21.5，在Rt△ABD中，AB(21.5)46(m)．答：鋼管AB的長約為6m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解相關(guān)線段的長度．22、（1）；（2）；（3）存在，或【分析】（1）過點作軸于點，利用三角函數(shù)值可得出，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得出，，再解，得出，，最后結(jié)合點C的坐標(biāo)即可得出答案；（2）設(shè)點坐標(biāo)為（），則點的坐標(biāo)是，利用（1）得出的結(jié)果作為已知條件，可得出點D的坐標(biāo)為，再結(jié)合反比例函數(shù)求解即可；（3）首先存在這樣的k值，分和兩種情況討論分析即可．【詳解】解：（1）如圖，過點作軸于點∵，∴∴由題意可知，.∴.∴在中，，∴，.∵點坐標(biāo)為，∴.∴點的坐標(biāo)是（2）設(shè)點坐標(biāo)為（），則點的坐標(biāo)是，由（1）可知：點的坐標(biāo)是∵點和點在同一個反比例函數(shù)的圖象上，∴.解得.∴點坐標(biāo)為（3）存在這樣的，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形解：①當(dāng)時.如圖所示，連接，，，與相交于點.則，，.∴∽∴∴又∵，∴∽.∴，，∴.∴，設(shè)（），則，∵，在同一反比例函數(shù)圖象上，∴.解得：.∴∴②當(dāng)時.如圖所示，連接，，，∵，∴.在中，∵，，∴.在中，∵，∴.∴設(shè)（），則∵，在同一反比例函數(shù)圖象上，∴.解得：，∴∴【點睛】本題是一道關(guān)于反比例函數(shù)的綜合題目，具有一定的難度，涉及到的知識點有特殊角的三角函數(shù)值，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定定理以及性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)等，充分考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．23、（1）；（2）點坐標(biāo)為（2，9）或（6，-7）；（3）存在點Q（）使得四邊形OFQC的面積最大，見解析.【分析】（1）先由點在直線上求出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得；（2）可設(shè)出點坐標(biāo)，則可表示出、的坐標(biāo)，從而可表示出和的長，由條件可知到關(guān)于點坐標(biāo)的方程，則可求得點坐標(biāo)；（3）作軸于點，設(shè)，，知，，，根據(jù)四邊形的面積建立關(guān)于的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．【詳解】解：（1）點在直線上，，，把、、三點坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，解得，拋物線解析式為；（2）設(shè)，則，，則，，，，當(dāng)時，解得或，但當(dāng)時，與重合不合題意，舍去，；當(dāng)時，解得或，但當(dāng)時，與重合不合題意，舍去，；綜上可知點坐標(biāo)為或；（3）存在這樣的點，使得四邊形的面積最大．如圖，過點作軸于點，設(shè)，，則，，，四邊形的面積，當(dāng)時，四邊形的面積取得最大值，最大值為，此時點的坐標(biāo)為，．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及利用割補法列出四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式．24、（1）y=10x+100；（2）當(dāng)x為0，y=100，即這種干果沒有降價，以每千克60元的價格銷售時，銷售量是100千克；（3）商貿(mào)公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應(yīng)降價9元．【分析】（1）首先設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，然后根據(jù)函數(shù)圖象，將兩組對應(yīng)值代入解析式即可得解；（2）結(jié)合點和函數(shù)圖象即可得出其表示的實際意義；（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，求解即可【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=kx+b當(dāng)x=2，y=120；當(dāng)x=4，y=140；∴，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=10x+100；（2）函數(shù)圖象中點A表示的實際意義是當(dāng)x為0，y=100，即這種干果沒有降價，以每千克60元的價格銷售時，銷售量是100千克.（3）由題意得：（60﹣40﹣x）（10x+100）=2090，整理得：x2﹣10x+9=0，解得：x1=1．x2=9，∵讓顧客得到更大的實惠，∴