【華南師范大學(xué)】復(fù)變函數(shù)期中試卷含答案

南海校區(qū)計(jì)算機(jī)工程系2009/2010學(xué)年（一）學(xué)期期中考試試卷《復(fù)變函數(shù)》試卷專業(yè)電子信息工程年級(jí)2008班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào)題號(hào)題號(hào)得分一二三四五六七八九十總分一、填空題（3151、i)2000i)2000＝210012、i＝1ln2i(2

2k。3、

zdz ＝i。|z|1(2z1)(z2) 5i1tgz 1 14、

dz（沿1到i的直線段）＝tgi tg2itg1 tg21。1cos2z 2 25、z2

zdz＝0。z二、選擇題（315：1、設(shè)x,y為實(shí)數(shù),z1

x

yi,z11211

x

yi且有|z11111

||z2

|12,則動(dòng)點(diǎn)(x,y)的軌跡是(B ).(A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)拋物線2、下列函數(shù)中為解析函數(shù)的是(C)(A)x2y22xyi(C)2(xyi(y2x22x)(B)(D)x2x3xyiiy33、設(shè)函數(shù)f(z)uiv在區(qū)域D內(nèi)解析,下列等式中錯(cuò)誤的是(B ).u v v vf'(z)

xix

f'(z)

yixu v u uf'(z)

yiy

f'(z)

xiy4、設(shè)v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù),則下列函數(shù)中為D內(nèi)解析函數(shù)的是( C).v(x,y)iu(x,y) (B)v(x,y)iu(x,y)(C)u(x,y)iv(x,y)

uivx x5、設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則下命題中，正確的是（C ）若|f(z|Df(z)D內(nèi)是一常數(shù).若Re(f(z))Df(z)D內(nèi)是一常數(shù).f(z)f(z)Df(z)D內(nèi)是一常數(shù).(D）若argf(zDf(z)D內(nèi)是一常數(shù).三、計(jì)算題（15分）（1）

ezsinz

dz． （2）

1 dz，c:z1．2z210z12 (z

1)(z

4zc 解：原式1 2z

ezsinz(z2)(z3)

dz (z21)(z310的根都在圓周因?yàn)閦2,z3都不在圓|z1的內(nèi)部， |z1上，因此 1 在圓(z21)(z31)ezsinz 在圓|z1的內(nèi)部解析， z(z2)(z3)

1的內(nèi)部解析，由柯西—古4由柯西—古薩基本定理，原式=0 薩基本定理，原式=0（3）I=C

zzdz的值，其中C為正向圓周|z|=2.|z|解：I

zdzC2

zdzC2

zzdzC2z

zdzC2

|zC2z

dz

zdzC2

2dzCz

zdzC2因?yàn)樵趫A|z|=2的內(nèi)部解析，由柯西—古薩基本定理， 因?yàn)樵趫A|z|=2的內(nèi)部解析，由柯西—古薩基本定理，

zdz02z0在圓|z|=2Ii

C22dz2iiCz（9）計(jì)算積分I

dz 的值,其中C:|z|rrCz3(z1)(z2)解：當(dāng)|zr1IC

dz z3(z1)(z2)

1(z1)(z2)dzz31 在圓|zr1內(nèi)部解析，且z0在圓|zr1內(nèi)部，由高階導(dǎo)數(shù)公(z1)(z2)i 1式 [

]''|

i1( 1 1 )''|

i 1 [

1 ]|2 (z1)(z

z

3 z2 z1

z

3 (z

(z1)3 z0i 1 i [ 1 。3 8 41 1當(dāng)1r2I

dz (z2)(z)dz+

z3(z2)dz，其中C,CCz3(z1)(z2) C z31

C z1 1 22分別為以z0,z1為圓心，互不相交的圓周，由柯西積分公式和以上所述，1(z2)(z1)dz3iC z3 411 z3(z2)dzi 1

| i 1

2iC z1 z3(z2

z1

(1)(3) 3I3i2i1i。4 3 121 1 1當(dāng)r2C

dz z3(z1)(z2)

(z2)(z1)dz+z3

z3(z2)dzz1

z3(z1)dzz21 2 3其中C,C,C1 2

z0,z1,z2為圓心，互不相交的圓周，由柯西積分公式和以上所述1 1(z2)(z)dz3i，

z3(z2)dz

2i，C z31

4 C z1 321 z3(z)dzi 1

| i

1i，C z2 z3(z3

z2

83 12I3i2i1i0。4 3 12（9）已知調(diào)和函數(shù)u2(xy,f(2)if(z)uiv。解：由函數(shù)解析的充要條件，u v u uf'(z)

xixxiy

2yi2(x1)2i(xiy1)2i(z1)f(z)2i

(z2

ci(zcf(2)if(2)ici，c0(z1)2f(z)2i ci(z2另解：由函數(shù)解析的充要條件，u,v滿足C-R方程，v u v uyx

2y,vy2g(x),

xg'(x)y

2(x1),g(x)(xc，所以vy2(x1)2cf(z)uiv2(x1)yy2(x1)2c]f(2)i[(21)2c]i[1c]i,c0，f(z)uiv2(x1)yy2(x1)2]（9分）f(z)斂半徑。

zz22z3

在點(diǎn)z0

0處的泰勒展開(kāi)式，并指出它的收解：f(z)

z z( 1

1 )z[ 1

1 1 ]11(z)

(z3)(z1) 4 z3 z1 41(z) 31z31zz2z3(z)n |z131 z z z z31z3

13(3)2+(3)n |1, |z3z 1 z z zf(z4zz2z3(z)n3[133)23)n]}zzz

(z)n1

( )n}

1[

(z)n1

z( )n1]，|z14n0

3n0

3 4 3n0 n0f(z)

1[4

(z)n1

z)n1]的收斂半徑R=1。((n0 n0（9）f(z)

71d，其中Cz:|zf'(1i).C z解：由柯西積分公式和柯西古薩基本定理，3271當(dāng)|z|3時(shí)，f(z)

C z

di(3271)|z

i(3z27z1)當(dāng)|z|33271在Cz:|z|f(z)0z所以，當(dāng)|z3f'(z)i(6z7)，當(dāng)|z|3f'(z)0。f'(1i)i(66i7)12i26證明：

2 |

|2|z|2)。zz1zz00八（9zz1zz00|1z0

z|2zz1zz0解： 2 |1zz|2|zz|2 zz)(1zz)(zzzz1zz01 0

0|1z0

0 z|2

0|1z0

0 0z|2z

z)(1z

z)(zz0

)(zz0

)1

zz0

zz0

zzz(zzz0

zzz0

zz)00|1z0

z|2 |1z0

z|2|zz|2|z|2|z|2 |z|2|z|2) 0 0 0 |1z0

z|2 |1z0

z|2九（10分）若函數(shù)f(z)在上半平面內(nèi)解析,試證函數(shù)f(z)在下半平面內(nèi)解析.解：函數(shù)f(z)u(x,iv(在上半平面內(nèi)解析，由函數(shù)解析的充要條件，u(x,y),v(x,y)在Imzy0滿足C-R方程，且u,v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u(x,y)v(x,y),v(x,y)u(x,y)。x y x yf(z)u(x,y)iv(x,y),f(z)u(x,y)