三維線性代數(shù)公式

向量1.1零向量:v(0,0,0)負(fù)向量:-v;向量的模:||v||=sqrt(x*x+y*y+z*z);向量乘標(biāo)量:scalar*vector=(vector.x*scalar,vector.y*scalar,vector.z*scalar);向量加法:v1+v2:v1v2終點(diǎn)的向量,算法:各分量相加.:v1-v2:v2v1的向量.算法:各分量相減.2:2點(diǎn)相減得到向量的模1.8點(diǎn)乘:v1.v2=||v1||*||v2||*cos(a)>0:v1,v2大約同方向.=0:v1,v2垂直.<0:v1,v2大約反方向.結(jié)果表示2向量的相似度.n.l(法線.光線)常用作光強(qiáng)系數(shù).算法:v1.v2=v1.x*v2.x+v1.y*v2.y+v1.z*v2.z;1.9:axb=||a||*||b||*sin(t).結(jié)果得到與v1,v2彼此垂直的向量.用于求表面的法線.*不滿足交換律和結(jié)合率.||axb||:是以ab為2邊的并行四邊形的面積.判斷叉乘向量的方向:左手坐標(biāo)系,axb:讓a的終點(diǎn)連b的起點(diǎn),左手4手指與ab方向一致,大拇指則是叉乘向量的方向.右手坐標(biāo)系用右手.向量標(biāo)準(zhǔn)化:v =v/||v||;normvn上的投影:vnvnn2nvnn模方.vv||v:v=v平行+v垂直.公式,abc為向量,stk為標(biāo)量.abbaabababcabcstastakbkakbkakaa0a2b2ab2abababbaaaaaab(ka)ba(kb)acabacaa0ab(a)(b)ab(ba)k(ab)(ka)ba(kb)a(bc)abaca(ab)0矩陣方陣:行列數(shù)相同的矩陣.對(duì)角矩陣:對(duì)角線元素不為0,別的元素都是0.單位矩陣1 0 0:I 0 1 03 0 0

1轉(zhuǎn)置矩陣:a b c a d gd e f 的轉(zhuǎn)置= b e h g h i c f i標(biāo)量乘矩陣:m m

m km

km 11

13 11

13kMkm21 m22 m23km21 km22 km23

m31

m m32

km km

km 33AxBAB,

rnncrc若A的列數(shù)不同于B的行數(shù),則矩陣無(wú)法相乘.a a

c

c c c 11 12

11 12 13 14 15a a b

b3

b c c c c c 21 2211 12

14 15 21

23 24 25a31

b b32 21

b b23 24 25

c31

c c33

c35 41 42

c c41 42

c c c43 44 45c ab ab24 2114 22

A第2行與B第4列的點(diǎn)乘.:a a b b

a

a

ab ab 11 12

12

11

12

11 12 12 22AB=

a b

ab a

ab a b 21 22性質(zhì):

21

21 11

22

21

22 22MS,不管從哪邊乘都將得到與原矩陣相同的矩陣.矩陣乘法不滿足交換律,即ABBA矩陣乘法滿足結(jié)合率,即矩陣標(biāo)量乘滿足結(jié)合率,即k(AB)A(kB)矩陣置等于先轉(zhuǎn)置再相反順序乘:ABTBTAT矩陣用途,可以描述線性變換.2d旋轉(zhuǎn))

p'q'

cossin

sincos3d

x

p' 1 0 0 xR)q' xr' 0 -n

sincosy

p'

0 -sinR)q' 0 1 0 y r' sin 0 cosz軸旋轉(zhuǎn) p' cosR)q' zr' 0

sincos0

0001繞任意軸旋轉(zhuǎn)

nnnn x

x y x x y y R,)nnco)nsi 2co)co nnco)nsix y x y y x x

nnco)nsi nnco)nsi 2co)cox z y y z z z縮放:x,y2d縮放矩陣.p' k 0S(k,k

)

x x y

0 kyx,y,z3d縮放矩陣.x0 k 0 0x0Sk,k,k 0 k x y z y0 0 kz2d縮放k

1(k1)n2

(k1)nn

x x yq'

(k1)nnx y

1(k1)n2y3d縮放p' 1(k1)n2

(k

(kn

x x

x zSn,k

q'(kn x

1(k1)n2y

(knz正交(平行)2d投影

r'

(k1)nnx z

(k1)nny

1(k1)n2zx2d矩陣 P 1 0 0 y2d矩陣 P 0 0 1 2d矩陣 P(n)S(n,0)1

nnx ynnx y

1n2y3d投影xy3d矩陣1 0 0 xyP 0 0 1 xy0 0 0xz3d矩陣1 0 0 xzP 1 0 0 xz0 0 1yz3d矩陣0 0 0 yzP 0 0 1 yz0 0 13d矩陣1n2

nn nn

y x zPn

n,0

nn x

1n2y

nnz鏡像

nnx z

nn

1n2z縮放因子為-1的縮放矩陣可以方便的實(shí)現(xiàn)鏡像.2d矩陣S(n,1)

12n2 n x x y2nnx y3d矩陣

12n2 y12n2 n n x x y x zP(n)S(n,1)2nn x y

12n2y

ny znx znz y

12n2z切變(扭曲)矩陣2d切變xy被切變,s控制著切變的方向和量.H(s)x

0s s yx坐標(biāo)被切變.Hy3d切變

1 s0 0 xy面,z被切變1 0 0 xyH (s,t)0 1 xys t 1xz面,y被切變1 0 0 xzH (s,t)s 1 t xz0 0 1yzx被切變1 s t yzH (s,t)0 1 yz0 0 1線性變換如果函數(shù)F保持基本運(yùn)算:加法和數(shù)量乘,就可以稱該函數(shù)是線性的.滿足下式:F(ab)F(a)F(b)F(ka)kF(a)仿射變換是線性變換接著平移.M的行列式.MdetM.2x2矩陣的行列式mM

m12 m

mmm m21

11

21 123x3矩陣的行列式m m m11 12 13m m m 21 22 23m m m31