在數(shù)學(xué)發(fā)展中課件

Tel：86613747E-mail：lss@授課:68學(xué)分：4Tel：1在數(shù)學(xué)發(fā)展中，理論和計(jì)算是緊密聯(lián)系的?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算創(chuàng)造了條件，集中而系統(tǒng)的研究適用于計(jì)算機(jī)的數(shù)值方法變得十分迫切和必要。數(shù)值計(jì)算方法正是在大量的數(shù)值計(jì)算實(shí)踐和理論分析工作的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，它不僅僅是一些數(shù)值方法的簡(jiǎn)單積累，而且揭示了包含在多種多樣的數(shù)值方法之間的相同的結(jié)構(gòu)和統(tǒng)一的原理。數(shù)值算法是進(jìn)行科學(xué)計(jì)算必不可缺少的起碼常識(shí)；更為重要的是通過(guò)對(duì)它們的討論，能夠使人們掌握設(shè)計(jì)數(shù)值算法的基本方法和一般原理，為在計(jì)算機(jī)上解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題打下基礎(chǔ)。因此，計(jì)算方法已經(jīng)成為工科大學(xué)生必修課程。為什么要開(kāi)設(shè)這個(gè)課呢？在數(shù)學(xué)發(fā)展中，理論和計(jì)算是緊密聯(lián)系的?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)的出1.認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)，主動(dòng)適應(yīng)“公式多”的特點(diǎn)；

2.注重各章建立算法的問(wèn)題的提法，搞清問(wèn)題的基本提法，逐步深入；

3.理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和基本線索，對(duì)最基本的算法要非常熟悉；

4.認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是為用于實(shí)際計(jì)算，必須真會(huì)算。如何進(jìn)行學(xué)習(xí)？1.認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本如何進(jìn)行學(xué)習(xí)科學(xué)素質(zhì)：拓寬對(duì)21世紀(jì)科學(xué)的了解；

加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解；

培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思考世界的習(xí)慣

數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力；

對(duì)專業(yè)中問(wèn)題建立數(shù)學(xué)求解方法與

實(shí)際計(jì)算能力

應(yīng)用問(wèn)題中數(shù)學(xué)創(chuàng)造性能力

計(jì)算知識(shí)：常用算法的數(shù)學(xué)理論；

在“誤差、存貯、速度”之下的實(shí)

際計(jì)算方法；

對(duì)結(jié)果的數(shù)值分析方法

科學(xué)素質(zhì)：拓寬對(duì)21世紀(jì)科學(xué)的了解；

?記好課堂筆記

?保證課堂紀(jì)律

?按時(shí)完成作業(yè)

?按時(shí)上課，不遲到早退幾點(diǎn)要求?記好課堂筆記?保證課堂紀(jì)律?按時(shí)完成作業(yè)?數(shù)值分析講述的基本內(nèi)容如何把數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)值問(wèn)題如何制定快速的算法如何估計(jì)一個(gè)給定算法的精度分析誤差在計(jì)算過(guò)程中的積累和傳播如何構(gòu)造精度更高的算法如何使算法較少的占用存儲(chǔ)量如何分析算法的優(yōu)缺點(diǎn)數(shù)值分析講述的基本內(nèi)容本課程的基本要求掌握數(shù)值方法的基本原理掌握常用的科學(xué)與工程計(jì)算的基本方法能用所學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上算出正確結(jié)果

本課程的基本要求

本章內(nèi)容§1引言§2誤差的來(lái)源及分類(lèi)§3誤差的度量§4誤差的傳播§5減少運(yùn)算誤差的原則第一章計(jì)算方法與誤差小結(jié)本章內(nèi)容第一章計(jì)算方法與誤差要求掌握的內(nèi)容第一章計(jì)算方法與誤差概念

包括有效數(shù)字、絕對(duì)誤差、絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差、相對(duì)誤差限等誤差 截?cái)嗾`差、舍入誤差的詳細(xì)內(nèi)容，誤差種類(lèi)等分析運(yùn)算誤差的方法和減少運(yùn)算誤差的若干原則要求掌握的內(nèi)容第一章計(jì)算方法與誤差概念1.1引言數(shù)值分析又稱計(jì)算方法,它是研究各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法及其理論的一門(mén)學(xué)科。數(shù)值分析的任務(wù)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算數(shù)值結(jié)果

根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果，這一過(guò)程邊是數(shù)值分析研究的對(duì)象1.1引言數(shù)值分析的任務(wù)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)1.對(duì)于要解決的問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型2.研究用于求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解的算法和過(guò)程3.按照2進(jìn)行計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值公式進(jìn)行計(jì)算數(shù)值方法解題的一般過(guò)程1.對(duì)于要解決的問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)轉(zhuǎn)化為進(jìn)行計(jì)算數(shù)值方

數(shù)值計(jì)算以及計(jì)算機(jī)模擬（包括當(dāng)前流行的虛擬現(xiàn)實(shí)的方法），已經(jīng)是在工程技術(shù)研究和經(jīng)濟(jì)、社會(huì)科學(xué)中廣泛應(yīng)用的方法，帶來(lái)巨大的經(jīng)濟(jì)效益天氣預(yù)報(bào)與億次計(jì)算機(jī)波音777的無(wú)紙?jiān)O(shè)計(jì)與有限元CT、核磁共振計(jì)算流體力學(xué)與爆炸工程能源問(wèn)題與大型計(jì)算第一章計(jì)算方法與誤差計(jì)算作為工程技術(shù)研究方法數(shù)值計(jì)算以及計(jì)算機(jī)模擬（包括當(dāng)前流行的虛擬現(xiàn)計(jì)算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果。與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計(jì)算方法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。第一章計(jì)算方法與誤差計(jì)算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法例如方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一根,但找不出求根的解析式,只能用數(shù)值計(jì)算方法求其近似解。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題雖有理論上的準(zhǔn)確的公式解,但不一定實(shí)用,例如行列式解法的Cramer法則原則上可用來(lái)求解線性方程組,用這種方法解一個(gè)n元方程組,要算n+1個(gè)階行列式的值,總共需要n!(n-1)(n+1)次乘法,當(dāng)n=20時(shí),其乘除法運(yùn)算次數(shù)約需1021次方,即使用每秒千億次的計(jì)算機(jī)也得需要上百年,而用高斯（Guass）消去法約需2660次乘除法運(yùn)算,并且愈大,相差就愈大。可見(jiàn)研究和選擇好的算法是非常重要的。

例如方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2算法(數(shù)值算法):是指有步驟地完成解數(shù)值問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)值算法的特點(diǎn)?目的性，條件和結(jié)論、輸入和輸出數(shù)據(jù)均要有明確的規(guī)定與要求。?確定性，精確地給出每一步的操作(不一定都是運(yùn)算)定義,不容許有歧義。?可執(zhí)行性，算法中的每個(gè)操作都是可執(zhí)行的?有窮性，在有限步內(nèi)能夠結(jié)束解題過(guò)程計(jì)算機(jī)上的算法，按面向求解問(wèn)題的不同，分為數(shù)值算法和非數(shù)值算法。算法(數(shù)值算法):是指有步驟地完成解數(shù)值問(wèn)第一章計(jì)算方法與誤差1.2誤差的來(lái)源及分類(lèi)

早在中學(xué)我們就接觸過(guò)誤差的概念，如在做熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，從溫度計(jì)上讀出的溫度是23.4度，就不是一個(gè)精確的值，而是含有誤差的近似值。事實(shí)上，誤差在我們的日常生活中無(wú)處不在，無(wú)處不有。如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都不是精確無(wú)誤的，都含有誤差。第一章計(jì)算方法與誤差1.2誤差的來(lái)源及分類(lèi)在用數(shù)值方法解題過(guò)程中可能產(chǎn)生的誤差歸納起來(lái)有如下幾類(lèi)：1.模型誤差2.觀測(cè)誤差3.截?cái)嗾`差4.舍入誤差第一章計(jì)算方法與誤差在用數(shù)值方法解題過(guò)程中可能產(chǎn)生的誤差歸納起來(lái)有如下幾類(lèi)：第一用數(shù)學(xué)方法解決一個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言模擬現(xiàn)實(shí)而建立起來(lái)的有關(guān)量的描述數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實(shí)際問(wèn)題的真解不同實(shí)際問(wèn)題的真解數(shù)學(xué)模型的真解為減化模型忽略次要因素定理在特定條件下建立與實(shí)際條件有別1.模型誤差用數(shù)學(xué)方法解決一個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長(zhǎng)度、電壓等，這些參數(shù)往往是通過(guò)觀測(cè)得到的，因此也帶來(lái)了誤差，這種誤差叫觀測(cè)誤差數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測(cè)和試驗(yàn)得到的由于測(cè)量工具的精度、觀測(cè)方法或客觀條件的限制,使數(shù)據(jù)含有測(cè)量誤差,這類(lèi)誤差叫做觀測(cè)誤差或數(shù)據(jù)誤差根據(jù)實(shí)際情況可以得到誤差上下界數(shù)值方法中需要了解觀測(cè)誤差,以便選擇合理的數(shù)值方法與之適應(yīng)2.觀測(cè)誤差在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長(zhǎng)度、電壓等，精確公式用近似公式代替時(shí),所產(chǎn)生的誤差叫截?cái)嗾`差例如,函數(shù)f(x)用泰勒(Taylor)多項(xiàng)式

3.截?cái)嗾`差（介于0與x之間）近似代替，則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是截?cái)嗾`差的大小直接影響計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算工作量，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類(lèi)誤差精確公式用近似公式代替時(shí),所產(chǎn)生的誤差叫截?cái)嗾`差例如,在數(shù)值計(jì)算中只能對(duì)有限位字長(zhǎng)的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算需要對(duì)參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位字長(zhǎng)的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤差，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類(lèi)誤差4.舍入誤差在數(shù)值計(jì)算中只能對(duì)有限位字長(zhǎng)的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算4.舍入誤差第一章計(jì)算方法與誤差例如在計(jì)算時(shí)用3.14159近似代替，產(chǎn)生的誤差R=-3.14159=0.0000026…就是舍入誤差。上述種種誤差都會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計(jì)算中將著重研究截?cái)嗾`差、舍入誤差，并對(duì)它們的傳播與積累作出分析第一章計(jì)算方法與誤差例如在計(jì)算時(shí)用3.14159近似1.3

誤差的度量

1.3.1絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限定義1.1

設(shè)精確值x的近似值

x*

，稱差

e(x*)

=x-x*近似值x*的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。e(x*)又記為e*

當(dāng)e*>0時(shí)，x*稱為弱近似值，當(dāng)e*<0時(shí)，x*稱為強(qiáng)近似值|e*|越小，x*的精度越高由于精確值一般是未知的,因而e*

不能求出來(lái),但可以根據(jù)測(cè)量誤差或計(jì)算情況設(shè)法估計(jì)出它的取值范圍，即誤差絕對(duì)值的一個(gè)上界或稱誤差限。1.3誤差的度量1.3.1絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限1.3

誤差的度量

定義1.2

設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使則稱為近似值的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱誤差限或精度。實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個(gè)量來(lái)衡量誤差限,這就是說(shuō),如果近似數(shù)的誤差限為,則表明準(zhǔn)確值x必落在上,常采用下面的寫(xiě)法來(lái)表示近似值的精度或準(zhǔn)確值x所在的范圍。1.3誤差的度量定義1.2設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使則稱為近1.3誤差的度量a-εa+εaA例1

設(shè)x

==3.1415926…近似值x*

=3.14,它的絕對(duì)誤差是0.0015926…，有

??x-x*=0.0015926…0.002=0.210-2例2又近似值x*

=3.1416，它的絕對(duì)誤差是

0.0000074…，有x-x*=0.0000074…0.000008=0.810-5例3

而近似值x*

=3.1415，它的絕對(duì)誤差是0.0000926…，有x-x*=0.0000926…0.0001=0.110-3可見(jiàn)，絕對(duì)誤差限*不是唯一的，但*越小越好1.3誤差的度量a-εa+εaA例1設(shè)x==相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限只用絕對(duì)誤差還不能說(shuō)明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè),乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè),他們的誤差都是錯(cuò)一個(gè),但顯然乙要準(zhǔn)確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對(duì)誤差外,還必須顧及量的本身。定義1.3絕對(duì)誤差與精確值x的比值

稱為相對(duì)誤差。簡(jiǎn)記為1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限只用絕對(duì)誤差還不能1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限

相對(duì)誤差越小,精度就越高,實(shí)際計(jì)算時(shí),x通常是不知道的,因此可用下列公式計(jì)算相對(duì)誤差定義1.4設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使

則稱為近似值的相對(duì)誤差限。簡(jiǎn)記為1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差越1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限例4.甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè)，求其相對(duì)誤差解：根椐定義:甲打字時(shí)的相對(duì)誤差

乙打字時(shí)的相對(duì)誤差1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限例4.甲打字每100個(gè)錯(cuò)一1.3.3

有效數(shù)字定義1.5設(shè)x的近似值

其中是0到9之間的任一個(gè)數(shù),但n是正整數(shù),m是整數(shù),若

則稱為x的具有n位有效數(shù)字的近似值，準(zhǔn)確到第n位，是的有效數(shù)字。

1.3.3有效數(shù)字定義1.5設(shè)x的近似值其中是1.3.3有效數(shù)字例5.3.142作為π的近似值時(shí)有幾位有效數(shù)字解：3.141592…=0.3141592…×3.142=0.3142×

m=1|π-3.142|=|0.3141592…×-0.3142×|＜0.000041×＜0.0005=×

m–n=1–n=-3所以n=4，具有4位有效數(shù)字1.3.3有效數(shù)字例5.3.142作為π的近似值時(shí)有例6.當(dāng)取3.141作為的近似值時(shí)-3.141=0.3141592…101

-0.3141101

≤0.0000592101

<0.005=1/210-2

m-n=1-n=-2所以n=3具有3位有效數(shù)字推論如果近似數(shù)x*誤差限是某一位的半個(gè)單位,由該位到x*的第一位非零數(shù)字一共有n位

x*就有n位有效數(shù)字,也就是說(shuō)準(zhǔn)確到該位例6.當(dāng)取3.141作為的近似值時(shí)再如3.1416作為的近似值時(shí)-3.1416=0.3141592…101-0.31416101

≤0.00000074101

≤0.0000074<0.00005<0.510-4m-n=1-n=-4所以n=5x*=3.1416有5位有效數(shù)字再如3.1416作為的近似值時(shí)關(guān)于有效數(shù)字說(shuō)明①用四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位x*作為近似值,則

x*必有n位有效數(shù)字。如3.142作為的近似值有4位有效數(shù)字，而3.141為3位有效數(shù)字②有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對(duì)誤差不一定相同。例如，設(shè)x1*=12345,設(shè)x2*=12.345,兩者均有5位有效數(shù)字但絕對(duì)誤差不一樣x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100

x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何數(shù)乘以10p(p=0,1,…)不影響有效位數(shù)④準(zhǔn)確值具有無(wú)窮多位有效數(shù)字,如三角形面積S=1/2ah=0.5ah

因?yàn)?.5是真值,沒(méi)有誤差*=0,因此n,準(zhǔn)確值具有無(wú)窮位有效數(shù)字關(guān)于有效數(shù)字說(shuō)明1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差定理1.1若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m具有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差證:∵x*

=0.x1x2…xn10m

∴x*≥x110m-1

又∵x*具有n位有效數(shù)字,則x-x*≤1/210m-n∴1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差定理1.1若近似數(shù)x*=

一般應(yīng)用中可以取r*=1/2x110-(n-1),n越大,r*越小,∴有效數(shù)字越多，相對(duì)誤差就越小例7取3.14作為的四舍五入的近似值時(shí)，求其相對(duì)誤差解：3.14=0.314101x1=3m=1∵四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字∴n=3

r*=1/2x110-(n-1)=1/2*310-2=17%1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差一般應(yīng)用中可以取r*=1/2x110-(n-例8已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相對(duì)誤差限解：已知n=2代入公式r*=1/2x110-(n-1)得

r*=1/2x110-1

x*的第一位有效數(shù)字x1沒(méi)有給出，可進(jìn)行如下討論：當(dāng)

x1=1r*=1/2x110-1=1/2*110-1=5%

x1=9r*=1/2x110-1=1/2*910-1=0.56%

取x1=1時(shí)相對(duì)誤差為最大，即5%1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差例8已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相1.3.4有效1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差定理1.2若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m相對(duì)誤差

則該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字證:∵x*=0.x1x2…xn10m

∴x*≤(x1+1)10m-1由有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差定理1.2若近似數(shù)x*=0例9已知近似數(shù)x*的相對(duì)誤差限為0.3%，問(wèn)x*有幾位有效數(shù)字？解：由得ⅰ當(dāng)x1=1時(shí),310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1)

上式兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得

lg22+lg3+(-3)=-n+1∵lg2=0.3010lg3=0.477120.3010+0.4771-4=-n∴n=2.9209ⅱ當(dāng)x1=9時(shí),310-3=1/2010-(n-1)610-3=10-n上式兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得

lg2+lg3+(-3)=-n∴n=2.2219∴x*至少有3位有效數(shù)字

例9已知近似數(shù)x*的相對(duì)誤差限為0.3%，問(wèn)x*得ⅰ當(dāng)x1例10為使的近似數(shù)的相對(duì)誤差小于0.1%，問(wèn)查開(kāi)方表時(shí)，要取幾位有效數(shù)字？解：∵8<<9∴x1=8

∴-(n-1)<lg2+2lg3+(-3)-n<1.2552-4-n<-2.7448

∴n>2.7448取n=3即查平方表時(shí)

8.37取三位有效數(shù)字

∴例10為使的近似數(shù)的相對(duì)誤差小于0.1%，

注意:已知有效數(shù)字,求相對(duì)誤差用公式

已知相對(duì)誤差,求具有幾位有效數(shù)字公式注意:1.4.1函數(shù)運(yùn)算誤差函數(shù)運(yùn)算誤差可用泰勒展開(kāi)式來(lái)分析設(shè)一元函數(shù)f(x)，自變量x的近似值x*，f(x)的近似值f(x*)，其誤差限記為[f(x*)]，對(duì)f(x)在近似值x*附近泰勒展開(kāi)1.4

誤差的傳播介于x,x*之間其中*為近似數(shù)x*的絕對(duì)誤差限，設(shè)f｀(x*)與f〃(x*)相差不大,可忽略*的高次項(xiàng),于是可得出函數(shù)運(yùn)算的誤差和相對(duì)誤差多元函數(shù)亦類(lèi)似，用泰勒展開(kāi)即可推導(dǎo)出來(lái)1.4.1函數(shù)運(yùn)算誤差1.4誤差的傳播介于例11已測(cè)得某場(chǎng)地長(zhǎng)L的值L*=110m,寬d的值d*=80m,已知L-L*≤0.2m,d-d*≤0.1m求場(chǎng)地面積S=Ld的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限解：其中(d*)=0.1m,(L*)=0.2m絕對(duì)誤差限

(s*)(800.2+1100.1)m2=27m2相對(duì)誤差限例11已測(cè)得某場(chǎng)地長(zhǎng)L的值L*=110m,寬d的值其中1.4.2算術(shù)運(yùn)算誤差計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、乘、除四則運(yùn)算，帶有誤差的數(shù)在多次運(yùn)算過(guò)程中會(huì)進(jìn)行傳播。使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差。誤差的變化可以用微分簡(jiǎn)單描述。注意到準(zhǔn)確值x與其近似值通常很接近，其差可認(rèn)為是較小的增量，即可以把差看作微分，由此可得誤差的微分近似關(guān)系式。

dx即x的微分表示x的絕對(duì)誤差，dlnx的微分表示x的相對(duì)誤差，利用這兩個(gè)關(guān)系式及微分運(yùn)算可以得到一系列有關(guān)四則運(yùn)算的誤差結(jié)果。1.4.2算術(shù)運(yùn)算誤差計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、1.4.2算術(shù)運(yùn)算誤差由d(x±y)=dx±dy可得兩數(shù)之和(差）的誤差等于兩數(shù)的誤差之和（差）；由可得兩數(shù)之積的相對(duì)誤差等于兩數(shù)的相對(duì)誤差之和；由可得兩數(shù)商的相對(duì)誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對(duì)誤差之差。1.4.2算術(shù)運(yùn)算誤差由d(x±y)=dx±dy例12正方形的邊長(zhǎng)約為100cm,怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過(guò)1cm2?解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xcm,測(cè)量值為x*cm,面積

y=f(x)=x2由于f

(x)=2x記自變量和函數(shù)的絕對(duì)誤差分別是e*、e(y*),則

e*=x-x*

e(y*)=y-y*f(x*)(x-x*)=2x*e*=200e*現(xiàn)要求e(y*)200e*<1,于是e*≤（1/200）cm=0.005cm要使正方形面積誤差不超過(guò)1cm2，測(cè)量邊長(zhǎng)時(shí)絕對(duì)誤差應(yīng)不超過(guò)0.005cm。例12正方形的邊長(zhǎng)約為100cm,怎樣測(cè)量才能使其1.5減少運(yùn)算誤差原則誤差是用來(lái)衡量數(shù)值方法好與壞的重要標(biāo)志為此對(duì)每一個(gè)算法都要進(jìn)行誤差分析(1)兩個(gè)相近的數(shù)相減，會(huì)嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字例如x=1958.75，y=1958.32都具有五位有效數(shù)字，但x-y=0.43只有兩位有效數(shù)字通常采用的方法是改變計(jì)算公式,例如當(dāng)與很接近時(shí),由于用右端代替左端公式計(jì)算,有效數(shù)字就不會(huì)損失

1.5減少運(yùn)算誤差原則誤差是用來(lái)衡量數(shù)值方法好與壞的重1.5減少運(yùn)算誤差原則當(dāng)x很大時(shí)可作相應(yīng)的變換

則用右端來(lái)代替左端。

1.5減少運(yùn)算誤差原則當(dāng)x很大時(shí)可作相應(yīng)的變換則用右端來(lái)1.5減少運(yùn)算誤差若干原則當(dāng)x接近0時(shí)一般情況，當(dāng)f(x)≈f(x*)時(shí)，可用泰勒展開(kāi)取右端的有限項(xiàng)近似左端。如果計(jì)算公式不能改變，則可采用增加有效位數(shù)的方法保證精度

1.5減少運(yùn)算誤差若干原則當(dāng)x接近0時(shí)一般情況，當(dāng)f(x（2）防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)例求二次方程x2-105x+1=0的根解：按二次方程求根公式

x1=(105+(1010-4)1/2)/2x2=(105-(1010-4)1/2)/2在8位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算得

x1=(105+105)/2=105(正確）,

x2=(105-105)/2=0(錯(cuò)誤）產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因 ①出現(xiàn)大數(shù)1010吃掉小數(shù)4的情況 ②分子部分出現(xiàn)兩個(gè)相近數(shù)相減而喪失有效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消（2）防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)（3）絕對(duì)值太小的數(shù)不宜做除數(shù)當(dāng)分母為兩個(gè)相近數(shù)相減時(shí),會(huì)喪失有效數(shù)字這里分子的誤差被擴(kuò)大104倍,再如若將分母變?yōu)?.0011,即分母只有0.0001的變化時(shí),計(jì)算結(jié)果卻有了很大變化1.5減少運(yùn)算誤差若干原則（3）絕對(duì)值太小的數(shù)不宜做除數(shù)這里分子的誤差被擴(kuò)大104倍,例1.8計(jì)算 解:分子分母分別計(jì)算后相除(取9位小數(shù))

A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012=0.000000009(有舍入)

B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135=0.000000051(有舍入)

D=A/B=0.17647 真值為0.16948148…，所以D只準(zhǔn)確到小數(shù)后一位1.5減少運(yùn)算誤差若干原則例：計(jì)算例1.8計(jì)算 解:分子分母分別計(jì)算后相除(取9位小數(shù)算法2。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計(jì)算

a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入)

b=0.0143/0.0125=1.144000c=0.0012/0.0135=0.088889(有舍入)

D=a*b*c=1.666667*1.144000*0.088889=0.169482,準(zhǔn)確到小數(shù)后5位。bca1.5減少運(yùn)算誤差若干原則算法2。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計(jì)算bca1.5（4）簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)

x255=xx2x4x8x16x32x64x128原先要做254次乘法現(xiàn)只需14次即可又如計(jì)算多項(xiàng)式

p(x)=anxn

an-1xn-1

…

a1x

a0的值若直接計(jì)算akxk,再逐項(xiàng)相加，一共要做

n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法和n次加法

1.5減少運(yùn)算誤差若干原則（4）簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)1.5減少運(yùn)算誤差若干原則如果將前n項(xiàng)提出x，則有p(x)=（anxn-1

an-1xn-2

…

a1）x

a0

=((anxn-2an-1xn-3…

a2)xa1）x

a0

=(…(anxan-1)x…a2)xa1)xa0寫(xiě)成遞推公式

1.5減少運(yùn)算誤差若干原則于是,這種多項(xiàng)式求值的算法稱為秦九韶算法,只做n次乘法和n次加法,程序?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)單

如果將前n項(xiàng)提出x，則有1.5減少運(yùn)算誤差若干原則于是1.5.5控制遞推公式中誤差的傳播

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解往往有多種數(shù)值方法在選擇數(shù)值方法時(shí)，要注意所用的數(shù)值方法不應(yīng)將計(jì)算過(guò)程中難以避免的誤差放大的較快，造成計(jì)算結(jié)果完全失真。例13計(jì)算積分并估計(jì)誤差解容易得到遞推公式

1.5.5控制遞推公式中誤差的傳播對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)

即為則準(zhǔn)確的理論遞推式實(shí)際運(yùn)算的遞推式兩式相減有即為則準(zhǔn)確的理論遞推式

這就是說(shuō),若與的誤差為=-,即

，則誤差的遞推規(guī)律為

于是

計(jì)算時(shí)的誤差被擴(kuò)大了倍,顯然算法是數(shù)值不穩(wěn)定的。如果將遞推公式

變換一種形式 這就是說(shuō),若與的誤差為=-,即準(zhǔn)確的理論遞推式實(shí)際運(yùn)算的遞推式從而有即于是有則這個(gè)算法的誤差傳遞規(guī)律為

即每計(jì)算一步的誤差的絕對(duì)值是上一步的十分之一，誤差的傳播逐步縮小，得到很好的控制，這個(gè)算法是數(shù)值穩(wěn)定的準(zhǔn)確的理論遞推式即于是有則這個(gè)算法的誤差傳遞規(guī)律為本章小結(jié)

誤差在數(shù)值計(jì)算中是不可避免的，誤差的傳播和積累直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度。在研究算法的同時(shí)，必須注重誤差分析，使建立起來(lái)的算法科學(xué)有效。按照誤差產(chǎn)生的來(lái)源可分為模型誤差、觀測(cè)誤差，截?cái)嗾`差、和舍入誤差等。誤差的表示法有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差兩種。在表示一個(gè)近似數(shù)時(shí),要用到有效數(shù)字的概念,這在數(shù)值計(jì)算中非常有用,有效數(shù)字是由絕對(duì)誤差決定的通常用函數(shù)的泰勒展開(kāi)對(duì)誤差進(jìn)行估計(jì)本章小結(jié)誤差在數(shù)值計(jì)算中是不可避免的，誤差的傳播和作業(yè)習(xí)題一1.1~1.14作業(yè)60Tel：86613747E-mail：lss@授課:68學(xué)分：4Tel：61在數(shù)學(xué)發(fā)展中，理論和計(jì)算是緊密聯(lián)系的。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算創(chuàng)造了條件，集中而系統(tǒng)的研究適用于計(jì)算機(jī)的數(shù)值方法變得十分迫切和必要。數(shù)值計(jì)算方法正是在大量的數(shù)值計(jì)算實(shí)踐和理論分析工作的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，它不僅僅是一些數(shù)值方法的簡(jiǎn)單積累，而且揭示了包含在多種多樣的數(shù)值方法之間的相同的結(jié)構(gòu)和統(tǒng)一的原理。數(shù)值算法是進(jìn)行科學(xué)計(jì)算必不可缺少的起碼常識(shí)；更為重要的是通過(guò)對(duì)它們的討論，能夠使人們掌握設(shè)計(jì)數(shù)值算法的基本方法和一般原理，為在計(jì)算機(jī)上解決科學(xué)計(jì)算問(wèn)題打下基礎(chǔ)。因此，計(jì)算方法已經(jīng)成為工科大學(xué)生必修課程。為什么要開(kāi)設(shè)這個(gè)課呢？在數(shù)學(xué)發(fā)展中，理論和計(jì)算是緊密聯(lián)系的。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的出1.認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)，主動(dòng)適應(yīng)“公式多”的特點(diǎn)；

2.注重各章建立算法的問(wèn)題的提法，搞清問(wèn)題的基本提法，逐步深入；

3.理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和基本線索，對(duì)最基本的算法要非常熟悉；

4.認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是為用于實(shí)際計(jì)算，必須真會(huì)算。如何進(jìn)行學(xué)習(xí)？1.認(rèn)識(shí)建立算法和對(duì)每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本如何進(jìn)行學(xué)習(xí)科學(xué)素質(zhì)：拓寬對(duì)21世紀(jì)科學(xué)的了解；

加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解；

培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思考世界的習(xí)慣

數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力；

對(duì)專業(yè)中問(wèn)題建立數(shù)學(xué)求解方法與

實(shí)際計(jì)算能力

應(yīng)用問(wèn)題中數(shù)學(xué)創(chuàng)造性能力

計(jì)算知識(shí)：常用算法的數(shù)學(xué)理論；

在“誤差、存貯、速度”之下的實(shí)

際計(jì)算方法；

對(duì)結(jié)果的數(shù)值分析方法

科學(xué)素質(zhì)：拓寬對(duì)21世紀(jì)科學(xué)的了解；

?記好課堂筆記

?保證課堂紀(jì)律

?按時(shí)完成作業(yè)

?按時(shí)上課，不遲到早退幾點(diǎn)要求?記好課堂筆記?保證課堂紀(jì)律?按時(shí)完成作業(yè)?數(shù)值分析講述的基本內(nèi)容如何把數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)值問(wèn)題如何制定快速的算法如何估計(jì)一個(gè)給定算法的精度分析誤差在計(jì)算過(guò)程中的積累和傳播如何構(gòu)造精度更高的算法如何使算法較少的占用存儲(chǔ)量如何分析算法的優(yōu)缺點(diǎn)數(shù)值分析講述的基本內(nèi)容本課程的基本要求掌握數(shù)值方法的基本原理掌握常用的科學(xué)與工程計(jì)算的基本方法能用所學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上算出正確結(jié)果

本課程的基本要求

本章內(nèi)容§1引言§2誤差的來(lái)源及分類(lèi)§3誤差的度量§4誤差的傳播§5減少運(yùn)算誤差的原則第一章計(jì)算方法與誤差小結(jié)本章內(nèi)容第一章計(jì)算方法與誤差要求掌握的內(nèi)容第一章計(jì)算方法與誤差概念

包括有效數(shù)字、絕對(duì)誤差、絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差、相對(duì)誤差限等誤差 截?cái)嗾`差、舍入誤差的詳細(xì)內(nèi)容，誤差種類(lèi)等分析運(yùn)算誤差的方法和減少運(yùn)算誤差的若干原則要求掌握的內(nèi)容第一章計(jì)算方法與誤差概念1.1引言數(shù)值分析又稱計(jì)算方法,它是研究各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值解法及其理論的一門(mén)學(xué)科。數(shù)值分析的任務(wù)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算數(shù)值結(jié)果

根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果，這一過(guò)程邊是數(shù)值分析研究的對(duì)象1.1引言數(shù)值分析的任務(wù)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)1.對(duì)于要解決的問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型2.研究用于求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題近似解的算法和過(guò)程3.按照2進(jìn)行計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值公式進(jìn)行計(jì)算數(shù)值方法解題的一般過(guò)程1.對(duì)于要解決的問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)轉(zhuǎn)化為進(jìn)行計(jì)算數(shù)值方

數(shù)值計(jì)算以及計(jì)算機(jī)模擬（包括當(dāng)前流行的虛擬現(xiàn)實(shí)的方法），已經(jīng)是在工程技術(shù)研究和經(jīng)濟(jì)、社會(huì)科學(xué)中廣泛應(yīng)用的方法，帶來(lái)巨大的經(jīng)濟(jì)效益天氣預(yù)報(bào)與億次計(jì)算機(jī)波音777的無(wú)紙?jiān)O(shè)計(jì)與有限元CT、核磁共振計(jì)算流體力學(xué)與爆炸工程能源問(wèn)題與大型計(jì)算第一章計(jì)算方法與誤差計(jì)算作為工程技術(shù)研究方法數(shù)值計(jì)算以及計(jì)算機(jī)模擬（包括當(dāng)前流行的虛擬現(xiàn)計(jì)算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果。與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計(jì)算方法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。第一章計(jì)算方法與誤差計(jì)算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法例如方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一根,但找不出求根的解析式,只能用數(shù)值計(jì)算方法求其近似解。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題雖有理論上的準(zhǔn)確的公式解,但不一定實(shí)用,例如行列式解法的Cramer法則原則上可用來(lái)求解線性方程組,用這種方法解一個(gè)n元方程組,要算n+1個(gè)階行列式的值,總共需要n!(n-1)(n+1)次乘法,當(dāng)n=20時(shí),其乘除法運(yùn)算次數(shù)約需1021次方,即使用每秒千億次的計(jì)算機(jī)也得需要上百年,而用高斯（Guass）消去法約需2660次乘除法運(yùn)算,并且愈大,相差就愈大?？梢?jiàn)研究和選擇好的算法是非常重要的。

例如方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2算法(數(shù)值算法):是指有步驟地完成解數(shù)值問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)值算法的特點(diǎn)?目的性，條件和結(jié)論、輸入和輸出數(shù)據(jù)均要有明確的規(guī)定與要求。?確定性，精確地給出每一步的操作(不一定都是運(yùn)算)定義,不容許有歧義。?可執(zhí)行性，算法中的每個(gè)操作都是可執(zhí)行的?有窮性，在有限步內(nèi)能夠結(jié)束解題過(guò)程計(jì)算機(jī)上的算法，按面向求解問(wèn)題的不同，分為數(shù)值算法和非數(shù)值算法。算法(數(shù)值算法):是指有步驟地完成解數(shù)值問(wèn)第一章計(jì)算方法與誤差1.2誤差的來(lái)源及分類(lèi)

早在中學(xué)我們就接觸過(guò)誤差的概念，如在做熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，從溫度計(jì)上讀出的溫度是23.4度，就不是一個(gè)精確的值，而是含有誤差的近似值。事實(shí)上，誤差在我們的日常生活中無(wú)處不在，無(wú)處不有。如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都不是精確無(wú)誤的，都含有誤差。第一章計(jì)算方法與誤差1.2誤差的來(lái)源及分類(lèi)在用數(shù)值方法解題過(guò)程中可能產(chǎn)生的誤差歸納起來(lái)有如下幾類(lèi)：1.模型誤差2.觀測(cè)誤差3.截?cái)嗾`差4.舍入誤差第一章計(jì)算方法與誤差在用數(shù)值方法解題過(guò)程中可能產(chǎn)生的誤差歸納起來(lái)有如下幾類(lèi)：第一用數(shù)學(xué)方法解決一個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言模擬現(xiàn)實(shí)而建立起來(lái)的有關(guān)量的描述數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實(shí)際問(wèn)題的真解不同實(shí)際問(wèn)題的真解數(shù)學(xué)模型的真解為減化模型忽略次要因素定理在特定條件下建立與實(shí)際條件有別1.模型誤差用數(shù)學(xué)方法解決一個(gè)具體的實(shí)際問(wèn)題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長(zhǎng)度、電壓等，這些參數(shù)往往是通過(guò)觀測(cè)得到的，因此也帶來(lái)了誤差，這種誤差叫觀測(cè)誤差數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測(cè)和試驗(yàn)得到的由于測(cè)量工具的精度、觀測(cè)方法或客觀條件的限制,使數(shù)據(jù)含有測(cè)量誤差,這類(lèi)誤差叫做觀測(cè)誤差或數(shù)據(jù)誤差根據(jù)實(shí)際情況可以得到誤差上下界數(shù)值方法中需要了解觀測(cè)誤差,以便選擇合理的數(shù)值方法與之適應(yīng)2.觀測(cè)誤差在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長(zhǎng)度、電壓等，精確公式用近似公式代替時(shí),所產(chǎn)生的誤差叫截?cái)嗾`差例如,函數(shù)f(x)用泰勒(Taylor)多項(xiàng)式

3.截?cái)嗾`差（介于0與x之間）近似代替，則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是截?cái)嗾`差的大小直接影響計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算工作量，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類(lèi)誤差精確公式用近似公式代替時(shí),所產(chǎn)生的誤差叫截?cái)嗾`差例如,在數(shù)值計(jì)算中只能對(duì)有限位字長(zhǎng)的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算需要對(duì)參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位字長(zhǎng)的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤差，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類(lèi)誤差4.舍入誤差在數(shù)值計(jì)算中只能對(duì)有限位字長(zhǎng)的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算4.舍入誤差第一章計(jì)算方法與誤差例如在計(jì)算時(shí)用3.14159近似代替，產(chǎn)生的誤差R=-3.14159=0.0000026…就是舍入誤差。上述種種誤差都會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計(jì)算中將著重研究截?cái)嗾`差、舍入誤差，并對(duì)它們的傳播與積累作出分析第一章計(jì)算方法與誤差例如在計(jì)算時(shí)用3.14159近似1.3

誤差的度量

1.3.1絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限定義1.1

設(shè)精確值x的近似值

x*

，稱差

e(x*)

=x-x*近似值x*的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。e(x*)又記為e*

當(dāng)e*>0時(shí)，x*稱為弱近似值，當(dāng)e*<0時(shí)，x*稱為強(qiáng)近似值|e*|越小，x*的精度越高由于精確值一般是未知的,因而e*

不能求出來(lái),但可以根據(jù)測(cè)量誤差或計(jì)算情況設(shè)法估計(jì)出它的取值范圍，即誤差絕對(duì)值的一個(gè)上界或稱誤差限。1.3誤差的度量1.3.1絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限1.3

誤差的度量

定義1.2

設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使則稱為近似值的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱誤差限或精度。實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個(gè)量來(lái)衡量誤差限,這就是說(shuō),如果近似數(shù)的誤差限為,則表明準(zhǔn)確值x必落在上,常采用下面的寫(xiě)法來(lái)表示近似值的精度或準(zhǔn)確值x所在的范圍。1.3誤差的度量定義1.2設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使則稱為近1.3誤差的度量a-εa+εaA例1

設(shè)x

==3.1415926…近似值x*

=3.14,它的絕對(duì)誤差是0.0015926…，有

??x-x*=0.0015926…0.002=0.210-2例2又近似值x*

=3.1416，它的絕對(duì)誤差是

0.0000074…，有x-x*=0.0000074…0.000008=0.810-5例3

而近似值x*

=3.1415，它的絕對(duì)誤差是0.0000926…，有x-x*=0.0000926…0.0001=0.110-3可見(jiàn)，絕對(duì)誤差限*不是唯一的，但*越小越好1.3誤差的度量a-εa+εaA例1設(shè)x==相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限只用絕對(duì)誤差還不能說(shuō)明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè),乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè),他們的誤差都是錯(cuò)一個(gè),但顯然乙要準(zhǔn)確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對(duì)誤差外,還必須顧及量的本身。定義1.3絕對(duì)誤差與精確值x的比值

稱為相對(duì)誤差。簡(jiǎn)記為1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限只用絕對(duì)誤差還不能1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限

相對(duì)誤差越小,精度就越高,實(shí)際計(jì)算時(shí),x通常是不知道的,因此可用下列公式計(jì)算相對(duì)誤差定義1.4設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使

則稱為近似值的相對(duì)誤差限。簡(jiǎn)記為1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限相對(duì)誤差越1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限例4.甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè)，求其相對(duì)誤差解：根椐定義:甲打字時(shí)的相對(duì)誤差

乙打字時(shí)的相對(duì)誤差1.3.2相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限例4.甲打字每100個(gè)錯(cuò)一1.3.3

有效數(shù)字定義1.5設(shè)x的近似值

其中是0到9之間的任一個(gè)數(shù),但n是正整數(shù),m是整數(shù),若

則稱為x的具有n位有效數(shù)字的近似值，準(zhǔn)確到第n位，是的有效數(shù)字。

1.3.3有效數(shù)字定義1.5設(shè)x的近似值其中是1.3.3有效數(shù)字例5.3.142作為π的近似值時(shí)有幾位有效數(shù)字解：3.141592…=0.3141592…×3.142=0.3142×

m=1|π-3.142|=|0.3141592…×-0.3142×|＜0.000041×＜0.0005=×

m–n=1–n=-3所以n=4，具有4位有效數(shù)字1.3.3有效數(shù)字例5.3.142作為π的近似值時(shí)有例6.當(dāng)取3.141作為的近似值時(shí)-3.141=0.3141592…101

-0.3141101

≤0.0000592101

<0.005=1/210-2

m-n=1-n=-2所以n=3具有3位有效數(shù)字推論如果近似數(shù)x*誤差限是某一位的半個(gè)單位,由該位到x*的第一位非零數(shù)字一共有n位

x*就有n位有效數(shù)字,也就是說(shuō)準(zhǔn)確到該位例6.當(dāng)取3.141作為的近似值時(shí)再如3.1416作為的近似值時(shí)-3.1416=0.3141592…101-0.31416101

≤0.00000074101

≤0.0000074<0.00005<0.510-4m-n=1-n=-4所以n=5x*=3.1416有5位有效數(shù)字再如3.1416作為的近似值時(shí)關(guān)于有效數(shù)字說(shuō)明①用四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位x*作為近似值,則

x*必有n位有效數(shù)字。如3.142作為的近似值有4位有效數(shù)字，而3.141為3位有效數(shù)字②有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對(duì)誤差不一定相同。例如，設(shè)x1*=12345,設(shè)x2*=12.345,兩者均有5位有效數(shù)字但絕對(duì)誤差不一樣x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100

x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何數(shù)乘以10p(p=0,1,…)不影響有效位數(shù)④準(zhǔn)確值具有無(wú)窮多位有效數(shù)字,如三角形面積S=1/2ah=0.5ah

因?yàn)?.5是真值,沒(méi)有誤差*=0,因此n,準(zhǔn)確值具有無(wú)窮位有效數(shù)字關(guān)于有效數(shù)字說(shuō)明1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差定理1.1若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m具有n位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差證:∵x*

=0.x1x2…xn10m

∴x*≥x110m-1

又∵x*具有n位有效數(shù)字,則x-x*≤1/210m-n∴1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差定理1.1若近似數(shù)x*=

一般應(yīng)用中可以取r*=1/2x110-(n-1),n越大,r*越小,∴有效數(shù)字越多，相對(duì)誤差就越小例7取3.14作為的四舍五入的近似值時(shí)，求其相對(duì)誤差解：3.14=0.314101x1=3m=1∵四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字∴n=3

r*=1/2x110-(n-1)=1/2*310-2=17%1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差一般應(yīng)用中可以取r*=1/2x110-(n-例8已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相對(duì)誤差限解：已知n=2代入公式r*=1/2x110-(n-1)得

r*=1/2x110-1

x*的第一位有效數(shù)字x1沒(méi)有給出，可進(jìn)行如下討論：當(dāng)

x1=1r*=1/2x110-1=1/2*110-1=5%

x1=9r*=1/2x110-1=1/2*910-1=0.56%

取x1=1時(shí)相對(duì)誤差為最大，即5%1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差例8已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相1.3.4有效1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差定理1.2若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m相對(duì)誤差

則該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字證:∵x*=0.x1x2…xn10m

∴x*≤(x1+1)10m-1由有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢1.3.4有效數(shù)字與相對(duì)誤差定理1.2若近似數(shù)x*=0例9已知近似數(shù)x*的相對(duì)誤差限為0.3%，問(wèn)x*有幾位有效數(shù)字？解：由得ⅰ當(dāng)x1=1時(shí),310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1)

上式兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得

lg22+lg3+(-3)=-n+1∵lg2=0.3010lg3=0.477120.3010+0.4771-4=-n∴n=2.9209ⅱ當(dāng)x1=9時(shí),310-3=1/2010-(n-1)610-3=10-n上式兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得

lg2+lg3+(-3)=-n∴n=2.2219∴x*至少有3位有效數(shù)字

例9已知近似數(shù)x*的相對(duì)誤差限為0.3%，問(wèn)x*得ⅰ當(dāng)x1例10為使的近似數(shù)的相對(duì)誤差小于0.1%，問(wèn)查開(kāi)方表時(shí)，要取幾位有效數(shù)字？解：∵8<<9∴x1=8

∴-(n-1)<lg2+2lg3+(-3)-n<1.2552-4-n<-2.7448

∴n>2.7448取n=3即查平方表時(shí)

8.37取三位有效數(shù)字

∴例10為使的近似數(shù)的相對(duì)誤差小于0.1%，

注意:已知有效數(shù)字,求相對(duì)誤差用公式

已知相對(duì)誤差,求具有幾位有效數(shù)字公式注意:1.4.1函數(shù)運(yùn)算誤差函數(shù)運(yùn)算誤差可用泰勒展開(kāi)式來(lái)分析設(shè)一元函數(shù)f(x)，自變量x的近似值x*，f(x)的近似值f(x*)，其誤差限記為[f(x*)]，對(duì)f(x)在近似值x*附近泰勒展開(kāi)1.4

誤差的傳播介于x,x*之間其中*為近似數(shù)x*的絕對(duì)誤差限，設(shè)f｀(x*)與f〃(x*)相差不大,可忽略*的高次項(xiàng),于是可得出函數(shù)運(yùn)算的誤差和相對(duì)誤差多元函數(shù)亦類(lèi)似，用泰勒展開(kāi)即可推導(dǎo)出來(lái)1.4.1函數(shù)運(yùn)算誤差1.4誤差的傳播介于例11已測(cè)得某場(chǎng)地長(zhǎng)L的值L*=110m,寬d的值d*=80m,已知L-L*≤0.2m,d-d*≤0.1m求場(chǎng)地面積S=Ld的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限解：其中(d*)=0.1m,(L*)=0.2m絕對(duì)誤差限

(s*)(800.2+1100.1)m2=27m2相對(duì)誤差限例11已測(cè)得某場(chǎng)地長(zhǎng)L的值L*=110m,寬d的值其中1.4.2算術(shù)運(yùn)算誤差計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、乘、除四則運(yùn)算，帶有誤差的數(shù)在多次運(yùn)算過(guò)程中會(huì)進(jìn)行傳播。使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差。誤差的變化可以用微分簡(jiǎn)單描述。注意到準(zhǔn)確值x與其近似值通常很接近，其差可認(rèn)為是較小的增量，即可以把差看作微分，由此可得誤差的微分近似關(guān)系式。

dx即x的微分表示x的絕對(duì)誤差，dlnx的微分表示x的相對(duì)誤差，利用這兩個(gè)關(guān)系式及微分運(yùn)算可以得到一系列有關(guān)四則運(yùn)算的誤差結(jié)果。1.4.2算術(shù)運(yùn)算誤差計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、1.4.2算術(shù)運(yùn)算誤差由d(x±y)=dx±dy可得兩數(shù)之和(差）的誤差等于兩數(shù)的誤差之和（差）；由可得兩數(shù)之積的相對(duì)誤差等于兩數(shù)的相對(duì)誤差之和；由可得兩數(shù)商的相對(duì)誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對(duì)誤差之差。1.4.2算術(shù)運(yùn)算誤差由d(x±y)=dx±dy例12正方形的邊長(zhǎng)約為100cm,怎樣測(cè)量才能使其面積誤差不超過(guò)1cm2?解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為xcm,測(cè)量值為x*cm,面積

y=f(x)=x2由于f

(x)=2x記自變量和函數(shù)的絕對(duì)誤差分別是e*、e(y*),則

e*=x-x*

e(y*)=y-y*f(x*)(x-x*)=2x*e*=200e*現(xiàn)要求e(y*)200e*<1,于是e*≤（1/200）cm=0.005cm要使正方形面積誤差不超過(guò)1cm2，測(cè)量邊長(zhǎng)時(shí)絕對(duì)誤差應(yīng)不超過(guò)0.005cm。例12正方形的邊長(zhǎng)約為100cm,怎樣測(cè)量才能使其1.5減少運(yùn)算誤差原則誤差是用來(lái)衡量數(shù)值方法好與壞的重要標(biāo)志為此對(duì)每一個(gè)算法都要進(jìn)行誤差分析(1)兩個(gè)相近的數(shù)相減，會(huì)嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字例如x=1958.75，y=1958.32都具有五位有效數(shù)字，但x-y=0.43只有兩位有效數(shù)字通常采用的方法是改變計(jì)算公式,例如當(dāng)與很接近時(shí),由于用右端代替左端公式計(jì)算,有效數(shù)字就不會(huì)損失

1.5減少運(yùn)算誤差原則誤差是用來(lái)衡量數(shù)值方法好與壞的重1.5減少運(yùn)算誤差原則當(dāng)x很大時(shí)可作相應(yīng)的變換

則用右端來(lái)代替左端。

1.5減少運(yùn)算誤差原則當(dāng)x很大時(shí)可作相應(yīng)的變換則用右端來(lái)