人教版高中數(shù)學選修2-1 練習綜合水平測試

一、選擇題：本大題共

小題，每小題

分，共

分．．

湖北省黃岡市質(zhì)檢命題“?∈，－≤0”為真命題的一個充分不必要條件是

A.

≥4C.

≥5

B.

≤4

≤5解析：本題考查全稱量詞的意義與充分必要條件的應用．∵?∈，≤≤，∴要使

－≤

為真，則

≥，則

≥，本題求的是充分不必要條件，結合選項，只有

符合，故選

C.答案：

已知空間向量

＝，，b＝－，，則－b的最小值為 A. C.

B.

解析：本題主要考查空間向量的坐標運算以及簡單的二次函數(shù)求最值．－b＝

－

＋≥，故選

C.答案：

廣東高考若實數(shù)

滿足

0<<9，則曲線－－＝

與

曲線－－＝

的

A.

離心率相等C.

實半軸長相等

B.

虛半軸長相等

焦距相等解析：本題主要考查雙曲線基本量之間的關系．由0<<9，易知兩曲線均為雙曲線且焦點都在

軸上，由

＋－＝

－＋，得兩雙曲線的焦距相等，選答案：．

湖南高考已知命題

p：若>，則－<－；命題q：若>，則

>.在命題①p∧q；②p∨q；③p∧綈

q；④綈

p∨q

中，真命題是 A.

①③C.

②③

B.

①④

②④解析：斷．注意綈

p，綈

q

只對命題的結論進行否定，復合命題

p∧q

要兩個命題全為真才為真，p∨q

只要兩個命題有一個為真就為真．由不等式的性質(zhì)可知，命題

p

是真命題，命題

q

為假命題，故①p∧q

為假命題，②p∨q

為真命題，③綈

q

為真命題，則p∧綈

q為真命題，④綈

p

為假命題，則綈

p∨q

為假命題，所以選

C.答案： ．

大綱全國卷已知橢圓

：＋b＝>b的左、右焦點為

F、F，離心率為

，過

F的直線

l

交

于

、

兩點．若△

的周長為

，則

的方程為 A.

＋＝ C.

＋＝

B.

＋＝

＋＝解析：

本題主要考查橢圓的定義及幾何性質(zhì)．由橢圓的性質(zhì)知＋＝，BF＋BF＝，∴△

的周長＝

＋＋BF＋BF＝

，∴＝

又

e＝

，∴＝∴b＝－＝， ∴橢圓的方程為＋＝，故選

A.答案：A．

江西高考下列敘述中正確的是 A.

若

，b，∈R，則“＋＋≥0”的充分條件是“b－≤0”B.

若

，b，∈R，則“>”的充要條件是“>”C.

命題“對任意

∈R，有

≥0”的否定是“存在

∈R，有

≥0”

l

是一條直線，α，β

是兩個不同的平面，若

l⊥α，l⊥β，則

α∥β解析：由

b－≤

推不出

＋＋≥，這是因為

的符號不確定，所以

A

不正確；當

b＝

時，由

>

推不出

>，所以

B不正確；“對任意

∈R，有

≥”的否定是“存在

∈R，有

<0”，所以

不正確．選

答案： ．

天津高考已知雙曲線－b＝>0，b的一條漸近線平行于直線

l：＝＋，雙曲線的一個焦點在直線l

上，則雙曲線的方程為 A.

－＝ C.

－＝

B.

－＝

－＝ 解析：由題意知，雙曲線－b＝>0，b的一條漸近線為

b＝＝

b＝l

與

軸的交點，所以該焦點的坐標為－，所以＝，即＋b＝，聯(lián)立解得

＝，b＝－＝解得

＝，b＝－＝，得＋b＝，故選

A.答案：A

已知四面體

中，、、

兩兩垂直，給出下列命題：→

→ →

→ →

→①·

＝·

＝·

；→ → → → → →②＋＋＝＋＋.則下列關于以上兩個命題真假性的判斷正確的是 A.

①真、②真 B.

①真、②假C.

①假、②假

①假、②真解析：由

⊥、⊥，得

⊥平面

，→

→ →

→ →

→故

⊥，即有·

＝，同理，·

＝·

＝于是，命題①為真命題．由于

、、

為同一頂點出發(fā)的三條棱，可→ → →＋＋為以

為起點的長方體的體對角線→ → →所對應的向量，從而＋＋為長方體的體對角線的長，而→ → →＋＋亦表示體對角線的長，故命題②亦真．答案：A

銀川高二質(zhì)檢直線

－－＝

與拋物線

＝

交于、

兩點，若＝，則弦

的中點到直線

＋＝

的距離等于

B．．解析：直線

－－＝，即

＝－，即直線

－－＝

過拋物線

＝

的焦點，．設

，，，則＝ ＋＋＝，故＋＝，則弦

的中點的橫坐標是，所以弦 的中點到直線

＋＝

的距離是＋＝答案：

課標全國卷Ⅱ直三棱柱

－

中，∠

＝，M，N

分別是

，的中點，＝＝，則

與

所成角的余弦值為 A.

C.

B.

解析：θ

的余弦值

θ＝

→的面積為eq

\o\ac(△,”)；若

的面積為，則＝±1，所以eq

\o\ac(△,“)

的面積為”?/“θ

的余弦值

θ＝

→的面積為eq

\o\ac(△,”)；若

的面積為，則＝±1，所以eq

\o\ac(△,“)

的面積為”?/“＝”，所以“＝”是eq

\o\ac(△,“)

的面積為

”的充分而不必要條

，

兩點，則“＝1”是eq

\o\ac(△,“)

的面積為”的 → →N，所以＝，－，＝－，故

與

所成角→

→·

→

＝

6×

＝

.答案：．

福建高考直線

l：＝＋

與圓

：＋＝

相交于A.

充分而不必要條件B.

必要而不充分條件C.

充分必要條件

既不充分又不必要條件 力和運算求解能力.

若

＝

l：＝＋

與圓相交于，

－

的面積

＝2×1×1＝，所以“＝”?eq

\o\ac(△,“) 件，故選

A.答案：A

已知一拋物線關于

軸對稱，它的頂點在坐標原點

，并且 π它的焦點

F

是橢圓

＋＝

F

且傾斜角為的直線交拋物線于

，

兩點，則弦

的長度為 A.

C.

B.

解析：式．依題意，拋物線的焦點為

F，則拋物線方程為

＝.直線π

的傾斜角為

，斜率為

，故方程為

＝

－

，聯(lián)立方程＝＝

－

消去

，得

－＋＝可設

，，，，由根與系數(shù)的關系，得

＋＝

，所以由拋物線的焦點弦長公 式，得＝＋＋＝

＋＝

，故選

答案：二、填空題：本大題共

小題，每小題

分，共

分．．命題“?∈R,－＋9<0”為假命題，則實數(shù)

的取值范圍是________．解析：∵?∈R,－＋

為假命題，∴?∈R,－＋≥

為真命題，∴Δ＝－4×2×9≤，即

≤，∴－

≤≤

答案：－

，

．

北京高考設雙曲線

經(jīng)過點，且與－＝

具有相同漸近線，則

的方程為________；漸近線方程為________．解析：．若方程

＋

＝

所表示的曲線為

，給出下列四個命．若方程

＋

＝

所表示的曲線為

，給出下列四個命錐曲線的定義及性質(zhì)的掌握情況．∵與雙曲線－＝

有相同漸近線的雙曲線方程為

－＝，將點代入，得＝－，∴雙曲線 的方程為－＝，其漸近線方程為－＝，即

＝±2. 答案：－＝ ＝±2 － －題：①若

為橢圓，則

1<<4

且

≠；②若

為雙曲線，則

>4

或

<1；③曲線

不可能是圓；④若

表示橢圓，且長軸在

軸上，則

1<其中正確的命題是

________(把所有正確命題的序號都填在橫線上．－>0，解析：若為橢圓－，－≠－，

即

1<<4，且

≠；若為雙曲線，則－－，即

>4

或

<1； 當

＝時，表示圓，若

表示長軸在

軸上的橢圓，則

1<<2，故①②正確．答案：①②

遼寧高二測試

⊥平面

ABEF

是正方形，四邊形

ABEF

是矩形，且

＝＝，

是

EF的中點，則

與平面

所成角的正弦值為________．解析：如圖，以

為原點建立空間直角坐標系，→→·

＝，則

，，，，，F(xiàn)，＝→ → →，，＝，＝，－，＝，設平面

的法向量為

＝，，由→·

＝→＝ .

＋＝ ＝－

θ＝

→ ＝ ＝ .

＋＝ ＝－

θ＝

→ ＝ ? ?＝，－．→·

×

答案：

三、解答題：本大題共

小題，共

分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．．

分已知

＝，b＝－，，－，＝，－，，∥b，b⊥，求：，b，；＋

與

b＋

所成角的余弦值．

解：因為

∥b，所以－＝＝－，解得＝，＝－

＝，b＝－，－，－，又因為

b⊥，所以

b·

＝，即－＋－＝，解得

＝，于是

＝，－．由得

＋＝，b＋＝，－，因此

＋

與

b＋－＋

所成角的余弦值等于

θ＝

．

分已知命題

p：方程m－m－＝

表示焦點在

軸上的

橢圓， 命題

q－m＝

的離心率

e∈

p，q

只有一個為真，求實數(shù)

m

的取值范圍． m－解：將方程m－ m－ －m改寫為m＋ ＝－m只有當

－m>2m>0，即

0<m<3時，方程表示的曲線是焦點在

軸上的橢圓，所以，命題

p

等價于

0<m<3； ＋m因為雙曲線－m＝的離心率e∈，所以m>0，且1<

<4，解得

0<m；所以命題

q

等價于

0<m；若

p

真

q

假，則

m∈

；若

p

假

q

真，則≤m綜上，m

的取值范圍為≤m．

分在長方體

－中，＝＝，E、F、E分別是棱

，，的中點．求證：CE∥平面

EF；求證：平面

EF⊥平面

CEF.解：

為原點，，，所在的直線為

軸，

軸，

軸建立空間直角坐標系，設＝，則

，E，，F(xiàn)，E，，．設平面

EF

的法向量

＝，，．→ →∵E＝，－，，F(xiàn)C＝－，··

E＝，∴→·

FC

＝，→

－＝，即

－＋＝取

＝．→ →∵CE＝，－，·

CE＝－＋＝，→∴CE⊥.又∵CE

平面

EF，∴CE∥平面

EF.設平面

EFC

的法向量為

m＝，b，，→ →由EF＝，F(xiàn)C＝－，－，→m·

EF＝，→∴→m·

FC＝，→

b＝，即－－＝＋＝ ②

＋＝ ②

的解．

＋

＝－

，所以＋ ＋

－

∵m·

＝－＋＋＝－＋＝，∴平面

EF⊥平面

CEF.

分設曲線方程為

＋＝，過點

M的直線

l

交曲線→

→ →于點

、，

是坐標原點，點

P

滿足＝＋．當

l

繞點

M旋轉時，求動點

P

的軌跡方程．解：直線

l

過點

M，設其斜率為

，則

l

的方程為

＝＋設

，，，，由題設可得點、

的坐標，、，＝＋， ①是方程組 將①代入②并化簡得＋＋－＝， ＋

＋＝＋

→

→ →

＋于是＝＋＝ ， ＝＋

＋設點

P

的坐標設點

P

的坐標，，則 ＋

＝

－

，＝＋，

消去參數(shù)

得

＋－當

不存在時，

中點為坐標原點，即點

P，也滿足方程③.所以點

P

的軌跡方程為

＋－＝．

分

課標全國卷Ⅰ如圖，三棱柱

－中，側面

為菱形，⊥.證明：＝；若

⊥，∠＝，＝，求二面角

－－的余弦值．解：連接

，交

于點

，連接

.因為側面

為菱形，所以

⊥，且

為

及

的中點．又

⊥

⊥平面

.由于

平面

⊥.又

＝，故

＝.因為

⊥，且

為

的中點，所以

＝.又因為

＝eq

\o\ac(△,BC)，所以 ≌△.故

⊥，從而

，，兩兩互相垂直．

→ →

以

為坐標原點，的方向為

軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系－.因為∠＝，所以△為等邊三角形．又＝，則 ，

，，，

，，，－

，．→ → → → →＝，

，－

，＝＝，－

，＝＝－，－

，．設

＝，，是平面

的法向量，則 →·

→·

＝，·

＝，

→

即

－

＝，－

＝設

m

是平面

的法向量，則設

m

是平面

的法向量，則m·

＝→m·

＝，→ 同理可取

m＝，－

，

．·

m

則

〈，m〉＝m＝.

所以二面角

－－的余弦值為 ．

分

天津高考設橢圓＋b＝>b的左、右焦點分別為

F，F(xiàn)，右頂點為

，上頂點為

.已知＝

FF求橢圓的離心率；設

P

為直徑的圓經(jīng)過點

F，經(jīng)過原點

的直線

l

與該圓相切．求直線l

的斜率．解：設橢圓右焦點

F的坐標為．由＝

FF，可得

＋b＝，又

b＝－，則

＝又因為點

又因為點

P

在橢圓上，故＋＝ ②所以，