《數(shù)學分析》課程教學大綱

wordwordwordword《數(shù)學分析》課程教學大綱一、課程名稱：《數(shù)學分析》二、課程編號：Z03002B Z03003B Z03004B三、學時：320四、學分：20六、修讀說明：必修七、課程說明：講授八、課程設置目的與要求通過本課程的教學，使學生初步掌握基本的系統(tǒng)的分析知識和抽象、嚴格的數(shù)學方法，以加深對中學數(shù)學的理解，并為進一步學習其它課程打下基礎。九、學習教材與主要參考書教材：（第三版2001參考資料：1、數(shù)學分析學習指導書，吳良森等，高等教育出版社（2004）2、數(shù)學分析，陳傳章等，高等教育出版社（1983）3、數(shù)學分析，歐陽光中等，復旦大學出版社（1991）4（1993）十、教學進度及學時分配課程內容第一章實數(shù)集與函數(shù)實數(shù)

教學要求

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學時安排 備注數(shù)集、確界原理函數(shù)概念第二章數(shù)列極限數(shù)列極限概念收斂數(shù)列的性質第三章函數(shù)極限

B 8學時B * 12學時A * △ 16學時課程內容函數(shù)極限概念函數(shù)極限的性質函數(shù)極限存在的條件兩個重要的極限第四章函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性概念

教學要求

重點(☆)

難點

學時安排 備注連續(xù)函數(shù)的性質第五章導數(shù)和微分導數(shù)的概念求導法則參變量函數(shù)的導數(shù)高階導數(shù)微分第六章微分中值定理及其應用拉格朗日定理和函數(shù)的單調性柯西中值定理和不定式極限泰勒公式函數(shù)的凸性與拐點函數(shù)圖象的討論關于實數(shù)集完備性的基本定理閉區(qū)間上連續(xù)性質的證明第八章不定積分不定積分概念與基本積分公式換元積分法與分部積分法第九章定積分定積分概念牛頓——萊布尼茨公式可積條件定積分的性質微積分學基本定理.定積分計算（續(xù)第十章定積分的應用

A * 12學時* 18學時△ 16學時4學時A * 16學時A * 16學時平面圖形的面積由平行截面面積求體積3.平面曲線的弧長與曲率A* △144.旋轉曲面的面積5.定積分在物理中的某些應用6.定積分的近似計算第十一章反常積分B12課程內容反常積分概念瑕積分的性質與收斂判別

教學要求

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學時安排 備注第十二章數(shù)項級數(shù)級數(shù)的收斂性正項級數(shù)一般項級數(shù)第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性第十四章冪級數(shù)冪級數(shù)第十五章傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)2l為周期的函數(shù)的展開式收斂定理的證明第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)平面點集與多元函數(shù)二元函數(shù)的極限第十七多元函數(shù)微分學可微性復合函數(shù)微分法方向導數(shù)與梯度泰勒公式與極值問題隱函數(shù)隱函數(shù)組幾何應用條件極值第十九章含參量積分含參量正常積分含參量反常積分歐拉積分第一型曲線積分第二型曲線積分第二十一章重積分二重積分概念直角坐標系下二重積分的計算格林公式.曲線積分與路線的無關性

B △ 18B △ 12B * △ 10C 14A * 16A * △ 20B △ 18B 16B 12A * △ 18課程內容二重積分的變量變換三重積分重積分的應用n重積分第一型曲面積分

教學要求

重點(☆)

難點

學時安排 備注第二型曲面積分高斯公式與斯托克斯公式場論初步

B 10（教學要求：A—熟練掌握；B—掌握；C—了解）十一、課程教學內容綱要及重難點第一章實數(shù)集與函數(shù)一、主要內容：實數(shù)；數(shù)集與確界原理；函數(shù)概念；具有某些特性的函數(shù)。二、基本要求：掌握實數(shù)的基本性質和確界原理，建立實數(shù)集確界概念；深刻理解函數(shù)的概念，熟悉與函數(shù)性態(tài)有關的一些常見術語。三、重點、難點：本章的重點要深刻理解實數(shù)的確界、函數(shù)、反函數(shù)和復合函數(shù)等四個基本概念。第二章數(shù)列極限一、主要內容數(shù)列，數(shù)列極限定義；收斂數(shù)列的性質：唯一性，保號性，夾帶性，有界性，四則運算的性質；收斂數(shù)列存在的條件。二、基本要求：深刻理解數(shù)列極限的概念，對于ε－N問題；唯一性、單調性、保號性及不等式性質；收斂數(shù)列的極限。三、重點、難點：本章的重點是數(shù)列極限的概念，難點是數(shù)列極限的ε－N定義及其應用。在講解定義時要注意學wordwordwordword生從有限到無限的認識過程。第三章函數(shù)極限一、主要內容：函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的性質；函數(shù)極限存在的條件；兩個重要的極限；無窮小量與無窮大量。二、基本要求：(概念，深刻理解函數(shù)極限的ε－δ，ε－M些命題；掌握函數(shù)的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性質等；掌握Heine定理與Cauchy準則，領會其實質以及啄木鳥感的基本思路；掌握兩個重要極限并牢記結論，了解證明的基本思路和方法并能靈活地加以運用；作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無窮?。ù螅O限。三、重點、難點：本章的重點是函數(shù)極限的概念、性質及其計算，難點是cauchy準則和Heine定理的運用。第四章函數(shù)的連續(xù)性一、主要內容：連續(xù)性概念；連續(xù)函數(shù)的性質；初等函數(shù)的連續(xù)性。二、基本要求：深刻理解函數(shù)在一點連續(xù)（含單側連續(xù)）敘述；和反函數(shù)的連續(xù)性；用。三、重點、難點：本章的重點是連續(xù)性的概念和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質，難點是一致連續(xù)性概念。第五章 導數(shù)與微分一、主要內容：導數(shù)及其幾何、物理意義；導數(shù)的基本運算：四則運算，復合函數(shù)求導法，反函數(shù)求導法，隱函數(shù)求導法；常見函數(shù)的導函數(shù)；可導性與連續(xù)性的關系；可導性的局部性；不可導函數(shù)的例子；微分的概念及其應用；高階導數(shù)與高階微分。二、基本要求：了解導數(shù)產(chǎn)生的客觀基礎，并由此掌握用導數(shù)解決具體問題的思想方法；掌握求導的基本方法，熟記基本公式，熟練地解決一般的求導問題；了解連續(xù)性、可導性、可微性之間的關系；理解微分的意義。三、重點、難點：本章的重點是復合函數(shù)求導法則。第六章 微分中值基本定理及應用一、主要內容：1．Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理；2．Taylor公式及其應用，近似值的計算；函數(shù)的單調性，凸性及極值；不等式、極值點的判定；最大值與最小值；函數(shù)略圖的作法；不定式極限；二、基本要求：深刻理解并掌握中值定理的幾何意義。掌握常用的一些Taylor公式；掌握Taylor公式中的拉格朗日余項和皮亞諾余項。能靈活運用洛必達法則處理不定式極限。掌握利用導數(shù)性質討論函數(shù)性質的方法，會畫函數(shù)草圖。題等。三、重點、難點：本章的重點是微分中值定理的理解、函數(shù)圖象的討論；難點是微分中值定理的運用。第七章 實數(shù)的完備性一、主要內容：關于實數(shù)集完備性性的基本定理；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的證明；上極限和下極限。二、基本要求：Cauchy收斂原理等幾個等價命題，并且會用確界定理證明一些問題；”的抽子列法證明，并能證明其它的一些定理；會用單調有界定理與數(shù)列極限的Cauchy收斂原理來證明一些極限存在與不存在；掌握運用基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質，理解其證明的思想方法；了解數(shù)列的上極限和下極限的概念及其與數(shù)列極限的關系。三、重點、難點：本章的重點，也是難點是實數(shù)完備性的幾個等價命題。第八章 不定積分一、主要內容：原函數(shù)與不定積分的概念；基本積分公式；換元積分法，分部積分法；有理函數(shù)積分法；某些可化為有理函數(shù)的積分。二、基本要求：1熟練掌握并能靈活應用基本積分公式；熟練掌握湊微分法；掌握抑元積分法，特別能較熟練地使用三角代換、根式代換；之類的積分；

， ， ，掌握用分部積分法化不定積分成代數(shù)方程，從而求解不定積分的方法；掌握部分分式法解有理函數(shù)的不定積分的方法；能靈活地處理三角函數(shù)的不定積分。三、重點、難點：本章的重點是不定積分分。

， ， ， 的不定積第九章 定積分一、主要內容：定積分的概念；可積條件與可積函數(shù)類；定積分的性質；定積分的計算：牛頓－萊布尼茲公式；換元積分法；分部積分法；微積分學基本定理。二、基本要求：理解定積分的定義及其幾何意義和物理意義；了解達布上、下和的性質；掌握可積的充要條件，并能用以證明三類函數(shù)的可積性；掌握定積分的性質，并能進行簡單的推理論證和計算；掌握積分上限函數(shù)的性質，并能在解題中應用這個性質；掌握牛頓－萊布尼茲公式，能熟練地進行積分計算；能綜合運用換元法、分部積分法和定積分的性質進行定積分的計算。三、重點、難點：本章的重點是定積分的定義、性質、微積分學基本定理，難點是可積的條件判別。第十章 定積分的應用一、主要內容：平面圖形的面積；平面曲線的弧長；已知截面面積的立體體積；旋轉體體積和側面積；物理量的計算：功、重心、轉動慣量；二、基本要求：掌握用定積分計算面積、弧長，能算出截面面積的立體體積、旋轉體體積和側面積；掌握某些物理量：質量、功的計算；””來建立某些幾何量和物理量的計算公式。三、重點、難點：重點介紹“微元法”的基本思想，以加深積分定義的理解。第十一章 反常積分一、主要內容：反常積分的概念；無窮積分的性質與收斂判別瑕積分的性質與收斂判別二、基本要求：正確理解兩種類型廣義積分的定義、性質；會用定義與性質計算兩種廣義積分值；CauchyAbelDirichlet別法來判別積分收斂；Cauchy判別法、Cauchy收斂原理判別判別廣義積分的發(fā)散；三、重點、難點：本章重點是兩種廣義積分的收斂性概念。第十二章數(shù)項級數(shù)`一、主要內容：;Cauchy收斂原理、收斂必要條件；4．任意項級數(shù)的Leibniz判別法，AbelDirichlet判別法；5．絕對收斂級數(shù)的可交換性，級數(shù)乘積－Cauchy定理。二、基本要求：理解數(shù)項級數(shù)和數(shù)列極限的關系，會“ -N”語言表述級數(shù)收斂或發(fā)散。CauchyCauchy件。項的位置（能舉反例說明。4．正確掌握Leibniz判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法，判斷級數(shù)的條件收斂。5性質，會對含有一個參數(shù)的級數(shù)確定其絕對收斂域和條件收斂域。三、重點、難點：本章的重點是級數(shù)收斂性概念，直觀對照數(shù)列級數(shù)的不同敘述方式。第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一、主要內容：收斂原理；極限函數(shù)與和函數(shù)的三大性質：連續(xù)性、可微性、可積性；3．Weierstrass判別法，Abel判別法，DirichletDini二、基本要求：能用數(shù)項級數(shù)收斂判別法討論函數(shù)項級數(shù)的收斂性，研究函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列收斂域；透徹理解一致收斂概念，能從定義出發(fā)證明函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)的一致收斂和非一致收斂；掌握Cauchy收斂原理，并能應用于判別一致收斂與非一致收斂；掌握各種判別法，研究函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性；函數(shù)的分析性質研究函數(shù)級或函數(shù)列的一致收斂性定理。三、重點、難點：本章的重點是函數(shù)項級數(shù)是數(shù)項級數(shù)的推廣，講課中應復習鞏固有關數(shù)項級數(shù)的基本知識。第十四章冪級數(shù)一、主要內容：冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間、內閉一致收斂；Abel定理（冪級數(shù)3．函數(shù)的冪級數(shù)展開。二、基本要求：熟練掌握冪級數(shù)的收斂半徑或方法，確定收斂區(qū)間端點的斂散性；掌握冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的內閉一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質；出某些冪級數(shù)的和函數(shù)的初等形式。三、重點、難點：本章的重點是冪級數(shù)的結構，冪級數(shù)的一致收斂性，函數(shù)的冪級展開式。第十五章 Fourier級數(shù)一、基本內容：12．Fourier級數(shù)；黎曼－勒貝格引理及其應用；收斂定理；函數(shù)在一般區(qū)間上的Fourier級數(shù)展開。二、基本要求：12．會計算可積函數(shù)的Fourier系數(shù)；掌握收斂定理的條件與結論，會用收斂定理將以2 為周期的函數(shù)展成Fourier級數(shù)；掌握奇、偶函數(shù)的Fourier數(shù)或余弦級數(shù)；能利用Fourier展開求一些簡單級數(shù)的和；了解黎曼－勒貝格引理的內容及它的一些簡單應用。三、重點、難點：本章的重點是將一個函數(shù)展開成Fourier級數(shù)，難點是Fourier級數(shù)的收斂性判別；第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)一、主要內容：平面點集；點列的極限，二元函數(shù)的二重極限與二次極限；二、基本要求：1．掌握平面點集、鄰域、中心鄰域的表示法；出其邊界；系，掌握有關的不太復雜的命題的證明的思想方法；掌握平面點列收斂的ε-N定義及柯西收斂原理；及連續(xù)范圍；深刻理解二元函數(shù)極限ε-N限與平面點列極限之間關系的歸結原則，會通過取特殊路徑證明極限不存在；?分析二次極限與累次極限的關系；解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質。三、重點、難點：本章的重點是一元與多元概念的根本差異，理解二元函數(shù)極限ε-N定義。難點是二元函數(shù)連續(xù)性及一致連續(xù)性的定義。第十七章多元函數(shù)微分學一、主要內容：偏導數(shù)、全微分及其幾何意義；復合函數(shù)求偏導數(shù)的法則；二階及高階偏導數(shù)與全微分；隱函數(shù)的存在性與可導性；方向導數(shù)和梯度；二元函數(shù)的極值，最小二乘法。二、基本要求：使學生對偏導數(shù)及全微分有基本的認識，掌握求簡單函數(shù)偏導數(shù)的基本技巧；數(shù)與求導順序無關的條件；4．理解并會應用Lagrange乘數(shù)法；5．理解并會使用最小二乘法。三、重點、難點：本章的重點是復合函數(shù)求偏導數(shù)的鏈式法。第十八章隱函數(shù)及其存在定理一、主要內容：隱函數(shù)概念；隱函數(shù)組；幾何應用；條件極值。二、基本要求：理解隱函數(shù)定理的有關概念，及隱函數(shù)存在的條件，進而會求隱函數(shù)的導數(shù)；了解隱函數(shù)組的有關概念，理解二元隱函數(shù)組存在的條件，了解反函數(shù)組存在的條件；掌握隱函數(shù)的微分法在幾何方面的應用，會把實際問題抽象為條件極值并予以解決。三、重點、難點：本章重點是含有隱函數(shù)的的復合函數(shù)的求導、條件極值。難點是隱函數(shù)組的理解和含有隱函數(shù)的的復合函數(shù)的求導的運算。第十九章含參變量積分一、主要內容：參變量常見積分概念；含參變量常見積分的分析性質：連續(xù)性、可微性、可積性；含參變量反常積分概念，一致收斂性；一致收斂判別法；含參變量廣義積分的分析性質：連續(xù)性、可微性和可積性；EulerГ函數(shù)和В函數(shù)。二、基本要求：能應用這些條件討論一些含參量常見積分的有關性質；深刻理解含參量廣義積分及一致收斂概念，會從定義或Cauchy致收斂性或非一致收斂性；熟練掌握和利用DirichletAbel性；掌握含參量廣義積分的分析性質：連續(xù)性、可微性、可積性；掌握Euler孫數(shù)的定義、性質、遞推公式及它們之間的關系，并用于計算積分。三、重點、難點：本章的重點是含參量常義積分概念的理解，含參量廣義積分及一致收斂概念，利用M－判別法、Dirichlet判別法、Abel判別法，判別一些常見積分的一致收斂性。第二十章曲線積分一、主要內容：幾何體上的積分定義及