二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型

關(guān)于二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型1第一頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page2一、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．說(shuō)明第二頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page3第三頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page4用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟第四頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page5解1．寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例1第五頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page6從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組第六頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page74．將正交向量組單位化，得正交矩陣第七頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page8于是所求正交變換為第八頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page9二、拉格朗日配方法的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是保持幾何形狀不變．

問(wèn)題有沒(méi)有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？問(wèn)題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法．第九頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page10

1.若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過(guò)非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;拉格朗日配方法的步驟

2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是則先作可逆線性變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方法配方.第十頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page11解例2含有平方項(xiàng)去掉配方后多出來(lái)的項(xiàng)第十一頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page12第十二頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page13所用變換矩陣為第十三頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page14解例3由于所給二次型中無(wú)平方項(xiàng)，所以第十四頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page15再配方，得第十五頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日Page16所用變換矩陣