2021高中數(shù)學解題思想與及解題方法

-目錄前言………2高中數(shù)學解題基本方法………3配方法………3換元法………7待定系數(shù)法…………………14定義法………19數(shù)學歸納法…………………23參數(shù)法………28反證法………32消去法………分析與綜合法………………特殊與一般法………………類比與歸納法…………觀察與實驗法…………高中數(shù)學常用的數(shù)學思想……35數(shù)形結合思想………………35分類討論思想………………41函數(shù)與方程思想……………47轉化（化歸）思想…………54高考熱點問題和解題策略……59應用問題……59探索性問題…………………65選擇題解答策略……………71填空題解答策略……………77附錄………高考數(shù)學試卷分析…………兩套高考模擬試卷…………參考答案……前言美國著名數(shù)學教育家波利亞說過，掌握數(shù)學就意味著要善于解題。而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有對數(shù)學思想、數(shù)學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學思想方法。我們要有意識地應用數(shù)學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數(shù)學素質(zhì)，使自己具有數(shù)學頭腦和眼光。高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學思想方法進行考查：常用數(shù)學方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法等；數(shù)學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；數(shù)學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；常用數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想等。數(shù)學思想方法與數(shù)學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學知識是數(shù)學容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學思想方法則是一種數(shù)學意識，只能夠領會和運用，屬于思維的疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決，掌握數(shù)學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學知識忘記了，數(shù)學思想方法也還是對你起作用。數(shù)學思想方法中，數(shù)學基本方法是數(shù)學思想的體現(xiàn)，是數(shù)學的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學思想是數(shù)學的靈魂，它與數(shù)學基本方法常常在學習、掌握數(shù)學知識的同時獲得?？梢哉f，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學素質(zhì)的核心就是提高學生對數(shù)學思想方法的認識和運用，數(shù)學素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。為了幫助學生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想。最后談談解題中的有關策略和高考中的幾個熱點問題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。在每節(jié)的容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現(xiàn)，示性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示。鞏固性題組旨在檢查學習的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個部分重要章節(jié)的數(shù)學知識。第一章高中數(shù)學解題基本方法配方法配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…結合其它數(shù)學知識和性質(zhì)，相應有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；……等等。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.在正項等比數(shù)列{a}中，aa+2aa+aa=25，則a＋a＝_______。2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。A.<k<1B.k<或k>1C.k∈RD.k＝或k＝13.已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。A.1B.－1C.1或－1D.04.函數(shù)y＝log(－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。A.（－∞,]B.[,+∞)C.(－,]D.[,3)5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點P(x,x)在圓x+y=4上，則實數(shù)a＝_____?！竞喗狻?小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)aa＝a，將已知等式左邊后配方（a＋a）易求。答案是：5。2小題：配方成圓的標準方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，選B。3小題：已知等式經(jīng)配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。4小題：配方后得到對稱軸，結合定義域和對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。5小題：答案3－。Ⅱ、示性題組：例1.已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_____。A.2B.C.5D.6【分析】先轉換為數(shù)學表達式：設長方體長寬高分別為x,y,z，則,而欲求對角線長，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。【解】設長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24”而得：。長方體所求對角線長為：＝＝＝5所以選B?！咀ⅰ勘绢}解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉換為三個數(shù)學表示式，觀察和分析三個數(shù)學式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個數(shù)學式進行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2.設方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，若()+()≤7成立，數(shù)k的取值圍。【解】方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥。又∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實根，∴△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2綜合起來，k的取值圍是：－≤k≤－或者≤k≤。【注】關于實系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結構特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對“△”討論，結果將出錯，即使有些題目可能結果相同，去掉對“△”的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。例3.設非零復數(shù)a、b滿足a＋ab＋b=0，求()＋()?！痉治觥繉σ阎娇梢月?lián)想：變形為()＋()＋1＝0，則＝ω（ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b)＝ab。則代入所求式即得?！窘狻坑蒩＋ab＋b=0變形得：()＋()＋1＝0，設ω＝，則ω＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω＝＝1。又由a＋ab＋b=0變形得：(a＋b)＝ab，所以()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2?！咀ⅰ勘绢}通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計算表達式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。【另解】由a＋ab＋b＝0變形得：()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表達式的變形式()＋()后，完成后面的運算。此方法用于只是未聯(lián)想到ω時進行解題。假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表達式，進行分式化簡后，化成復數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計算。Ⅲ、鞏固性題組：函數(shù)y＝(x－a)＋(x－b)（a、b為常數(shù)）的最小值為_____。A.8B.C.D.最小值不存在α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的兩實根，則(α-1)+(β-1)的最小值是_____。A.－B.8C.18D.不存在已知x、y∈R，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2＋8有_____。A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值橢圓x－2ax＋3y＋a－6＝0的一個焦點在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。A.2B.－6C.－2或－6D.2或6化簡：2＋的結果是_____。A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin46.設F和F為雙曲線－y＝1的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足∠FPF＝90°，則△FPF的面積是_________。7.若x>－1，則f(x)＝x＋2x＋的最小值為___________。8.已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考題)9.設二次函數(shù)f(x)＝Ax＋Bx＋C，給定m、n（m<n）,且滿足A[(m+n)+mn]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B＋C＝0。解不等式f(x)>0；②是否存在一個實數(shù)t，使當t∈(m+t,n-t)時，f(x)<0？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值圍。10.設s>1，t>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域；若關于x的方程f(x)＝0有且僅有一個實根，求m的取值圍。二、換元法解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把復雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設2＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進行換元。如求函數(shù)y＝＋的值域時，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設x＝sinα，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會想到如此設，其中主要應該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號的需要。如變量x、y適合條件x＋y＝r（r>0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。均值換元，如遇到x＋y＝S形式時，設x＝＋t，y＝－t等等。我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量圍的選取，一定要使新變量圍對應于原變量的取值圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和α∈[0,]。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.設f(x＋1)＝log(4－x)（a>1），則f(x)的值域是_______________。3.已知數(shù)列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，則數(shù)列通項a＝___________。4.設實數(shù)x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值圍是___________。5.方程＝3的解是_______________。6.不等式log(2－1)·log(2－2)〈2的解集是_______________。【簡解】1小題：設sinx+cosx＝t∈[－,]，則y＝＋t－，對稱軸t＝－1，當t＝，y＝＋；2小題：設x＋1＝t(t≥1)，則f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域為(－∞,log4]；3小題：已知變形為－＝－1,設b＝，則b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；4小題：設x＋y＝k，則x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；5小題：設3＝y(tǒng)，則3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；6小題：設log(2－1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈(log,log3)。Ⅱ、示性題組：例1.實數(shù)x、y滿足4x－5xy＋4y＝5（①式），設S＝x＋y，求＋的值。（全國高中數(shù)學聯(lián)賽題）【分析】由S＝x＋y聯(lián)想到cosα＋sinα＝1,于是進行三角換元，設代入①式求S和S的值?！窘狻吭O代入①式得：4S－5S·sinαcosα＝5解得S＝；∵-1≤sin2α≤1∴3≤8－5sin2α≤13∴≤≤∴＋＝＋＝＝此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1。這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”?！玖斫狻坑蒘＝x＋y，設x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，則xy＝±代入①式得：4S±5=5，移項平方整理得100t+39S－160S＋100＝0?！?9S－160S＋100≤0解得：≤S≤∴＋＝＋＝＝【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S＝x＋y與三角公式cosα＋sinα＝1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問題轉化為三角函數(shù)值域問題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值換元的思路，設x＝＋t、y＝－t，減少了元的個數(shù)，問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變量x、y時，可以設x＝a＋b，y＝a－b，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡化代數(shù)式。本題設x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5，求得a∈[0,]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。例2．△ABC的三個角A、B、C滿足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全國理）【分析】由已知“A＋C＝2B”和“三角形角和等于180°”的性質(zhì)，可得；由“A＋C＝120°”進行均值換元，則設，再代入可求cosα即cos。【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得,由A＋C＝120°，設，代入已知等式得：

＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝，即：cos＝?！玖斫狻坑葾＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－＝－2，設＝－＋m，＝－－m，所以cosA＝，cosC＝，兩式分別相加、相減得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝?！咀ⅰ勘绢}兩種解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分別進行均值換元，隨后結合三角形角的關系與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當熟練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和積互化得：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝y(tǒng)

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－x例3.設a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值?！窘狻吭Osinx＋cosx＝t，則t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝∴f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋（a>0），t∈[-,]t＝-時，取最小值：－2a－2a－當2a≥時，t＝，取最大值：－2a＋2a－；當0<2a≤時，t＝2a，取最大值：?！鄁(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為?！咀ⅰ看祟}屬于局部換元法，設sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx與sinx·cosx的在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的圍（t∈[-,]）與sinx＋cosx對應，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關系而確定參數(shù)分兩種情況進行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設元的換元法，轉化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例4.設對所于有實數(shù)x，不等式xlog＋2xlog＋log>0恒成立，求a的取值圍。（87年全國理）【分析】不等式中l(wèi)og、log、log三項有何聯(lián)系？進行對數(shù)式的有關變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實施換元法?！窘狻吭Olog＝t，則log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，代入后原不等式簡化為（3－t）x＋2tx－2t>0，它對一切實數(shù)x恒成立，所以：，解得∴t<0即log<00<<1，解得0<a<1。【注】應用局部換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什么會想到換元及如何設元，關鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og、log、log三項之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問題時，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對數(shù)運算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。例5.已知＝，且＋＝(②式)，求的值?！窘狻吭O＝＝k，則sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得：＋＝＝即：＋＝設＝t，則t＋＝,解得：t＝3或∴＝±或±【另解】由＝＝tgθ，將等式②兩邊同時除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，設tgθ＝t，則3t—10t＋3＝0，∴t＝3或，解得＝±或±?！咀ⅰ康谝环N解法由＝而進行等量代換，進行換元，減少了變量的個數(shù)。第二種解法將已知變形為＝，不難發(fā)現(xiàn)進行結果為tgθ，再進行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。例6.實數(shù)x、y滿足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的圍?！痉治觥坑梢阎獥l件＋＝1，可以發(fā)現(xiàn)它與a＋b＝1有相似之處，于是實施三角換元?！窘狻坑桑?，設＝cosθ，＝sinθ，即：代入不等式x＋y－k>0得：3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)所以k<-5時不等式恒成立?！咀ⅰ勘绢}進行三角換元，將代數(shù)問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恒成立的問題，再運用“分離參數(shù)法”轉化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關問題時，經(jīng)常使用“三角換元法”。y

x

x＋y－k>0k平面區(qū)域本題另一種解題思路是使用數(shù)形結合法的思想方法：在平面直角坐標系，不等式ax＋by＋c>0(a>0)所表示的區(qū)域為直線ax＋by＋c＝0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上x＋y－k>0的區(qū)域。即當直線x＋y－k＝0在與橢圓下部相切的切線之下時。當直線與橢圓相切時，方程組有相等的一組實數(shù)解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3時原不等式恒成立。Ⅲ、鞏固性題組：已知f(x)＝lgx(x>0)，則f(4)的值為_____。A.2lg2B.lg2C.lg2D.lg4函數(shù)y＝(x＋1)＋2的單調(diào)增區(qū)間是______。A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-∞,-1]設等差數(shù)列{a}的公差d＝，且S＝145，則a＋a＋a＋……＋a的值為_____。A.85B.72.5C.60D.52.5已知x＋4y＝4x，則x＋y的圍是_________________。已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，則＋的圍是____________。不等式>ax＋的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。函數(shù)y＝2x＋的值域是________________。在等比數(shù)列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。yDC

AB

Ox實數(shù)m在什么圍取值，對任意實數(shù)x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。已知矩形ABCD，頂點C(4,4)，A點在曲線x＋y＝2(x>0,y>0)上移動，且AB、AD始終平行x軸、y軸，求矩形ABCD的最小面積。三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關系，設出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應相等。待定系數(shù)法解題的關鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學問題是否具有某種確定的數(shù)學表達式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學表達形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：利用對應系數(shù)相等列方程；由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程；利用定義本身的屬性列方程；利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：設f(x)＝＋m，f(x)的反函數(shù)f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。A.,－2B.－，2C.,2D.－，－2二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。A.10B.－10C.14D.－14在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的系數(shù)是_____。A.－297B.－252C.297D.207函數(shù)y＝a－bcos3x(b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。與直線L：2x＋3y＋5＝0平行且過點A(1,-4)的直線L’的方程是_______________。與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是____________?！竞喗狻?小題：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比較系數(shù)易求，選C；2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關于系數(shù)a、b的方程組，易求得a＋b，選D；3小題：分析x的系數(shù)由C與(－1)C兩項組成，相加后得x的系數(shù)，選D；4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設直線L’方程2x＋3y＋c＝0，點A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；6小題：設雙曲線方程x－＝λ，點(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。Ⅱ、示性題組：已知函數(shù)y＝的最大值為7，最小值為－1，求此函數(shù)式?！痉治觥壳蠛瘮?shù)的表達式，實際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數(shù)的值域，對分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！窘狻亢瘮?shù)式變形為：(y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0∴△＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0即：y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集為(-1,7)，則－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的兩根，代入兩根得：解得：或∴y＝或者y＝此題也可由解集(-1,7)而設(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后與不等式①比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)?！咀ⅰ吭谒蠛瘮?shù)式中有兩個系數(shù)m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數(shù)值域問題，得到了含參數(shù)m、n的關于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數(shù)m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數(shù)的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數(shù)值域的“判別式法”：將y視為參數(shù)，函數(shù)式化成含參數(shù)y的關于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關于參數(shù)y的不等式，解出y的圍就是值域，使用“判別式法”的關鍵是否可以將函數(shù)化成一個一元二次方程。例2.設橢圓中心在(2,-1)，它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是－，求橢圓的方程。yB’

x

AFO’F’A’

B【分析】求橢圓方程，根據(jù)所給條件，確定幾何數(shù)據(jù)a、b、c之值，問題就全部解決了。設a、b、c后，由已知垂直關系而聯(lián)想到勾股定理建立一個方程，再將焦點與長軸較近端點的距離轉化為a－c的值后列出第二個方程?！窘狻吭O橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|BF’|＝a∴解得：∴所求橢圓方程是：＋＝1也可有垂直關系推證出等腰Rt△BB’F’后，由其性質(zhì)推證出等腰Rt△B’O’F’，再進行如下列式：，更容易求出a、b的值。【注】圓錐曲線中，參數(shù)（a、b、c、e、p）的確定，是待定系數(shù)法的生動體現(xiàn)；如何確定，要抓住已知條件，將其轉換成表達式。在曲線的平移中，幾何數(shù)據(jù)（a、b、c、e）不變，本題就利用了這一特征，列出關于a－c的等式。一般地，解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定系數(shù)法，基本步驟是：設方程（或幾何數(shù)據(jù)）→幾何條件轉換成方程→求解→已知系數(shù)代入。例3.是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數(shù)n都成立？并證明你的結論。（89年全國高考題）【分析】是否存在，不妨假設存在。由已知等式對一切自然數(shù)n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出關于a、b、c的方程組，解方程組求出a、b、c的值，再用數(shù)學歸納法證明等式對所有自然數(shù)n都成立?！窘狻考僭O存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得：,解得，于是對n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用數(shù)學歸納法證明對任意自然數(shù)n，該等式都成立：假設對n＝k時等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；當n＝k＋1時，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，也就是說，等式對n＝k＋1也成立。綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數(shù)n都成立?！咀ⅰ拷㈥P于待定系數(shù)的方程組，在于由幾個特殊值代入而得到。此種解法中，也體現(xiàn)了方程思想和特殊值法。對于是否存在性問題待定系數(shù)時，可以按照先試值、再猜想、最后歸納證明的步驟進行。本題如果記得兩個特殊數(shù)列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通項的拆開，運用數(shù)列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，綜上所述，當a＝8、b＝11、c＝10時，題設的等式對一切自然數(shù)n都成立。例4.有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？【分析】實際問題中，最大值、最小值的研究，先由已知條件選取合適的變量建立目標函數(shù)，將實際問題轉化為函數(shù)最大值和最小值的研究。【解】依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm?！嗪凶尤莘eV＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，顯然:15－x>0，7－x>0，x>0。設V＝(15a－ax)(7b－bx)x(a>0,b>0）要使用均值不等式，則解得：a＝，b＝，x＝3。從而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576。所以當x＝3時，矩形盒子的容積最大，最大容積是576cm?！咀ⅰ烤挡坏仁綉脮r要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配系數(shù)，可以用“待定系數(shù)法”求。本題解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx或(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組，求出三項該進行湊配的系數(shù)，本題也體現(xiàn)了“湊配法”和“函數(shù)思想”。Ⅲ、鞏固性題組：函數(shù)y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，則a的取值圍是_____。A.2>a>且a≠1B.0<a<或1<a<2C.1<a<2D.a>2或0<a<方程x＋px＋q＝0與x＋qx＋p＝0只有一個公共根，則其余兩個不同根之和為_____。A.1B.－1C.p＋qD.無法確定如果函數(shù)y＝sin2x＋a·cos2x的圖像關于直線x＝－對稱，那么a＝_____。A.B.－C.1D.－1滿足C＋1·C＋2·C＋…＋n·C<500的最大正整數(shù)是_____。A.4B.5C.6D.7無窮等比數(shù)列{a}的前n項和為S＝a－,則所有項的和等于_____。A.－B.1C.D.與a有關(1＋kx)＝b＋bx＋bx＋…＋bx，若b＋b＋b＋…＋b＝－1，則k＝______。經(jīng)過兩直線11x－3y－9＝0與12x＋y－19＝0的交點，且過點(3,-2)的直線方程為_____________。8.正三棱錐底面邊長為2，側棱和底面所成角為60°，過底面一邊作截面，使其與底面成30°角，則截面面積為______________。9.設y＝f(x)是一次函數(shù)，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數(shù)列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。10.設拋物線經(jīng)過兩點(-1,6)和(-1,-2)，對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y＝2x＋7和拋物線截得的線段長是4,求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學定義解題。數(shù)學中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。簡單地說，定義是基本概念對數(shù)學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：已知集合A中有2個元素，集合B中有7個元素，A∪B的元素個數(shù)為n，則______。A.2≤n≤9B.7≤n≤9C.5≤n≤9D.5≤n≤7設MP、OM、AT分別是46°角的正弦線、余弦線和正切線，則_____。A.MP<OM<ATB.OM<MP<ATC.AT<<OM<MPD.OM<AT<MP復數(shù)z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|<|z|，則實數(shù)a的取值圍是_____。A.－1<a<1B.a>1C.a>0D.a<－1或a>1橢圓＋＝1上有一點P，它到左準線的距離為，那么P點到右焦點的距離為_____。A.8C.7.5C.D.3奇函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則f(－)的值為_____。A.TB.0C.D.不能確定正三棱臺的側棱與底面成45°角，則其側面與底面所成角的正切值為_____?！竞喗狻?小題：利用并集定義，選B；2小題：利用三角函數(shù)線定義，作出圖形，選B；3小題：利用復數(shù)模的定義得<，選A；4小題：利用橢圓的第二定義得到＝e＝，選A；5小題：利用周期函數(shù)、奇函數(shù)的定義得到f(－)＝f()＝－f(－)，選B；6小題：利用線面角、面面角的定義，答案2。Ⅱ、示性題組：例1.已知z＝1＋ｉ，①設w＝z＋3－4，求w的三角形式；②如果＝1－ｉ，數(shù)a、b的值。（94年全國理）【分析】代入z進行運算化簡后，運用復數(shù)三角形式和復數(shù)相等的定義解答?！窘狻坑蓏＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。由題設條件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；根據(jù)復數(shù)相等的定義，得：，解得?！咀ⅰ壳髲蛿?shù)的三角形式，一般直接利用復數(shù)的三角形式定義求解。利用復數(shù)相等的定義，由實部、虛部分別相等而建立方程組，這是復數(shù)中經(jīng)常遇到的。例2.已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性?！痉治觥恳袛嗪瘮?shù)的單調(diào)性，必須首先確定n與c的值求出函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。A’A

D

C’C

OH

B’B【解】解得：∴f(x)＝－x＋x解f(x)>0得：0<x<1設<x<x<1，則f(x)－f(x)＝－x+x-（-x+x）=(x-x)[1-(x+x)(x+x)],∵x+x>，x+x>∴(x+x)(x+x)〉×＝1∴f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是減函數(shù)∵<1∴y＝logf(x)在(,1)上是增函數(shù)?！咀ⅰ筷P于函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、周期性的判斷，一般都是直接應用定義解題。本題還在求n、c的過程中，運用了待定系數(shù)法和換元法。例3.如圖，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中點。證明：AB’∥平面DBC’；假設AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度數(shù)。【分析】由線面平行的定義來證①問，即通過證AB’平行平面DBC’的一條直線而得；由二面角的平面角的定義作出平面角，通過解三角形而求②問?！窘狻竣龠B接B’C交BC’于O,連接OD∵A’B’C’—ABC是正三棱柱∴四邊形B’BCC’是矩形∴O是B’C中點△AB’C中，D是AC中點∴AB’∥OD∴AB’∥平面DBC’作DH⊥BC于H，連接OH∴DH⊥平面BC’C∵AB’∥OD,AB’⊥BC’∴BC’⊥OD∴BC’⊥OH即∠DOH為所求二面角的平面角。設AC＝1，作OE⊥BC于E，則DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝；Rt△BOH中，OH＝BH×EH＝，y

MF

Ax∴OH＝＝DH∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度數(shù)為45°?！咀ⅰ繉τ诙娼荄—BC’—C的平面角，容易誤認為∠DOC即所求。利用二面角的平面角定義，兩邊垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂線DH，再證得垂直于棱的垂線DO，最后連接兩個垂足OH，則∠DOH即為所求，其依據(jù)是三垂線定理。本題還要求解三角形十分熟練，在Rt△BOH中運用射影定理求OH的長是計算的關鍵。此題文科考生的第二問為：假設AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在側面BB’C’C的射影長。解答中抓住斜線在平面上的射影的定義，先作平面的垂線，連接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，連接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以＝＝，EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE即B’E＝1，所以B’E＝。例4.求過定點M(1,2)，以x軸為準線，離心率為的橢圓的下頂點的軌跡方程?！痉治觥窟\動的橢圓過定點M，準線固定為x軸，所以M到準線距離為2。抓住圓錐曲線的統(tǒng)一性定義，可以得到＝建立一個方程，再由離心率的定義建立一個方程?！窘狻吭OA(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，則橢圓上定點M到準線距離為2，下頂點A到準線距離為y。根據(jù)橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義，得到：，消m得：（x－1）＋＝1，所以橢圓下頂點的軌跡方程為（x－1）＋＝1?！咀ⅰ壳笄€的軌跡方程，按照求曲線軌跡方程的步驟，設曲線上動點所滿足的條件，根據(jù)條件列出動點所滿足的關系式，進行化簡即可得到。本題還引入了一個參數(shù)m,列出的是所滿足的方程組，消去參數(shù)m就得到了動點坐標所滿足的方程，即所求曲線的軌跡方程。在建立方程組時，巧妙地運用了橢圓的統(tǒng)一性定義和離心率的定義。一般地，圓錐曲線的點、焦點、準線、離心率等問題，常用定義法解決；求圓錐曲線的方程，也總是利用圓錐曲線的定義求解，但要注意橢圓、雙曲線、拋物線的兩個定義的恰當選用。Ⅲ、鞏固性題組：函數(shù)y＝f(x)＝a＋k的圖像過點(1,7)，它的反函數(shù)的圖像過點(4,0)，則f(x)的表達式是___。2.過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影分別為A、B,則∠AFB等于_____。A.45°B.60°C.90°D.120°3.已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，則下列關系正確的是_____。A.ABB.ABC.A∈BD.AB4.雙曲線3x－y＝3的漸近線方程是_____。A.y＝±3xB.y＝±xC.y＝±xD.y＝±x5.已知定義在R上的非零函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，則f(x)是_____。A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇既偶函數(shù)C＋C＝________。Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，則復數(shù)的輻角主值是__________。不等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，則不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。已知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，求證數(shù)列也是等差數(shù)列，其中b＝(a＋a＋…＋a)。10.已知F、F是橢圓＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，其中F與拋物線y＝12x的焦點重合，M是兩曲線的一個焦點，且有cos∠MFF·cos∠MFF＝，求橢圓方程。五、數(shù)學歸納法歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來。數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關的數(shù)學命題的一種推理方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或n≥n且n∈N）結論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運用數(shù)學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標完成解題。運用數(shù)學歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1)（n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為_____。A.2k＋1B.2(2k＋1)C.D.2.用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋<n(n>1)時，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的代數(shù)式的個數(shù)是_____。A.2B.2－1C.2D.2＋13.某個命題與自然數(shù)n有關，若n＝k(k∈N)時該命題成立，那么可推得n＝k＋1時該命題也成立?，F(xiàn)已知當n＝5時該命題不成立，那么可推得______。(94年高考)A.當n＝6時該命題不成立B.當n＝6時該命題成立C.當n＝4時該命題不成立D.當n＝4時該命題成立4.數(shù)列{a}中，已知a＝1，當n≥2時a＝a＋2n－1，依次計算a、a、a后，猜想a的表達式是_____。A.3n－2B.nC.3D.4n－35.用數(shù)學歸納法證明3＋5(n∈N)能被14整除，當n＝k＋1時對于式子3＋5應變形為_______________________。6.設k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱對角面的個數(shù)為f(k+1)＝f(k)＋_________?！竞喗狻?小題：n＝k時，左端的代數(shù)式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1時，左端的代數(shù)式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以應乘的代數(shù)式為，選B；2小題：（2－1）－（2－1）＝2，選C；3小題：原命題與逆否命題等價，若n＝k＋1時命題不成立，則n＝k命題不成立，選C。4小題：計算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，選B；5小題：答案（3＋5）3＋5（5－3）；6小題：答案k－1。Ⅱ、示性題組：已知數(shù)列，得，…，，…。S為其前n項和，求S、S、S、S，推測S公式，并用數(shù)學歸納法證明。（93年全國理）【解】計算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜測S＝(n∈N)。當n＝1時，等式顯然成立；假設當n＝k時等式成立，即：S＝，當n＝k＋1時，S＝S＋＝＋＝＝＝,由此可知，當n＝k＋1時等式也成立。綜上所述，等式對任何n∈N都成立?！咀ⅰ堪岩C的等式S＝作為目標，先通分使分母含有(2k＋3)，再考慮要約分，而將分子變形，并注意約分后得到（2k＋3）－1。這樣證題過程中簡潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗、觀察出發(fā)，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數(shù)學歸納法進行嚴格證明，這是關于探索性問題的常見證法，在數(shù)列問題中經(jīng)常見到。假如猜想后不用數(shù)學歸納法證明，結論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴密。必須要進行三步：試值→猜想→證明?！玖斫狻坑昧秧椣嘞ㄇ蠛停河蒩＝＝－得，S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝。此種解法與用試值猜想證明相比，過程十分簡單，但要求發(fā)現(xiàn)＝－的裂項公式?？梢哉f，用試值猜想證明三步解題，具有一般性。例2.設a＝＋＋…＋(n∈N),證明：n(n＋1)<a<(n＋1)?！痉治觥颗c自然數(shù)n有關，考慮用數(shù)學歸納法證明。n＝1時容易證得，n＝k＋1時，因為a＝a＋,所以在假設n＝k成立得到的不等式中同時加上，再與目標比較而進行適當?shù)姆趴s求解。【解】當n＝1時，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2，∴n＝1時不等式成立。假設當n＝k時不等式成立，即：k(k＋1)<a<(k＋1)，當n＝k＋1時，k(k＋1)＋<a<(k＋1)＋,k(k＋1)＋>k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2)<a<(k＋2)，即n＝k＋1時不等式也成立。綜上所述，對所有的n∈N，不等式n(n＋1)<a<(n＋1)恒成立?！咀ⅰ坑脭?shù)學歸納法解決與自然數(shù)有關的不等式問題，注意適當選用放縮法。本題中分別將縮小成(k＋1)、將放大成(k＋)的兩步放縮是證n＝k＋1時不等式成立的關鍵。為什么這樣放縮，而不放大成(k＋2)，這是與目標比較后的要求，也是遵循放縮要適當?shù)脑瓌t。本題另一種解題思路是直接采用放縮法進行證明。主要是抓住對的分析，注意與目標比較后，進行適當?shù)姆糯蠛涂s小。解法如下：由>n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由<n＋可得，a<1＋2＋3＋…＋n＋×n＝n(n＋1)＋n＝(n＋2n)<(n＋1)。所以n(n＋1)<a<(n＋1)。例3.設數(shù)列{a}的前n項和為S，若對于所有的自然數(shù)n，都有S＝，證明{a}是等差數(shù)列?！痉治觥恳C明{a}是等差數(shù)列，可以證明其通項符合等差數(shù)列的通項公式的形式，即證：a＝a＋(n－1)d。命題與n有關，考慮是否可以用數(shù)學歸納法進行證明?！窘狻吭Oa－a＝d，猜測a＝a＋(n－1)d當n＝1時，a＝a，∴當n＝1時猜測正確。當n＝2時，a＋(2－1)d＝a＋d＝a，∴當n＝2時猜測正確。假設當n＝k（k≥2）時，猜測正確，即：a＝a＋(k－1)d，當n＝k＋1時，a＝S－S＝－，將a＝a＋(k－1)d代入上式，得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因為k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1時猜測正確。綜上所述，對所有的自然數(shù)n，都有a＝a＋(n－1)d，從而{a}是等差數(shù)列?！咀ⅰ繉⒆C明等差數(shù)列的問題轉化成證明數(shù)學恒等式關于自然數(shù)n成立的問題。在證明過程中a的得出是本題解答的關鍵，利用了已知的等式S＝、數(shù)列項與前n項和的關系a＝S－S建立含a的方程，代入假設成立的式子a＝a＋(k－1)d解出來a。另外本題注意的一點是不能忽視驗證n＝1、n＝2的正確性，用數(shù)學歸納法證明時遞推的基礎是n＝2時等式成立，因為由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的條件是k≥2?！玖斫狻靠勺Ca－a＝a－a對于任意n≥2都成立：當n≥2時，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；從而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a－a＝a－a，從而{a}是等差數(shù)列。一般地，在數(shù)列問題中含有a與S時，我們可以考慮運用a＝S－S的關系，并注意只對n≥2時關系成立，象已知數(shù)列的S求a一類型題應用此關系最多。Ⅲ、鞏固性題組：用數(shù)學歸納法證明：6＋1(n∈N)能被7整除。用數(shù)學歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)(n∈N)。n∈N，試比較2與(n＋1)的大小，并用證明你的結論。用數(shù)學歸納法證明等式：cos·cos·cos·…·cos＝(81年全國高考)用數(shù)學歸納法證明：|sinnx|≤n|sinx|（n∈N）。（85年高考）6.數(shù)列{a}的通項公式a＝(n∈N)，設f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，試求f(1)、f(2)、f(3)的值，推測出f(n)的值，并用數(shù)學歸納法加以證明。已知數(shù)列{a}滿足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]，(x≠kπ，n≥2且n∈N)。①．求a和a；②.猜測a，并用數(shù)學歸納法證明你的猜測。8.設f(logx)＝,①.求f(x)的定義域；②.在y＝f(x)的圖像上是否存在兩個不同點，使經(jīng)過這兩點的直線與x軸平行？證明你的結論。③.求證：f(n)>n(n>1且n∈N)六、參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數(shù)學對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學的任務就是要揭示事物之間的在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學中運動與變化的思想，其觀點已經(jīng)滲透到中學數(shù)學的各個分支。運用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關鍵是恰到好處地引進參數(shù)，溝通已知和未知之間的在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：1.設2＝3＝5>1，則2x、3y、5z從小到大排列是________________。2.（理）直線上與點A(-2,3)的距離等于的點的坐標是________。（文）若k<－1，則圓錐曲線x－ky＝1的離心率是_________。3.點Z的虛軸上移動，則復數(shù)C＝z＋1＋2ｉ在復平面上對應的軌跡圖像為____________________。4.三棱錐的三個側面互相垂直，它們的面積分別是6、4、3，則其體積為______。5.設函數(shù)f(x)對任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當x>0時，f(x)<0，則f(x)的R上是______函數(shù)。(填“增”或“減”)6.橢圓＋＝1上的點到直線x＋2y－＝0的最大距離是_____。A.3B.C.D.2【簡解】1小題：設2＝3＝5＝t，分別取2、3、5為底的對數(shù)，解出x、y、z，再用“比較法”比較2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；2小題：（理）A(-2,3)為t＝0時，所求點為t＝±時，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲線為橢圓，a＝1，c＝，所以e＝－；3小題：設z＝bｉ，則C＝1－b＋2ｉ，所以圖像為：從(1,2)出發(fā)平行于x軸向右的射線；4小題：設三條側棱x、y、z，則xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,體積為4。5小題：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函數(shù)，答案：減；6小題：設x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，選C。Ⅱ、示性題組：實數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。【分析】由a＋b＋c＝1想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。【解】由a＋b＋c＝1，設a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，∴a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥所以a＋b＋c的最小值是?！咀ⅰ坑伞熬祿Q元法”引入了三個參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進行了簡化，是本題此種解法的一個技巧。本題另一種解題思路是利用均值不等式和“配方法”進行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強，多次練習，可以提高我們的代數(shù)變形能力。橢圓＋＝1上有兩點P、Q，O為原點。連OP、OQ，若k·k＝－，①．求證：|OP|＋|OQ|等于定值；②.求線段PQ中點M的軌跡方程?！痉治觥坑伞皳Q元法”引入新的參數(shù)，即設（橢圓參數(shù)方程），參數(shù)θ、θ為P、Q兩點，先計算k·k得出一個結論，再計算|OP|＋|OQ|，并運用“參數(shù)法”求中點M的坐標，消參而得?！窘狻坑桑?，設，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),則k·k＝＝－，整理得到：cosθcosθ＋sinθsinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0?！鄚OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20。由中點坐標公式得到線段PQ的中點M的坐標為，所以有()＋y＝2＋2(cosθcosθ＋sinθsinθ)＝2,即所求線段PQ的中點M的軌跡方程為＋＝1?！咀ⅰ坑蓹E圓方程，聯(lián)想到a＋b＝1,于是進行“三角換元”，通過換元引入新的參數(shù)，轉化成為三角問題進行研究。本題還要求能夠熟練使用三角公式和“平方法”，在由中點坐標公式求出M點的坐標后，將所得方程組稍作變形，再平方相加，即（cosθ＋cosθ）＋（sinθ＋sinθ），這是求點M軌跡方程“消參法”的關鍵一步。一般地，求動點的軌跡方程運用“參數(shù)法”時，我們可以將點的x、y坐標分別表示成為一個或幾個參數(shù)的函數(shù)，再運用“消去法”消去所含的參數(shù)，即得到了所求的軌跡方程。S

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DC

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AB本題的第一問，另一種思路是設直線斜率k，解出P、Q兩點坐標再求：設直線OP的斜率k，則OQ的斜率為－，由橢圓與直線OP、OQ相交于PQ兩點有：，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；所以|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。在此解法中，利用了直線上兩點之間的距離公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的長。例3.已知正四棱錐S—ABCD的側面與底面的夾角為β，相鄰兩側面的夾角為α,求證：cosα=-cosβ?！痉治觥恳C明cosα=-cosβ，考慮求出α、β的余弦，則在α和β所在的三角形中利用有關定理求解?！窘狻窟BAC、BD交于O，連SO；取BC中點F，連SF、OF；作BE⊥SC于E，連DE。則∠SFO＝β，∠DEB＝α。設BC＝a(為參數(shù))，則SF＝＝,SC＝＝＝又∵BE＝＝＝在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。所以cosα＝－cosβ?！咀ⅰ吭O參數(shù)a而不求參數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個作用，即設參數(shù)輔助解決有關問題。Ⅲ、鞏固性題組：已知復數(shù)z滿足|z|≤1，則復數(shù)z＋2ｉ在復平面上表示的點的軌跡是________________。函數(shù)y＝x＋2＋的值域是________________。拋物線y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ與x軸兩個交點距離的最大值為_____A.5B.10C.2D.3過點M(0,1)作直線L，使它與兩已知直線L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的線段被點P平分，求直線L方程。求半徑為R的球的接圓錐的最大體積。f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的實數(shù)a的取值圍。7.若關于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模為1的虛根，數(shù)a的值及方程的根。8.給定的拋物線y＝2px(p>0)，證明：在x軸的正向上一定存在一點M，使得對于拋物線的任意一條過點M的弦PQ，有＋為定值。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。法國數(shù)學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結論與“否定的結論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應用反證法證明的主要三步是：否定結論→推導出矛盾→結論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。在應用反證法證題時，一定要用到“反設”進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：已知函數(shù)f(x)在其定義域是減函數(shù)，則方程f(x)＝0______。A.至多一個實根B.至少一個實根C.一個實根D.無實根已知a<0,－1<b<0，那么a、ab、ab之間的大小關系是_____。A.a>ab>abB.ab>ab>aC.ab>a>abD.ab>ab>a已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b為異面直線，則_____。A.a、b都與l相交B.a、b中至少一條與l相交C.a、b中至多有一條與l相交D.a、b都與l相交四面體頂點和各棱的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_____。A.150種B.147種C.144種D.141種【簡解】1小題：從結論入手，假設四個選擇項逐一成立，導出其中三個與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，選D；3小題：從逐一假設選擇項成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結論的幾種情況，列式是：C－C×4－3－6,選D。S

C

AO

BⅡ、示性題組：例1.如圖，設SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點。求證：AC與平面SOB不垂直?！痉治觥拷Y論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設“垂直”后再導出矛盾后，再肯定“不垂直”?！咀C明】假設AC⊥平面SOB，∵直線SO在平面SOB，∴AC⊥SO，∵SO⊥底面圓O，∴SO⊥AB，∴SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設不成立。即AC與平面SOB不垂直?！咀ⅰ糠穸ㄐ缘膯栴}常用反證法。例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾。例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一個方程有實根。試數(shù)a的取值圍?！痉治觥咳齻€方程至少有一個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根。先求出反面情況時a的圍，再所得圍的補集就是正面情況的答案?！窘狻吭O三個方程均無實根，則有：,解得,即－<a<－1。所以當a≥－1或a≤－時，三個方程至少有一個方程有實根?！咀ⅰ俊爸辽佟?、“至多”問題經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡單。本題還用到了“判別式法”、“補集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個方程有實根時（△≥0）a的取值圍，再將三個圍并起來，即求集合的并集。兩種解法，要求對不等式解集的交、并、補概念和運算理解透徹。例3.給定實數(shù)a，a≠0且a≠1，設函數(shù)y＝(其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過這個函數(shù)圖像上任意兩個不同點的直線不平行于x軸；②.這個函數(shù)的圖像關于直線y＝x成軸對稱圖像。(88年全國理)?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設“平行