復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)課件

復(fù)合材料性能預(yù)報(bào)與設(shè)計(jì)主講人：吳林志哈工大復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所12/13/2022復(fù)合材料性能預(yù)報(bào)與設(shè)計(jì)主講人：吳林志12/11/20221主要參考書復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)杜善義、王彪編著固體本構(gòu)關(guān)系黃克智、黃永剛編著MicromechanicsofdefectsinsolidsToshioMura主要參考書復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)主要內(nèi)容細(xì)觀力學(xué)的發(fā)展概況夾雜理論初步復(fù)合材料有效彈性模量主要內(nèi)容細(xì)觀力學(xué)的發(fā)展概況Eshelby(1957,1959,1961)的三篇文章Mura(1982,1987)的專著細(xì)觀力學(xué)的發(fā)展概況代表性工作自洽理論(Hill,1965;Budiansky,1965)廣義自洽理論(ChristensenandLo,1979)Mori-Tanaka方法(MoriandTanaka,1973)微分法(Mclaughlin,1977)二階上下限(HashinandShtrikman,1963)高階上下限(Torquato,1991)Eshelby(1957,1959,1961)的三篇文夾雜理論初步本征應(yīng)變的定義彈性問(wèn)題的基本方程彈性場(chǎng)的一般表達(dá)式Green函數(shù)彈性場(chǎng)的Eshelby解非均勻體問(wèn)題夾雜理論初步本征應(yīng)變的定義本征應(yīng)變1.本征應(yīng)變的定義本征應(yīng)變是一個(gè)廣義概念，是指所有非彈性應(yīng)變，例如熱膨脹應(yīng)變、相變應(yīng)變、初始應(yīng)變、塑性應(yīng)變、失配應(yīng)變等。本征應(yīng)力本征應(yīng)力是由本征應(yīng)變所引起的自平衡內(nèi)應(yīng)力，它不同于由作用于物體的外載荷所引起的應(yīng)力。本征應(yīng)變1.本征應(yīng)變的定義本征應(yīng)變是一個(gè)廣義概1.本征應(yīng)變的定義如圖1所示，當(dāng)材料內(nèi)部區(qū)域的溫度升高度時(shí)，外部區(qū)域的限制將導(dǎo)致區(qū)域D內(nèi)的熱應(yīng)力ij。熱膨脹將組成熱膨脹應(yīng)變(1-1)式中，ij是KroneckerDelta，而是線熱膨脹系數(shù)。當(dāng)區(qū)域不受外部約束，可以自由膨脹時(shí)，熱膨脹應(yīng)變就由方程(1)給出。圖1.1夾雜

1.本征應(yīng)變的定義如圖1所示，當(dāng)材料內(nèi)部區(qū)域1.本征應(yīng)變的定義當(dāng)本征應(yīng)變?cè)诰鶆虿牧螪的有限區(qū)域內(nèi)給定，而在區(qū)域D-

內(nèi)為零時(shí)，

被叫做夾雜。這里，夾雜與基體D-

的彈性模量相同。

當(dāng)夾雜的彈性模量與基體的彈性模量不同時(shí)，被叫做非均勻體(inhomogeneity)。此時(shí)，應(yīng)力場(chǎng)將由非均勻體擾動(dòng)。對(duì)于非均勻體問(wèn)題，擾動(dòng)的應(yīng)力場(chǎng)可由虛構(gòu)的本征應(yīng)變表示。1.本征應(yīng)變的定義當(dāng)本征應(yīng)變?cè)诰鶆虿牧螪的有限2.彈性問(wèn)題的基本方程當(dāng)自由彈性體D承受一個(gè)給定的本征應(yīng)變分布時(shí)，可通過(guò)基本方程給出任意點(diǎn)處的彈性場(chǎng)。這里所說(shuō)的自由彈性體是指不受任何外來(lái)的表面力和體積力。Hooke’slaw對(duì)于小變形問(wèn)題，總應(yīng)變場(chǎng)ij是彈性應(yīng)變場(chǎng)eij和本征應(yīng)變場(chǎng)ij之和(2-1)2.彈性問(wèn)題的基本方程當(dāng)自由彈性體D承受一個(gè)給2.彈性問(wèn)題的基本方程總應(yīng)變ij必須是相容的(2-2)彈性應(yīng)變與應(yīng)力通過(guò)Hooke’slaw聯(lián)系在一起(2-3)(2-4)或者2.彈性問(wèn)題的基本方程總應(yīng)變ij必須是相容的(2-2)彈2.彈性問(wèn)題的基本方程式中，Cijkl是四階彈性模量張量，有如下關(guān)系(2-5)在區(qū)域D-內(nèi)本征應(yīng)變?yōu)榱?，此時(shí)方程（2-4）可表示為(2-6)(2-7)方程（2-3）的逆可表示為式中，C-1ijkl是彈性柔度張量。2.彈性問(wèn)題的基本方程式中，Cijkl是四階彈性模量張量，2.彈性問(wèn)題的基本方程對(duì)于各向同性材料，方程(2.3)和(2.7)可以表示為(2-8)(2-9)式中，和是Lame常數(shù)，而是Poisson’sratio。平衡條件計(jì)算本征應(yīng)力時(shí)，需假定材料D不受外載（體力和表面力）作用。如果上述條件得不到滿足，那么應(yīng)力場(chǎng)可以通過(guò)自由體的本征應(yīng)力問(wèn)題與相應(yīng)的邊值問(wèn)題的疊加得到。2.彈性問(wèn)題的基本方程對(duì)于各向同性材料，方程(2.3)和(2.彈性問(wèn)題的基本方程平衡方程(2-10)無(wú)外力作用的邊界條件式中，nj是彈性體D邊界上的外單位法向量。方程（2.11）是有限彈性體的邊界條件。對(duì)于無(wú)限彈性介質(zhì)，相應(yīng)的邊界條件為(2-11)(2-12)2.彈性問(wèn)題的基本方程平衡方程(2-10)無(wú)外力作用的邊界2.彈性問(wèn)題的基本方程將方程（2.4）代入方程（2.10）和（2.11）中可得(2-13)和由方程（2.13）和（2.14）可以看出，本征應(yīng)變對(duì)平衡方程和邊界條件的貢獻(xiàn)相當(dāng)于體積力和面力。(2-14)2.彈性問(wèn)題的基本方程將方程（2.4）代入方程（2.10）2.彈性問(wèn)題的基本方程相容條件應(yīng)變張量ij有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量，而位移矢量ui有3個(gè)分量。它們通過(guò)幾何方程（相容條件）聯(lián)系在一起。然而，相容方程一般是指由相容條件所導(dǎo)出的如下方程式中，pki是置換張量，被定義為(2-15)(2-16)2.彈性問(wèn)題的基本方程相容條件應(yīng)變張量ij有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)3.彈性場(chǎng)的一般表示在下面的推導(dǎo)中，考慮無(wú)限彈性介質(zhì)D內(nèi)含一夾雜，且夾雜內(nèi)具有本征應(yīng)變*ij的一般情況。這樣做的目的：既是為了數(shù)學(xué)上處理簡(jiǎn)單，又是接近于實(shí)際。對(duì)于一般的復(fù)合材料，增強(qiáng)或增韌相的細(xì)觀幾何尺寸遠(yuǎn)小于復(fù)合材料的宏觀尺寸，這樣將復(fù)合材料作為無(wú)限大彈性體處理具有足夠的精度。對(duì)于給定的本征應(yīng)變*ij，所要求解的基本方程為(3-1)3.彈性場(chǎng)的一般表示在下面的推導(dǎo)中，考慮無(wú)限彈性介Fourier積分變換三維空間內(nèi)函數(shù)的Fourier積分變換及反變換分別為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的Fourier積分變換為

Fourier積分變換三維空間內(nèi)函數(shù)的Fourier積分變換3.彈性場(chǎng)的一般表示對(duì)方程（3.1）進(jìn)行Fourier積分變換后可得在推導(dǎo)中用到了關(guān)系式(ix),l=il。方程（3.2）表示三個(gè)方程，用于確定三個(gè)未知量ūi。引入符號(hào)(3-4)(3-2)(3-3)3.彈性場(chǎng)的一般表示對(duì)方程（3.1）進(jìn)行Fourier積分3.彈性場(chǎng)的一般表示我們可將方程（3.2）寫成求解方程（3.5）可得(3-6)(3-5)3.彈性場(chǎng)的一般表示我們可將方程（3.2）寫成求解方程（33.彈性場(chǎng)的一般表示式中，Nij是如下矩陣的代數(shù)余子式而D()是()的行列式。注意有如下關(guān)系式(3-8)(3-7)(3-9)3.彈性場(chǎng)的一般表示式中，Nij是如下矩陣的代數(shù)余子式而D3.彈性場(chǎng)的一般表示D()和Nij()可顯式表達(dá)為對(duì)方程（3.6）進(jìn)行Fourier反變換，并根據(jù)幾何方程和本構(gòu)關(guān)系，我們有(3-11)(3-12)(3-10)3.彈性場(chǎng)的一般表示D()和Nij()可顯式表達(dá)為3.彈性場(chǎng)的一般表示式中，將本征應(yīng)變變換

(3-13)代入到方程（3.12）中，經(jīng)整理后可得

(3-14)3.彈性場(chǎng)的一般表示式中，將本征應(yīng)變變換(3-13)代入3.彈性場(chǎng)的一般表示(3-15)當(dāng)Green函數(shù)被定義為

(3-16)3.彈性場(chǎng)的一般表示(3-15)當(dāng)Green函數(shù)被定義為3.彈性場(chǎng)的一般表示此時(shí)，（3.15）式中的位移分量為

式中(3-18)(3-17)有時(shí)，Green函數(shù)也稱作基本解。對(duì)于應(yīng)變和應(yīng)力分量，相應(yīng)的表達(dá)式可寫為(3-19)3.彈性場(chǎng)的一般表示此時(shí)，（3.15）式中的位移分量為式4.格林函數(shù)在前面，Green函數(shù)被定義為

在x'點(diǎn)沿xj方向施加一個(gè)單位力，在x點(diǎn)沿xi方向的位移(4-1)容易證明：4.格林函數(shù)在前面，Green函數(shù)被定義為在x'點(diǎn)沿xj4.格林函數(shù)下面證明，Green函數(shù)滿足如下基本方程(x-x')是三維Delta函數(shù)。（4.2）式類似于平衡方程(4-2)相當(dāng)于位移相當(dāng)于體積力根據(jù)Green函數(shù)定義，我們有(4-3)4.格林函數(shù)下面證明，Green函數(shù)滿足如下基本方程(x4.格林函數(shù)式中，由于Nkm是的代數(shù)余因子，所以我們有

(4-4)另一方面，DiracDelta函數(shù)可以定義為(4-6)(4-5)將（4.5）和（4.6）兩式代入方程（4.3）中，可發(fā)現(xiàn)（4.2）成立。4.格林函數(shù)式中，由于Nkm是的代數(shù)余因子，所以我們有4.格林函數(shù)對(duì)于各向同性材料，Green函數(shù)可以表示為(4-7)經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，我們可得(4-8)式中，(4-9)4.格林函數(shù)對(duì)于各向同性材料，Green函數(shù)可以表示為(45.Eshelby

解無(wú)限均勻介質(zhì)內(nèi)含一橢球夾雜，且橢球夾雜內(nèi)的本征應(yīng)變場(chǎng)為常數(shù)。當(dāng)本征應(yīng)變是熱膨脹應(yīng)變時(shí)，相應(yīng)問(wèn)題的解由Goodier（1937）給出。對(duì)于一般的本征應(yīng)變問(wèn)題，Eshelby(1957,1959,1961)給出了相應(yīng)問(wèn)題的解析解。夾雜內(nèi)部和外部彈性場(chǎng)的解不同。Eshelby工作最有價(jià)值的結(jié)果是夾雜內(nèi)部彈性場(chǎng)的解。5.Eshelby解無(wú)限均勻介質(zhì)內(nèi)含一橢球夾雜，5.Eshelby

解對(duì)于目前的問(wèn)題，由位移場(chǎng)的表達(dá)式可得(5-1)式中，由如下方程描述(5-2)而Green函數(shù)為(5-3)5.Eshelby解對(duì)于目前的問(wèn)題，由位移場(chǎng)的表達(dá)式可得5.Eshelby

解公式推導(dǎo)(5-4)(5-5)5.Eshelby解公式推導(dǎo)(5-4)(5-5)5.Eshelby

解(5-6)5.Eshelby解(5-6)5.Eshelby

解經(jīng)過(guò)推導(dǎo)后，我們有(5-7)式中，(5-8)l為單位矢量(5-9)5.Eshelby解經(jīng)過(guò)推導(dǎo)后，我們有(5-7)式中，(5.Eshelby

解內(nèi)部彈性場(chǎng)(5-4)當(dāng)點(diǎn)x位于夾雜內(nèi)時(shí)，（5.7）式的積分可以被進(jìn)行。如圖1.2所示，體積元可以被表示為(5-10)式中，d是中心位于點(diǎn)x的單位球的表面元，而

(5-11)5.Eshelby解內(nèi)部彈性場(chǎng)(5-4)當(dāng)點(diǎn)x位于夾雜內(nèi)5.Eshelby

解(5-12)對(duì)變量積分后可得式中，r(l)是如下方程的正根(5-14)(5-13)即5.Eshelby解(5-12)對(duì)變量積分后可得式中，r5.Eshelby

解(5-15)式中，(5-16)引入5.Eshelby解(5-15)式中，(5-16)引入5.Eshelby

解此時(shí)，方程（5.12）可以化為(5-17)應(yīng)變分量為(5-18)方程（5.18）的積分是與x無(wú)關(guān)的。因此，我們得到一個(gè)重要結(jié)論：夾雜內(nèi)的應(yīng)變場(chǎng)是常數(shù)。根據(jù)Routh(1895)的工作，上面的表面積分可化為一些簡(jiǎn)單的積分。5.Eshelby解此時(shí)，方程（5.12）可以化為(5-5.Eshelby

解(5-19)(5-20)式中，其它系數(shù)可以通過(guò)（1,2,3），(a1,a2,a3)和(l1,l2,l3)的同時(shí)置換得到。5.Eshelby解(5-19)(5-20)式中，5.Eshelby

解(5-21)(5-22)可將方程（5.18）寫成其中，5.Eshelby解(5-21)(5-22)可將方程（55.Eshelby

解橢球夾雜：Eshelby(1957,1959)

立方體夾雜：Chou(1975)

圓柱夾雜：WuandDu(1995)所有其它的非零分量可以通過(guò)輪流置換得到。不能通過(guò)輪流置換得到的分量為零。如Sijkl稱為Eshelby張量。(5-23)5.Eshelby解橢球夾雜：Eshelby(19576.非均勻體問(wèn)題考慮無(wú)限均勻彈性介質(zhì)內(nèi)含一橢球非均勻體的問(wèn)題。無(wú)窮遠(yuǎn)處施加外載荷，研究非均勻體所引起彈性場(chǎng)的擾動(dòng)。6.非均勻體問(wèn)題考慮無(wú)限均勻彈性介質(zhì)內(nèi)含一橢球非均勻體的問(wèn)6.非均勻體問(wèn)題擾動(dòng)應(yīng)力場(chǎng)是自平衡的(6-1)邊界條件(6-2)本構(gòu)關(guān)系可表示為(6-3)6.非均勻體問(wèn)題擾動(dòng)應(yīng)力場(chǎng)是自平衡的(6-1)邊界條件(66.非均勻體問(wèn)題Eshelby（1957）指出：通過(guò)在橢球夾雜內(nèi)選取適當(dāng)?shù)谋菊鲬?yīng)變場(chǎng)，外加載荷作用下橢球非均勻體引起的擾動(dòng)應(yīng)力場(chǎng)可以由本征應(yīng)力表示。這一等效性被稱為等效夾雜方法。使用等效夾雜法，我們可以用本征應(yīng)力場(chǎng)來(lái)模擬擾動(dòng)應(yīng)力場(chǎng)。考慮無(wú)限均勻彈性介質(zhì)內(nèi)含一相同形狀的橢球夾雜，橢球夾雜與周圍基體具有相同的彈性模量，且夾雜內(nèi)具有本征應(yīng)變場(chǎng)。對(duì)于目前的問(wèn)題，本構(gòu)關(guān)系可以寫成(6-4)6.非均勻體問(wèn)題Eshelby（1957）指出：通6.非均勻體問(wèn)題式中，上面所給出的非均勻體和夾雜問(wèn)題等效的充分、必要條件為(6-6)(6-5)或在前面所介紹的本征應(yīng)變問(wèn)題中，擾動(dòng)應(yīng)變可以由本征應(yīng)變表示。當(dāng)外加應(yīng)力場(chǎng)是均勻的應(yīng)力場(chǎng)時(shí)，可以證明本征應(yīng)變場(chǎng)也必須是均勻的。(6-7)6.非均勻體問(wèn)題式中，上面所給出的非均勻體和夾6.非均勻體問(wèn)題由上一節(jié)可知式中，Sijkl是Eshelby張量。將（6.8）式代入（6.7）式中可得(6-8)由方程（6.9）可以解出所有本征應(yīng)變分量。代入方程（6.8）中確定擾動(dòng)應(yīng)變場(chǎng)，代入方程（6.4）求得擾動(dòng)應(yīng)力場(chǎng)。(6-9)6.非均勻體問(wèn)題由上一節(jié)可知式中，Sijkl是Eshelb復(fù)合材料有效彈性模量基本概念自洽理論(Hill,1965;Budiansky,1965)廣義自洽理論(ChristensenandLo,1979)Mori-Tanaka方法(MoriandTanaka,1973)微分法(Mclaughlin,1977)二階上下限(HashinandShtrikman,1963)高階上下限(Torquato,1991)復(fù)合材料有效彈性模量基本概念復(fù)合材料有效彈性模量對(duì)于含夾雜非均勻介質(zhì)，影響其有效彈性模量的因素可分為兩類。一類是非均勻體中每一組份材料的彈性常數(shù)。另一類是非均勻體內(nèi)部的細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征，它包括夾雜的形狀、幾何尺寸、在基體中的分布和夾雜間的相互作用。目前理論對(duì)第一類因素考慮較詳細(xì)，而對(duì)第二類因素卻考慮不充分，如自洽理論、廣義自洽理論和微分法僅考慮了夾雜的形狀，而沒有充分考慮材料的其它細(xì)觀因素。在夾雜的體積份數(shù)以及夾雜與基體彈性模量相差較大時(shí)，這些理論已不能很好地預(yù)報(bào)非均勻體的有效彈性模量。盡管有效場(chǎng)理論考慮了夾雜的形狀、幾何尺寸和在基體中的分布，但由于在推導(dǎo)時(shí)所作的假定過(guò)多，因此這一方法也具有一定的局限性。復(fù)合材料有效彈性模量對(duì)于含夾雜非均勻介質(zhì)，影響其有效彈性模量復(fù)合材料有效彈性模量有關(guān)非均勻體特性的研究最早可追溯到Maxwell(1873)和Rayleigh(1892)對(duì)含球夾雜非均勻介質(zhì)有效電傳導(dǎo)系數(shù)的計(jì)算。但在這一領(lǐng)域所做的開拓性工作應(yīng)歸功于Eshelby、Hill、Budiansky、Roscoe、Hashin和Shtrikman等。所謂含夾雜非均勻介質(zhì)的有效特性就是非均勻體在宏觀上表現(xiàn)的整體特性。一般情況下，它依賴于非均勻體的所有細(xì)觀結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)和每相材料的力學(xué)特性。因此，對(duì)其求解只能在一些近似假定下進(jìn)行。復(fù)合材料有效彈性模量有關(guān)非均勻體特性的研究最早可追溯到Max1.基本概念代表性單元的幾何尺寸介于夾雜尺寸和復(fù)合材料宏觀尺寸之間。代表性單元內(nèi)應(yīng)含足夠數(shù)量的夾雜，且夾雜的發(fā)布是均勻的。代表性單元有效特性的存在條件對(duì)于含夾雜復(fù)合材料，夾雜的分布在宏觀上應(yīng)是均勻的，可以是隨機(jī)分布，也可以是周期分布。1.基本概念代表性單元的幾何尺寸介于夾雜尺寸和復(fù)合材料宏觀尺1.基本概念為了下面的分析，我們首先給出含夾雜非均勻介質(zhì)有效彈性模量和柔度的定義。對(duì)于宏觀上統(tǒng)計(jì)均勻的含夾雜非均勻介質(zhì)，其有效彈性模量和柔度可寫為

(1-1)式中，〈ij(x)〉和〈ij(x)〉分別為非均勻體內(nèi)的體平均應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)。(1-2)1.基本概念為了下面的分析，我們首先給出含夾雜非均勻介質(zhì)有2.自洽理論Hill的工作Aself-consistentmechanicsofcompositematerials小寫黑體字母表示二階張量，大寫字母表示四階張量二階張量與91向量對(duì)應(yīng)，而四階張量與99矩陣對(duì)應(yīng)對(duì)于四階張量，前兩對(duì)下表對(duì)應(yīng)于矩陣的行，可以互換；后兩對(duì)下表對(duì)應(yīng)于矩陣的列，也可以互換對(duì)于四階張量A，其逆定義為其中，I是四階單位張量，定義為（2.1）基本概念及關(guān)系式2.自洽理論Hill的工作Aself-consisten2.自洽理論考慮均勻彈性介質(zhì)含一橢球夾雜的情況。這里，夾雜和基體的四階彈性模量張量分別由L1和L表示，而四階彈性柔度張量由M1和M表示。無(wú)窮遠(yuǎn)處作用著均勻的變形場(chǎng)，由于夾雜的存在，夾雜周圍存在擾動(dòng)的彈性場(chǎng)。平均應(yīng)力場(chǎng)與均勻應(yīng)變場(chǎng)間存在如下關(guān)系（2.3）（2.2）2.自洽理論考慮均勻彈性介質(zhì)含一橢球夾雜的情況。這里，夾雜2.自洽理論引入整體約束張量L*和M*，滿足（2.4）

這里，*和*實(shí)際上是擾動(dòng)應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)。當(dāng)L*確定后，我們就可以給出夾雜內(nèi)應(yīng)變場(chǎng)或應(yīng)力場(chǎng)與宏觀應(yīng)變場(chǎng)或應(yīng)力場(chǎng)的關(guān)系。（2.4）式可以進(jìn)一步寫為（2.5）還可以寫為（2.6）2.自洽理論引入整體約束張量L*和M*，滿足（2.4）2.自洽理論方程（2.6）建立了夾雜內(nèi)應(yīng)變場(chǎng)或應(yīng)力場(chǎng)與平均應(yīng)變場(chǎng)或應(yīng)力場(chǎng)的關(guān)系。

接下來(lái)，考慮Eshelby的本征應(yīng)變問(wèn)題。均勻彈性介質(zhì)內(nèi)含一橢球夾雜，夾雜內(nèi)具有一本征應(yīng)變場(chǎng)e，夾雜的彈性模量與基體的彈性模量相同，都為L(zhǎng)。根據(jù)Eshelby（1957）的結(jié)果，夾雜內(nèi)的擾動(dòng)應(yīng)變場(chǎng)和擾動(dòng)應(yīng)力場(chǎng)可以表示為（2.7）2.自洽理論方程（2.6）建立了夾雜內(nèi)應(yīng)變場(chǎng)或應(yīng)力場(chǎng)由于上式對(duì)于所有本征應(yīng)變場(chǎng)都成立，所以有由方程（2.8）可以看出，整體約束張量L*和M*是由Eshelby張量表示的。反之，我們可以用整體約束張量L*和M*來(lái)表示Eshelby張量(2.9)2.自洽理論(2.8)引進(jìn)一個(gè)與Eshelby張量S對(duì)偶的張量T，令(2.10)由于上式對(duì)于所有本征應(yīng)變場(chǎng)都成立，所以有由方程（2.8）可以則有如下關(guān)系式由前面的關(guān)系式（2.8）-（2.10），我們有(2.12)2.自洽理論(2.11)由方程（2.12）不難發(fā)現(xiàn)，四階張量P和Q與四階彈性模量張量具有相同的對(duì)稱性。則有如下關(guān)系式由前面的關(guān)系式（2.8）-（2.10），我們有自洽理論含夾雜復(fù)合材料是統(tǒng)計(jì)均勻的。夾雜與基體相分別由下標(biāo)1和2表示。c1和c2分別表示1相和2相的體積分?jǐn)?shù)，這樣有關(guān)系(2.13)2.自洽理論每一相的應(yīng)變場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)與宏觀平均應(yīng)變場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)有如下基本關(guān)系(2.14)自洽理論含夾雜復(fù)合材料是統(tǒng)計(jì)均勻的。夾雜與基體相分別由下標(biāo)1這意味著極化應(yīng)力和應(yīng)變的平均為零。方程（2.14）可以進(jìn)一步表示為(2.15)2.自洽理論根據(jù)自洽理論的基本假設(shè)，可推得(2.16)由方程（2.14）可以得到(2.17)反之亦然。有趣的是，夾雜與基體存在著某種對(duì)稱關(guān)系，對(duì)夾雜成立的關(guān)系式，對(duì)基體也有與之對(duì)應(yīng)的關(guān)系式。方程（2.15）和（2.16）可以重新表示這意味著極化應(yīng)力和應(yīng)變的平均為零。方程（2.14）可以進(jìn)一步(2.18)2.自洽理論由方程（2.14）和（2.18）可推得關(guān)于張量L和M的一對(duì)方程(2.19)張量L*和M*是L和M的函數(shù)，公式（2.19）使用起來(lái)比較復(fù)雜。下面，給出不含L*和M*的表達(dá)式(2.20)(2.18)2.自洽理論由方程（2.14）和（2.18）可2.自洽理論由方程（2.20），我們可以容易推得(2.21)這是一個(gè)較為簡(jiǎn)單的公式，在以后的推導(dǎo)中將使用它。(2.22)下面，引入集中相因子張量概念，A1和A2是對(duì)應(yīng)變，B1和B2是對(duì)應(yīng)力這樣(2.23)2.自洽理論由方程（2.20），我們可以容易推得(2.212.自洽理論由方程（2.19）和（2.22）可得(2.24)當(dāng)夾雜體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)，（2.20）式可以表示為(2.25)上述公式有時(shí)由如下公式替代(2.26)各向同性介質(zhì)內(nèi)含球夾雜2.自洽理論由方程（2.19）和（2.22）可得(2.242.自洽理論假定夾雜為球形，夾雜與基體都為各向同性材料，且夾雜分布是均勻的。此時(shí)，方程（2.21）可退化為如下一對(duì)標(biāo)量方程(2.27)式中，(2.29)無(wú)量綱參數(shù)和是Eshelby張量中的參數(shù)。對(duì)于球夾雜，Eshelby張量可以表示為(2.28)(2.30)至此，我們給出了含球夾雜復(fù)合材料有效彈性模量的公式。這是一個(gè)非線性方程，需要聯(lián)立求解。2.自洽理論假定夾雜為球形，夾雜與基體都為各向同性材料，且2.自洽理論Dudiansky的工作考慮彈性基體V內(nèi)含N-1相彈性介質(zhì)，N-1相彈性介質(zhì)分布是均勻的，且不同相之間的界面結(jié)合是完好的。每相介質(zhì)的體積分?jǐn)?shù)定義為(B.1)有效彈性模量的推導(dǎo)為了確定有效剪切模量G*，考慮一個(gè)大的立方體材料，它的邊平行于坐標(biāo)軸。在立方體表面上施加一均勻的純剪切載荷。相應(yīng)的剪應(yīng)變?cè)诹⒎襟w內(nèi)不是均勻的，但是假定2.自洽理論Dudiansky的工作考慮彈性基體V內(nèi)含N-2.自洽理論式中，是剪應(yīng)變xy在立方體內(nèi)的均值。由Hill（1963）工作易知，(B.2)這樣，立方體內(nèi)的彈性應(yīng)變能由下式給出(B.3)(B.4)2.自洽理論式中，是剪應(yīng)變xy在立方體內(nèi)的均值。由Hi2.自洽理論但是，根據(jù)每相材料的剪切模量Gi(i=1,2,…,N)，我們有式中，(B.5)(B.6)是剪應(yīng)變?cè)诘趇相介質(zhì)內(nèi)的體積平均。比較（B.4）和（B.5）可推得2.自洽理論但是，根據(jù)每相材料的剪切模量Gi(i=1,2,2.自洽理論由方程（B.7）可知，確定立方體有效剪切模量的關(guān)鍵是建立每相介質(zhì)內(nèi)剪應(yīng)變場(chǎng)與宏觀應(yīng)變場(chǎng)或應(yīng)力場(chǎng)的關(guān)系。Eshelby(1957)已經(jīng)證明：對(duì)于含單橢球夾雜無(wú)限均勻介質(zhì)，當(dāng)無(wú)窮遠(yuǎn)處作用均勻載荷時(shí)，夾雜內(nèi)部的應(yīng)變場(chǎng)為常數(shù)。對(duì)于目前的問(wèn)題，有如下結(jié)果(B.7)(B.8)2.自洽理論由方程（B.7）可知，確定立方體有效剪切模量的2.自洽理論式中(B.9)而*是復(fù)合材料的Poisson比。將（B.8）式代入（B.7）式中，可推得(B.10)對(duì)于有效體積模量，有類似的關(guān)系式(B.11)2.自洽理論式中(B.9)而*是復(fù)合材料的Poisson2.自洽理論式中(B.12)方程（B.9）和（B.10）與關(guān)系式(B.13)提供了用于求解有效剪切模量和體積模量的關(guān)系式。對(duì)上述兩個(gè)方程進(jìn)一步推導(dǎo)可得(B.14)(B.15)2.自洽理論式中(B.12)方程（B.9）和（B.10）與2.自洽理論另一種求解方法對(duì)于剪切加載情況，如果Eshelby的夾雜被認(rèn)為是埋在復(fù)合材料內(nèi)的，由Eshelby的結(jié)果，可以給出第i相介質(zhì)的平均剪應(yīng)變?yōu)?B.16)由于復(fù)合材料的平均應(yīng)變可以表示為(B.17)所以我們可以直接得到（B.13）式的結(jié)果。同樣，我們也可直接導(dǎo)出（B.14）的結(jié)果。2.自洽理論另一種求解方法對(duì)于剪切加載情況，如果Eshel2.自洽理論結(jié)果討論由于自洽模型僅考慮了單夾雜與周圍有效介質(zhì)的作用，因而當(dāng)夾雜體積份數(shù)或裂紋密度較大時(shí)，這一模型預(yù)報(bào)的有效彈性模量過(guò)高(含硬夾雜)或過(guò)低(含軟夾雜)。特別是當(dāng)夾雜與基體的彈性常數(shù)相差較大時(shí)，這一偏差更加顯著，如對(duì)于微裂紋隨機(jī)取向的非均勻體，當(dāng)微裂紋密度為9/16時(shí)，自洽模型預(yù)報(bào)的有效楊氏模量為零2.自洽理論結(jié)果討論由于自洽模型僅考慮了單夾雜與周2.自洽理論不同結(jié)果的比較2.自洽理論不同結(jié)果的比較3.廣義自洽理論在這一節(jié)中，以Christensen和Lo的工作為基礎(chǔ)，我們介紹廣義自洽理論所給出的含夾雜非均勻介質(zhì)有效彈性模量的表達(dá)式。如圖所示，含球夾雜非均勻介質(zhì)可以簡(jiǎn)化為三相介質(zhì)，其中基體殼將球夾雜與外部的有效介質(zhì)分開。在廣義自洽模型中，球夾雜半徑與基體殼外邊界半徑比為夾雜的體積分?jǐn)?shù)，且外部有效介質(zhì)的彈性模量就是所要求的含夾雜非均勻介質(zhì)的有效彈性模量。自洽模型廣義自洽模型三相模型3.廣義自洽理論在這一節(jié)中，以Christense3.廣義自洽理論與自洽模型相比，廣義自洽模型似乎更合理一些。作者認(rèn)為其主要原因有兩點(diǎn)：①由于廣義自洽模型考慮了夾雜、基體殼和有效介質(zhì)間的相互作用，因而使得相的“比重”處于平衡，即有效介質(zhì)內(nèi)不僅僅含有夾雜，而且夾雜周圍還附有一層適當(dāng)?shù)幕w；②廣義自洽模型放寬了相之間的界面約束。應(yīng)該指出的是，自洽模型比廣義自洽模型在實(shí)際使用中具有很大的靈活性。另一個(gè)與自洽理論相關(guān)的模型是“三相模型”。這一模型是將廣義自洽模型中的夾雜核和基體殼作為一個(gè)非均勻的橢球夾雜來(lái)處理的。Herve和Zaoui采用這一模型研究了含夾雜非線性復(fù)合材料的有效彈性模量。應(yīng)該指出的是，盡管自洽模型具有一定的局限性，但其優(yōu)勢(shì)是顯著的，如在研究各向異性、非線性等問(wèn)題時(shí)其求解過(guò)程相對(duì)來(lái)說(shuō)是簡(jiǎn)單的。3.廣義自洽理論與自洽模型相比，廣義自洽模型似3.廣義自洽理論含單向圓柱夾雜非均勻介質(zhì)的有效橫觀剪切模量考慮含單向圓柱夾雜非均勻介質(zhì)的有效彈性模量問(wèn)題。在這里，單向圓柱夾雜是無(wú)限長(zhǎng)的，當(dāng)外部施加的邊界條件不沿纖維方向變化時(shí)，目前的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為二維平面應(yīng)變問(wèn)題。對(duì)于含單向圓柱夾雜非均勻介質(zhì)，其在宏觀上表現(xiàn)為橫觀各向同性，有5個(gè)有效彈性常數(shù)。Hashin和Rosen[2.13]使用所謂的復(fù)合材料柱模型確定了其中的4個(gè)有效彈性常數(shù)，而對(duì)于第五個(gè)有效彈性常數(shù)，即橫觀剪切模量，他們僅給出了相應(yīng)的上下限。3.廣義自洽理論含單向圓柱夾雜非均勻介質(zhì)的有效橫觀剪切模量3.廣義自洽理論在廣義自洽模型中，內(nèi)部為圓柱夾雜、中間相為基體圓柱殼，外部為等效的均勻介質(zhì)。由于模型具有極對(duì)稱性，因此采用極坐標(biāo)系來(lái)研究目前的問(wèn)題。根據(jù)Savin的工作，模型中每一相區(qū)域內(nèi)的位移場(chǎng)可表示為1）在外部的等效介質(zhì)區(qū)域(3.1)3.廣義自洽理論在廣義自洽模型中，內(nèi)部為圓柱夾雜、3.廣義自洽理論2）在基體圓柱殼區(qū)域(3.2)3）在圓柱夾雜區(qū)域(3.3)3.廣義自洽理論2）在基體圓柱殼區(qū)域(3.2)3）在圓柱夾3.廣義自洽理論式中，(3.4)這里，上標(biāo)是星號(hào)的量對(duì)應(yīng)于等效介質(zhì)，下表為的量對(duì)應(yīng)于基體，而沒有上下標(biāo)的量相應(yīng)于圓柱夾雜。(3.5)根據(jù)應(yīng)力分量及位移分量在圓柱夾雜與基體以及基體與等效介質(zhì)界面上的連續(xù)性條件，我們可以得到確定待定常數(shù)的8個(gè)方程3.廣義自洽理論式中，(3.4)這里，上標(biāo)是星號(hào)的量對(duì)應(yīng)于3.廣義自洽理論(3.6)(3.7)(3.8)3.廣義自洽理論(3.6)(3.7)(3.8)3.廣義自洽理論根據(jù)Eshelby的結(jié)果，我們可以導(dǎo)出(3.9)(3.10)式中而(3.11)3.廣義自洽理論根據(jù)Eshelby的結(jié)果，我們可以導(dǎo)出(33.廣義自洽理論將以上各式代入（3.9）式可得(3.12)(3.13)由方程（3.5）-（3.8）可以求得8個(gè)待定常數(shù)。令a3=0，并經(jīng)過(guò)冗長(zhǎng)的推導(dǎo)、整理，我們可以得到如下表達(dá)式其中3.廣義自洽理論將以上各式代入（3.9）式可得(3.12)3.廣義自洽理論(3.14)在公式（3.14）中夾雜的體積分?jǐn)?shù)Vf=(a/b)2。對(duì)于夾雜稀疏分布的情況，即趨于零，有效剪切模量同樣可以簡(jiǎn)化為(3.15)3.廣義自洽理論(3.14)在公式（3.14）中夾3.廣義自洽理論含球夾雜非均勻的有效彈性模量如圖所示，含球夾雜非均勻介質(zhì)可以簡(jiǎn)化為三相介質(zhì)，其中基體殼將球夾雜與外部的有效介質(zhì)分開。在廣義自洽模型中，球夾雜半徑與基體殼外邊界半徑比為夾雜的體積分?jǐn)?shù)，且外部有效介質(zhì)的彈性模量就是所要求的含夾雜非均勻介質(zhì)的有效彈性模量。考慮含球夾雜非均勻介質(zhì)的有效剪切模量。為了方便起見，引入球坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在球夾雜中心，球夾雜半徑和基體殼外邊界半徑分別為a和b。這樣，球夾雜的體積分?jǐn)?shù)Vf=(a/b)3。令位移場(chǎng)u具有如下形式3.廣義自洽理論含球夾雜非均勻的有效彈性模量如圖所3.廣義自洽理論且

(3.16)(3.17)通過(guò)驗(yàn)證可以發(fā)現(xiàn)，方程（3.16）給出的位移場(chǎng)是圖所示模型在無(wú)窮遠(yuǎn)處作用均勻剪應(yīng)力的位移場(chǎng)。根據(jù)Love，圖中不同區(qū)域的位移場(chǎng)系數(shù)和可表示為

1）在外部的等效介質(zhì)區(qū)域

(3.18)3.廣義自洽理論且(3.16)(3.17)通過(guò)驗(yàn)3.廣義自洽理論3）在球夾雜區(qū)域

(3.20)2）在基體殼區(qū)域(3.19)方程（3.18）-（3.20）中的常數(shù)可由兩個(gè)界面的位移及應(yīng)力連續(xù)性條件確定。應(yīng)力及位移連續(xù)性條件12個(gè)，需要確定8個(gè)未知常數(shù)，有4個(gè)方程是冗余的。去掉多余的4個(gè)方程，剩下的8個(gè)界面連續(xù)性條件可以表示為3.廣義自洽理論3）在球夾雜區(qū)域(3.20)2）在基體3.廣義自洽理論(3.22)(3.21)3.廣義自洽理論(3.22)(3.21)3.廣義自洽理論(3.24)(3.23)3.廣義自洽理論(3.24)(3.23)3.廣義自洽理論應(yīng)該指出的是，無(wú)窮遠(yuǎn)處的均勻剪應(yīng)變條件可單獨(dú)確定常數(shù)d1。這樣，（3.21）-（3.24）8個(gè)方程可確定其余8個(gè)待定常數(shù)。為了確定有效剪切模量，我們利用Eshelby給出的結(jié)果：對(duì)于含單夾雜的均勻介質(zhì)，在施加位移條件的情況下，應(yīng)變能由下式確定（3.25）式所表示的應(yīng)變能就是模型中儲(chǔ)存的應(yīng)變能。廣義自洽理論認(rèn)為，無(wú)窮遠(yuǎn)處施加位移場(chǎng)的情況下，模型中儲(chǔ)存的應(yīng)變能與彈性常數(shù)為等效介質(zhì)內(nèi)的應(yīng)變能相等。由Eshelby，我們有如下關(guān)系(3.25)(3.26)3.廣義自洽理論應(yīng)該指出的是，無(wú)窮遠(yuǎn)處的均勻剪應(yīng)變3.廣義自洽理論比較方程（3.25）和（3.26），我們有當(dāng)無(wú)窮遠(yuǎn)處作用均勻的剪切變形時(shí)，我們?nèi)菀椎玫?3.27)(3.28)3.廣義自洽理論比較方程（3.25）和（3.26），我們有3.廣義自洽理論根據(jù)（3.18）式及本購(gòu)方程，可以求得下面的將上述應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)代入（3.27）式中可得(3.29)(3.30)3.廣義自洽理論根據(jù)（3.18）式及本購(gòu)方程，可以求得下面3.廣義自洽理論根據(jù)界面連續(xù)性條件，我們可以求得所有待定常數(shù)。令d4=0，可得式中，(3.31)(3.32)3.廣義自洽理論根據(jù)界面連續(xù)性條件，我們可以求得所有待定常3.廣義自洽理論考慮夾雜體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)的特殊情況。令球夾雜體積分?jǐn)?shù)趨于零，由二項(xiàng)式展開公式，我們可得且(3.33)(3.34)3.廣義自洽理論考慮夾雜體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)的特殊情況。4.微分法這一節(jié)中，我們以McLaughlin的工作來(lái)介紹微分法。對(duì)于含夾雜非均勻介質(zhì)，根據(jù)Hill的工作，非均勻介質(zhì)的有效彈性模量可以表示為式中，c1是夾雜的體積分?jǐn)?shù)，L0和L1分別是基體和夾雜的彈性模量，而A1是夾雜的應(yīng)變集中因子，由下式定義對(duì)于含相似橢球夾雜的非均勻體，當(dāng)橢球夾雜的體積分?jǐn)?shù)等于V1時(shí)，相應(yīng)非均勻介質(zhì)的有效彈性模量可表示為L(zhǎng)(c1)。相似地，我們定義L(c1+dc1)為夾雜體積分?jǐn)?shù)等于c1+dc1時(shí)的非均勻介質(zhì)有效彈性模量。根據(jù)（4.1）式，我們有如下關(guān)系式(4.1)(4.2)4.微分法這一節(jié)中，我們以McLaughlin的工作來(lái)介紹4.微分法式中，E1是橢球夾雜的應(yīng)變集中因子，即四階張量是P由Hill引入的。令(4.3)式中dc1的趨于零，則(4.3)式變?yōu)?4.3)(4.4)(4.5)當(dāng)c1=0時(shí)，L(0)=L0。方程（4.4）和（4.5）給出了一組耦合的非線性微分方程，其解即為兩相復(fù)合材料的有效彈性模量。4.微分法式中，E1是橢球夾雜的應(yīng)變集中因子，即四階張量是4.微分法同樣，通過(guò)考慮復(fù)合材料的有效彈性柔度，我們可以類似地得到式中

，(4.6)(4.7)當(dāng)c1=0時(shí)，M(0)=M0。方程（4.6）和（4.7）給出了一組耦合的非線性微分方程，其解即為兩相復(fù)合材料的有效彈性柔度。4.微分法同樣，通過(guò)考慮復(fù)合材料的有效彈性柔度，我們可以類4.微分法各向同性球夾雜考慮各向同性球夾雜均勻分布在各向同性的基體中，這時(shí)復(fù)合材料在宏觀上表現(xiàn)為均勻的各向同性材料。相應(yīng)得有效彈性模量可以寫為(4.8)或者L=(3,2)。對(duì)于四階張量L1和L0，我們同樣可以寫成上述形式。對(duì)于四階單位張量I，有關(guān)系式I=(1,1)。根據(jù)Hill的定義，四階張量可以表示為(4.9)4.微分法各向同性球夾雜考慮各向同性球夾雜均勻分布4.微分法式中(4.10)是*和*是單調(diào)遞增函數(shù)。方程（4.5）和（4.6）可以導(dǎo)出關(guān)于體積模量和剪切模量一對(duì)標(biāo)量微分方程(4.11)當(dāng)c1=0時(shí)，*=0和*=0。應(yīng)該說(shuō)明的是，Roscoe和Boucher也給出過(guò)與（4.10）和（4.11）式類似的關(guān)系式。4.微分法式中(4.10)是*和*是單調(diào)遞增函數(shù)。4.微分法橫觀各向同性復(fù)合材料考慮含橢球夾雜復(fù)合材料的有效彈性模量，在這里橢球夾雜是由橢圓形成的旋轉(zhuǎn)體，且長(zhǎng)短軸之比不變。假定橢球夾雜的長(zhǎng)軸均沿x3軸方向，這樣復(fù)合材料沿軸方向宏觀上表現(xiàn)為橫觀各向同性的。采用Walpole引入，并經(jīng)Laws完善的符號(hào)表示，橫觀各向同性復(fù)合材料的有效彈性模量可表示為(4.12)其逆可以表示為(4.13)4.微分法橫觀各向同性復(fù)合材料考慮含橢球夾雜復(fù)合材4.微分法式中，(4.14)下面考慮纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的特殊情況。這時(shí)，橢球夾雜的長(zhǎng)軸趨于無(wú)窮。對(duì)于這種情況，Hill和Walpole給出了如下結(jié)果(4.15)式中，(4.16)是一個(gè)關(guān)于和的單調(diào)遞增函數(shù)。在這種符號(hào)表示系統(tǒng)中，四階單位張量可以表示為4.微分法式中，(4.14)下面考慮纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的特殊4.微分法(4.17)將上述方程代入（4.5）和(4.6)式中，我們可以得到5個(gè)獨(dú)立有效彈性常數(shù)的微分方程(4.18)4.微分法(4.17)將上述方程代入（4.5）和(4.6)5.相關(guān)函數(shù)積分法含夾雜非均勻體的應(yīng)變和應(yīng)力場(chǎng)描述材料變形的幾何方程、受力的平衡方程和邊界條件與材料的本構(gòu)關(guān)系共同構(gòu)成了描述彈性問(wèn)題的封閉系統(tǒng)。這樣，我們就可以采用不同的方法和理論對(duì)彈性問(wèn)題的彈性場(chǎng)進(jìn)行求解。對(duì)于一般的彈性介質(zhì)，其幾何方程、平衡方程及應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系分別為：幾何方程

平衡方程(5.1)(5.2)5.相關(guān)函數(shù)積分法含夾雜非均勻體的應(yīng)變和應(yīng)力場(chǎng)描述5.相關(guān)函數(shù)積分法本構(gòu)方程式中，Cijkl是含夾雜非均勻介質(zhì)的彈性模量。(5.3)(5.4)將幾何方程（5.1）和本構(gòu)方程（5.3）代入平衡方程（5.2）中可得由位移表示的三維彈性體的控制方程為很顯然，當(dāng)Cijkl(x)是常數(shù)時(shí)，（5.4）式就是以位移形式表示的均勻介質(zhì)的平衡方程。然而，對(duì)于含夾雜非均勻體，Cijkl(x)是一個(gè)分片連續(xù)的函數(shù)，并且可分解為5.相關(guān)函數(shù)積分法本構(gòu)方程式中，Cijkl是含夾雜非均勻介5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，C0ijkl是基體的彈性模量，而C1ijkl(x)是相對(duì)于基體的擾動(dòng)彈性模量，即夾雜與基體彈性模量之差。(5.5)(5.6)將方程（5.5）代入方程（5.4）中可得嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，對(duì)于一般的有限非均勻體，(5.6)式的偏微分方程是無(wú)法求得解析解的。因此，下面僅在一些近似假定下求解(5.6)式。由Mura知，當(dāng)夾雜遠(yuǎn)小于非均勻體時(shí)，可將非均勻體看作為無(wú)限大體，而此時(shí)材料內(nèi)部的彈性場(chǎng)分布具有足夠的精度。為此，將無(wú)限均勻介質(zhì)C0ijkl的Green函數(shù)作用到（3.6）式的兩邊，可以得到關(guān)于位移場(chǎng)的積分方程為5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，C0ijkl是基體的彈性模量，而5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，(5.7)(5.8)是外載作用到均勻介質(zhì)上所產(chǎn)生的位移場(chǎng)，而V為含夾雜復(fù)合材料的宏觀體積。應(yīng)該說(shuō)明的是，方程（5.7）的推導(dǎo)中應(yīng)用了分部積分法，并利用了應(yīng)變場(chǎng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為0的條件。在方程（5.7）中，由于四階張量C1ijkl(x)具有彈性模量的對(duì)稱性，因而通過(guò)對(duì)方程（5.7）微分，整理后可得5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，(5.7)(5.8)是外載作用到均5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，0ij(x)是對(duì)應(yīng)于位移場(chǎng)u0i(x)的應(yīng)變場(chǎng)，而

(5.9)(5.10)是無(wú)限均勻介質(zhì)中對(duì)應(yīng)于應(yīng)變場(chǎng)的Green函數(shù)。實(shí)際上，（5.9）式是第二類Fredholm積分方程。一般情況下，只能采用近似的方法對(duì)其進(jìn)行求解，但當(dāng)?shù)姆稊?shù)小于1時(shí)，也可采用疊代法求解，因?yàn)榇藭r(shí)的級(jí)數(shù)展開是收斂的。5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，0ij(x)是對(duì)應(yīng)于位移場(chǎng)u0i5.相關(guān)函數(shù)積分法對(duì)于彈性柔度張量Bijkl(x)，同樣存在如下的分解(5.11)式中，B0ijkl是基體的彈性柔度張量，而B1ijkl(x)是相對(duì)于基體的擾動(dòng)彈性柔度張量，即夾雜與基體彈性柔度張量之差。從而不難推得(5.12)由于5.相關(guān)函數(shù)積分法對(duì)于彈性柔度張量Bijkl(x)，同樣存5.相關(guān)函數(shù)積分法這里，四階單位張量可以表示為(5.13)將此式及本構(gòu)關(guān)系一并代入（5.9）式中可得式中，(5.14)(5.15)在研究含多夾雜非均勻介質(zhì)問(wèn)題時(shí)，（5.5）式中的C1ijkl(x)和（5.11）式中的B1ijkl(x)可分別表示為5.相關(guān)函數(shù)積分法這里，四階單位張量可以表示為(5.13)5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.16)式中，N表示夾雜的數(shù)目，而V(x)表示第個(gè)夾雜的區(qū)域特征函數(shù)，即(5.17)(5.18)在這里，V表示第個(gè)夾雜所占據(jù)的區(qū)域。這樣，方程（5.9）和（5.14）可進(jìn)一步寫為5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.16)式中，N表示夾雜的數(shù)目，而V5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.19)方程（5.19）和(5.20)給出了含夾雜非均勻介質(zhì)彈性場(chǎng)的表達(dá)式。對(duì)于實(shí)際的含夾雜非均勻體，按（5.19）和(5.20)式計(jì)算其彈性場(chǎng)較為困難，但（5.19）和(5.20)式可用于分析特殊情況下材料內(nèi)部的彈性場(chǎng)特征。(5.20)5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.19)方程（5.19）和(5.205.相關(guān)函數(shù)積分法含夾雜復(fù)合材料的有效彈性模量對(duì)于統(tǒng)計(jì)均勻的含夾雜非均勻介質(zhì)（見Hashin），其有效彈性模量將應(yīng)力場(chǎng)體平均和應(yīng)變場(chǎng)體平均聯(lián)系起來(lái)。根據(jù)定義，應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)在含夾雜非均勻介質(zhì)宏觀體積上的體平均為這時(shí)，非均勻體的有效彈性模量C*ijkl被定義為(5.21)(5.22)(5.23)5.相關(guān)函數(shù)積分法含夾雜復(fù)合材料的有效彈性模量對(duì)于5.相關(guān)函數(shù)積分法有了方程（5.23）的定義，可采用下面的方法來(lái)求解含夾雜非均勻介質(zhì)的有效彈性模量。對(duì)方程(5.19)和(5.20)求體積平均可得應(yīng)該說(shuō)明的是，方程(5.24)和(5.25)右面相應(yīng)于均勻基體的彈性場(chǎng)0ij(x)

和0ij(x)取為均勻的彈性場(chǎng)。對(duì)于一般的含夾雜非均勻介質(zhì)，當(dāng)夾雜內(nèi)部的應(yīng)變場(chǎng)或應(yīng)力場(chǎng)為一般函數(shù)時(shí)，方程(5.24)和(5.25)右面的相應(yīng)體積分是無(wú)法解析計(jì)算的。因此，在本書所涉及的相關(guān)函數(shù)積分法中，假定夾雜內(nèi)部的應(yīng)變場(chǎng)為常數(shù)，且不同夾雜其內(nèi)部的應(yīng)變場(chǎng)不同。根據(jù)這一假定，方程(5.24)和(5.25)可表示為(5.24)(5.25)5.相關(guān)函數(shù)積分法有了方程（5.23）的定義，可采5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，Cpqmn表示第個(gè)夾雜的彈性模量。(5.26)(5.27)由于這里所考慮的夾雜遠(yuǎn)小于非均勻體的宏觀體積，因此可將非均勻體的宏觀體積作為無(wú)限大體處理（見Mura）。這樣，由Nomura和Chou可得(5.28)5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，Cpqmn表示第個(gè)夾雜的彈性模5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，V表示第個(gè)夾雜的體積分?jǐn)?shù)，而A0ijkl是一四階張量。當(dāng)近似無(wú)限大體是球形或立方形時(shí)，其張量為式中，Iijkl是四階單位張量，而A0ijkl分量形式為(5.29)(5.30)(5.31)(5.32)5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，V表示第個(gè)夾雜的體積分?jǐn)?shù)，而A5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，0和0分別為基體的Lame常數(shù)，而A0ijkl的其它分量為零。當(dāng)近似無(wú)限大體是圓柱形時(shí)，其張量表達(dá)式較為復(fù)雜。將(5.28)式代入(5.26)式中可得(5.33)(5.34)根據(jù)四階張量函數(shù)S0ijkl(x-x')的定義，方程(5.27)可以類似地表示為5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，0和0分別為基體的Lame常數(shù)5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，(5.35)由方程(5.23)、(5.33)和(5.34)可知，在求得含夾雜非均勻介質(zhì)的有效彈性模量之前，需首先確定的值。為此，將V(x)乘以方程(5.19)的兩邊再取體積平均可得根據(jù)(5.10)式及Green函數(shù)定義（見Mura，1987），可知四階張量函數(shù)K0ijkl(x)是偶函數(shù)。由于V可以被看作無(wú)限大體，因此方程(5.35)可以表示成如下形式5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，(5.35)由方程(5.23)、(5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.37)式中，V’表示V平移矢量-x后的體積，即V’=-x+V。由于方程(5.33)的左邊是求的體積平均，因此其結(jié)果應(yīng)與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)取在第個(gè)夾雜內(nèi)時(shí)，矢量-x的長(zhǎng)度與V的有效尺寸相比是一個(gè)小量。這樣，體積V'可以近似地由V替代，即(5.36)式變?yōu)槭街?，表示函?shù)對(duì)變量的體積平均，通常稱作兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)。需要說(shuō)明的是，方程(5.36)的推導(dǎo)中采用了變量替換。(5.36)5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.37)式中，V’表示V平移矢量-x5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.38)理論講，對(duì)于任意兩個(gè)夾雜和，總可以確定依賴于變量的關(guān)系式。由于(5.37)式的積分可以采用數(shù)值計(jì)算的方法求出，因而不妨假定式中，F(xiàn)ijkl是一四階張量。實(shí)際上，F(xiàn)ijkl反映了含夾雜非均勻介質(zhì)細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征，即夾雜的形狀、尺寸和分布。當(dāng)上述細(xì)觀結(jié)構(gòu)參數(shù)變化時(shí)，F(xiàn)ijkl也都會(huì)發(fā)生不同程度的變化。將(5.38)式代入(5.37)中可得

(5.39)5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.38)理論講，對(duì)于任意兩個(gè)夾雜和5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.40)令=1,2,..,n,則方程(5.37)可形成一個(gè)6n階的關(guān)于的線性方程組。由此封閉的方程組可以解出與0ij的關(guān)系。不妨令其表達(dá)式為式中，是一個(gè)四階張量，它與夾雜的體積分?jǐn)?shù)V、第個(gè)夾雜彈性模量與基體彈性模量之差C1ijkl和第個(gè)與第個(gè)夾雜之間兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)積分有關(guān)。(5.41)將(5.40)式代入(5.33)和(5.34)兩式中，可以得到含夾雜非均勻介質(zhì)的有效彈性模量為5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.40)令=1,2,..,n,則5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.42)應(yīng)該說(shuō)明的是，在(3.41)式中出現(xiàn)的四階張量的逆是按如下的定義給出的。對(duì)于任意四階張量Aijkl，如果它存在逆，那么定義A-1ijkl為它的逆。這里，A-1ijkl滿足關(guān)系式方程(5.41)是含夾雜非均勻介質(zhì)有效彈性模量最一般的表達(dá)式。如果清楚含夾雜非均勻介質(zhì)的細(xì)觀結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)，那么我們就可以確定相應(yīng)的有效彈性模量。下面，我們考慮兩種特殊情況。當(dāng)所有夾雜具有相同的形狀和尺寸，并且它們的分布是周期的情況時(shí)，方程(5.39)可以通過(guò)對(duì)的求和被簡(jiǎn)化為(5.43)5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.42)應(yīng)該說(shuō)明的是，在(3.41)5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，Vf是夾雜的體積分?jǐn)?shù)，而C1ijkl=C1ijkl。由于夾雜的尺寸與體積V的宏觀尺寸相比是極其小的，因此對(duì)于統(tǒng)計(jì)均勻的含夾雜非均勻介質(zhì)，非均勻體內(nèi)部的夾雜數(shù)目遠(yuǎn)大于體積V邊界附近的夾雜數(shù)目。這樣，由(5.39)式可以推斷，只要第個(gè)夾雜位于非均勻體內(nèi)部，則求和項(xiàng)將具有足夠精度地趨于一個(gè)常量。這樣，(5.43)式可以進(jìn)一步寫成如下的形式在這里，第個(gè)夾雜中心將被取作坐標(biāo)原點(diǎn)，這實(shí)際上也是非均勻體的幾何中心。將(5.44)式代入(5.32)和(5.34)中可得

(5.44)5.相關(guān)函數(shù)積分法式中，Vf是夾雜的體積分?jǐn)?shù)，而C1ijk5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.45)5.相關(guān)函數(shù)積分法(5.45)6.能量方法

考慮N相宏觀均勻介質(zhì)，其中N-1相為夾雜，彈性模量和柔度分別為L(zhǎng)I和MI（I=1,2,…,N-1），而基體彈性模量和柔度分別為L(zhǎng)和M?？紤]非均勻介質(zhì)邊界作用均勻的應(yīng)力場(chǎng)0，此時(shí)非均勻體的應(yīng)變能為同樣，非均勻體應(yīng)變能還可寫為(6.1)(6.2)6.能量方法考慮N相宏觀均勻介質(zhì)，其中N-1相為夾6.能量方法將應(yīng)變場(chǎng)分解為則有(6.3)(6.4)比較方程(6.1)和(6.4)可得6.能量方法將應(yīng)變場(chǎng)分解為則有(6.3)(6.4)比較6.能量方法(6.5)令將(6.6)代入方程(6.5)式中可得(6.6)(6.7)當(dāng)僅有一相夾雜時(shí)，(6.7)式可不是為6.能量方法(6.5)令將(6.6)代入方程(6.5)6.能量方法(6.8)對(duì)于均勻分布的球夾雜，有如下公式(6.9)下面考慮兩種特殊的加載方式，靜水應(yīng)力加載和剪切加載6.能量方法(6.8)對(duì)于均勻分布的球夾雜，有如下公式(6.能量方法靜水應(yīng)力0ij=0ij作用下，有如下關(guān)系故(6.10)(6.11)軸對(duì)稱剪應(yīng)力033=20，011=022=-0作用下，有如下關(guān)系(6.12)故(6.13)6.能量方法靜水應(yīng)力0ij=0ij作用下，有如下關(guān)系7.稀疏模型不考慮夾雜之間的相互影響，此時(shí)有關(guān)系式通過(guò)計(jì)算，我們可以求得(7.1)(7.2)7.稀疏模型不考慮夾雜之間的相互影響，此時(shí)有關(guān)系式通過(guò)計(jì)7.稀疏模型靜水應(yīng)力作用下，有關(guān)系式軸對(duì)稱剪應(yīng)力作用下，可得(7.3)(7.5)(7.4)僅有一相夾雜時(shí)，有7.稀疏模型靜水應(yīng)力作用下，有關(guān)系式軸對(duì)稱剪應(yīng)力作用下，7.稀疏模型由(7.5)可解得(7.6)7.稀疏模型由(7.5)可解得(7.6)8.Mori-Tanaka法考慮非均勻體邊界分別作用常應(yīng)力場(chǎng)0ij和mij，靜水應(yīng)力作用下，有關(guān)系式軸對(duì)稱剪應(yīng)力作用下，可得(8.1)(8.3)(8.2)考慮僅一相夾雜的情況，此時(shí)夾雜內(nèi)應(yīng)變場(chǎng)可以表示為8.Mori-Tanaka法考慮非均勻體邊界分別作用常應(yīng)力8.Mori-Tanaka法當(dāng)非均勻體邊界施加均勻的應(yīng)力場(chǎng)0ij時(shí)，我們有由(8.4)式可以求出m。由方程(8.3)和(8.4)可推得(8.4)(8.6)(8.5)方程(8.5)進(jìn)一步寫為8.Mori-Tanaka法當(dāng)非均勻體邊界施加均勻的應(yīng)力場(chǎng)8.Mori-Tanaka法方程(8.3)中的A可以進(jìn)一步表示為將(8.7)式代入(8.6)式中可得(8.7)(8.9)(8.8)考慮球夾雜均勻分布情況，(8.6)式右面的四階張量可以表示為8.Mori-Tanaka法方程(8.3)中的A可以進(jìn)一步8.Mori-Tanaka法靜水應(yīng)力作用下，(8.6)式為軸對(duì)稱剪應(yīng)力作用下，(8.6)式為(8.10)(8.11)將方程(8.10)和(8.11)代入方程(8.1)和(8.2)中可得8.Mori-Tanaka法靜水應(yīng)力作用下，(8.6)式為8.Mori-Tanaka法(8.12)(8.13)將方程(8.12)代入能量法的相應(yīng)方程中可得8.Mori-Tanaka法(8.12)(8.13)將方9.一階上下限理論多晶體有效彈性模量的確定是一個(gè)古老問(wèn)題。早在1889年Voigt就根據(jù)晶體內(nèi)常應(yīng)變假定研究了這一問(wèn)題，并且給出了相應(yīng)的有效體積模量和剪切模量。后來(lái)，Reuss根據(jù)晶體內(nèi)的常應(yīng)力假定給出了相應(yīng)結(jié)果。Voigt近似(6.1)設(shè)基體內(nèi)含有n類夾雜，每類夾雜的彈性模量為L(zhǎng)i(i=1,2,…,n),基體彈性模量為L(zhǎng)0，各類夾雜的體積分?jǐn)?shù)分別為ci(i=1,2,…,n),基體的體積分?jǐn)?shù)為c0。顯然9.一階上下限理論多晶體有效彈性模量的確定是一個(gè)古老問(wèn)題。9.一階上下限理論Voigt采用所謂的并聯(lián)模型，假定在載荷作用下，各組分（夾雜與基體）的變形相同，都等于復(fù)合材料的平均應(yīng)變，即(6.2)此時(shí)，復(fù)合材料的平均應(yīng)力為各組分的本構(gòu)關(guān)系為(6.3)9.一階上下限理論Voigt采用所謂的并聯(lián)模型，假定在載荷9.一階上下限理論將(6.3)代入(6.2)中，并根據(jù)下式(6.5)我們可推得(6.4)如果復(fù)合材料是宏觀各向同性的，則(6.6)9.一階上下限理論將(6.3)代入(6.2)中，并根據(jù)下式9.一階上下限理論Ruess近似(6.7)Ruess采用所謂的串聯(lián)模型，假定在載荷作用下，各組分（夾雜與基體）的應(yīng)力相同，都等于復(fù)合材料的平均應(yīng)力，即此時(shí)，復(fù)合材料的平均應(yīng)變?yōu)?6.8)各組分的本構(gòu)關(guān)系為(6.9)9.一階上下限理論Ruess近似(6.7)Ruess采用所9.一階上下限理論將(6.9)代入(6.8)中，并根據(jù)下式(6.11)我們可推得(6.10)如果復(fù)合材料是宏觀各向同性的，則(6.12)9.一階上下限理論將(6.9)代入(6.8)中，并根據(jù)下式Thankyou!12/13/2022Thankyou!12/11/2022139復(fù)合材料性能預(yù)報(bào)與設(shè)計(jì)主講人：吳林志哈工大復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所12/13/2022復(fù)合材料性能預(yù)報(bào)與設(shè)計(jì)主講人：吳林志12/11/2022140主要參考書復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)杜善義、王彪編著固體本構(gòu)關(guān)系黃克智、黃永剛編著MicromechanicsofdefectsinsolidsToshioMura主要參考書復(fù)合材料細(xì)觀力學(xué)主要內(nèi)容細(xì)觀力學(xué)的發(fā)展概況夾雜理論初步復(fù)合材料有效彈性模量主要內(nèi)容細(xì)觀力學(xué)的發(fā)展概況Eshelby(1957,1959,1961)的三篇文章Mura(1982,1987)的專著細(xì)觀力學(xué)的發(fā)展概況代表性工作自洽理論(Hill,1965;Budiansky,1965)廣義自洽理論(ChristensenandLo,1979)Mori-Tanaka方法(MoriandTanaka,1973)微分法(Mclaughlin,1977)二階上下限(HashinandShtrikman,1963)高階上下限(Torquato,1991)Eshelby(1957,1959,1961)的三篇文夾雜理論初步本征應(yīng)變的定義彈性問(wèn)題的基本方程彈性場(chǎng)的一般表達(dá)式Green函數(shù)彈性場(chǎng)的Eshelby解非均勻體問(wèn)題夾雜理論初步本征應(yīng)變的定義本征應(yīng)變1.本征應(yīng)變的定義本征應(yīng)變是一個(gè)廣義概念，是指所有非彈性應(yīng)變，例如熱膨脹應(yīng)變、相變應(yīng)變、初始應(yīng)變、塑性應(yīng)變、失配應(yīng)變等。本征應(yīng)力本征應(yīng)力是由本征應(yīng)變所引起的自平衡內(nèi)應(yīng)力，它不同于由作用于物體的外載荷所引起的應(yīng)力。本征應(yīng)變1.本征應(yīng)變的定義本征應(yīng)變是一個(gè)廣義概1.本征應(yīng)變的定義如圖1所示，當(dāng)材料內(nèi)部區(qū)域的溫度升高度時(shí)，外部區(qū)域的限制將導(dǎo)致區(qū)域D內(nèi)的熱應(yīng)力ij。熱膨脹將組成熱膨脹應(yīng)變(1-1)式中，ij是KroneckerDelta，而是線熱膨脹系數(shù)。當(dāng)區(qū)域不受外部約束，可以自由膨脹時(shí)，熱膨脹應(yīng)變就由方程(1)給出。圖1.1夾雜

1.本征應(yīng)變的定義如圖1所示，當(dāng)材料內(nèi)部區(qū)域1.本征應(yīng)變的定義當(dāng)本征應(yīng)變?cè)诰鶆虿牧螪的有限區(qū)域內(nèi)給定，而在區(qū)域D-

內(nèi)為零時(shí)，

被叫做夾雜。這里，夾雜與基體D-

的彈性模量相同。

當(dāng)夾雜的彈性模量與基體的彈性模量不同時(shí)，被叫做非均勻體(inhomogeneity)。此時(shí)，應(yīng)力場(chǎng)將由非均勻體擾動(dòng)。對(duì)于非均勻體問(wèn)題，擾動(dòng)的應(yīng)力場(chǎng)可由虛構(gòu)的本征應(yīng)變表示。1.本征應(yīng)變的定義當(dāng)本征應(yīng)變?cè)诰鶆虿牧螪的有限2.彈性問(wèn)題的基本方程當(dāng)自由彈性體D承受一個(gè)給定的本征應(yīng)變分布時(shí)，可通過(guò)基本方程給出任意點(diǎn)處的彈性場(chǎng)。這里所說(shuō)的自由彈性體是指不受任何外來(lái)的表面力和體積力。Hooke’slaw對(duì)于小變形問(wèn)題，總應(yīng)變場(chǎng)ij是彈性應(yīng)變場(chǎng)eij和本征應(yīng)變場(chǎng)ij之和(2-1)2.彈性問(wèn)題的基本方程當(dāng)自由彈性體D承受一個(gè)給2.彈性問(wèn)題的基本方程總應(yīng)變ij必須是相容的(2-2)彈性應(yīng)變與應(yīng)力通過(guò)Hooke’slaw聯(lián)系在一起(2-3)(2-4)或者2.彈性問(wèn)題的基本方程總應(yīng)變ij必須是相容的(2-2)彈2.彈性問(wèn)題的基本方程式中，Cijkl是四階彈性模量張量，有如下關(guān)系(2-5)在區(qū)域D-內(nèi)本征應(yīng)變?yōu)榱?，此時(shí)方程（2-4）可表示為(2-6)(2-7)方程（2-3）的逆可表示為式中，C-1ijkl是彈性柔度張量。2.彈性問(wèn)題的基本方程式中，Cijkl是四階彈性模量張量，2.彈性問(wèn)題的基本方程對(duì)于各向同性材料，方程(2.3)和(2.7)可以表示為(2-8)(2-9)式中，和是Lame常數(shù)，而是Poisson’sratio。平衡條件計(jì)算本征應(yīng)力時(shí)，需假定材料D不受外載（體力和表面力）作用。如果上述條件得不到滿足，那么應(yīng)力場(chǎng)可以通過(guò)自由體的本征應(yīng)力問(wèn)題與相應(yīng)的邊值問(wèn)題的疊加得到。2.彈性問(wèn)題的基本方程對(duì)于各向同性材料，方程(2.3)和(2.彈性問(wèn)題的基本方程平衡方程(2-10)無(wú)外力作用的邊界條件式中，nj是彈性體D邊界上的外單位法向量。方程（2.11）是有限彈性體的邊界條件。對(duì)于無(wú)限彈性介質(zhì)，相應(yīng)的邊界條件為(2-11)(2-12)2.彈性問(wèn)題的基本方程平衡方程(2-10)無(wú)外力作用的邊界2.彈性問(wèn)題的基本方程將方程（2.4）代入方程（2.10）和（2.11）中可得(2-13)和由方程（2.13）和（2.14）可以看出，本征應(yīng)變對(duì)平衡方程和邊界條件的貢獻(xiàn)相當(dāng)于體積力和面力。(2-14)2.彈性問(wèn)題的基本方程將方程（2.4）代入方程（2.10）2.彈性問(wèn)題的基本方程相容條件應(yīng)變張量ij有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量，而位移矢量ui有3個(gè)分量。它們通過(guò)幾何方程（相容條件）聯(lián)系在一起。然而，相容方程一般是指由相容條件所導(dǎo)出的如下方程式中，pki是置換張量，被定義為(2-15)(2-16)2.彈性問(wèn)題的基本方程相容條件應(yīng)變張量ij有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)3.彈性場(chǎng)的一般表示在下面的推導(dǎo)中，考慮無(wú)限彈性介質(zhì)D內(nèi)含一夾雜，且夾雜內(nèi)具有本征應(yīng)變*ij的一般情況。這樣做的目的：既是為了數(shù)學(xué)上處理簡(jiǎn)單，又是接近于實(shí)際。對(duì)于一般的復(fù)合材料，增強(qiáng)或增韌相的細(xì)觀幾何尺寸遠(yuǎn)小于復(fù)合材料的宏觀尺寸，這樣將復(fù)合材料作為無(wú)限大彈性體處理具有足夠的精度。對(duì)于給定的本征應(yīng)變*ij，所要求解的基本方程為(3-1)3.彈性場(chǎng)的一般表示在下面的推導(dǎo)中，考慮無(wú)限彈性介Fourier積分變換三維空間內(nèi)函數(shù)的Fourier積分變換及反變換分別為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的Fourier積分變換為

Fourier積分變換三維空間內(nèi)函數(shù)的Fourier積分變換3.彈性場(chǎng)的一般表示對(duì)方程（3.1）進(jìn)行Fourier積分變換后可得在推導(dǎo)中用到了關(guān)系式(ix),l=il。方程（3.2）表示三個(gè)方程，用于確定三個(gè)未知量ūi。引入符號(hào)(3-4)(3-2)(3-3)3.彈性場(chǎng)的一般表示對(duì)方程（3.1）進(jìn)行Fourier積分3.彈性場(chǎng)的一般表示我們可將方程（3.2）寫成求解方程（3.5）可得(3-6)(3-5)3.彈性場(chǎng)的一般表示我們可將方程（3.2）寫成求解方程（33.彈性場(chǎng)的一般表示式中，Nij是如下矩陣的代數(shù)余子式而D()是()的行列式。注意有如下關(guān)系式(3-8)(3-7)(3-9)3.彈性場(chǎng)的一般表示式中，Nij是如下矩陣的代數(shù)余子式而D3.彈性場(chǎng)的一般表示D()和Nij()可顯式表達(dá)為對(duì)方程（3.6）進(jìn)行Fourier反變換，并根據(jù)幾何方程和本構(gòu)關(guān)系，我們有(3-11)(3-12)(3-10)3.彈性場(chǎng)的一般表示D()和Nij()可顯式表達(dá)為3.彈性場(chǎng)的一般表示式中，將本征應(yīng)變變換

(3-13)代入到方程（3.12）中，經(jīng)整理后可得

(3-14)3.彈性場(chǎng)的一般表示式中，將本征應(yīng)變變換(3-13)代入3.彈性場(chǎng)的一般表示(3-15)當(dāng)Green函數(shù)被定義為

(3-16)3.彈性場(chǎng)的一般表示(3-15)當(dāng)Green函數(shù)被定義為3.彈性場(chǎng)的一般表示此時(shí)，（3.15）式中的位移分量為

式中(3-18)(3-17)有時(shí)，Green函數(shù)也稱作基本解。對(duì)于應(yīng)變和應(yīng)力分量，相應(yīng)的表達(dá)式可寫為(3-19)3.彈性場(chǎng)的一般表示此時(shí)，（3.15）式中的位移分量為式4.格林函數(shù)在前面，Green函數(shù)被定義為

在x'點(diǎn)沿xj方向施加一個(gè)單位力，在x點(diǎn)沿xi方向的位移(4-1)容易證明：4.格林函數(shù)在前面，Green函數(shù)被定義為在x'點(diǎn)沿xj4.格林函數(shù)下面證明，Green函數(shù)滿足如下基本方程(x-x')是三維Delta函數(shù)。（4.2）式類似于平衡方程(4-2)相當(dāng)于位移相當(dāng)于體積力根據(jù)Green函數(shù)定義，我們有(4-3)4.格林函數(shù)下面證明，Green函數(shù)滿足如下基本方程(x4.格林函數(shù)式中，由于Nkm是的代數(shù)余因子，所以我們有

(4-4)另一方面，DiracDelta函數(shù)可以定義為(4-6)(4-5)將（4.5）和（4.6）兩式代入方程（4.3）中，可發(fā)現(xiàn)（4.2）成立。4.格林函數(shù)式中，由于Nkm是的代數(shù)余因子，所以我們有4.格林函數(shù)對(duì)于各向同性材料，Green函數(shù)可以表示為(4-7)經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，我們可得(4-8)式中，(4-9)4.格林函數(shù)對(duì)于各向同性材料，Green函數(shù)可以表示為(45.Eshelby

解無(wú)限均勻介質(zhì)內(nèi)含一橢球夾雜，且橢球夾雜內(nèi)的本征應(yīng)變場(chǎng)為常數(shù)。當(dāng)本征應(yīng)變是熱膨脹應(yīng)變時(shí)，相應(yīng)問(wèn)題的解由Goodier（1937）給出。對(duì)于一般的本征應(yīng)變問(wèn)題，Eshelby(1957,1959,1961)給出了相應(yīng)問(wèn)題的解析解。夾雜內(nèi)部和外部彈性場(chǎng)的解不同。Eshelby工作最有價(jià)值的結(jié)果是夾雜內(nèi)部彈性場(chǎng)的解。5.Eshelby解無(wú)限均勻介質(zhì)內(nèi)含一橢球夾雜，5.Eshelby

解對(duì)于目前的問(wèn)題，由位移場(chǎng)的表達(dá)式可得(5-1)式中，由如下方程描述(5-2)而Green函數(shù)為(5-3)5.Eshelby解對(duì)于目前的問(wèn)題，由位移場(chǎng)的表達(dá)式可得5.Eshelby

解公式推導(dǎo)(5-4)(5-5)5.Eshelby解公式推導(dǎo)(5-4)(5-5)5.Eshelby

解(5-6)5.Eshelby解(5-6)5.Eshelby

解經(jīng)過(guò)推導(dǎo)后，我們有(5-7)式中，(5-8)l為單位矢量(5-9)5.Eshelby解經(jīng)過(guò)推導(dǎo)后，我們有(5-7)式中，(5.Eshelby

解內(nèi)部彈性場(chǎng)(5-4)當(dāng)點(diǎn)x位于夾雜內(nèi)時(shí)，（5.7）式的積分可以被進(jìn)行。如圖1.2所示，體積元可以被表示為(5-10)式中，d是中心位于點(diǎn)x的單位球的表面元，而

(5-11)5.Eshelby解內(nèi)部彈性場(chǎng)(5-4)當(dāng)點(diǎn)x位于夾雜內(nèi)5.Eshelby

解(5-12)對(duì)變量積分后可得式中，r(l)是如下方程的正根(5-14)(5-13)即5.Eshelby解(5-12)對(duì)變量積分后可得式中，r5.Eshelby

解(5-15)式中，(5-16)引入5.Eshelby解(5-15)式中，(5-16)引入5.Eshelby

解此時(shí)，方程（5.12）可以化為(5-17)應(yīng)變分量為(5-18)方程（5.18）的積分是與x無(wú)關(guān)的。因此，我們得到一個(gè)重要結(jié)論：夾雜內(nèi)的應(yīng)變場(chǎng)是常數(shù)。根據(jù)Routh(1895)的工作，上面的表面積分可化為一些簡(jiǎn)單的積分。5.Eshelby解此時(shí)，方程（5.12）可以化為(5-5.Eshelby

解(5-19)(5-20)式中，其它系數(shù)可以通過(guò)（1,2,3），(a1,a2,a3)和(l