概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案參數(shù)估計

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)教案

第6章參數(shù)估計教學(xué)基本指標教學(xué)課題第6章第1節(jié)點估計課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點點估計、估計量與估計值的概念、估計量的無偏性、有效性和一致性的概念、、估計量的相合性、矩估計法(一階、二階距)和最大似然估計法。教學(xué)難點矩估計法(一階、二階距)和最大似然估計法。參考教材浙江大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第四版作業(yè)布置課后習題大綱要求.理解參數(shù)的點估計、估計量與估計值的概念；了解估計量的無偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，并會驗證估計量的無偏性；會利用大數(shù)定律證明估計量的相合性。.掌握矩估計法(一階、二階距)和最大似然估計法。教學(xué)基本內(nèi)容一.矩估計法.矩估計法的基本思想是替換原理，即用樣本矩去替換相應(yīng)的總體矩，這里的矩可以是原點矩也可以是中心距。我們知道，矩是由隨機變量的分布唯一確定的，而樣本來源于總體，由大數(shù)定律，樣本矩在一定程度上反映總體矩的特征。.矩估計法：用樣本矩來估計總體矩的估計方法稱為矩估計法.矩估計法的步驟：設(shè)總體X的分布中包含m個未知參數(shù)0j02,…，0m,X1X2，???,Xn為來自總體X的樣本，如果總體的k階原點矩E(Xk)存在，并設(shè)E(Xk)=日J%02,...,0m),相應(yīng)的k階樣本原點矩為A=1Zxj以A替代E(Xk)，即可得到關(guān)于0,0，…，0的方程組kn i k 1 2 mi=1日(0,0,...,0)=^-^ilCk,k=1,2,...,mk1 2 m n ii=1方程組的解?k(X1,X2,???,X),k=1,2,...,m，稱為參數(shù)0k(k=1,2,…,m)的矩估計量.4.若代入一組樣本觀測值x,x,???,x，則0\(x,x,???,x)稱為參數(shù)0(k=1,2,...,m)的矩估計值.1 2 n k1 2 n k40

二.最大似然估計法1.最大似然估計的步驟：若總體X的分布中含有k個未知待估參數(shù)0/02,…，0k則似然函數(shù)為L(0,0，…,0)=?f(x;0,0，…0).TOC\o"1-5"\h\z1 2k i1 2ki=1\o"CurrentDocument"解似然方程組生=0,i=1,2,...,k，或者對數(shù)似然方程組3nL=0,i=1,2,...,k，即可得到參數(shù)的最大似然60 次i i八八 八估計0,0，…,0。2k.定理：若0為參數(shù)0的最大似然估計，g(0)為參數(shù)0的函數(shù)，則g(0)是g(0)的最大似然估計..點估計的評價標準八 八 八 八.無偏性：設(shè)0=0(X,X,???,X)是未知參數(shù)0的估計量，若E(0)=0，則稱0為0的無偏估計。1 2 n.有效性：設(shè)0,0均為參數(shù)0的無偏估計量，若D(0)<D(0),則稱0比0有效。<J=1，即c1 2 <J=1，即c.相合性(一致性)：設(shè)0為未知參數(shù)0的估計量，若對任意的e>0，都有l(wèi)imPp-0ns八依概率收斂于參數(shù)0，則稱0為0的相合(一致)估計。.定理：設(shè)0為0的估計量，若limE(0)=0,limD?)=0，則0為0的相合(一致)估計.n—s ns.例題講解例1.設(shè)X為某零配件供應(yīng)商每周的發(fā)貨批次，其分布律為X0| 12 3P0220(1-0)021-20-其中0是未知參數(shù)，假設(shè)收集了該供應(yīng)商8周的發(fā)貨批次如下：3,1,3,0,3,1,2,3,求0的矩估計值.-^―,x>1,例2.設(shè)某種鈦金屬制品的技術(shù)指標為X其概率密度為f(x)=(xP+1 其中未知參數(shù)P>1,[0,X-上X1,X2,??.,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，求P的矩估計量.1例3.已知某種金屬板的厚度X在(a,b上服從均勻分布，其中a,b未知，設(shè)抽查了口片金屬板，厚度分別為X1,X2,???,Xn,試用矩估計法估計a,b.例4.設(shè)袋中放有很多的白球和黑球，已知兩種球的比例為1:9,但不知道哪種顏色的球多，現(xiàn)從中有放回地抽取三次，每次一球，發(fā)現(xiàn)前兩次為黑球，第三次為白球，試判斷哪種顏色的球多。例5.求出例2中未知參數(shù)P的最大似然估計量.41例6.設(shè)某種元件使用壽命X例6.設(shè)某種元件使用壽命X的概率密度為f(x)=J2e-2(x-0),0,x>0甘、，其中0>0是未知參數(shù)，設(shè)其它是樣本觀測值，求e的最大似然估計.例7.設(shè)某工廠生產(chǎn)的手機屏幕分為不同的等級，其中一級品率為p,如果從生產(chǎn)線上抽取了20件產(chǎn)品,發(fā)現(xiàn)其中有3件為一級品，求：(1)P的最大似然估計；(2)接著再抽5件產(chǎn)品都不是一級品的概率的最大似然估計.例8.設(shè)樣本X」X例7.設(shè)某工廠生產(chǎn)的手機屏幕分為不同的等級，其中一級品率為p,如果從生產(chǎn)線上抽取了20件產(chǎn)品,發(fā)現(xiàn)其中有3件為一級品，求：(1)P的最大似然估計；(2)接著再抽5件產(chǎn)品都不是一級品的概率的最大似然估計.例8.設(shè)樣本X」X2，???,Xn來自正態(tài)總體X?N(由。2),其中由。2未知，求日和。2的最大似然估計。例9.設(shè)總體X的k階矩目=E(Xk)存在，證明：不論X服從什么分布，樣本的k階矩A」Exk是

nii=1.的無偏估計。好？例10.已知B=1￡(X-X)2ni

i=1￡(x-x)2都是總體方差。2的估計量，問哪個估計量更ii=1例11.設(shè)總體X的概率密度為f(x)=<30200<x<20，其中0是未知參數(shù)，X,X,...,X為來自其它總體X的簡單樣本，選擇適當常數(shù)c,使得c￡X2是02的無偏估計.ii=1例12.設(shè)某種產(chǎn)品的壽命X服從指數(shù)分布，其概率密度為f(x)=〈x>0,其中e為未知參數(shù)，X「X2,X3X4是來自總體的樣本，設(shè)有e的估計量1 2 3 4 八i……i……0=(X+X)+-(X+X),TOC\o"1-5"\h\z1 6 1 2 3 3 4八 1/ 八 c ，、0=(X+2X+3X+4X),2 5 1 2 3 4人1/ 、0=(X+X+X+X)3 4 1 2 3 4問哪一個最優(yōu)?(X)的相合估計量。例13.設(shè)X是總體X的樣本均值，則當X作為總體期望E(X)的估計量時，X(X)的相合估計量。2-—例14.設(shè)總體X?U(0,20),其中0>0是未知參數(shù)，X….,X是X的樣本，試證明0=-X是0的1n 3相合估計量.42

授課序號02教學(xué)基本指標教學(xué)課題第6章第2節(jié)區(qū)間估計課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點置信區(qū)間、區(qū)間估計、單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)難點置信區(qū)間、區(qū)間估計、單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間、兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。參考教材浙江大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第四版作業(yè)布置課后習題大綱要求.掌握建立未知參數(shù)的(雙側(cè)和單側(cè))置信區(qū)間的一般方法；.了解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。教學(xué)基本內(nèi)容一.區(qū)間估計的概念八 八.置信區(qū)間：設(shè)0為總體的未知參數(shù)，若對于給定的a(0<a<1),存在統(tǒng)計量。-0(X,X,???,X)和1112 n八 八 八 八 八八0-0(X,X,?..,X)，使得P[0<0<0]-1-a，則稱隨機區(qū)間[0,0]為參數(shù)0的置信度(或置信水平)2 2 12 n 1 2 1 2八 八為1-a的置信區(qū)間，0和0分別稱為置信下限和置信上限。1 2.樞軸量：稱滿足下述三條性質(zhì)的量Q為樞軸量.(1)是待估參數(shù)日和估計量X的函數(shù)；(2)不含其他未知參數(shù)；(3)其分布已知且與未知參數(shù)目無關(guān)。.求置信區(qū)間的一般步驟：(1)根據(jù)待估參數(shù)構(gòu)造樞軸量Q,一般可由未知參數(shù)的良好估計量改造得到；(2)對于給定的置信度1-a,利用樞軸量Q的分位點確定常數(shù)。，b使P{a<Q<b]-1-a；八 八 八 八(3)將不等式恒等變形為P{0<0<0]-1-a，即可得到參數(shù)0的置信度為1-a的置信區(qū)間[0,0].1 2 1 2二,正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1.單個正態(tài)總體的情形：設(shè)總體X?N(日22),XJX2，???,Xn是取自總體X的樣本43

(1)o2已知，均值N的置信區(qū)間：N的置信度為1-a的置信區(qū)間為X- . _ S⑵o2未知，均值N的置信區(qū)間：N的置信度為1-a的置信區(qū)間為X-1(n-1)鼻(3)N已知，方差(3)N已知，方差o2的置信區(qū)間：o2的置信度為1-a的置信區(qū)間為￡(X-N)2

inM X2(n)a2￡(X-N)2

i,"i=1X2(n)1-a2(4)N未知，方差o(4)N未知，方差o2的置信區(qū)間：o2的置信度為1-a的置信區(qū)間為(n-1)S2(n-1)S2X2(n-1)X2(n-1)2.兩個正態(tài)總體的情形:設(shè)總體X?2.兩個正態(tài)總體的情形:設(shè)總體X?N(N,o2)，總體Y?N(N,o2)X與Y獨立，樣本X,X，…,X來自總體X，樣本n1Y1，Y2,…,Yn來自丫.o12，均值差N1-N2的置信區(qū)間:N1o12，均值差N1-N2的置信區(qū)間:N1-N2的置信度為1-a的置信區(qū)間為o2(X-Y)-u_a2o2o2 --f+t, (X-Y)+u_nn go2o2—++——2

nn1 2o2未知，但o2=o2，均值差N-N的置信區(qū)間：N-N的置信度為1-a的置信區(qū)間為-- / .1 1—77 . …X—Y—t(n+n—2)S?—+—,X—Y+1(n+n—2)SN2未知,o2方差比一的置信區(qū)間:o22o2一的置信度為1-a的置信區(qū)間為o22S2口TFS2「1-2F(n-1,n-1).以上關(guān)于正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計的討論可以列表1和表2如下:表1單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計表44

待估參數(shù)條件樞軸量置信區(qū)間N。2已知X^?N(0,1)Gpn[X-u_-^L,X+u_-^='。2未知X-?t(n-1)S7nS S- S[X-1_(n-1)-j=,X+1_(n-1)-^]2 Vn 乎 4nO2日已知工(X-從)2i^1 X2(n)O2￡(Xf)2 2(Xi)2i i-i=1 ,4 X2(n) X2.(n)- 1-2 2日未知(n-1)S2 /八-——-——X2(n-1)O2(n-1)S2 (n-1)S2X3(n-1)，X2(n-1)L_ 1-_ _2 2表6.2兩個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計表待估參數(shù)條件樞軸量置信區(qū)間日一日O2,O21 2已知X-Y-(從-口)八〃八1、 f 1 2?N(0,1)O2O21—H+—2-nnn1 1 2_(X-Y)-u效O2O2 — — O2O2，+—,(X-Y)+u_f+fnn 彳丫nn1 2 21 1 2」O2,O21 2未知，但O2=O21 2X-y-(L)?t(n+n-2[X-Y-1(n+n-2)S_ 1 2 w\2 'X-Y+1(n+n-2)S12 YSw\S2=wi1 1 1 2【一十―nn其中(n-1)S2+(n-1)S2—1 1 2 2-n+n-2(1+Lnn引]nnO2—1-O221V日2已知1￡(Xi—叩2 i=1 n o21「——1 F(n,n)￡(yi)2 12j 2 戶 n o22-￡(X-N)2n i11i-1 工工(Y-N)2n j2L2j-1-￡(X-N)2n i1F.(n,n),1j F_(n,n)1-_ 2 1 1y/Tz 、 _ 2 12 —乙(Y-N)22n j22j-1 」中巴未知S2/102S2J?F(n1-1,n2-1),/O2 2S2 “[hF (n-1S21--22 2,S2 “ “,n-1),fF(n-1,n-1)]1 S2_ 2 12 245

三.單側(cè)置信區(qū)間TOC\o"1-5"\h\z八 八.單側(cè)置信區(qū)間：設(shè)0為總體的未知參數(shù)，對于給定的a(0<a<1),若存在統(tǒng)計量0=0(X,X,???,X),LL1 2 n八 八 八使得P{0V0<+8}=1-a，則稱隨機區(qū)間［0,+8)為參數(shù)0的置信度為1-a的單側(cè)置信區(qū)間，0稱為單側(cè)

L L L八 八 八 八置信下限；若存在統(tǒng)計量0=0(X,X,??.,X)，使得P{—8<0V0}=1—a，則稱隨機區(qū)間(—8,0］為參UU1 2 n U U八數(shù)0的置信度為1-a的單側(cè)置信區(qū)間，0稱為單側(cè)置信上限。U2.單側(cè)置信區(qū)間的求法：單側(cè)置信區(qū)間的求法與雙側(cè)置信區(qū)間相同，例如，設(shè)A，…，Xn來自正態(tài)總體X?N3,。2),其中。2已知，目未知，利用樞軸量U=X―^?N(0,1)，如下圖，構(gòu)造P{u<u}=1—a,onn a1—a1—a，恒等變形P〈N2X—=1-a,則可得目的置信度為1-a的單側(cè)置信下°限為口=X-u,—=.Laqn四.例題講解例1.設(shè)X］，…，Xn為來自正態(tài)總體X?N(日，°2),其中。2已知，日未知，試求出口的置信度為1-a的置信區(qū)間。1n例2.某工廠生產(chǎn)一種特殊的發(fā)動機套筒，假設(shè)套筒直徑X(mm)服從正態(tài)分布N(目,0.12)，現(xiàn)從某天的產(chǎn)品中隨機抽取40件，測得直