空間向量的應用課件

第九章空間向量專題復習制作人：焦明輝第九章空間向量專題復習制作人：焦明輝一復習回顧1平行六面體法則2.共線向量:(1)定義:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作一復習回顧1平行六面體法則2.共線向量:(2)共線向量定理:

對于空間任意兩個向量a、b(b=0),a//b的充要條件是存在實數(shù)λ使a=λb.(3)推論：如果l為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式OP=OA+ta.(1)其中向量a叫做直線l的方向向量.aPBOP=(1-t)OA+tOB.(2)說明:

(1),(2)都叫做空間直線的向量參數(shù)表示式.OP、OA、OB.的終點共線的充要條件是存在實數(shù)m、n，且m+n=1，使得OP=mOA+nOB.(3)(2)共線向量定理:(3)推論：如果l為經過已知點A且平行于3共面向量定理：推論:空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是存在有序實數(shù)對x、y，使MP=xMA+yMB1或對空間任一定點O，有OP=OM+xMA+yMB.2

對空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）＜＝＞四點P、A、B、C共面。

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→→→→→→→→→→→一復習回顧3共面向量定理：推論:空間一點P位于平面MAB內的充分必要4空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底，零向量的表示唯一。COABB1A1P1P一復習回顧4空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空（1）（2）（3）5空間兩個向量的數(shù)量積（1）（2）（3）5空間兩個向量的數(shù)量積

數(shù)量積的運算律（1）（2）（3）數(shù)量積的運算律（1）（2）（3）6、向量的直角坐標運算.設則6、向量的直角坐標運算.設則(1)夾角、7空間向量的夾角和距離公式(1)夾角、7空間向量的夾角和距離公式(2)空間兩點間的距離公式、(2)空間兩點間的距離公式、學習目標：1掌握空間向量有關概念、運算及定理、推論。2掌握計算向量的長度、有關角，正確求兩點間的距離3學會判斷兩直線（向量）的位置關系（平行、垂直）學習目標：ABCDA1B1C1D1E1F1XYZ解析：不妨設正方體的棱長為1；以D為原點O建立空間直角坐標系O-XYZO例1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=

求BE1與DF1所成的角的余弦值二知識運用與研究ABCDA1B1C1D1E1F1XYZ解析：不妨設正方體的棱解：不妨設正方體的邊長為1，建立空間直角坐標系O—xyz，則ABCDA1B1C1D1E1F1XYZB(1，1，0)，E1(1，3／4，1)，D(0，0，0)，F(xiàn)1(0，1/4，1)BE1=(0，-1／4，1)，DF1=(0，1/4，1)∣BE1∣=√17／4∣DF1∣=√17／4BE1·DF1=15／16∴cos＜BE1，DF1＞=BE1·DF1∣BE1∣·∣DF1∣=15／17解：不妨設正方體的邊長為1，建立空間直角坐標系O—xyz，則ABCD∴(2√17)2=62+42+82+2×6×8cos＜CA，BD＞∴cos＜CA，BD＞=1200∴所求角為600ABCD∴(2√17)2=62+42+82+2×6×8co例4.已知在平行六面體ABCD-A’B’C’D’中,AB=4,AD=3,AA’=5ABCDA’B’C’D’解∵AC'=AB+AD+AA'∴∣AC'∣2=(AB+AD+AA')2=∣AB∣2+∣AD∣2+∣AA'∣2+2(AB·AD+AB·AA'+AD·AA')=42+32+52+2(0+10+7.5)=85

→→→→→→→→→→→→→→∴∣AC∣=√85例4.已知在平行六面體ABCD-A’B’C’D’中,AB=4ABCDA1B1C1D1例3已知正方形ABCD

求證CA1⊥平面AB1D1證明連結A1C1∵CC1⊥平面A1B1C1D1B1D1⊥A1C1∴A1C⊥B1D1同理可證A1C⊥AD1∵B1D1∩AD1=D1∴CA1⊥平面AB1D1XyZABCDA1B1C1D1例3已知正方形ABCD證明連結ABCDD’解由已知有AC⊥AB<CA·BD>=1200∣CD∣2=CD·CD=(CA+AB+BD)2→→→→→→=∣CA∣2+∣AB∣2+∣BD∣2+2CA·AB+2CA·BD+2AB·BD→→→→→→=b2+a2+b2+2b2cos1200=a2+b2∴∣CD∣=√a2+b2三練習反饋ABCDD’解由已知有AC⊥AB<CA·BD>=1202已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱AA1的長為b，∠A1AB=∠A1AD=1200求(1)︱BD1︳(2)直線BD1和AC夾角的余弦值

ABCDA1B1C1D12已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，ABCDA12019POWERPOINTSUCCESS2022/12/142019POWERPOINTSUCCESS2022/12/12019THANKYOUSUCCESS2022/12/142019THANKYOUSUCCESS2022/1第九章空間向量專題復習制作人：焦明輝第九章空間向量專題復習制作人：焦明輝一復習回顧1平行六面體法則2.共線向量:(1)定義:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作一復習回顧1平行六面體法則2.共線向量:(2)共線向量定理:

對于空間任意兩個向量a、b(b=0),a//b的充要條件是存在實數(shù)λ使a=λb.(3)推論：如果l為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式OP=OA+ta.(1)其中向量a叫做直線l的方向向量.aPBOP=(1-t)OA+tOB.(2)說明:

(1),(2)都叫做空間直線的向量參數(shù)表示式.OP、OA、OB.的終點共線的充要條件是存在實數(shù)m、n，且m+n=1，使得OP=mOA+nOB.(3)(2)共線向量定理:(3)推論：如果l為經過已知點A且平行于3共面向量定理：推論:空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是存在有序實數(shù)對x、y，使MP=xMA+yMB1或對空間任一定點O，有OP=OM+xMA+yMB.2

對空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）＜＝＞四點P、A、B、C共面。

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→→→→→→→→→→→一復習回顧3共面向量定理：推論:空間一點P位于平面MAB內的充分必要4空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc。任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底，零向量的表示唯一。COABB1A1P1P一復習回顧4空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空（1）（2）（3）5空間兩個向量的數(shù)量積（1）（2）（3）5空間兩個向量的數(shù)量積

數(shù)量積的運算律（1）（2）（3）數(shù)量積的運算律（1）（2）（3）6、向量的直角坐標運算.設則6、向量的直角坐標運算.設則(1)夾角、7空間向量的夾角和距離公式(1)夾角、7空間向量的夾角和距離公式(2)空間兩點間的距離公式、(2)空間兩點間的距離公式、學習目標：1掌握空間向量有關概念、運算及定理、推論。2掌握計算向量的長度、有關角，正確求兩點間的距離3學會判斷兩直線（向量）的位置關系（平行、垂直）學習目標：ABCDA1B1C1D1E1F1XYZ解析：不妨設正方體的棱長為1；以D為原點O建立空間直角坐標系O-XYZO例1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1E1=D1F1=

求BE1與DF1所成的角的余弦值二知識運用與研究ABCDA1B1C1D1E1F1XYZ解析：不妨設正方體的棱解：不妨設正方體的邊長為1，建立空間直角坐標系O—xyz，則ABCDA1B1C1D1E1F1XYZB(1，1，0)，E1(1，3／4，1)，D(0，0，0)，F(xiàn)1(0，1/4，1)BE1=(0，-1／4，1)，DF1=(0，1/4，1)∣BE1∣=√17／4∣DF1∣=√17／4BE1·DF1=15／16∴cos＜BE1，DF1＞=BE1·DF1∣BE1∣·∣DF1∣=15／17解：不妨設正方體的邊長為1，建立空間直角坐標系O—xyz，則ABCD∴(2√17)2=62+42+82+2×6×8cos＜CA，BD＞∴cos＜CA，BD＞=1200∴所求角為600ABCD∴(2√17)2=62+42+82+2×6×8co例4.已知在平行六面體ABCD-A’B’C’D’中,AB=4,AD=3,AA’=5ABCDA’B’C’D’解∵AC'=AB+AD+AA'∴∣AC'∣2=(AB+AD+AA')2=∣AB∣2+∣AD∣2+∣AA'∣2+2(AB·AD+AB·AA'+AD·AA')=42+32+52+2(0+10+7.5)=85

→→→→→→→→→→→→→→∴∣AC∣=√85例4.已知在平行六面體ABCD-A’B’C’D’中,AB=4ABCDA1B1C1D1例3已知正方形ABCD

求證CA1⊥平面AB1D1證明連結A1C1∵CC1⊥平面A1B1C1D1B1D1⊥A1C1∴A1C⊥B1D1同理可證A1C⊥AD1∵B1D1∩AD1=D1∴CA1⊥平面AB1D1