積分第二中值定理的證明

bn1)an1)an21bbn11)an11(bn11ban11)bn11(an11an12)...bn21(an21aan11)bn11(an11an12)...bn21(an21aan21)an21ban1)an21bff(x)(x)dx(a0)f(x)dx(b0)f(x)dx a(ba(bnn2 bn1)ab(a值定理更一般的形式，這篇主要講積分第二中值定理的證明。理：f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，那么在[a,b]上存在內(nèi)點(diǎn)，使得：a

a特別的，當(dāng)(x)在區(qū)間[a,b]兩端連續(xù)時(shí)，有bf(x)(x)dx(a)f(x)dx(b)bf(x)dxa a Abel引理：數(shù)列{a

}和{b

}，對(duì)于任意的n

n

0，有n nn1

(a

ab 實(shí)際上：n nn1ab b(a ab b(a n nn1

(b

ab

)...a

(b)a )b

(a

下面給出Abel引理的一個(gè)理解方式，便于記憶。眾所周知，積分與求和，微分與差分有許多相似之處，一個(gè)是對(duì)連續(xù)函數(shù)而言，一bn1，df(x)對(duì)應(yīng)akk1)(x()f(x)(x)dx(||||[(xff(x)dxf(x)(x)dx。個(gè)是對(duì)離散的數(shù)列而言，只要把函數(shù)與數(shù)列的一些定理放在一起比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)異曲同工之處。那么就來(lái)回顧一下分部積分的方法：區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)與(x)，有

a再看上面的Abel引理，a

aa對(duì)應(yīng)f(x)，b

對(duì)應(yīng)(x)，符號(hào)n2

應(yīng)

ba

，d(x)對(duì)應(yīng)b

an1，最后你會(huì)發(fā)現(xiàn)上面用Abel引理進(jìn)行變換也能帶來(lái)很多好處，下面就進(jìn)入正題，證明積分第二中值定理。，l表示劃分的最 大長(zhǎng)度，接下來(lái)設(shè)(x)非負(fù)且單調(diào)不增。將得到：

a

。用表示|f(x)| 在區(qū)間[a,b] 的上確界，令

)

f(x)dx，則：a n [()(x)]f(x)dx|k1

)](x

xk1)k1l[(a)(b)]

)xk

a下面將用Abel引理變換上面的式子：))(k1)]A()ff(x)dx(分別用分別用M和m來(lái)表示f(u)du的在區(qū)間[a,b]的上下確界，顯然有有(1)(a0)，Sf(x)(x)dx，不等式可寫為：mm(a0)f(x)(x)dxM(a0)，根據(jù)f(u)du的連續(xù)性，區(qū)間區(qū)間[a,b]存在內(nèi)點(diǎn)，使得f(x)(x)dx(a0)f(x)dx。 其中其中abb，因此f(x)(x)dx(b0)f(x)dx，述為：述為：f(x)(x)dx(a0)f(x)dx(b0)f(x)dx。 ff(x)(x)dx(a)f(x)dx(b)f(x)dx 令A(yù)xkf(x)dx，(k0,1,2,..,n)，那么， axk1 ()

n a有mAM，令S

)，由于(x)單 n 調(diào)不增且非負(fù)，則有：m(1)SM(1)，當(dāng)lT0時(shí)，bab a aba

a如果(x)非負(fù)且單調(diào)不減，令xby，則，bf(x)(x)dxbaf(by)(by)dy(b0)f(by)dya(b0)

b a 綜合可得，當(dāng)(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，積分第二中值定理可表b a a 特別地，若(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)且連續(xù)，則a

a這種情況可以用分部積分給出推導(dǎo)過(guò)程，盡管不是嚴(yán)格的證明，但是從這個(gè)過(guò)程中應(yīng)該能加深對(duì)積分第二中值定理的理解。ff(x)(x)dx(x)dF(x)F(x)(x)|F(x)d(x)F(b)(b)F(x)'(x)dx(b)f(x)dx(b)f(x)dx(a)f(x)dx (a)f(x)dx(b)f(x)dx 令F(x)xf(u)du，可知F(a)0，則，

ab a aa