江蘇省無(wú)錫市錫山高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

2020~2021學(xué)年度第一學(xué)期江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)期中考試高一數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集的定義寫出即可．【詳解】集合，，則．故選：A2.命題“”的否定形式為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式書寫.【詳解】命題“”的否定是：，.故選：C.3.若函數(shù)是冪函數(shù)，且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m為（）A.2 B.-1 C.4 D.2或-1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，可得，求出的值，再判斷是否滿足冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求出結(jié)果．【詳解】∵冪函數(shù)，∴，解得，或；又冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)為，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，冪函數(shù)為，不滿足題意；綜上，.故選：A．4.命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】“，”為真命題可轉(zhuǎn)化為恒成立，可得，根據(jù)充分必要條件可選出答案．【詳解】若“，”為真命題，可得恒成立，只需，所以時(shí)，，”為真命題，“，”為真命題時(shí)推出，故是命題“，”為真命題一個(gè)充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是將命題“，”為真命題轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題.5.為了防止新冠疫情輸入校園.省錫中后勤采用噴灑消毒對(duì)學(xué)校教學(xué)區(qū)域何物體表面進(jìn)行消毒.噴灑后該藥品濃度C隨時(shí)間t的變化關(guān)系為，則一段時(shí)間后藥品的最大濃度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式進(jìn)行求解即可【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立故選B6.已知函數(shù)，)是定義在R上的函數(shù)，，則“函數(shù)為偶函數(shù)”是“函數(shù)，均為偶函數(shù)”的（）A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)，均為偶函數(shù)，推得，證得必要性成立，再舉例說(shuō)明充分性不成立，即可得到答案．【詳解】由函數(shù)，均為偶函數(shù)，則，又由，即，所以為偶函數(shù)，所以“函數(shù)為偶函數(shù)”是“函數(shù)，均為偶函數(shù)”的必要條件；例如：函數(shù)，此時(shí)為偶函數(shù)，而函數(shù)都不是偶函數(shù)，所以“函數(shù)為偶函數(shù)”是“函數(shù)，均為偶函數(shù)”的必要不充分條件.故選:C7.已知函數(shù)為奇函數(shù)，若函數(shù)與的圖象在的交點(diǎn)為，，則（）A.1 B.-2 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先求得的對(duì)稱中心，由題意可得函數(shù)與的圖象交點(diǎn)也關(guān)于（1,0）對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，可得，分析可得，必為一個(gè)交點(diǎn)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，即關(guān)于（0，0）對(duì)稱，所以圖象關(guān)于（1,0）對(duì)稱，又為向右平移一個(gè)單位得到，所以圖象也關(guān)于（1,0）對(duì)稱，所以函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)也關(guān)于（1,0）對(duì)稱，因?yàn)?，為不?duì)稱區(qū)間，且兩圖象交點(diǎn)為5個(gè)，所以必為一個(gè)交點(diǎn)，且其余4個(gè)交點(diǎn)關(guān)于（1,0）對(duì)稱，所以，即，所以，故選：D【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是求得兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱中心，可得交點(diǎn)關(guān)于（1,0）對(duì)稱，分析所給區(qū)間不對(duì)稱，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得必為交點(diǎn)，再利用對(duì)稱性求解即可，屬中檔題.8.已知函數(shù)，對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，都有不等式成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可得在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，若時(shí)為增函數(shù)，則，若時(shí)為增函數(shù)，則，比較x=a處兩函數(shù)值的大小，即可求得答案，【詳解】因?yàn)椋栽赗上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示：因在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，且在x=a處，解得，綜上，故選：C.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟悉分段函數(shù)單調(diào)性的求法，根據(jù)單調(diào)性，先分析分段點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性，再比較分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小即可，考查推理分析，化簡(jiǎn)計(jì)算的能力，屬中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.下列函數(shù)在其定義域中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，奇偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)，以及常見函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A：定義域?yàn)?，則該函數(shù)為偶函數(shù)；故不選A；對(duì)于選項(xiàng)B：定義域?yàn)?，則該函數(shù)為奇函數(shù)；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知此函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故選B；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)?，，即不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)；故不選C；對(duì)于選項(xiàng)D：是奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的定義知該函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)；故選D．故選：BD．10.下列命題為真命題的是（）A.，B.，C.存在，等式成立D.，使得函數(shù)為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】令，可判斷A不正確；令，可判斷B正確；令，可判斷C正確；令，由定義可推得為偶函數(shù)，可判斷D正確.【詳解】令，則，所以A不正確；令，則，所以B正確；令，則，所以，，所以C正確；令，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以D正確.故選：BCD11.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若a，b，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，，則【答案】BD【解析】【分析】取可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用作差法可判斷BCD選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，由，得，則，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，由，，則，則，C選項(xiàng)不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，，得，則，D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷不等式是否成立，主要利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗(yàn)證兩種方法，特別是對(duì)于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗(yàn)證的方法更簡(jiǎn)便．12.對(duì)于函數(shù)(其中，)其中，選取a，b一組計(jì)算和，所得的正確結(jié)果可能是（）A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2【答案】ABC【解析】【分析】先求出和，再根據(jù)為偶數(shù)，進(jìn)行逐個(gè)判斷選項(xiàng)【詳解】，，為偶數(shù)故選：ABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則=___.【答案】26【解析】【分析】根據(jù)自變量范圍，代入對(duì)應(yīng)的解析式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?>0，所以，所以，故答案為：2614.不等式的解集是___.【答案】【解析】【分析】移項(xiàng)后分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可.【詳解】由得，所以，故解集為：故答案為：15.已知，，若中有且只有三個(gè)整數(shù)，則正數(shù)m的取值范圍為___.【答案】【解析】【分析】集合：令，得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解的范圍；對(duì)于集合：直接利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解的范圍；利用中有且只有三個(gè)整數(shù)，得到，解不等式即可得到答案.【詳解】集合：令，則，由，得，此函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口朝下，利用二次函數(shù)的單調(diào)性得：當(dāng)時(shí)，有最大值，得，所以集合；對(duì)于集合：其開口向上，對(duì)稱軸為，利用二次函數(shù)的單調(diào)性得：當(dāng)時(shí)，有最小值，，所以集合；因?yàn)槿糁杏星抑挥腥齻€(gè)整數(shù)，則，則這三個(gè)整數(shù)是.所以，解得：，則正數(shù)m取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用二次函數(shù)的單調(diào)性得到集合，分析中有且只有三個(gè)整數(shù)，且，可得三個(gè)整數(shù)是，即可得，解不等式得解.16.已知正數(shù)x，y，z滿足，，則的最小值___.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，即可求得，代入所求，進(jìn)行適當(dāng)配湊，利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)閤，y，z為正數(shù)，所以，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故答案為：9【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是利用基本不等式，先求得，代入所求，進(jìn)行配湊，再利用基本不等式求解，兩次應(yīng)用基本不等式時(shí)，要保證兩次等號(hào)都要成立，屬中檔題.四、解答題：共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.（1）已知：，求的值；（2）求值：.【答案】（1）4；（2）11【解析】【分析】（1）先計(jì)算，又，代入計(jì)算即可；（2）運(yùn)用換底公式與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）18.已知集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m取值范圍.試從以下兩個(gè)條件中任取一個(gè)補(bǔ)充在以上的問(wèn)題中，并完成解答.①不等式的解集B；②不等式的解集為B.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.【答案】（1）條件選擇見解析，或；（2）【解析】【分析】若選擇①，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，可解得；若選擇②，根據(jù)含有絕對(duì)值不等式的解法，可解得.（1）當(dāng)時(shí)，可求得集合A，根據(jù)交集、補(bǔ)集的運(yùn)算法則，即可求得答案；（2）根據(jù)，可得，分別討論和兩種情況，根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可求得m的取值范圍.【詳解】若選擇①，因?yàn)?，所以，所以，解得所以集合，?）當(dāng)時(shí)，集合，所以或，所以或；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，即實(shí)數(shù)m取值范圍為若選擇②，因?yàn)椋?，解得，所以集合，?）當(dāng)時(shí)，集合，所以或，所以或；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，即實(shí)數(shù)m取值范圍為【點(diǎn)睛】答題前，應(yīng)先選擇①或②，再進(jìn)行作答，易錯(cuò)點(diǎn)為：當(dāng)出現(xiàn)，且集合A帶有參數(shù)時(shí)，需討論集合A是否為空集，兩種情況綜合，即可得答案，屬中檔題.19.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若不等式在有解，求實(shí)數(shù)m取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）函數(shù)是上的奇函數(shù)，利用，注意檢驗(yàn)求出的是否滿足題意；（2）由（1）得，把不等式在有解轉(zhuǎn)化為在有解，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）由為上的奇函數(shù)，所以，則，檢驗(yàn)如下：當(dāng)，，，則函數(shù)為上的奇函數(shù).所以實(shí)數(shù)a值.（2）由（1）知，則，由得：，因?yàn)椋葍r(jià)于在有解，則，令，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)或（舍）取等號(hào)；則，所以實(shí)數(shù)m取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把不等式在有解轉(zhuǎn)化為在有解，構(gòu)造函數(shù)出是解決本題的關(guān)鍵.20.設(shè)函數(shù)，.（1）若關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求關(guān)于x的不等式的解集.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為：；當(dāng)時(shí)，所以解集為：；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為：.【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)解，可得，解出不等式，即可求出結(jié)果；（2）將原不等式化簡(jiǎn)成，對(duì)進(jìn)行分類討論，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）因?yàn)椋杂傻?，所以，?dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，由于，所以解集為：；當(dāng)時(shí)，由于，所以解集為：；當(dāng)時(shí)，，所以解集為；當(dāng)時(shí)，由于，所以解集為：.綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為：；當(dāng)時(shí)，所以解集為：；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：含參的一元二次不等式的求解，要注意二次項(xiàng)系數(shù)與根的討論.21.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí).（1）求函數(shù)的解析式；（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義，證明函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)；（3）若，試比較和的大小，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）證明見詳解；（3），理由見詳解.【解析】【分析】（1）先利用求出，再利用奇函數(shù)的定義求解解析式即可；（2）設(shè)，代入整理，判斷符號(hào)即可得證；（3）由（1）（2）知函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，利用，得到，，再利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由，得函數(shù)為上的奇函數(shù)；令，得，當(dāng)時(shí)，，則，得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，得，所以，則，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以，，所以，故函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)；（3），理由如下：由（2）知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，又函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)；又，所以，則，由，得，則，因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用奇偶性求函數(shù)解析式，求函數(shù)解析式常用的方法：（1）已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式；（2）已知函數(shù)奇偶性，用奇偶性定義求解析式；（3）已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法；（4）若與或滿足某個(gè)等式，可構(gòu)造另一個(gè)等式，通過(guò)解方程組求解；22.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線，但又不與該直線相交.（1）寫出函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，，是否存在實(shí)數(shù)k，使得的最小值為0？若存在，求出k的值，若不存在，說(shuō)明理由；（3）若對(duì)于任意，，總有求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由題知，通過(guò)計(jì)算可得的解析式；（2）由（1）得，令，則，分，，討論求解最